Correction
A Considérations premières
1. Vitesse et nombre de Mach moyens ? On dispose du débit volumique annuel
Pour une section de gazoduc A = πD2/4= 1
La constante du méthane en tant que gaz parfait est Cette vitesse correspond, à la température T
2. On introduit un thermocouple dans la canalisation. Quelle valeur rel
L'arrêt isentropique sur le nez de la sonde indique que le thermocouple mesure la temp
3. Comment évolue la température totale Sans échange de chaleur ni de travail utile (les le gaz est considéré comme parfait, la temp tout au long du gazoduc. Le débit volumique de r grandeur de la vitesse est susceptible de changer avec 4. Montrer que la pression totale diminue le long du gazoduc.
∆ S Cp
-
L'évolution étant adiabatique et sans travail utile, l'enthalpie totale (ou la temp et le premier terme dans (2) s'annule.- L'évolution étant adiabatique, l'entropie du montant des irréversibilités soit :
∆ S
Dans cette situation réelle on voit donc que la pression totale diminue. Cette chute couramment une perte de charge.
B Débit approché à faible nombre de Mach
1. Montrer qu'à faible nombre de Mach, on peut approcher la pression totale par
Il faut pratiquer un d
On rappelle que si 1
Ici on trouve :
Ainsi 1 est une approximation de 2
Correction à l'usage exclusif des intervenants
1. Vitesse et nombre de Mach moyens ? Régime d'écoulement ?
qu'il faut convertir en unités SI : 365 ∗ 24 ∗ 3600 983 #$. &
= 1,58 m2, la vitesse moyenne est V = 621 m/s thane en tant que gaz parfait est R = R/M = 519,7 J/kg.K.
rature Ts = 283 K, à un nombre de Mach moyen de : M V
)γRTs 1,41
On introduit un thermocouple dans la canalisation. Quelle valeur relève-t-on ?
t isentropique sur le nez de la sonde indique que le thermocouple mesure la tempé T=Ts 1+γ-1
2 M2 = 371 K > Ts rature totale et le débit le long du gazoduc ?
change de chaleur ni de travail utile (les parois de la canalisation sont fixes), l'enthalpie totale comme parfait, la température totale se conserve également. Le d
bit volumique de référence, utilisé en première question pour de changer avec les variations de masse volumique.
diminue le long du gazoduc.
p ln
11234 R ln
5523[J/kg.K] (2)
tant adiabatique et sans travail utile, l'enthalpie totale (ou la temp tant adiabatique, l'entropie échangée est nulle. L'entropie augmente en
4R ln
5523>0 [J/kg.K] (3)
elle on voit donc que la pression totale diminue. Cette chute de pression
faible nombre de Mach
faible nombre de Mach, on peut approcher la pression totale par
Il faut pratiquer un développement limité de Pt/P à faible nombre de Mach On rappelle que si ε<<1 alors :
1 6 1 4 6 6 7 $
8 1 9 : 7 ;
est une approximation de P à l'ordre 2 en nombre de Mach et, 2 <
= 2 <
>? 2 <
@
l'usage exclusif des intervenants
un nombre de Mach moyen de :
érature totale :
xes), l'enthalpie totale se conserve et si Le débit massique se conserve re question pour évaluer l'ordre de les variations de masse volumique.
(2)
tant adiabatique et sans travail utile, l'enthalpie totale (ou la température totale)se conserve e est nulle. L'entropie augmente en conséquence directe
de pression totale s'appelle
@<
faible nombre de Mach
1 2 @<
Quelle est l'erreur relative 4 A / pour Mc = 0,31 ?
L'erreur relative est simplement : & C 9 :
Au nombre de Mach dans le collecteur cette erreur est donc de 1,51.10-3. Cette erreur est généralement considérée suffisamment faible pour valider l'approximation ci-dessus. Or cette forme pour la pression totale est celle manipulée par le théorème de Bernoulli en écoulement incompressible. Ainsi le nombre de Mach de 0,3 est généralement admis comme limite conventionnelle entre régime d'écoulement incompressible et compressible.
2. Montrer qu'à faible nombre de Mach, le débit massique peut s'écrire :
# DE F G4 F
?F
Il faut d'abord analyser le texte pour reconnaitre dans la pression et la température du réservoir les conditions totales mesurées immédiatement à l'amont du collecteur. Il faut aussi commenter qu'une prise de pression pariétale mesure la pression statique dans la section. En effet, en l'absence d'arrêt isentropique, la pression s'imprime
radialement sans changement à travers la couche limite de paroi. On travaille ensuite sur la densité et la vitesse pour faire apparaître les pressions et la température en jeu dans l'expression du débit massique :
@F H.IJJ
<F F) >?F ⟹ # @F<FLF MHLFM F N& J IJ
O P @F<F => F ≈ F N&J J soit donc D LFMH
3. Quel est l'erreur relative # 4 #A /# sur le débit si l'on approxime la relation précédente par :
#A DE F G4 F
?G
La seule différence entre les deux expressions est la nature de la température qui se trouve au dénominateur. La température statique Tc est remplacée par la température totale T = Tr, mesurée dans le réservoir. Ainsi,
# 4 #A
# M 1?F4 M 1?G
M 1?F
1 4 E?F
?G
Or Tr est la température totale soit ?G ?P R1 4 1 FS.
Donc en retenant le premier terme du développement limité à faible nombre de Mach on trouve :
# 4 #A
# 4 1
4 F Pour Mc = 0,31 l'erreur relative est donc de 7,45.10-3 inférieure au pourcent.
Conclusion sur B : à faible nombre de Mach la connaissance des conditions totales (pression et température) et de la pression statique locale (accessible par mesure à la paroi), suffit à estimer le débit massique avec un bon degré de précision. Attention, la pression totale est mesurée dans le réservoir juste à l'amont du collecteur et on néglige les pertes de charge entre le point de mesure de la totale et le point de mesure de la statique.
