cours 15
3.1 CROISSANCE
D’UNE FONCTION
Aujourd’hui, nous allons voir
✓
Croissance et décroissance✓
Maximum et minimum relatifÉtant donné le graphique d’une fonction, il est assez simple de dire si elle croit ou décroit.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Définition
Mais comment faire, si l’on ne voit pas la fonction?
Il est souvent pratique, pour formaliser les choses en mathématiques, de bien les définir.
Une fonction est croissante sur un intervalle , si
Une fonction est décroissante sur un intervalle , si
Hum... c’est clair ...
...mais pas trop facile à utiliser!
Comment peut-on être sûr pour chaque paire de points dans l’intervalle?
Regardons les taux de variation moyens d’une fonction dans un intervalle ou elle est croissante.
Pour une fonction croissante
Théorème
Si
Soit une fonction dérivable sur un intervalle
alors est croissante sur
alors est décroissante sur Si
Pour déterminer les intervalles où une fonction est
croissante et où elle est décroissante, il suffit de déterminer les intervalles où sa dérivée est positive et où elle est négative.
Comment une fonction peut passer de positive à négative, ou vice versa?
En passant par 0.
Ou bien, en passant par une discontinuité.
Faites les exercices suivants
Section 3.1. # 1 à 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?
Définition
On dit qu’une fonction a un maximum relatif ens’il existe un voisinage ouvert
tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle
On définit similairement un minimum relatif.
Remarque:
On parle plutôt de maximum absolu ou minimum absolu si l’on peut prendre comme intervalle.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Maximums relatifs
Minimums relatifs Qu’a de spécial la dérivée en un extrémum relatif ?
Elle est nulle!
Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Non!
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Définition
Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas
sont des bons endroits à examiner.
ou
Les points critiques d’une fonction sont les valeurs de x tel que
Exemple
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionDans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.
Ensuite, on fait un tableau de variation
-3 2
0 - 0 +
+
max min
Les points critiques sont et
-10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5
-50 50
-3 2
0 - 0 +
+
max min
Exemple
Trouver les intervalles de croissance, de décroissance et les extrémums de la fonctionOn a un point critique lorsque
ou
Les points critiques sont et
-7 -4
0 - 0
+
max min
-1
+ -
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15
-15 -10 -5
5
-7 -4
0 - 0
+
max min
-1
+ -
Faites les exercices suivants
Section 3.1. # 5
Aujourd’hui, nous avons vu
✓
Croissance et décroissance✓
Maximum et minimum relatif-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
