De l’atome d’Hydrogène aux galaxies
I la raie HI à 21 cm :
I-A Etude classique de ‘atome d’hydrogène :
6 0
2 2
2 2 2 0
2 0 0 0 0
0
0 0
. 0
' :
/ ² 4 4
0 /
Pour L Mvt rectiligne Q Mvt circulaire r r cte r d autre part PFD sur la base de frenet
e v me r
m N m v r
r r
dv T v v
dt
2
1 3
0 2
2 2
0 0
3
2 4
. .
4
. .
( ) 0
4 4
. 0
' :
' '
1 1
. 2
p
p p
p
Q F e r
r
Q E F dr
e e
c avec E E
r r
Q dL OM F L cte
dt
D autre part L mr v
r et v plan à L
L cte le plan l est aussi d où le Mvt est plan
Q E mv E
2 2 2
0
2 2
2 2
2
0
5
min
0 min
( ( ) )
2 4
( ) (1)
2 2 4
. 0
(1) :
0:
z
peff peff
p
p
E peff
m r r e
r
Avec L mr u L mr
m L e
E r
mr r
Q Pour L
E E donc E E Mvt impossible E E une seule valeur possible de r
Mvt circulaire de rayon r
E E Mvt
1 2
'
0 '
lié s effectue entre r et r E Mvt de diffusion r peut tendre vers l
Proposé par : Abderrahman MAMOUNI
Cpge Laayoune
0 0
0 0
0 0
0 0 min
4
2 2
0 0 0 0
7
. . . .
² 4
² . ²
4 ²
' :
.
² ²
2 4 32 ² ²
.
e z e z
e
e
pef
e e
Sur la trajectoire circulaire r v L m r v u m r v u
m e r
L r L
m e
Conditions d avoir un mvt circulaire v r et E E m e
L e
E m r r L
Q Pour avoir un Mvt rctiligne
0 0
0 8
0 0 0 0
4 4
9 2 2
0 0
: 0 0
. m odéle de Bohr :
4 ² ²
Q . .
²
4 ²
1 . 53
²
. . 1
32 ² ² ² 8
n
e n
e
e e
n
L soit à t v parallèle à r I B Le
Avec l n on aura r n n
m e
r prend des valeurs discrétes Quantifiés
a correspond à n soit a A N a pm
m e
m e m e
Q E
n h
4
18
1 2
0 18 10
11
. 1
² ²
2,16.10 13,6
8 ²
. 2,16.10 126521
Impossible ' '
La plus grande valeur de longu
e
i
donc E est quantifiée n
Etat fondamental E m e J eV
h
Q kT E J T E K valeur très grande
k
d ioniser l atome de H par un chauffage Q
18 8
max max
eur d'onde d'un photon absorbé ou emis par l'atome d'H correspond à transition 1 2( selon Bohr)
soit = 3.2,16.10 =12,27.10 21
4
: e modéle de Bohr ne justifie pas l'
hc m cm
conclusion L
12
origine de cette raie I.C La structure hyprfine de H
Q ' son mvt circulaire autour du proton est assimilable à une boucle de courant de rayon r et d'inensité I= ( T période d'evolutio
L e dans
e T
13 0
0
14 3
0 0
n de l'e )
2 2
Or = . ² = . ²
. . .
².
2 2 2
. 2
3.( . )
. ( ) .
4 ( )
4
O z z
L z
O z
e e
e
p p
p p z
p
e r
M i S i r u r u avec T
T v
e m r vu
e r v L
on aura M u e
r m m
Q e magnéton de Bohr
m
M u u M
Q B M avec M M u
a Alors B M M
0
3 3
0 4 0 p 2 p p
g e S
a a m
15
0 0
3 3
0 0
2 2
0 0
3 3
0 0
16
. ; '
2
. . . . .
8 2 32
. .
. .
64 64
.
p z p z ez
p p
e ez s pz s
e e
p p
p p
l s u s
e e
p p
u l
Q M porté par u donc S aussi sur u le moment de spin de l électron est S
g e e g e e
U M B S g s U g
m m
m a m a
g e g e e
E g et E g
m m
m a m a
Q E E E
2 2 0
3 0 17
18
. . 32
. 1
1 0
Dans le modéle classique L=0 correspont à un Mvt rectiligne : l'e ,
p s p e
g g e m m a
Q Dans le mdèle de Bohr n correspond à L
contraduction avec la théorie quantique n L
Q se dirige vers
le proton donc finir
2 2 2
0 0 9
19 0 3 0 3 3 0
0 0
8 9 0
'
. . . .
. 8. 1,41.10
3 16 24
3.10 21,27
1,41.10
p s p s
p e p e
par atteindre le proton probabilité non nulle de présence de l e dans le proton
g g e g g e h
Q E h Hz
m m a m m a
c cm valeur coincide avec la valeur do
20
'
. '
*Emissinspontanée: l'atome transite spontanément du niveau '
(2)vers le ni émission et l absopti
nnée éfficacité de la mécnique quantique
de cm on l appelle onde centimetrique
II Etude de l on entre deux niveaux hypefin Q
2 1
veau(1) en emettant un photon d"energie h
*Absoption: lors de son intéraction avec l'O.E.M ,l'atome absorbe un photon dont l'énergie h correpond à la transition entre deux niveaux n et p
* Emissin st
np
E E
14 21
22
imulé: Le photon issu d'une emission spontannée d'un atome induit la desexcitation d'un autre atome qui emet un photon et ainsi de suite
La durée de vie dans l'tat u est = 1 3,5.10 Le rayonnement
ul
Q s
A Q
HI est très peu diffusé ( est relativement faible ) donc dans une direction de reception donnée la raie "conserve " son intensité présque toale ( comme c 'est le cas de la couleur rouge au co
21 18
23 1 2
25 0
uché du soleil)
Q , d'une part, 1,38.10 1,63.10
'
D'autre part Eul 9,33.10 u u 3
l
On compare kT J E J
H est dans l etat fondamental
n g
h kT
nl g
24
Diminution par emmission spontannée Diminution par emmiss
3
. var
ion
u
u l H l
u l H
l
ul u ul u lu l
l
n
n n n n
nl
n n n
Q dn A n B n u B n u
dt
la iation de n peut se faire par
Augmentation par a
stimulée l bsorption u l
25
26
. Lorsqu'un un électron vient s'ajouter à
( ' )
, ,
.
'
l
Q l n augmente de et un photon
l onde est monochromatique est emis et vice vers dn dn
on a tout simplement
dt dt Q
Desormais HI est un paquet d onde Le no
3 2 2
( )
Donc une variation dN ' ( dim )
. ( )
. ( ) . ( )
l l
l l
l
mbre de photons dont la fréquence est comprise entre et d est dN d
d e donne naissance ou inution dN dN d de photon
d N dn
d N d n
d dVdt d dVdt d d dt dt dn dn
dt dt
27
0
. ( ) ( ). ( )
. ' , 0 ( )
0
( 3
)
ul u ul u lu l
ul u ul u lu l
u l
lu l u
A n B n u B n u Q à l équilibre thermique dn régime stationnire
dt A n B n u B n u
équilibre statistique entre les processus de t
E E
n cte Et
h
u B n B
28
3 3
0 0
3 3
0
. 0 ( ). 0
( exp( )). 0
8 8
.(exp( ) 1 .
ul u ul u lu l ul u ul u lu l
u ul ul lu
ul ul lu
Q posons h A n B n u B n u A n B n B n
kT
divisons par n A B B
h g h
A B B
c c
3 3
0 0 0
3 3
0
8 8 exp( )
.(exp( ) 1
ul ul lu
h g h
A B B
c c
Diminution par emmission spontannée 4.
:
u l H l
ul u ul u lu l
n n n n
Q A n B n u B n u
la iation de n peut se faire par
l u stimulée l
bsorption u l
u
. Lorsqu'un un électron vient s'ajouter à l'etat , 1
'
l
l photon
Q l n augmente de et un photon
l onde est monochromatique est emis et vice versa dN dN dn
dt dt
Desormais HI est un paquet d onde
3 2
( ) ( )
Donc une variation dN ' ( dim )
. ( ) . ( )
l l
mbre de photons dont la fréquence est comprise entre et d est dN d
d e donne naissance ou inution
d N dn
d N d n
d dVdt d dVdt d dt dt
. ( ) ( ). ( )
. ' , 0 ( )
0
( 3
)
ul u ul u lu l
ul u
lu l u
A n B n u B n u Q à l équilibre thermique dn régime stationnire
dt
équilibre statistique entre les processus de transitions
A n B n B
3 0
0 3
0
3 3
0 0
3 0 3
. 0 ( ). 0
( exp( )). 8 0
.(exp( ) 1
8 8
exp( ).
.(exp( ) 1 .
l u
ul u ul u lu l ul u ul u lu l
l
u ul ul lu
u
ul ul lu l
u
n
Q posons A n B n u B n u A n B n B n
g h
divisons par n A B B
g c
h g h
A B B
c g c
0
3 3
0 0 0
3 3
0
(exp( ) 1 0
8 8 exp( )
. 0
.(exp( ) 1 .(exp( ) 1
l
ul ul lu
u
h g h
A B B
c g c
l'etat , 1
Q l n augmente de et un photon
( )
3 0 3
0
. 0 ( ). 8 0
.(exp( ) 1
( exp( )). 0
ul u ul u lu l ul u ul u lu l
Q posons A n B n u B n u A n B n B n h
c
0
3 3
0 0
3 3
0 0
3 3
0 0
3 3
0
3 0 3
8 8 1
. (1 ) 0
.(exp( ) 1 .(exp( ) 1
8 8
. ( ) 0 ,
.(exp( ) 1) ( ) '
.8 0
8
l
ul ul lu
u
l l
ul lu ul lu
u u
l
ul lu
u
h g h
A B B
c g c
g h h g
A B B B relation vraie T
g c c g
cte f T
d où
g h
A B
g c
h
3 0 3 3
0 3
0
29
0
.8
( ) 0
.(exp( ) 1)
II.B Intensié spécifique de la raie HI émise par un nuage d'hydrogène atomique .
. ,
l
ul lu
u
l l
ul lu ul lu
u u
g h
A B
g c
g g
B B B B
c g g
Q
E B u E
pour une O P B u vecteur unita c
2 0 30
2 0 0
2 0
0 0
0 0
2 0
0 0
0 0 3
.
.cos( . ) ²
2
1 1 ²
( ) ² ² ² ( ² )
2 2 2 ²
( ) ²
2
² 1 , .
ire indiquant la direction de propagation soit E u
c Q
Avec E E t k r E E
E u E E
I or u t E B E B B
c c c
alors u u t E E
avec c on a finalement I c u Q
1
32
.
: ² , ² ² ; ² :
' [ , ] ² .
.
. .
. ( )
4 4
1 1
4 4 .
4 ( ul u
du d U
u avec du d U d N h d N nombre de photon dont la fréquence
d dV
d N h dn
d u h n h
d dV d
Soit u n h
Q
c u dI c du
I dz cdt
dz cdt
dI du dn
soit h
dz dt dt
dI h dz A n
3 0 3 0
3 3 0
). ( )
. ( ) ( ). ( )
4 4
' .8 ; exp( ),
. ( ) ( . exp(
4 4 8
ul u lu l
ul u ul u lu l
l l u u
ul lu ul lu
u u l l
l u u
ul u ul l
u l l
B n u B n u
h h
A n B n u B n u
g h g n g h
d aute part A B B B et posons
g c g n g kT
g g g
h h c
donc dI A n dz A n
g g h g
3
0 3
3 0 3 0 0 3 0
0
) ). . ( )
8
. ( ) (exp( ) 1).4 . ( )
4 4 8
. ( ) ² (1 exp( )). . ( )
4 8
u l u
ul u ul l
l u
ul u ul l
l
g c
u dz
g h
h h g c
A n dz A n I dz
c g h
g
h c
dI A n dz A n I dz
g
33 .
0 0
0 0
34 0
( . ) ( . )
(0)
1 ln( )
( ) (0) 0
( ) (1 ) ( ) (1 )
. ' exp( ) 1
z z
k z k L
dI dI j k I
Q dI j dz k I dz dz dz z
j k I j k I k j k I z
avec I on aura
j j
I z e I L e
k k
h h
Q danslesnuages d hydrogène on a kT h
kT
0 3
0
2 0
9
35 . 0
1 1 2
2 2
² . ( ) 4.
8
3. ² . ( )
32
: 100 ; 10 ;
largeur spéctra .
le du à l'effet Doppler thermique :
.( ) ·
u
ul l H l
l
ul
o H
kT g h
donc k c A n avec n n on a
g kT
c h
k A n
kT
Q Données T K c Hz
est donnée par V
c
avec kT m V on a k
6 17 2
0 0
2
0
36
( . )
( . )
( ) ( ) 6.10 10 . 3 ² . ( ) 3,6.10 1
32
1 .
(1 ) . ( ) .
. ' ' l'inten
/
ul H o
k L
k L
c L h
et L m k L A n
kT ce qui donne e k L
j j
e k L soit I L j L
k k
Q Entre le nuage d hydrogène et l atmosphère terres T m
r c
t e
4
sité n'est pas modifié (absence d'autre nuages).
' ' '
(
priorité aux hautes fréquences 'visi
Dans l atmosphère le faisceau n est que peu diffusé par lesmolécules de l air à cause de sa faible fréquence la puissance diffusée est en f
37
38
ble et UV..')
3 3
. ( ) . ( ) . . ( ). . . ( ). ( )
4 4 4 16
² ² ²
. cos 1 1
2 2 ² ²
( ) ( .36)
3 3 ²
. ( ). . . . ( ). . .
16 16 ²
.
ul u ul H ul
ul H ul H
H H
h h h
Q I L A n L A n L A N H
R R
Q R D
D D
F I d I L d cf Q
h h R
A n L d A n L
D Or N n V n
39
0
0 0 0
35
. ². ' 3 . ( ).
16 ² .
3
3 3
. ( ) (
. . . ( ). .
16 ² 16 ² 1
) '
6 ²
H ul H
ul u
o
H ul H l H
cf Q d
R L d où F h A N
D Q
h
h h
F d A N d
où
A N d A N
D D D
40
0
0 41
II.C Quelles informatons nous apporte la raie HI émise par une galaxie Q .
(1 ) .(1 )
. ' ' :
On peut adopter pour axe des abscisses V ou car il y a une relation linéaire
entre V et en effet V V c
c Q d après l ennoncé
0
0
0
1 0
0
0
’
1420 , 4057518 1416,2
.(1 ) .(1 ) 12,68
* On p eu
0.35 200 .
t estimer l intégrale du flux sur le profil de la raie par
les valeurs moyennes de F soit F Jy et v Km Mhz
Mhz
V V c D c D Mpc
H
s
5 1
0
0,94
. 3,29.10
v MHz
c F
Soi t F
d
Jy s
