II) Encadrement d’une aire pour une fonction positive croissante

TS 1/ 3 Intégration

INTÉGRATION : sommes de Riemann

I) Préliminaire : suites adjacentes

Définition :

On dit que deux suites(uⁿ)et(vⁿ)sontadjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante, et si lim

n→+∞(uⁿ−vn) = 0.

Théorème :

Si deux suites(un)et(vn)sontadjacentes, (un)étant la suite croissante et(vn)la suite décroissante, alors : 1. Pour toutn∈N,uⁿ≤vⁿ

2. Les deux suites(uⁿ)et (vⁿ)convergent, et elles ont lamême limiteλ.

3. Pour toutn∈N,un≤λ≤vn.

| | | | | | | |

u0 u1 u2 u^{n |}vⁿ v2 v1 v0

λ

vⁿ−uⁿ Remarque :

La dernière assertion du théorème précédent nous permet d’obtenir des encadrements de la limiteλde plus en plus précis lorsquenaugmente : leur amplitudevn−un tend vers0en décroissant lorsquentend vers+∞.

II) Encadrement d’une aire pour une fonction positive croissante

Théorème :Soitf une fonctioncontinue, positiveet croissantesur un intervalle[a;b]

(aveca≤b) etC sa courbe représentative dans le repère(O;~ı, ~).

L’aire sous la courbe C sur l’intervalle [a;b] est égale à la limite commune des deux suites(un)et (vn)définies par :

un =b−a n

n−1

X

k=0

f

a+kb−a n

et vn= b−a n

n

X

k=1

f

a+kb−a n

oùn∈N^∗

La signification géométrique de ce théorème est la suivante :

pour tout entiernnon nul, on divise l’intervalle[a;b]ennintervalles de même longueur b−a

n , et on considère les rectangles situés en dessous et au dessus de la courbe ; leur somme formeuⁿ, respectivementvⁿ.

Parce quef est croissante,

- le termeun correspond à l’aire des rectangles situés sous la courbe(en bleu).

- le termevn correspond à l’aire des rectangles situés au dessus de la courbe(en rouge).

Pour toutn, on auⁿ≤ Z ^b

a

f(x)dx≤vⁿ.

Lorsquentend vers+∞, l’écart entre les aires des deux séries de rectangles tend vers0. Les suites(uⁿ)et(vⁿ) tendent alors vers l’aire sous la courbeC. On les appelle lessommes de Riemannassociées à la fonctionf. De façon générale, les suites(uⁿ)et (vⁿ)ne sont pas adjacentes.

2 morceaux 3morceaux 4morceaux

TS 2/ 3 Intégration

Démonstration :

•Montrons que lim

n→+∞vn−un= 0; et que pour toutn∈Non aun≤vn.

D’après la représentation graphique, on peut affirmer quevn−un = (f(b)−f(a))×b−a n :

Les aires jaunes correspondant aux différences entre les aires de deux rectangles successifs se cumulent pour ne former qu’un seul rectangle de largeur b−a

n et de hauteurf(b)−f(a); d’où le résultat.

4morceaux

=⇒

différencescumulées: vn−un=(f(b)−f(a))×b−a n

Ainsi,vⁿ−uⁿ= (f(b)−f(a))×b−a

n . Et on sait que lim

n→+∞

1

n = 0. Donc par produit, lim

n→+∞(f(b)−f(a))× b−a

n = 0; c’est à dire lim

n→+∞vn−un= 0.

Puisquef est croissante, on a f(a)≤f(b); doncf(b)−f(a)≥0.

Et puisquevn−un= (f(b)−f(a))×b−a

n , on en déduit que vn−un≥0. Et doncvn ≥un.

•Les suites obtenues par découpage en deux de chaque intervalle puis de chaque sous-intervalle (u2ⁿ)n≥1 et(v2ⁿ)n≥1sont adjacentes :u2≤u4≤u2ⁿ. . .≤v2ⁿ≤v4≤v2. Et lim

n→+∞v2ⁿ−u2ⁿ= 0.

Deux termes successifs correspondant à la suite(u2ⁿ)ⁿ≥1 sont tels que u2ⁿ ≤u2ⁿ⁺¹ car chacun des intervalles

a+kb−a

2ⁿ ;a+ (k+ 1)b−a 2ⁿ

correspondant à l’un des découpages du terme u2ⁿ se trouve découpé en deux dans le découpage du termeu2ⁿ⁺¹; comme sur le dessin suivant :

2morceaux 4 morceaux u4≥u2

Doncu2ⁿ⁺¹≥u2ⁿ; donc la suite(u2ⁿ)ⁿ≥1 est croissante.

De même, deux termes successifs de la suite (v2ⁿ)n≥1 sont tels quev2ⁿ ≤v2ⁿ⁺¹

2morceaux 4 morceaux v4≤v2

Doncv2ⁿ≥v2ⁿ⁺¹; donc la suite(v2ⁿ)ⁿ≥1 est décroissante.

TS 3/ 3 Intégration

Puisqu’on a prouvé que lim

n→+∞vn−un= 0, on a en particulier lim

n→+∞v2ⁿ−u2ⁿ= 0.

Les suites(u2ⁿ)ⁿ≥1 et (v2ⁿ)ⁿ≥1 sont donc adjacentes.

D’après le théorème sur les suites adjacentes, ces suites convergent toutes les deux. Et elles convergent vers la même limite I.

I représente l’aire "sous la courbe".

•Montrons que lim

n→+∞v2ⁿ= lim

n→+∞u2ⁿ=I :

Pour toutn∈Non au2ⁿ ≤I≤v2ⁿ carI est l’aire sous la courbe.

Donc :

0≤I−u2ⁿ≤v2ⁿ−u2ⁿ. Or lim

n→+∞vⁿ−uⁿ= 0donc lim

n→+∞v2ⁿ−u2ⁿ= 0 Donc d’après le théorème de gendarmes, lim

n→+∞I−u2ⁿ = 0. C’est donc que lim

n→+∞u2ⁿ=I.

Et de même, 0 ≤ v2ⁿ −I ≤ v2ⁿ−u2ⁿ. Or lim

n→+∞v2ⁿ−u2ⁿ = 0. Donc d’après le théorème de gendarmes,

n→+∞lim v2ⁿ−I= 0. C’est donc que lim

n→+∞v2ⁿ=I.

III) Prolongements

• Les suites(uⁿ)et (vⁿ)ne sont pas forcément adjacentes : v4≤v2 mais on ne peut pas à priori comparer v3et v2 car les subdivisions n’ont pas de points communs.

Pour démontrer que la suite (uⁿ)converge vers I il faut plus de théorie mathématique et c’est hors de portée de la classe de terminale.

• Si f est continue, positive et décroissantesur l’intervalle [a; b], on peut construire les deux suites de la même façon, mais c’est alorsvn qui correspond à l’aire des rectangles sous la courbe etun qui correspond à l’aire des rectangles situés au dessus de la courbe.

• La propriété se généralise sif est seulement continue (c’est à dire pas forcément monotone) sur l’intervalle [a;b]: les suites (uⁿ)et (vⁿ)convergent vers la même limite, qui est l’aire sous la courbe def.

La démonstration générale est plus compliquée car les subdivisions des découpages en rectangles ne coïn- cident pas forcément avec les points oùf change de variations.

Voici quelques dessins des rectangles à gauche et à droite quand la fonction n’est pas monotone : Rectangles "à gauche" :

5

2 4 6 8 10

−2

−4

−6

b

b

b

à vous de compléter sur cette même figure (en rouge) les rectangles "à droite" pour 4 découpages de l’intervalle [−6; 10].

Remarque :Le fait que la suite(un)converge n’est pas évident car pourn≥1on a par définition : un=b−a

n

n−1

X

k=0

f

a+kb−a n

. Donc, lorsquencroît, on somme de plus en plus de termes qui sont de plus en plus petits... et on a une sorte de forme indéterminée "∞ ×0". Le théorème démontré permet d’affirmer que la limite existe !