Electricité 13

1

Electricité

v 7 

13

Faraday, ca. 1849

2

Force de Coulomb et champ électrique

Force de Coulomb entre deux charges q et Q:

€

F r = k qQ r² ˆ r q

Q

r₁ r₂

€

r r = r r ₂ − r r ₁ r ˆ = r r

r r = r r

r L'unité de la charge est le Coulomb C

1 C = ⏐charge électron⏐×1

/

Question: Définition du "Coulomb" ? Si plusieurs charges Q₁, Q₂, .... on additionne toutes les contributions

€

F r = k qQ_i r_i² r ˆ _i

i=1,N

∑

i 2 r ˆ _i

i=1,N

∑

Ici est le vecteur champ électrique, au point où se trouve la charge q. r

E (r r ₁)

€

E (r r

r ₁) = k Q_i r_i² r ˆ _i

i=1,N

∑

3

Champ électrique

€

E (r r

r ) = k Q r ² r ˆ

Champ électrique en P, généré par la charge Q placée à distance r

P E

Si Q<0, le champ va vers la charge (comme dans la figure), antiparallèle à r. Si Q > 0, il est parallèle à r.

r

Quand on a plusieurs charges, on peut additionner vectoriellement les valeurs de E_i, de chaque charge Q_i.

Pour mesurer la valeur de E à un point P, on y place une charge "de test" q, on mesure la force F qui agit sur q, et on déduit le vecteur E:

€

E ( r r

P ) = r F ( r

P ) /q

Q

Champ électrique .2

lignes de champ autour d'une charge positive.

Q

Les lignes de champ sont radiales !

E (r r

r ) = k Q r ² r ˆ

5

Le dipôle

€

E r ( r

P ) = r

E ( r r )

+ r

E ( r r )

€

E (r r

P )⁻ = −qk r ˆ

(r⁻)² ≡ E_x E_z

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ≈ −qk

(r −acosα)²

sinα cosα

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

x z

r^- P

a α

si la distance de P est grande comparée à a, on peut faire des approximations:

r^-, r⁺ et r sont presque parallèles, et α ≈ α⁺ ≈ α^-. Donc on a:

x -q

+q z

a r

-a

r^-

P

α^-

€ r

r⁻ ≈ r − acosα

€

E (r r

P )⁺ ≈ +qk (r + acosα)²

sinα cosα

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

€

acosα

6

Le dipôle .2

€

E (r r

P ) ≈ qk −1

(r −acosα)² + 1

(r + acosα)²

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

sinα cosα

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

€

−1

(r −acosα)² + 1

(r + acosα)² = −1

(r −c)² + 1

(r + c)² =

−(r + c)² + (r −c)²

(r −c)²(r + c)² = −r² −c² + 2rc+ r² + c² + 2rc (r² −c²)² = 4rc

(r² −c²)² ≈ 4rc

r⁴ = 4c

r³ = 4acosα r³

E ( r r

P ) ≈ qk 4acos α r

sin α cos α

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

c = acosα

on néglige c<<r

€

α = 0 ⇒ r

E = qk 4a r³

0 1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ // ˆ z α = 90° ⇒ r

E = 0

7

Le dipôle .3

€

E ( r r

P ) ≈ qk 4acos α r

sin α cos α

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

€

α = 0 ⇒ r

E = qk 4a r³

0 1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ // ˆ z α = 90° ⇒ r

E = 0

A suivre...

Champ d'un plan chargé uniformément

Plaçons une charge Q uniformément sur une surface plane A.

La densité de surface de charge est ρ = Q/A.

Si l'on est loin des bords, la symétrie du système implique que le champ E est constant et orthogonal à la surface:

On trouve:

€

E v = 2 π k ρ n ˆ

où n est le vecteur unité normal à la surface.

^

E ρ

(démonstration à plus tard...)

9

Deux plans chargés uniformément

Si les deux plans ont exactement la même charge, mais avec des polarités opposées, le champ E est nul à l'extérieur

du système (du moins si l'on se place assez loin des ouvertures, pour éviter les

"effets de bords").

Entre les 2 plaques:

€

E v = 2 × 2 π k ρ n ˆ = 4 π k ρ n ˆ = 1

ε

ρ n ˆ

réalisation pratique:

€

ε₀ = 1

4πk = 8,85 10⁻¹² C²N⁻¹m⁻²

Le potentiel électrique

Le potentiel électrique V d'une charge q dans un champ électrique est V = U/q où U est l'énergie potentielle de q.

L'unité est le Volt (V). Par la définition précédente:

Volt = Joules/Coulomb

Ex.: une charge d'1 C est accélérée entre deux plaques qui possèdent une différence de potentiel ΔV = 10 V.

L'énergie potentielle vaut initialement U = q ΔV= 1x10 J.

Après accélération, la charge aura l'énergie cinétique correspondante.

10 V

q=1C

11

Le potentiel électrique .2

On utilise la définition de potentiel électrique pour introduire la définition d' électron-Volt, eV comme unité d'énergie.

En valeur absolue, la charge de l'électron e vaut e =1.6 10^-19 C, 1 eV correspond à 1.6 10^-19 Joules.

L'électron a une masse de 9 10^-31 kg. Si sa vitesse initiale est 0, après accélération la vitesse finale sera donnée par la conservation de l'énergie: K = U

1 eV est l'énergie qu'une charge e = charge de l'électron,

obtient quand elle aura traversé la différence de potentiel de 1 V.

€

1

2 mv² = U v =

[

]

[

]

donc la vitesse de l'électron d'1 eV vaut environ 6 10⁵ m/s.

Question: faire de même pour un proton.

Relation entre champ et potentiel

Charge q dans un champ E.

Considérons un parcours dx parallèle à E, avec E constant.

La force qui s'exerce sur q vaut: F = qE et le travail dW = F dx = qE dx , car F // E // dx.

D'après la déf. de potentiel dW = dU = q dV, où dV est la différence de potentiel aux extrémités de dx. Donc:

qE dx = q dV ⇒ E = dV/dx

dV/dx est la dérivée de V par rapport à l'espace, ou "gradient"

E dx

dV

Les unités de E sont

N/C mais aussi V/m !

13

Potentiel dû à une charge ponctuelle

€

De E = dV/dx :

0 x

€

E (r r

r ) = k Q

r ² r ˆ ⇒ E(x) = k Q x² A cause de la symétrie,

le problème peut être

considéré unidimensionnel

€

V(x) = E(x')dx'

x

∞

∫

x

∞

∫

€

V(x) = kQ x

€

V(r) = kQ En 3D: r

On considère donc que V(r=infini) = 0

× (signe de x)

Potentiel entre deux plaques parallèles

€

De E = dV/dx :

dV = Edx que l'on intègre:

€

ΔV = Edx = Ed =

0 d

∫

0

ρd = 1 ε₀

Q A d

€

E v = 4 π k ρ n ˆ = 1

ε

ρ n ˆ

d surface=A

charge Q

x 0

E constant

15

Surfaces équipotentielles: V=cte

€

V(r) = kQ Exemple: charge ponctuelle r

r = cte ⇔ V = cte

Les surfaces sont des sphères centrées sur la charge.

Donc les lignes de champ sont

normales aux surfaces équipotentielles.

une ligne de champ

Cela est toujours vrai: le déplacement

d'une charge de dl sur une surface V=cte, implique ΔV=0, donc un travail nul, donc

€

dW = dl r

E = 0 ⇒ dl⊥ r E pour des E et dl quelconques.

Les conducteurs

Dans un conducteur, les charges peuvent se déplacer librement.

A l'équilibre, toutes les charges sont immobiles. Donc à

l'intérieur du conducteur, le champ E doit être nul, sinon on aurait localement une force de Coulomb non nulle et l'accélération

des charges. Si E est nul, le potentiel V doit être constant:

si l'on déplace une (petite) charge de test dans le conducteur, le travail est nul car E = 0, donc ΔV = 0.

Pour les mêmes raisons, à la surface du conducteur, le champ E doit être normal à la surface et V constant.

A R

Ex: On amène des charges du réservoir R par un fil sur le conducteur C. A l'équilibre, l'ampèremètre A indique un courant nul. Alors V est constant dans tout C.

17

Les conducteurs .2

De même, si l'on insert un conducteur dans un champ, les

lignes de champ et les surfaces équipotentielles sont modifiées par le déplacement des charges dans le conducteur.

A l'équilibre, le conducteur prendra un potentiel constant, un champ nul à l'intérieur, un champ orthogonal à la surface.

Donc les lignes de champs vont se tordre pour pouvoir arriver orthogonalement à la surface du conducteur. Le surfaces

ex: champ généré par une

charge, en présence d'un plan conducteur.

équipotentielles doivent arriver parallèlement à la surface.

Le dipôle .3

x -q

+q z

a r

-a

r^-

P

€

E ∝ qa 1 r

on avait vu que le champ à distance r >> a était

On introduit le

"moment dipolaire électrique" p:

€

p r = q2 r a

avec le vecteur a qui pointe de -q vers +q.

p

Avec cette définition,

€

E ∝pr⁻³

Quelle est la valeur du potentiel engendré par p au point P ?

19

Le potentiel créé par un dipôle

x -q

+q z

a r

-a

r^-

P

€

V(P) = k +q

r⁺ + k −q

r⁻ = kq 1

r⁺ − 1 r⁻

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = kq r⁻ −r⁺ r⁻r⁺

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

€

r⁻ ≈ r − acosα

€

r⁺ ≈ r + acosα

€

V(P) = − kq 2acos α r

− a

cos

α

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ≈ − kq2a cos α

r

≡ k

p r ⋅ r ˆ r

α si r >> a:

négligeable car a<<r p

signes de V

+

+ - -

20

Forces sur un dipôle

Quelles sont les forces qui agissent sur p immergé dans un champ E ?

E

q

-q

α

€

F⁺ = qr

E F⁻ = −qr E F⁺

F^- Le couple de forces induit

un moment:

2a

€

τ = 2(aF sin α ) = 2aqE sin α = pE sin α

€

r τ = r

p × r

E

21

Energie potentielle d'un dipôle

L'E potentielle d'un dipôle U est minimale quand le dipôle est en équilibre, c. à d. parallèle à E: a).

Si l'on place verticalement p b) et on le tourne, p.ex. en maintenant fixe -q,

jusqu'à ce qu'il forme un angle θ par rapport à E c), le travail sur +q sera

W= Fdx = -qE 2a cosθ = - pEcosθ d'où on tire la valeur de U pour un angle donné: U = - pEcosθ

E -q +q

p

E

a)

b)

θ c) E

Par convention U(90°) = 0 cas b).

Condensateur (capacité) électrique

On considère deux conducteurs proches (dans le vide).

On les charge avec +Q et ^-Q (p. ex. on déplace une charge +Q d'un conducteur à l'autre).

On mesure une différence de potentiel V.

La capacité vaut:

C = Q/V

l'unité est le Farad (F) = 1C / 1V +Q -Q

V

Exemple:

23

Condensateur électrique .2

Deux plaques planes et parallèles, surface A, distance d. On avait trouvé:

+Q -Q

V A d

€

V(r) = 4πkρd = 1

ε₀ ρd = 1 ε₀

Q A d

La capacité vaut donc

€

C = Q

V = ε₀ A d

Elle dépend seulement des facteurs géométriques.

Capacité et diélectriques

On introduit une substance (isolée) entre les deux plaques du condensateur.

Le champ électrique entre les plaques induit une modification de la distribution des charges dans la substance.

Si par exemple on utilise de l'eau, la molécule possédant un dipôle permanent, elle va s'orienter selon les lignes de champ.

L'agitation thermique va s'opposer à ce mouvement.

+ - + - + -

+ - + -

+ - + -

Le champ E initial est modifié par une contribution E' qui vient des petits

dipôles

E_eff = E ^- E' = E/K

25

Capacité et diélectriques .2

Si le champ n'est pas trop fort, on a la proportionnalité E_eff = E / K

où K est la constante diélectrique.

Pour le "vide", K = 1.

Quelques exemples:

Air sec (1 atm) 1.00059

Verre 5-10

Papier 3.5

Eau (25°C) 78

Eau (80°C) 61

La capacité de notre condensateur à plaques parallèles, avec diélectrique entre les plaques, augmentera d'un facteur K, car, si l'on maintient Q sur les plaques, V va devenir V_eff = V/K.

€

C = Q

V_eff = K Q

V = Kε₀ A d

26

Energie stockée dans un condensateur

Quel est le travail nécessaire pour porter une capacité C d'une différence de potentiel 0 à V₀ ?

La charge finale sera Q₀ = V₀C.

Pendant le processus, si l'on se trouve à un potentiel V, un apport de charge dQ nécessite un travail

dW = VdQ = (Q/C)dQ On intègre entre Q=0 et Q = Q₀:

W = dW

0 Q₀

∫

0 Q₀

∫

0 Q₀

= 1 2

Q₀²

C = 1

2 CV²

27

Condensateurs en parallèle

V

Capacités C₁ et C₂ en parallèle:

pour un même V, les charges sur les plaques seront Q₁ = VC₁ et Q₂ = VC₂ Au total Q = Q₁ + Q₂ =V(C₁ + C₂)

est la charge stockée.

Le système se comporte comme un seul condensateur de capacité

C = C₁ + C₂

Q.: comprendre cette expression à partir de

€

C = Q

V = ε₀ A d

28

Condensateurs en série

V

Capacités C₁ et C₂ en série:

Le segment central a une charge 0 avant l'application de la différence de potentiel.

Donc il doit l'être aussi après.

Les charges +Q et -Q se répartissent comme sur la figure et V_i= Q/C_i

+Q -Q +Q -Q

V₁ V₂

€

V = V₁ + V₂ = Q

C₁ + Q

C₂ = Q 1

C₁ + 1 C₂

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = Q C

Le système se comporte comme un seul condensateur de capacité 1/C = 1/C₁ + 1/C₂

Q.: comprendre cette expression à partir de C = Q

V = ε₀ A d

29

Flux du champ électrique

Des lignes de champ traversent l'élément de surface dS.

Le maximum du "flux" a lieu quand dS est placé normalement aux lignes de champ. Le flux est nul quand les lignes de champ sont parallèles à dS.

Si û est un vecteur normal à dS, l'élément de flux est

€

d φ = (ˆ u ⋅ r

E )dS = cos α EdS

E

α û

où α est l'angle entre u et le champ que l'on considère constant sur dS.

dS

30

Flux du champ électrique .2

€

d φ = r

E ⋅ d r

S = cos α EdS

Parfois on indique le "vecteur surface" par

€

d r

S ≡ u dS ˆ

ce qui donne:

Si l'on veut calculer le flux total sur une surface finie S, on doit intégrer:

€

φ = r

E ⋅ d r S

surface S

∫∫

Ex.: champ E constant orthogonal à une surface plane S:

φ = r

E ⋅ d r S

surface S

∫∫ ^{= ES}

S

E

E dS α

31

Flux du champ électrique .3

Ex.: flux à travers une surface sphérique de rayon r, qui entoure une charge ponctuelle q.

E r

Le champ est orthogonal à la surface de la sphère et il a pour valeur

€

E = k q r

Le flux est donc

€

φ = r

E ⋅ dr S

surface S

∫∫

0

q

ce résultat ne dépend pas de r ! q

Flux du champ électrique .4

Le fait que la valeur du flux de l'exemple ne dépend pas du rayon n'est pas un cas particulier. Le théorème de Gauss relie le flux sortant d'une surface fermée à la charge totale qui se trouve à l'intérieur de la surface.

€

φ = 4 π kQ

S q₁

q₂ q₃

q₄ q₅

Dans la figure, on a un flux total à travers S qui vaut:

φ = 4 π k(q

+ q

+ q

)

Les charges externes produisent un champ qui entre et sort de la surface, ce qui annule leur contribution à φ.

33

Champ par une surface chargée

La densité de charges vaut ρ = ΔQ/ΔS

constante sur toute la surface S.

On entoure une portion

de S par une boîte d'hauteur h et base L×L.

ρ

S

E h

L La charge dans la boîte vaut Q = ρ L² Le flux total vaut donc

€

φ = 4πkQ_tot = 4πkρL²

Par symétrie, E est orthogonal à S. On a donc aussi φ = 2L²E (le facteur 2: haut et bas de la boîte). On peut tirer E:

€

E = 2 π k ρ

E