La méthode de Newton dans le cas où la fonction admet un zéro multiple.
Soitf une fonction de classeC∞ sur un segment[a, b]. On suppose qu’il existe un uniqueα ∈]a, b[tel quef(α) = 0.
Pour simplifier le problème, on supposera que les fonctions f|[a,b]\{α} etf0|[a,b]\{α} ne s’annulent pas.
On appelle multiplicité de α pourf, l’entier p>1, s’il existe, défini par f(α) =f(1)(α) =· · ·=f(p−1)(α) = 0 etf(p)(α)6= 0.
1. Donner un exemple de fonction admettant un zéro pour lequelp n’existe pas.
On supposera dans la suite quep existe pour la fonction considérée.
2. Rappeler le principe de la méthode Newton pour approcherα ainsi que le théorème de conver- gence qui lui sied si bien.
3. Expliquer pourquoi la preuve de ce théorème n’est pas valide dans le cas oùp>2.
4. En considérant f :x7→x2, montrer que le résultat n’est pas valide dans le cas où p>2.
On supposep>2 dans la suite de l’exercice.
5. Montrer qu’il existe une fonctionh définie sur [a, b]et qui ne s’annule pas et qui vérifie
∀x∈[a, b], f(x) = (x−α)ph(x).
On admet1 pour la suite que h∈ C∞([a, b]).
6. Dans cette question, nous allons prouver que la méthode de Newton pour la fonction f est géométriquement convergente.
Pourx∈[a, b]\ {α}, on poseg(x) =x−ff(x)0(x).
(a) Montrer que g se prolonge en une fonction de classeC∞ sur[a, b].
(b) En notant ˜g le prolongement deg, montrer que˜g(α) =α et queg˜0(α) = 1−1p. (c) Montrer l’existence de δ >0 tel que
∀x∈[α−δ, α+δ], |eg0(x)|61− 1 2p. (d) En déduire que g˜est
1−2p1
-lipschitzienne sur [α−δ, α+δ].
Soit x0 ∈[α−δ, α+δ], on définit la suite(xn) par la relation de récurrence
∀n∈N, xn+1= ˜g(xn).
(e) Montrer que ∀n∈N,xn∈[α−δ, α+δ]et que la suite(xn) est bien définie.
(f) En déduire que
∀n∈N, |xn+1−α|6
1− 1 2p
× |xn−α|.
(g) Montrer que
∀n∈N, |xn−α|6
1− 1 2p
n
× |x0−α|.
(h) Conclure intelligemment.
1. Se démontre à l’aide d’un théorème de seconde année.
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7. Dans cette question, nous allons adapter la méthode de Newton au cas précédent pour obtenir une méthode à convergence quadratique, appelée méthode de Newton modifiée.
Pour x∈[a, b]\ {α}, on pose g(x) =x−p·ff(x)0(x). Sur le même principe que la question 6.(a), on prouve aisément que la fonctiong se prolonge en une fonction de classe C∞ sur[a, b].
(a) En notant ˜g le prolongement deg, montrer que˜g(α) =α et queg˜0(α) = 0.
(b) En déduire qu’il existe un voisinage [α−δ, α+δ] de α inclus dans [a, b] sur lequel ˜g est 1-lipschitzienne.
Soit x0 ∈[α−δ, α+δ], on définit la suite(xn) par la relation de récurrence
∀n∈N, xn+1= ˜g(xn).
(c) Montrer que ∀n∈N,xn∈[α−δ, α+δ]et que la suite(xn) est bien définie.
(d) Prouver l’existence d’une constanteM telle que
∀n∈N, |xn+1−α|6M× |xn−α|2. (e) Montrer l’existence d’une constante K telle que
∀n∈N, |xn−α|6 1
K (K× |x0−α|)2n.
(f) Conclure et énoncer proprement le théorème démontré.
8. Dans cette question, on observe numériquement les deux théorèmes démontrés.
(a) Écrire une fonctionnewton(f,fprime,x_0,epsilon), prenant en entrée une fonction f, sa dérivée f0, le premier terme x0 et un réel >0 et renvoyant en sortie le premier termexn tel que |xn+1−xn|6ainsi que l’entierncorrespondant au nombre d’itération.
(b) Écrire une fonction newton_modifie(f,fprime,p,x_0,epsilon), prenant en entrée une fonction f, sa dérivée f0, l’entier p, le premier terme x0 et un réel >0 et renvoyant en sortie le premier terme xn tel que |xn+1−xn| 6 ainsi que l’entier n correspondant au nombre d’itération.
(c) En testant ces deux fonctions sur un ordinateur avec f : x 7→ x2ex, x0 = 2 et = 10−8, donnez le nombre d’itération effectuées dans les deux fonctions précédentes. Commenter.
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