Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU M¨unster, Sommersemester 2011 ¨UBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE Blatt 1

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Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU M¨ unster, Sommersemester 2011

UBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE ¨

Blatt 1

^∗

, 04.04.2011

Aufgabe 1.1. Sei X ein CW -Komplex und e eine Zelle von X. Ist der Abschluss ¯ e ⊂ X ein Unterkomplex?

Aufgabe 1.2. Sei angenommen dim(X) = n und e ist eine n-Zelle. Beweise, dass e offen in X ist.

Aufgabe 1.3. Sei n ≥ 1. Beweise, dass C P

ⁿ

die Struktur eines CW -Komplexes mit genau einer 2k-Zelle f¨ ur alle 0 ≤ k ≤ n besitzt.

Aufgabe 1.4. Seien R und R

²

mit der Euklidischen Topologie versehen. Wir definieren topo- logische R¨ aume A, B und C wie folgt :

(a) A ist die Vereinigung der Kreise mit Mittelpunkt (0, n) und Radius n im R

²

f¨ ur alle n ≥ 1, versehen mit der Teilraumtopologie ;

(b) B ist die Vereinigung der Kreise mit Mittelpunkt (0,

¹_n

) und Radius

_n¹

im R

²

f¨ ur alle n ≥ 1, versehen mit der Teilraumtopologie (die sog. hawaiischen Ohrringe) ;

(c) C ist der Quotientenraum R /∼, wobei x ∼ y genau dann, wenn x = y oder x, y ∈ Z . Auf welche diese Raume ist es m¨ oglich, eine CW-Komplex-Struktur zu definieren ?

Information zum ¨ Ubungsbetrieb auf der R¨ uckseite.

∗Abgabe : Montag 12.04.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html

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Information zum ¨ Ubungsbetrieb

Die ¨ Ubungen finden ab der ersten Semesterwoche statt. Wir raten Ihnen, die ¨ Ubungen immer zu besuchen, dort werden die ¨ Ubungsaufgaben besprochen und Fragen zur Vorlesung und zu den ¨ Ubungen beantwortet.

Jeweils freitags ab 12 Uhr auf der Veranstaltungshomepage (siehe unten) liegt ein neues Blatt zum Herunterladen, das Sie innerhalb der darauf folgenden Woche bearbeiten sollen. Die Ubungsbl¨ ¨ atter werden auch in gedruckter Form Freitags in der Vorlesung verteilt. Die Abgabe findet am Montag 10 Tagen sp¨ ater beim Tutor statt.

Es gibt f¨ ur jedes Aufgabenblatt 20 Punkte, die sich gleichm¨ aßig auf die Aufgaben verteilen.

Voraussetzungen f¨ ur die Zulassung zur Pr¨ ufung sind

• mehr als die H¨ alfte der ¨ Ubungen aus den ¨ Ubungs bl¨ attern gel¨ ost eingereicht zu haben, und dabei die H¨ alfte der m¨ oglichen Punkte zu erreichen,

• mindestens dreimal eine ¨ Ubung an der Tafel vor der ¨ Ubungsgruppe pr¨ asentiert zu haben.

Die Homepage der Veranstaltung, mit weiterer Information, finden Sie unter http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html

Fragen, Kommentare und Anregungen sind willkommen! Melden Sie sich einfach w¨ ahrend der Vorlesung oder kommen Sie zur Sprechstunde (dienstags 13:30-15:00 Uhr, B¨ uro 507). Wir k¨ onnen auch gerne einen anderen Termin in der Vorlesung oder per E-mail vereinbaren.

Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU M¨unster, Sommersemester 2011 ¨UBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE Blatt 1

Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU M¨ unster, Sommersemester 2011

UBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE ¨

Blatt 1

, 04.04.2011

Aufgabe 1.1. Sei X ein CW -Komplex und e eine Zelle von X. Ist der Abschluss ¯ e ⊂ X ein Unterkomplex?

Aufgabe 1.2. Sei angenommen dim(X) = n und e ist eine n-Zelle. Beweise, dass e offen in X ist.

Aufgabe 1.3. Sei n ≥ 1. Beweise, dass C P

die Struktur eines CW -Komplexes mit genau einer 2k-Zelle f¨ ur alle 0 ≤ k ≤ n besitzt.

Aufgabe 1.4. Seien R und R

mit der Euklidischen Topologie versehen. Wir definieren topo- logische R¨ aume A, B und C wie folgt :

(a) A ist die Vereinigung der Kreise mit Mittelpunkt (0, n) und Radius n im R

f¨ ur alle n ≥ 1, versehen mit der Teilraumtopologie ;

(b) B ist die Vereinigung der Kreise mit Mittelpunkt (0,

) und Radius

im R

f¨ ur alle n ≥ 1, versehen mit der Teilraumtopologie (die sog. hawaiischen Ohrringe) ;

(c) C ist der Quotientenraum R /∼, wobei x ∼ y genau dann, wenn x = y oder x, y ∈ Z . Auf welche diese Raume ist es m¨ oglich, eine CW-Komplex-Struktur zu definieren ?

Information zum ¨ Ubungsbetrieb auf der R¨ uckseite.

Information zum ¨ Ubungsbetrieb

Die ¨ Ubungen finden ab der ersten Semesterwoche statt. Wir raten Ihnen, die ¨ Ubungen immer zu besuchen, dort werden die ¨ Ubungsaufgaben besprochen und Fragen zur Vorlesung und zu den ¨ Ubungen beantwortet.

Es gibt f¨ ur jedes Aufgabenblatt 20 Punkte, die sich gleichm¨ aßig auf die Aufgaben verteilen.

Voraussetzungen f¨ ur die Zulassung zur Pr¨ ufung sind

• mehr als die H¨ alfte der ¨ Ubungen aus den ¨ Ubungs bl¨ attern gel¨ ost eingereicht zu haben, und dabei die H¨ alfte der m¨ oglichen Punkte zu erreichen,

• mindestens dreimal eine ¨ Ubung an der Tafel vor der ¨ Ubungsgruppe pr¨ asentiert zu haben.

Die Homepage der Veranstaltung, mit weiterer Information, finden Sie unter http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html

Fragen, Kommentare und Anregungen sind willkommen! Melden Sie sich einfach w¨ ahrend der Vorlesung oder kommen Sie zur Sprechstunde (dienstags 13:30-15:00 Uhr, B¨ uro 507). Wir k¨ onnen auch gerne einen anderen Termin in der Vorlesung oder per E-mail vereinbaren.

E-mail: ausoni@uni-muenster.de, f.hebestreit@uni-muenster.de

Wir w¨ unschen Ihnen weiterhin viel Erfolg im Studium !