TD 5 : Graphes
12 Octobre 2017
1 Algorithmes de parcours et applications
1.1 Algorithmes de parcours
Question 1 – Exécuter les parcours en profondeur récursifs et itératifs vus en cours sur le graphe ci-dessous. Veillez à respecter les conventions vues en cours et notamment à bien représenter respectivement l’arbre de parcours et la pile.
1 2
7 3
6 5
4 8
0
1.2 Applications
Question 2 – Proposer des définitions formelles pour les notions suivantes :
— chemin, chemin simple, chemin de longueur k, cycle, acyclique.
— connexe, fortement connexe, composante connexe, composante fortement connexe.
Question 3 – Écrire un algorithme pour compter les composantes connexes d’un graphe non orienté.
Question 4 – Écrire un algorithme qui après un pré-traitement linéaire, permet de savoir en temps constant si deux sommets font partie de la même composante connexe d’un graphe non orienté.
L3 SIF ALGO1 2017–2018
2 Les arbres
[DEF-COURS]Un arbre est un graphe non orienté, connexe et acyclique.
Question 5 – SoitG= (S, A)un graphe non orienté. Montrer que les affirmations suivantes sont équivalentes.
1) Gest un arbre.
2) Deux sommets quelconques de Gsont reliés par une chaîne élémentaire unique.
3) Gest connexe mais, si l’on enlève une arête quelconque à A, le graphe résultant n’est plus connexe.
4) Gest connexe et |A|=|S| −1.
5) Gest acyclique et|A|=|S| −1.
6) G est acyclique, mais si une arête quelconque est ajoutée à A, le graphe résultant contient un cycle.
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