Chapitre 02_Evolution_taux_moyens

Chapitre 2. ´ Evolution, taux moyen

Manuel p.36.

1. Taux d’´ evolution, coefficient multiplicateur (rappels)

A. D´ efinitions

• Soienty1 et y2 deux nombres strictement positifs

• Lavariation absolue dey₁ `ay₂est la nombrey₂−y₁

• Lavariation relative , appel´ee aussitaux d’´evolution dey₁ `ay₂, est le nombre : t=y₂−y₁

y1

test un nombre sup´erieur `a −1. Il peut ˆetre ´ecrit sous forme fractionnaire, d´ecimale ou en pourcentage.

Exemple 2.1 En 2011, la production de c´er´eales en France ´etait de63,82millions de tonnes. Aujourd’hui, elle est de69,57millions de tonnes. Calculer le taux d’´evolution de la production c´er´eali`ere en pourcentage arrondi `a l’unit´e.

. . . . . . . . . . . . Exercice 2.1 Pour la p´eriode 2012/2013, on pr´evoit des exportations de bl´e Russe de l’ordre de 12 millions de tonnes contre 22 au cours de la p´eriode pr´ec´edente. Calculer le taux d’´evolution correspondant.

. . . . . . . . . . . . Exercice 2.2 le prix du caf´e dans un restaurant est pass´e de1,50e`a1,86e. Calculer le taux d’´evolution du prix du caf´e.

. . . . . . . . . . . . Exercice 2.3 En 2012, en Russie, la r´ecolte de bl´e, pr´evue `a 49 millions de tonnes, accusait un repli de 7 millions de tonnes par rapport `a 2011.

1. Calculer la r´ecolte de bl´e en 2011

. . . . . . . .

2. Calculer le taux d’´evolution entre 2011 et 2012.

. . . . . . . . . . . .

Pour les plus rapides :

Aux ´Etats-Unis, de 2011 `a 2012, les stocks de bl´e sont en recul de 14% (`a 743 millions de boisseaux* en 2012).

A l’inverse, les r´eserves de soja progressent de 8% pour atteindre 667 millions.

1. Calculer les stocks de bl´e aux ´Etats-Unis en 2011.

. . . . . . . . 2. Calculer les stocks de soja en 2011.

. . . . . . . . . . . . (*) Le boisseau est un r´ecipient de forme cylindrique destin´e `a mesurer les mati`eres s`eches (grains et farines), de capacit´e variable suivant les lieux et les ´epoques. Le boisseau US ( boisseau ras ) vaut exactement 35,2390706688dm³ .

B. Application au calcul d’augmentations, de r´ eductions. Coefficient multiplicateur ; lien entre coefficient multiplicateur et taux d’´ evolution.

On appellecoefficient multiplicateur le nombre Ctel que :y₂=C×y₁. On a alors : C=y2

y₁

Lien entre coefficient multiplicateur ettaux d’´evolution :

C= 1 +t

Exemple 2.2 En 2011, la production de c´er´eales en France ´etait de63,82millions de tonnes. Aujourd’hui, elle est

de69,57millions de tonnes. Calculer le coefficient multiplicateur.

. . . . . . . . . . . .

Les notions de taux d’´evolution et de coefficient multiplicateur permettent de calculer desaugmentations

et desdiminutions :

• Augmenter une quantit´e det% revient `a multiplier celle-ci par (1 +₁₀₀^t )

• Diminuer une quantit´e det% revient `a multiplier celle-ci par (1−₁₀₀^t )

Exemple 2.3 En 2009, le solde du commerce ext´erieur en produits alimentaires ´etait de5030milliards d’euros. Entre

2009 et 2012, il a augment´e de121%. Calculer le nouveau solde en 2012, arrondi au milliard d’euros.

. . . . . . . . . . . .

Exercice 2.4 Un prix augmente de3,5%. Quel est le coefficient multiplicateur du prix ?

. . . . . . . . . . . .

Exercice 2.5 Une action boursi`ere est multipli´ee par0,842. Quel est le pourcentage d’´evolution ?

. . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2.6 Le prix HT d’un v´ehicule est affich´e `a12150e. Calculer le prix TTC sachant que le taux de TVA est 19,6%.

. . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2.7 Le prix d’un ordinateur baisse de 10% la premi`ere ann´ee, puis de 30% la deuxi`eme ann´ee. De quel pourcentage a-t-il baiss´e ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C. ´ Evolutions successives, ´ evolution r´ eciproque.

Lorsqu’une quantit´e subit deux´evolutions successives de tauxt1ett2, cette quantit´e est multipli´ee par C1= 1 +t1 puis parC2= 1 +t2.

Le coefficient multiplicateur global Cest le produit des deux coefficients : C=C1×C2

Le taux d’´evolution global est alorst=C−1.

Exemple 2.4 L’entreprise de stockage Stokomani a vu son chiffre d’affaires augmenter de 13% en 2011, puis de

20%en 2012. Calculer le taux d’´evolution global correspondant `a ces deux hausses successives.

. . . . . . . . . . . .

Exercice 2.8 1. Sur deux ann´ees, le chiffre d’affaires d’un artisan boucher augmente de 20%, puis de50%. Cal- culer le coefficient multiplicateur global d’augmentation.

. . . . . . . . . . . .

2. De mˆeme pour une augmentation de50%, puis de 20%.

. . . . . . . . . . . .

Exercice 2.9 Les revenus d’un m´enage augmentent de20%puis diminuent de20%.

1. Calculer le coefficient multiplicateur global d’augmentation.

. . . . . . . . . . . . 2. Pour un revenu de100000eau d´epart, calculer le revenu `a l’arriv´ee.

. . . . . . . . . . . .

Exercice 2.10 Un prix a augment´e trois fois de suite de6%. Calculer le taux d’´evolution global.

. . . . . . . . . . . .

Lorsqu’une quantit´e subit un taux d’´evolutiont, cette quantit´e est multipli´ee parC= 1 +t.

Pour revenir `a la valeur initiale, il faut donc diviser parC, c’est-`a-dire multiplier par C⁰= 1

C Le taux d’´evolution r´eciproque sera alorst⁰=C⁰−1.

Exemple 2.5 1. Pour une hausse de50% d’une production, calculer le taux d’´evolution r´eciproque.

. . . . . . . . . . . . . . . . 2. Calculer le taux d’´evolution r´eciproque d’une baisse de30%.

. . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2.11 Calculer le taux r´eciproque dans chacun des cas suivants :

1. hausse de25%

. . . . . . . . . . . . . . . .

2. baisse de70%

. . . . . . . . . . . . . . . .

3. hausse de5%

. . . . . . . . . . . . . . . .

4. baisse de8,5%

. . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2.12 Apr`es avoir augment´e les impˆots de 6%, le gouvernement revient en arri`ere ; de quel pourcentage doit-il baisser les impˆots ?

. . . . . . . . . . . . . . . .

2. Taux d’´ evolution moyen

A. Racine n-i` eme d’un nombre r´ eel positif

Laracine n-i`eme d’un nombreaest le nombre qui ”`a la puissancendonne a”.

Par exemple, la racine carr´ee de a est ”le nombre (positif) qui au carr´e donne a” : la racine carr´ee est la racine

”deuxi`eme”.

L’´equation

xⁿ=a admet pour solution la racine n-i`eme dea, qui est :

x=aⁿ¹

En particulier, l’´equationx²=aadmet pour solution (positive) x=√ a=a¹². Exemple 2.6 Le prix d’un article a augment´e de22% en 5 ans ;

comment d´eterminer le taux d’´evolution t% sur un anqui ´equivaudrait `a cette ´evolution de22%en 5 ans ?

En cinq ans, le prix de l’article a ´et´e multipli´e par :

. . . .

Supposons que chaque ann´ee, le prix soit multipli´e par un certain nombrek. On a donck⁵= 1,22.

D’apr`es ce qui pr´ec`ede, quelle est la valeur dek?

. . . . . . . . . . . .

B. Taux d’´ evolution moyen

Supposons que l’on ait une ´evolution deT% sur une p´eriode denmois(*).

Le taux d’´evolutiont% sur 1 mois (*) v´erifie 1 +₁₀₀^t n

= 1 +₁₀₀^T . On a une ´equation de la formekⁿ =a, la solution est de la formek=aⁿ¹.

(*) Ce peut ˆetre des jours, des ann´ees etc... `a la place des ”mois” que j’ai pris en exemple.

On calcule d’abord : k=

1 + T

100 _n¹

o`u

(T est le taux global (*) donn´e dans l’´enonc´e, en % n est le nombre de mois (*) donn´e dans l’´enonc´e.

Puis on remplacek par la valeur trouv´ee dans la formule ci-dessous,

qui nous donne letaux d’´evolution moyen par mois (*) :

t= (k−1)×100

Exemple 2.7 La population d’une ville a augment´e de10%en 6 ans.

1. Combien vautn? Combien vautT?

. . . .

2. Calculerk= 1 +₁₀₀^T n¹

. . . . . . . .

3. Remplacerk par la valeur trouv´ee dans la formulet= (k−1)×100, et en d´eduire le taux d’´evolution annuel

moyen.

. . . . . . . . Exercice 2.13 De janvier `a d´ecembre 2012, le prix d’un article est pass´e de130e`a161,20e.

Calculer le taux d’´evolution mensuel moyen de cet article.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 2.14 Le taux d’inflation annuel en France en1978a ´et´e de17%. Quel ´etait alors le taux mensuel d’inflation (`a0,01% pr`es) ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 2.15 Dans un lyc´ee, le nombre d’´el`eves est pass´e de 1200`a912 en5 ans ; d´eterminer le taux d’´evolution annuel moyen du nombre d’´el`eves dans ce lyc´ee.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple 2.8 On doit parfois d´eterminer le taux d’´evolution moyen apr`es plusieurs´evolutions successives .

Le nombre de connections `a un site internet a subi les ´evolutions suivantes au cours du dernier trimestre 2012 :

• de septembre `a octobre :+5%

• d’octobre `a novembre :−2%

• de novembre `a d´ecembre :−3%

On va d´eterminer le taux d’´evolution mensuel moyen en proc´edant par ´etapes :

1. D´eterminer le coefficient multiplicateur global (par combien le nombre de connections a-t-il ´et´e multipli´e,

en tout, de septembre `a d´ecembre ?).Le r´esultat obtenu est le nombre 1 +₁₀₀^T

. . . . . . . .

2. Combien vautn?

Calculerk en utilisant la formulek= 1 + ₁₀₀^T _n¹

. . . . . . . . . . . .

3. Calculer le taux d’´evolution mensuel moyen en rempla¸cant k par la valeur trouv´ee dans la formule t =

(k−1)×100.

. . . . . . . .

Exercice 2.16 Le prix d’un paquet de cigarettes a augment´e de20%en 2004, de10%en 2005 et de5%en 2006.

Quel a ´et´e le taux moyen d’augmentation par an durant ces trois ann´ees (`a0,1%pr`es) ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2.17 Au cours du premier semestre 2005, on a relev´e les variations du prix du litre de super dans une station-service :

Mois Janvier F´evrier Mars Avril Mai Juin

Variation au cours du mois 0% +3% +1% −4% +4% −2%

1. Entre le 1er janvier et le 30 juin 2005, calculer l’augmentation qu’a subi le prix d’un litre de super dans cette station-service

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. En d´eduire le taux mensuel moyen de variation

. . . . . . . . . . . . . . . . 3. Au 1er janvier, le prix d’un litre de super ´etait1,18e; calculer le prix au 31 octobre en utilisant le taux moyen

d´etermin´e `a la question pr´ec´edente.

. . . . . . . .

3. Indices

Exemple 2.9 Voici l’´evolution du nombre de voyageurs transport´es dans les a´eroports fran¸cais (en milliers de passa- gers) :

Ann´ee 1980 1990 2000 2009 2010

Nbre de voyageurs 35352 62368 101694 122730 124828

• Par des soustractions, on peut calculer lesvariations absolues du nombre de voyageurs.

Par exemple entre 1980 et 1990, augmentation de62368−35352 =...voyageurs.

• Pour calculer les variation relatives (par rapport `a une certaine ann´ee, par exemple 1980), on fait cor-

respondre l’indice 100 au nombre de voyageurs en 1980. On parlera de ”base 100 en 1980” . On note

I1980= 100

On calcule alors les indices des autres ann´ees parproportionnalit´e (r`egle de trois).

Par exemple pour l’indiceI1990de 1990, on a : ₆₂₃₆₈^I1990 = ₃₅₃₅₂¹⁰⁰ , ce qui donneI1990= 176. Compl´eter le tableau

ci-dessous avec es indices”base 100 en 1980”:

Ann´ee 1980 1990 2000 2009 2010

Nbre de voyageurs 35352 62368 101694 122730 124828

Indice 100 ... ... ... ...

• On peut voir dans ce tableau que le nombre de voyageurs a augment´e de76% entre 1980 et 1990, de188%

de 1980 `a 2000, etc...

• Bilan: Si num´erote0 l’ann´ee o`u on prend l’indice 100 , en notantV0 la valeur de l’ann´ee0 et Vn la valeur de l’ann´een, l’indiceI_n de l’ann´eense calcule par : _V^In

n = ¹⁰⁰_V

0. Le taux d’´evolution deV₀ `aV_n est alors(I_n−100)%.

Exercice 2.18 Une valeur boursi`ere valant 300een juin 2008 a chut´e `a 180een juin 2013.

Calculer l’indice de cette valeur en 2013, base 100 en juin 2008.

. . . . . . . . . . . .

Exercice 2.19 En 2009, le prix d’une maison ´etait de 145 000e. D´eterminer son prix en 2013, sachant que l’indice du prix de la maison en 2013 est 113, avec une base 100 en 2009.

. . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2.20 Si un prix passe d’un indice 700 `a un indice 770, de quel pourcentage a-t-il augment´e ?

. . . . . . . . . . . .

Exercice 2.21 (suite de l’exercice 2.17)

Le tableau suivant donne le prix en euros du litre de super dans une station-service le 1er jour de chaque mois au cours du second semestre 2005 :

Mois Juillet Aoˆut Septembre Octobre Novembre D´ecembre

Prix 1,20 1,23 1,21 1,25 1,24 1,27

1. Compl´eter le tableau d’indices suivant, base 100 au 1er juillet (on arrondira les r´esultats `a10<sup>−1</sup> pr`es).

Mois Juillet Aoˆut Septembre Octobre Novembre D´ecembre

Indice 100 ... ... ... ... ...

2. En d´eduire le taux d’´evolution du prix du super entre le 1er juillet et le 1er octobre 2005.

. . . . . . . . . . . .

3. Calculer le taux d’´evolution du prix du super entre le 1er octobre et le 1er d´ecembre 2005.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Sujets de Bac

A. M´ etropole et R´ eunion, juin 2016

Le tableau ci-dessous indique la quantit´e de gaz `a effet de serre ´emise annuellement en France entre 2004 et 2011. Cette quantit´e est exprim´ee en million de tonnes et arrondie au centi`eme.

Ann´ee 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Rang de l’ann´ee :xi 1 2 3 4 5 6 7 8

Quantit´e ´emise :yi 557,21 558,78 546,98 537,66 532,85 509,25 516,45 490,01

Source : Agence Europ´eenne de l’Environnement

Le but de l’exercice est de pr´evoir la quantit´e ´emise en 2016 `a partir de deux mod´elisations diff´erentes.

Les parties A et B sont ind´ependantes.

Partie A

Une repr´esentation graphique du nuage de points (xi ; yi) est donn´ee en annexe 1, `a rendre avec la copie.

On d´ecide de mod´eliser cette ´evolution par un ajustement affine.

1. `A l’aide de la calculatrice, donner une ´equation de la droite qui r´ealise un ajustement affine du nuage de points, obtenue par la m´ethode des moindres carr´es. Les coefficients seront arrondis au centi`eme.

. . . . . . . . . . . . 2. Dans la suite du probl`eme, on d´ecide d’ajuster le nuage de points (xi ; yi) par la droite D d’´equation

y=−9,5x+ 574.

Construire la droiteD sur le graphique donn´e dans l’annexe 1.

Expliquez ci-dessous comment vous avez trac´e cette droite :

. . . . . . . . . . . . 3. En utilisant l’ajustement de la question pr´ec´edente, quelle quantit´e de gaz `a effet de serre ´emis en France

peut-on pr´evoir pour l’ann´ee 2016 ?

. . . . . . . . . . . .

Partie B

1. D´eterminer le taux d’´evolution global, exprim´e en pourcentage et arrondi au centi`eme, entre 2004 et 2011, de la quantit´e de gaz `a effet de serre ´emise en France.

. . . . . . . . . . . . 2. Justifier alors que la baisse annuelle moyenne d’´emission de gaz `a effet de serre sur cette p´eriode, arrondie

au centi`eme, est ´egale `a 1,82 %.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. On fait l’hypoth`ese que les ´emissions de gaz `a effet de serre continuent de baisser annuellement de 1,82 %.

Selon cette hypoth`ese, quelle devrait ˆetre la quantit´e de gaz `a effet de serre, exprim´ee en million de tonnes et arrondie au centi`eme, ´emise en France en 2016 ?

. . . . . . . . . . . . . . . .

Annexe 1

B. Antilles Guyane, juin 2016

On observe, depuis quelques ann´ees, un modification des canaux de distribution du tourisme en faveur du tourisme en ligne. C’est ainsi que plus de 30 millions de Fran¸cais ont consult´e des sites internet pour pr´eparer leurs vacances en 2013.

Le tableau ci-dessous donne l’´evolution du chiffre d’affaire, not´e CA, du march´e du tourisme en ligne de 2006 `a 2013 en France.

Ann´ee 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Rang de l’ann´ee :x_i 1 2 3 4 5 6 7 8

CA en milliard d’euros :yi 4,2 5,3 7 8 9,6 10,9 11,7 12,4

Etude XERFI, FEVAD´

Les parties A, B et C sont ind´ependantes

Partie A

Dans cette partie, les r´esultats seront arrondis au centi`eme.

1. D´eterminer le taux d’´evolution, exprim´e en pourcentage, du chiffre d’affaire du tourisme en ligne entre 2006 et 2009.

. . . . . . . . . . . . . . . . 2. Calculer le taux d’´evolution annuel moyen, exprim´e en pourcentage, du tourisme en ligne en France entre

les ann´ees 2006 et 2009.

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. On suppose que, de 2013 `a 2016, le chiffre d’affaire du tourisme en ligne en France a augment´e de 9 % par

an. Donner une estimation du chiffre d’affaire du tourisme en ligne en France pour l’ann´ee 2016.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Partie B

On consid`ere la s´erie statistique `a deux variables (xi ; yi).

1. Tracer le nuage de points (xi ; yi) associ´e `a cette s´erie statistique dans le rep`ere de l’annexe 2.

2. (a) D´eterminer, `a l’aide de la calculatrice, une ´equation de la droite d’ajustement dey enxde ce nuage de points par la m´ethode des moindres carr´es. Les coefficients seront arrondis au centi`eme.

. . . . . . . . (b) On d´ecide de r´ealiser un ajustement de la s´erie statistique (xi ; yi) `a l’aide de la droiteDd’´equation y= 1,2x+ 3,1. Tracer la droiteD dans le rep`ere de l’annexe 1. Calculs ou explications permettant de tracer la droite :

. . . . . . . . . . . . . . . .

3. `A l’aide de la question pr´ec´edente, donner une estimation du chiffre d’affaire du tourisme en France en 2016.

. . . . . . . . . . . .

Partie C

Parall`element `a l’essor du tourisme en ligne, on a pu observer que le nombre de plaintes des consommateurs dans le secteur du tourisme en ligne est en augmentation depuis 2011.

Les donn´ees recueillies par la Direction G´en´erale de la Concurrence, de la Consommation et de la R´epression des Fraudes (DGCCRF) permettent d’analyser l’´evolution des plaintes des consommateurs en France.

Le tableau ci-dessous donne l’´evolution du nombre de plaintes enregistr´ees par la DGCCRF en France dans le secteur du tourisme en ligne entre les ann´ees 2011 et 2013.

Ann´ee 2011 2012 2013

Nombre de plaintes enregistr´ees en France 1036 1293

Indice 100 183,4

Source : Minist`ere de l’´economie, de l’industrie et du num´erique

1. Calculer l’indice du nombre de plaintes enregistr´ees en 2012, arrondi au dixi`eme.

. . . . . . . . . . . . . . . .

2. D´eterminer le nombre de plaintes enregistr´ees en 2013.

. . . . . . . . . . . . . . . .

Annexe 2