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Submitted on 1 Jan 1996
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Études dynamiques des propriétés mécaniques et électriques des contacts entre solides
Guy Mayer, Gérard Hauchecorne
To cite this version:
Guy Mayer, Gérard Hauchecorne. Études dynamiques des propriétés mécaniques et électriques des contacts entre solides. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1996, 6 (8), pp.1005-1037.
�10.1051/jp3:1996168�. �jpa-00249504�
#tudes dynaIniques des propridtds Indcaniques et dlectriques des contacts entre solides
Guy Mayer (*) et G4rard Hauchecome
Groupe de Physique des Solides, Universitds Paris VI et VII, 2 place Jussieu,
75251 Paris Cedex 05, France
(Regu le 6 octobre 1995, rdvisd le 12 avril 1996, acceptd le 26 avril 1996)
PACS.68.35.Ja Surface and interface
PACS.73.40.Cg Contact resistance, contact potential
PACS.07.07.Dg Sensors (chemical, optical, electricals movements, gas, etc.); remote sensing
Rdsum4. Nous dtudions par des mdthodes dynamiques la nature des contacts entre deux
solides. Nous ddcrivons divers dispositifs permettant de provoquer et d'observer de petites os- cillations pAriodiques d'un objet appuyA contre une table autour de sa positions d'Aquilibre statique. Pour des amplitudes de mouvement relatif petites, de l'ordre de l'Angstr6m, les modes
propres d'oscillation sont harmoniques et leur frAquence donne la dArivAe de la force par rapport
au dAplacement. L'influence d'une force statique sur cette frAquence mutuelle donne la dArivAe seconde. Dans ces modes de mouvement relatif l'Anergie potentielle de dAformation est localisAe dans les trAs petits volumes proches des contacts ils ont un fort coefficient d'amortissement que
nous avons mesurd. Pour des amplitudes plus grandes, divers elfets non-lindaires se montrent
nous avons spdcialement dtudiA l'apparition de sous-harmoniques. Pour des contacts entre solides
conducteurs la mesure de la modulation d'impAdance Alectrique liAe h l'oscillation mAcanique est
une source supplAmentaire d'information. La thAorie de Hertz nous sert de guide. Les exposants
fractionnaires que
nous observons dans la relation force-distance sont proches de ceux de Hertz.
L'influence d'un champ magnAtique sur la frAquence mutuelle de deux solides de ferrite (Mn, Zn) s'est montrAe anormalement grande.
Abstract. Dynamical methods
are used to study contacts between solids. We describe
some devices for exciting and measuring periodical oscillations of a small object laying against a
table. For small amplitude It 10~~ cm) of relative motion, the normal modes of oscillation are harmonic and their frequencies give the derivative of the force ~ersus displacement. The effects of a static force on those mutual frequencies give the second derivatives. In these modes of
relative motion the strain potential energy is concentrated in the small volumes It 10~~~ cm~)
near the contacts. They show
a rather strong damping coefficient which we have measured. For
larger amplitudes of motion, various non-linear effects show up. We have studied with some care sub-harmonic generation. When both solids in contact are electrically conducting the impedance modulation induced by the mechanical oscillations has been measured and brings some more
information. Hertz theory has guided us. The fractional exponents we observe in the relations force mrsus displacement for various contacts are reasonably close to the Hertzian predictions.
The effect of a magnetic field on the mutual frequencies of two solids made of ferrite (Mn, Zn)
has been found too strong to be accounted for easily.
(*) Auteur auquel doit Atre adressAe la correspondance.
Q Les (ditions de Physique 1996
1006 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°8
Nous 4tudions ici [es forces et [es d4formations qui accompagnent la mise en contact de deux corps solides.
Si un objet est en 4quilibre sur une table, l'4nergie potentielle totale (gravitation plus dAfor-
mation) est minimale.
Nous provoquons et observons de petites excursions du systAme autour de cette position de minimum.
Une force de direction quelconque excitera un ou plusieurs des six modes normaux d'oscilla- tion correspondant aux six degr4s de libert4 de l'ob jet relativement h la table.
Ces oscillations ne sont h peu prAs harmoniques que pour des mouvements petits, de l'ordre de l'Angstr6m.
Pour [es 4tudier nous avons d4velopp4 divers dispositifs dont nous d4crirons quelques uns.
Le coefficient d'amortissement de ces oscillations mutuelles objet-table est de 2 ou 3 ordres de grandeur supArieur h ceux des modes propres internes d'un solide. Les raies de r4sonance
des mouvements mutuels sont donc petites et larges. C'est peut-Atre h cause de cela qu'elles
n'ont pas fait l'objet d'4tudes dAtaillAes et que le prAsent travail aurait une dose homAopathique d'originalit4.
Pour des amplitudes de mouvement plus grandes, [es oscillations ne sont plus harmoniques
et divers effets "non-lin4aires" se manifestent. Nous avons particuliArement 4tud14 le seuil d'ap- parition des sous-harmoniques.
Mesur4e dans le domaine harmonique, la fr4quence mutuelle de r4sonance donne directement la d4riv4e de la iorce par rapport au d4placement sans que l'on ait h mesurer ni l'une ni l'autre.
L'4volution de la fr4quence de r4sonance avec l'amplitude des oscillations donne l'information supp14mentaire d'une largeur caract4ristique. I plus grande amplitude encore la g40graphie des
contacts est modifi4e de faqon irrAversible et nous entrons dans le domaine de la friction.
Quand [es corps en contact sont assez conducteurs de l'4lectricitA nous mesurons [es modu- lations harmoniques ou non de r4sistance des contacts en oscillation.
Nous esp4rons obtenir par ces m4thodes dynamiques une description plus d4tail14e des effets de contact.
Nous donnons dans cet article [es premiers r4sultats obtenus.
La th40rie de Hertz nous a servi de guide et nous commencerons par en rappeler quelques consAquences.
1. Dynamique des vibrations d'un contact hertzien
Hertz a trait4 en termes d'41asticit4 lin4aire le problAme de la d4formation de deux ellipsoides press4s l'un sur l'autre par l'action d'une force f orthogonale au plan tangent commun (Fig. I).
Appelons ( l'amplitude de la tr~nslation parallAle h f qui rapproche [es parties non d4formAes des ellipsoides soumis h f, Hertz obtient 11,2j
1+~ f~/~, Ii)
relation fort peu linAaire.
Consid4r4e comme fonction de (, la force sera en (~/~ et l'4nergie potentielle de d4iormation V en (~/~ (Fig. 2).
En pr4sence d'une force statique fo compt4e positive, si elle tend h rapprocher [es objets, ( s'ajustera h la valeur to telle que
~~ ((o)
" fo.
of
Appelons b une variation positive ou n#gative de ( autour de (o, la iorce de rappel sera proportionnelle b
f(lo, b)
m~ 1(~~ llo + b)~/~ 12)
4r--- 'f~j~~~
Ri
+ ~
C~
Fig. 1. D6finition des grandeurs g60mdtriques utiles AB
= 2a, ( = RI + R2 GiC2.
[Ddfinition of useful geometrical quantities. AB
= 2a, ( = RI + R2 CiC2.]
Si b reste petite devant (o, la iorce de rappel vers (o sera
Dans cette pproximation harmonique, en pelant /t la masse rdduite
des deux objets et
la
l/3
o
La fr4quence UJM
dApend
de fo
arce que ~V/0(~
pour out en(~+Y si y #
Si g > 0, UJM croit avec fo.
Le raisonnement
proposdimplique que [es objets xAcutent leur mutuelle sans
utre
L
son, L plus grande imension des objets).
Cette notion de de ontact"
duite par Carson et [3j.
Dans leurs exp4riences mendes h 'Engineering Department de
Cambridge avec [esencoura-
gements des British Railways, la aire d'objets tilisde, une roue h jante
muni d'une couronne, guraient respectivement
le rail et la roue du agon.
La force statique fo
Atait de 'ordre de 100 g-poids, (o de l'ordre de 7 icrons et la masse
/t de 'ordre de 10 kg,
aisonnable avec la
th40rie de
Hertz.
Les auteurs ces oscillations de contact d'abord excit4es par un bruit "blanc"
de produire h la longue [es
indentations
pdriodiques constat4es sun des roues Diverses udes thAoriques [4-6] ont suivi xpAriences. L'id4e de fr4quence
mutuelle h alement intAress4 des
architectes
: il faut 4viter de onstruire en zone ismique des
b£timents dont la frAquence
1008 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°8
v(~/to)
4
Q
,
2 '~'T
,,'
/,' i
i
" i
p ---~-J ~
F(t/lo) fo
o 2 1/lo
f
0
b)
Fig. 2. #nergie potentielle et forces de rappel selon Hertz. a) Courbe ((/(o)~/~ de l'dnergie poten-
tielle dlastique de dAformation. La force statique appliquAe ddtermine to- L'excursion PS autour de to induit la variation d'dnergie dlastique SQ et la variation d'dnergie totale TQ. b) Force de rappel vers to en function de (/(o, h comparer h la droite relative h un oscillateur harmonique.
[Potential energy and restoring force according to Hertz. a) Function ((/(o)~/~ relative to deformation elastic potential energy. b) Restoring force towards (o as a function of (/(o to be compared to the
straight line of the harmonic oscillator.]
2. Circonstance exp4rimentales
2,I. QUELQUES ORDRES DE GRANDEUR. La masse rAduite
~1 des objets utilisAs est de l'ordre du gramme. Dans l'ignorance oh nous sommes le plus souvent des rayons de courbure des ellipsoides auxquels ressemblent peut-Atre nos surfaces aux points off elles se touchent,
nous utilisons [es iormules de Hertz simplifi4es pour traiter le cas de deux sphAres en pr4sence
d'une force f, le rayon a du cerde de contact est
~3 ~
~f ~i~~ ~~~ ~ ~2~~' ~~~
(~)
~ ~ ~ ~
E et
a dAsignant respectivement les modules de Young et de Poisson.
D4finissons une constante 41astique r4duite
I E~~ ~ E~~ ~~~
et un rayons r4duit Rr
/r Ii ~ /2' ~~~
°~ °~~~~~~
3f Rr ~~~
~ (7)
4 Er
La distance to dont la force f a rapprochA le centre des deux sphAres vaut
(~ =
~f
=
~f R-1/3 j~)
4 aEr 4Er
~~~
~
Ainsi
~2
~° Rr' ~~~
bien qu'un calcul 41dmentaire sun la figure suggAre une valeur deux iois plus iaible.
Ces expressions ne sont valables que si a < Rr. La validitd de ces expressions est aussi l14e h l'espoir que [es ddformations restent dlastiques et rAversibles.
La pression pm au centre du cerde de contact qui est dgale h ~ ~
selon Hertz ne doit donc 2 ~a
pas ddpasser la limite de fluage du matAriau le moins rAsistant.
2.2. UN EXEMPLE CONCRET. Dans une certaine exp4rience, un objet de masse 2,1 g repose
sur un plan de ferrite par trois pieds faits de l'extr4mitd d'aiguilles h coudre neuves. Leur observation au microscope suggAre une rayon de courbure de l'ordre de 40 /tm. Supposant la table plane, nous aurons Rr = 40 /tm. Les modules de Young de l'acier et de la ferrite dtant respectivement proches de 2 x 10~~ et 1,32 x 10~~ dynes cm~~, nous prenons E/~ ci
1,15 x 10~~~ cm~ dyn~~ Avec [es formules citAes plus haut nous calculons pour chaque pied
a ci 1,5 x 10~~ cm, (0 " 5,3 x 10~~
cm.
La pression moyenne sur chaque pied vaut donc
p =
~
~ 10~° dyn cm~~
=
10~ kg cm~~
~a
Ainsi mAme avec ce modeste dquipage de 2,1 g, on est voisin de la limite de fluage.
Le rayon a dtant en f~/~, la pression (
diminuera avec la force comme f~/~, c'est-h-dire
a assez lentement.
1010 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°8
Dans l'exp4rience cit4e, la force rapprochant l'objet d'une table horizontale r4sultait uni- quement de son poids Yng. II existe alors une relation simple entre la frAquence de r4sonance
mutuelle de contact UJM des vibrations verticales et le d4placement statique (o
~
~~°~ ~ ~o ~~°~
Avec [es chiffres calcu14s plus haut, on doit s'attendre h trouver une frAquence vM d'environ 2 600 Hz.
I des
poses successives de l'objet sur la table ont correspondu des vM mesur4es de l'ordre de 2 800 avec des (carts relatifs d'une pose h l'autre de l'ordre de 10 %.
Dons ces exp4riences nous v4rifions que l'objet oscille perpendiculairement au plan moyen de la table, mais la configuration "hertzienne" de la figure impliquant un plan tangent horizontal
en chaque point de contact n'est probablement pas r4alisAe.
Quel que soit le mode de d4tection des rAsonances des vibrations mutuelles de contact, on ne peut [es confondre avec des oscillations propres de la table ou de sa fixation pour plusieurs
raisons
a) elles sont spectralement plus larges,
b) leurs fr4quences de r4sonaiice sont plus basses que [es fr4quences propres des tables uti-
lisAes,
c) leurs r4sonances se dAplacent quand on modifie la force statique de contact,
d) l'Anergie potentielle de d4formation 4tant en (~/~ [es 4tranges effets relatifs aux "oscilla- teurs non-linAaires" se montrent avec violence dAs que les excursions /h( autour du point d'Aquilibre statique (o ne sont plus trAs petites devant (o.
2.3. PROBLIME Du FLUAGE. Le fluage limite nos excursions exp4rimentales du c6t4 des
grandes dAformations. Bien qu'on puisse l'Aviter en s'intAressant h des contacts plus14gers, nos exp4riences dans cette direction sont trop peu avanc4es pour que nous le passions sous silence.
2.4. CAS D'UN SEUL CONTACT. D'aprbs [es Aquation8 pr4cAdentes la pression pm au centre
du cerde de contact est
~~ /~~~~~ ~~)
~~~
Rapportons la limite de fluage pF au module de Young pF "'fEr oh ~f sons dimension est de l'ordre de 10~~.
On est tranquille si pm < pF, ce qui conduit h
f ~3
< -~f~R). (12)
Er 6
2.5. CAS DE n CONTACTS. Dons le cas oh la force totale f est 4galement distribu4e sur n
contacts ayant Rr pour rayons de courbure r4duits, on Avite le fluage si
f ~3
£ ~ 6 '~~~~~' ~~~~
Le produit nR) qui conditionne le fluage est distinct du produit n~Rr qui intervient, nous le
verrons plus loin, h la fois dans la fr4quence UJM et dans la r4sistance 41ectrique entre table et
objet.
Quand [es rayons de courbure impliqu4s sont mal connus (cas g4n4ral, hAlas I), it peut Atre utile d'4crire la condition de non-fluage en fonction de UJM que l'on peut mesurer (ce n'est pas trAs logique, car s'il y a fluage la signification de UJM est moins daire).
I partir de la relation
~~° ~r
~~~~
oh Rr ne figure pas, dans le cas off la force statique est le poids Yng de l'ob jet, on arrive dans le cas de n contacts identiques h la condition
~~ ~i
< 'f. (Is)
~ I~~M
Avec des masses de l'ordre du gramme et des UJM exp4rimentaux de l'ordre de 2 x 104 rad s~~,
le terme de gauche est de l'ordre de n x 10~~
2.6. MESURES EN PRLSENCE DE FLUAGE. M§me s'il y a eu fluage, on mesure toujours
une fr4quence de r4sonance UJM. Nous proposons un argument hasardeux pour lui donner une
signification.
Si le fluage est intervenu, le rayon du contact ne sera plus celui de Hertz mais un rayon a' tel que
~'~
~
$r ~~~~
Dans nos circonstances exp4rimentales, la force statique aura eu des minutes ou des heures pour provoquer le fluage.
Par contre, les petites vibrations de p4riodes m~ 10~~ s resteront dans le domaine d'4lasticitA de la g40graphie d'aprAs-fluage. Essayons d'utiliser Hertz h nouveau, mais avec un nouveau
rayon de courbure R[ plus grand qui est l'inconnu du problAme.
D4terminons R[ par la relation hertzienne
a'~
m~ (R(. (17)
Les deux 4quations pr4cAdentes conduisent h
~n 1/2
RI " ~j) 'f~~/~> l18)
Ce qui nous mbne h
/2
( = = ~i£l'. (19)
R[
Le carrA de la fr4quence mutuelle toujours proportionnel h (~/~ sera (dans le cas off le fluage
sous l'effet de F aura eu le temps d'atteindre sa limite) proportionnel h (a')~/~ donc h F~R et
non plus h F~/~
comme en l'absence de fluage.
2.7. M#THODE D'EXCITATION DES VIBRATIONS. Nous avons souvent trouv4 commode de
disposer nos objets sun une table horizontale ou bien le long d'une paroi verticale.
Si l'objet est ferro-magn4tique ou muni d'un 414ment ferro-magnAtique, ses mouvements oscillants peuvent Atre facilement excit4s h l'aide d'Alectro-aimants parcourus par des courants
altematifs. Mais l'4talonnage en grandeur et en direction des forces oscillantes ainsi appliqu4es
n'est pas toujours facile.
1012 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°8
G x
x
Fig. 3. DAfinitions pour l'analyse d'un mouvement vertical. X altitude du centre de gravitA de
l'objet, x altitude du plan moyen de la table, ( mouvement relatif ( = A IX x).
[Coordinates for vertical motion analysis. X altitude of the center of mass G, ~ altitude of the table upper plane (averaged) ( relative motion fit) = A X(t) + x(t).]
Une m4thode plus gAnArale d'excitation consiste h faire vibrer la table. La force sollicitant le mouvement relatif de la table et de l'objet e8t une force d'acc414ration.
La figure 3 nou8 aide h analy8er la situation dan8 le cas d'un mouvement relatif normal au
plan de la table excit4 par uii mouvement 4galement normal de la table.
La masse m de l'ob jet est petite devant celle de la table. Soit x l'abscisse du plan de la table
et X celle du centre de gravit4 de l'ob jet. X ~ varie comme la distance ( dAfinie par la th40rie de Hertz.
X=~+A-(, (20)
A est la distance X x quand aucune force n'est pr4sente pour rapprocher l'objet de la table.
Ainsi
X =1- (. (21)
Par ailleurs,
mi
= fit), 122)
la iorce f(() induant la iorce de d4iormation du contact f
= cY(~/~ selon Hertz) et [es iorces extArieure8.
Si, par exemple, la iorce ext4rieure est le poids, le 8en8 po8itii de X et ~ 4tant ver8 le haut :
mX = -my + cY(~/~ = ml m(. (23)
En appelant toujours (o la valeur de ( h l'4quilibre statique
m( + cY((~/~ ((~~) = ml (24)
avec la condition de non-dAcollage : ( > 0.
L'acc616ration de la table induit une iorce ml qui sollicite l'o8cillation mutuelle.
cm.10~
5
o
4
»
3
2
1
Fig. 4. Magndto-dilatation d'une ferrite (Mn, Zn). Abscisses : carrd du courant dans la bobine magndtisante I ampAre crAe
un champ de 50 Gauss dans la bobine vide. OrdonnAes allongements d'un barreau de 4 cm.
[Magneto-dilatation of a ferrite rod. Ferrite (Mn, Zn) "77" from Fair-Rite Wallkill N-Y- Abscissas:
square of current in the magnetising coil; I Ampere induces a 50 Gauss field in the coil if empty.
Ordinates: length increases of a 4 cm long rod-j
Les tables oscillantes de nos expAriences sont des cylindres de ferrite, de diamAtre de l'ordre du cm et de longueur allant de 4 h 10 cm.
Si on est intAre886 par le contact objet-verre par exemple, on colle un disque de verre sur le
plan de la table.
C'est par l'effet de magn4to-striction que nous faisons vibrer la table h l'aide d'un champ magnAtique oscillant. Les coefficients de magn4to-striction des ferrites utilisAes ont une valeur
absolue nettement inf4rieure h celle du nickel par exemple mais trAs suffisante pour nos besoins.
La figure 4 donne l'allongement d'un barreau de ferrite de 4 cm sous l'effet d'un courant continu I dans la bobine qui l'entoure.
Dans le domaine 0,2-0,7 a l'allongement est h peu prAs proportionnel h i~. Aux faibles inten- sit4s se manifestent des effets de r4manence magn4tique notre courbe s'arrAte aux intensit4s off intervient la saturation.
Elle est relative h une ferrite de la grande famille "ManganAse- Zinc", la "ferrite 77" fabriqu4e
par la firme Fairrite (calembour ?) situ4e dans I'(tat de New-York.
Nous lui sommes reconnaissants de nous avoir donnA un solide stock de ce mat4riau trAs
utile, car d'une part il se polit bien et d'autre part sa rAsistivitA de l'ordre de 20 Q cm le rend apte h la d4tection microphonique (cf. plus loin).
