M6 - Dynamique newtonienne
Aux chapitres précédents de mécanique nous avons étudié le mouvement du système sous une approche énergétique et traduit ses interactions avec l’extérieur par des puissances ou des énergies potentielles. Une autre approche, dite dynamique, est possible et s’appuie sur le concept deforces, tout aussi abstrait que celui d’énergie.
1 Forces usuelles
1.1 Le poids P ~
C’est la force gravitationnelle exercée par la Terre sur les objets proche sa surface (l’expression devient plus compliquée pour un système évoluant à très haute altitude). Elle est conservative, est dirigée vers le centre de la Terre et a pour norme :
P=mg avec g= accélération de la pesanteur≈9,8 m/s2 et m= masse du système
1.2 La réaction normale d’un support N ~
C’est la force qui s’oppose à la pénétration d’un objet par un autre. Si vous ne vous enfoncez pas dans le sol, c’est que celui-ci exerce sur vous une force qui vous repousse (et compense votre poids en l’occurrence mais ce n’est pas toujours le cas !). Cette force est toujours une inconnue , il n’existe pas de formule en donnant la valeur, seule l’application d’un théorème permet d’y accéder indirectement.
Propriété principale :N~ est dirigée du support vers le système qui la subit et est orthogonale au support.
1.3 La tension d’un fil T ~
C’est la force exercée par un fil sur un objet qui y est accrochée. Cette force s’oppose à la rupture du fil.
Cette force est toujours une inconnue , il n’existe pas de formule en donnant la valeur, seule l’application d’un théorème permet d’y accéder indirectement.
Propriété principale : la tension est tangentielle/colinéaire au fil.
1.4 La force de rappel d’un ressort
C’est une force conservative dont vous connaissez l’énergie potentielle. Elle ne possède pas d’expression systématique, il faut refaire à chaque fois le raisonnement suivant sous peine de se tromper.
On part de l’expression générale :
F~ =±k(l−lo).~u
Puis on raisonne sur un cas particulier (par exemple le ressort est étiré) en observant le schéma : 1. on remplace~upar le vecteur de base colinéaire au ressort.
2. on détermine + ou - en réfléchissant SIMULTANEMENT au sens dans lequel s’exerce F~ et au signe de la parenthèse.
3. on exprimelà l’aide de la variable repérant la position de la masse.
Application...
1.5 La force de frottement
Rien à savoir sur son expression, fournie en exercice.
Retenir qu’elle est colinéaire et opposée à~v.
2 Deuxième loi de Newton : principe fondamental de la dynamique
2.1 Enoncé
Dans un référentiel galiléen (...) et pour un système fermé, l’équation du mouvement est donnée par le
"PFD" :
m~a= ΣF~ C’est un équivalent du TPM, en plus puissant.
2.2 L’accélération ~a
De même que la vitesse décrit les variations temporelles de la position du système, l’accélération décrit les variations temporelles de la vitesse du système. D’après son constructeur, la Ferrari458 Italia passe de 0 à 100km/h en 3.3 s, son accélération moyenne est donc :
amoy= ∆v
∆t = 8.4m/s2
Comme pour la vitesse, la valeur moyenne est rapidement insuffisante pour le physicien, et nous utiliserons en fait la relation qui donne l’accélération instantanée d’un système :
a=dv
dt (>0 si v augmente et <0 si v diminue)
Enfin, la vitesse étant une grandeur fondamentalement vectorielle, sa variation temporelle l’est logiquement aussi, d’où la définition rigoureuse suivante :
~a= d~v
dt et en pratique pour un mouvement rectiligne (repéré par y par exemple) : ~a=d2y dt2~ey
2.3 Aparté historique
Jusqu’à la renaissance, la production scientifique est figée dans les dogmes du système de pensée aristoté- licien. D’après celui-ci, fondé sur l’observation selon laquelle il faut pousser constamment un objet au sol pour le maintenir à vitesse constante, les forces créent le mouvement. De façon simplifiée :
ΣF~ ∝~v
Cette intuition est mauvaise car la force de frottement n’est pas prise en compte. Or c’est précisément quand la force exercée par l’opérateur compense la force de frottement, c’est-à-dire quand ΣF~ =~0, que la vitesse de l’objet devient constante et donc son accélération nulle. On a donc~a=~0 quand ΣF~ =~0, d’où une loi du type :
ΣF~ ∝~a
C’est Galilée qui comprend cette idée le premier et Newton qui la mettra en mathématique.
2.4 En pratique
Prenons l’exemple d’une caisse tirée par une forceFet astreinte à se déplacer sur un sol plat sans frottement :
La première chose à faire pour exploiter le PFD, est d’expliciter l’accélération en fonction de la variable de position du système.
Conformément au programme, les systèmes que nous étudierons seront tous en mouvement rectiligne, ce qui signifie qu’en choisissant un vecteur de base colinéaire à la trajectoire, une seule variable spatiale suffit pour décrire la position du système. Le mouvement ne pouvant se faire que selon~ex, on aura~v= dxdte~x(et ce, que le système aille à droite ou à gauche...) et donc :
~a= d~v dt = d2x
dt2~ex= ¨x~ex
Ensuite,décomposer les forces dans la base et écrire le PFD avec des vecteurs colonnes : m~a=m
x¨ 0
=
Fcosα Fsinα
+ 0
N
+ 0
−mg
Enfin,projeter l’équation vectorielle selon la bonne direction. Par exemple, si la question est "déterminer x(t)", c’est clairement selone~xqu’il faut projeter, et cela mène à :
m¨x=Fcosα ⇔ x¨= Fcosα
m ⇔ x˙ = Fcosα
m .t+A ⇔ x= Fcosα m .t2
2 +At+B
Si la question est "exprimer la réaction normale", alors c’est selone~z qu’on récupèrera de l’information surN : 0 =Fsinα+N−mg ⇔ N =mg−Fsinα
2.5 Exemple à deux dimensions (hors programme)
La complication vient du fait que la position du système est paramétré par deux variables au lieu d’une seule, de sorte que l’accélération ait deux composantes. Mais en fait, tout se passe comme si le problème à 2D pouvait être décomposé par projection suivant chacun des axes, en deux problèmes à 1D. L’exemple proposé est celui d’une balle qu’on lance sur une table horizontale. On suppose les frottements négligeable.
Les points noirs représentent les positions successives de la balle, à intervalle de temps constant ∆t.
1. Que peut-on déduire des positions sur les composantes de la vitesse et de l’accélération ? 2. Démontrer les résultats précédents à l’aide du PFD.
Rq : dans des situations plus compliquées, les deux projections ne sont pas indépendantes...
3 La 3ème loi de Newton : le principe des actions réciproques
La force exercée par un système A sur un système B est l’opposée de celle exercée par le système B sur le système A :
F~A→B =−F~B→A
4 De l’énergie aux forces
4.1 Déplacement élémentaire
Nous avons vu au chapitre précédent qu’en base cartésienne la position d’un point était décrite par le vecteurOM~ =x~ex+y~ey+z~ez.
Pour exprimer une petite variation de la position deM, c’est-à-dire undéplacement élémentaire, on utilise l’opérateur différentiel, noté d, qui fonctionne exactement comme une dérivée (c’est une sorte de dérivée par rapport à rien) :
d ~OM =d(x~ex+y~ey+z~ez) =dx.~ex+dy.~ey+dz.~ez
Les 3 vecteurs de base étant constants ils ne sont pas impactés par l’application ded. Autre exemple de passage à la différentielle d’une fonctionf :
f = 3x2+ 2y ⇒ df= 6xdx+ 2dy
Si besoin, remplacezdpar dtd au brouillon puis une fois exécutée la dérivation, enlevez ledt du dénominateur.
En conclusion, le déplacement élémentaire dans l’espace cartésien, notédl~ oud ~OM s’exprime comme : dl~ =dx.~ex+dy.~ey+dz.~ez
Savoir simplifier cette expression si le pointM n’effectue son déplacement que selon une seule direction. Si le mouvement n’a lieu que suivant~ez par exemple, dxet dysont nuls etdl~ =dz.~ez.
4.2 Travail d’une force
Le travailW d’une force est l’énergie que celle-ci fournit au système sur un déplacement/chemin. Mathéma- tiquement, le travail élémentaire reçu deF~ sur un déplacement élémentairedl~ est :
δW =F . ~~ dl [W] =J
Le symboleδsignifie "petit...". Le symboledsignifie "petite variation de..." (c’est-à-dire petit ∆...)
On peut sentir la pertinence du produit scalaire dans cette formule sur l’exemple d’un pavé tracté sur une route plane.W (c’est-à-dire l’énergie reçue par le système de la part deF~) est d’autant plus grand que : 1)F est grand, 2) dl est grand et 3) que l’angle entre F~ et dl~ est proche de 0 (vous ne feriez pas avancer le pavé si F pointe vers le ciel). De même, la force de frottement du sol f~, qui s’exerce dans la direction opposée au mouvement, aura un travail négatif (l’angleπentref~etdl~ rend négatif le produit scalaire).
Pour évaluer le travail d’une force sur un déplacement "long" (non infinitésimal), par exemple entre des pointsAet B, il faut "sommer" (c’est-à-dire intégrer) les travaux élémentaires :
WAB = Z B
A
F . ~~ dl
Et enfin siF~ =cst, on peut la sortir de l’intégrale d’où :~ W =F .~ −−→ AB
Application : déterminer le travail fourni par les trois forces, de norme et direction constantes, au système sur le chemin allant dex= 0 àx=D.
4.3 Déduire une force de son énergie potentielle
Les forces conservatives ont été décrites jusqu’à maintenant à travers leur énergie potentielle. Le lien mathématique permettant de déduire la force de son énergie potentielle est le suivant :
F~ =−(∂Ep
∂x u~x+∂Ep
∂y u~y+∂Ep
∂z u~z) =−grad(E~ p)
Les dérivées "arrondies" qui interviennent sont appelésdérivées partielles, et ne sont ainsi que pour préciser que la dérivée par rapport à une variable (xpar exemple) doit se faire en maintenant les autres (y etz) fixées.
Rien d’autre ne change dans la façon de les éxécuter.
Traitons le cas du poids, en travaillant avec un axe z ascendant ce qui implique Epp = +mgz+cst.
Découvrons l’expression deP~ :
P~ =−
∂Epp
∂E∂xpp
∂y
∂Epp
∂z
=
0 0
−mg
Vous retrouvez l’expression bien connue du poids.
Application : déterminer l’expression de la force dont l’énergie potentielle associée estEp=Kxy2, avecK une constante.
4.4 Puissance d’une force
Nous avons déjà expliqué la distinction entre puissance et énergie/travail. Pour mémoire :
— la puissance est une énergie par unité de temps. Elle s’exprime enW =J/s. On peut donc la voir comme la cadence ou le débit auquel l’énergie est transférée par la force. C’est une grandeur instantanée, qui a du sens à un instantt.
— Au contraire, le travail W est une grandeur qui n’a de sens que sur une durée ∆t, et représente en l’occurence l’énergie transférée par la force pendant cette durée ∆t. Mathématiquement :
W = Z
∆t
Pdt=P.∆t
| {z }
si P=cst
⇔ P =dW dt
Or W =R F . ~~ dlet assez logiquement dl~ =~v.dt. Tout ceci mène à la définition de la puissance développée par la forceF~ :
P =F .~~ v
Application : exprimer la puissance d’une force de frottement F~ =−λ~v avec λ= 200kg/s. En déduire le travail qu’elle fournit pendant 10min à un avion volant àv=cst= 700 km/h.
4.5 Démonstration du théorème de la puissance mécanique à partir du PFD
1. Rappeler l’énoncé du PFD, en faisant intervenir~v.
2. Scalériser cette équation par~vet faites apparaître l’énergie cinétique du système. Rappel : (f2)0= 2f f0. 3. On donne le résultat mathématique suivant, valable pour toute fonctionf :
grad(f~ ). ~dl=df Retrouver le TPM.
