$T-S$ capitulations

THÉORIE DES NOMBRES BESANÇON

Années 1994/95-1995/96

T - S c a p i t u l a t i o n

C . M A I R E

T - S c a p i t u l a t i o n

C h r i s t i a n M a i r e

I n t r o d u c t i o n

Soient k u n corps de n o m b r e s et deux ensembles finis disjoints T et S" de places de k, non archimédiennes pour T et quelconques p o u r S ( S = So U SCj0) ; k fT

désignera l'extension abélienne m a x i m a l e de k, T-ramifiée m o d é r é e et S'-décomposée.

E n p r e n a n t T vide et S égal à l'ensemble des places réelles de k, que l'on p e u t noter k^r d, correspond au corps de Hilbert de k [Kol, t h . 2.2]; on sait que dans ce cas le groupe de Galois de k ^^{r d}/ k s'identifie au groupe des classes au sens ordinaire de k, n o t é cl°£d, et que cl°^d capitule dans cl°"ld [Kol, chapitre 2, §2, t h . 2.18]. E n r e m a r q u a n t que G a l ( k fT/ k ) s'identifie au groupe c / fm des ^-classes de rayon m — J l v (cf .§1), il est n a t u r e l de s'intéresser à la capitulation de c l f^m

veT

dans c / j ^ j j q que l'on n o t e r a par abus c/j^TO, où K = k fT, m ( K ) = w, weT(K)

S ( K ) = {u; G pin-, w\v, v Ç 5 } , et où T ( K ) = {w G p i n , ^w\ v , v Ç. S } (cf. §3) et, de m a n i è r e plus générale, au noyau de l'application

•S . iS I s JK/k,m • k,m ^ ^clK,m

définie à p a r t i r d ' u n e extension K / k galoisienne finie, T-ramifiée m o d é r é e de groupe de Galois G (cf. §2). On p e u t se référer à u n travail de J a u l e n t [ J a l , §3 , corollaire 14] qui d o n n e u n e version du t h é o r è m e 94 de Hilbert p o u r les corps de rayons ; [Jal]

contient de plus u n e b o n n e bibliographie concernant le p r o b l è m e de la capitulation.

Iwasawa [Iw], p o u r T vide et S égal à l'ensemble des places réelles de k, puis M a t s u m u r a [Mat], p o u r T quelconque et S égal aussi à l'ensemble des places réelles de k, se sont intéressés de plus à l'image de jx/k,m > e n r e p r e n a n t leur m é t h o d e , on va m o n t r e r que le quotient (cZ^^TO)^G/jK/k,m(^c^k,m) s'injecte dans le groupe cohomologique H²( G , E ^ ^m ), où est le groupe des 5 - u n i t é s congrues à 1 m o d u l o m , ceci lorsque K / k est galoisienne finie, T-ramifiée modérée, et de plus, on a u r a u n e m a j o r a t i o n

d e \ H2( G , E l J \ ^ t h é o r è m e 4

I (dK , J / j K / k , m { c l U \

D a n s u n e cinquième p a r t i e nous étudierons le cas particulier où K / k est cyclique, T - ramifiée m o d é r é e ; nous verrons alors que la m a j o r a t i o n d u t h é o r è m e 4.1 est optimale, i.e on m o n t r e r a que

m) I v£SqUp/fcn / ^|00

\(<*K,mf / j K / k , m ( c l l J \ f

/ „ é t a n t le degré résiduel de v dans K / k , et / = p p c m { fv, v E So U plk,<x>}-

Mais avant de développer ces points, on p e u t faire quelques r e m a r q u e s sur les n o t a t i o n s q u e l'on est a m e n é à utiliser puis sur l'extension abélienne m a x i m a l e T - ramifiée m o d é r é e et ^ - d é c o m p o s é e d ' u n corps de n o m b r e s k.

1 N o t a t i o n s - R e m a r q u e s

P o u r u n corps de n o m b r e s k, on n o t e r a plk l'ensemble des places de ce corps ; plk

est la réunion de l'ensemble des places finies, plk,o, et de celui des places infinies, ph,oo ; dans ce dernier, on p e u t distinguer le sous-ensemble des places réelles, pl^oo, de celui des places complexes

Si v désigne u n élément de plk, on n o t e r a également p a r v la valuation associée à la place v ; p o u r x G kx, v(x) p e u t avoir trois significations:

• v G ph,o '• v(x) est la u-valuation normalisée de x,

• v G p/fcoo • si av ( x ) > 0 (on dira que x est positif en v), alors v(x) = 0 sinon

= 1, où av est le plongement associé à la place v, Plî, oo : v( x ) = 0.

P o u r v G p h f i i on confondra v avec l'idéal premier qui lui c o r r e s p o n d ; pour u n élément v de p lk, kv désignera le complété de k m u n i de la n o r m e | |„ ; en ce qui concerne les unités locales elles sont définies n a t u r e l l e m e n t , à savoir p a r Ukv = {x G k * , v ( x ) = 0} ; en particulier p o u r v G plrket00, on trouve kv — R et Ukv = Rx + ; on désignera p a r U^k le groupe des unités locales principales.

P o u r K , extension galoisienne finie de fc, et pour v, place de fc, nous noterons par w u n e place de K au-dessus de v, w\v ; alors si Kw désigne le complété de K en w, on sait que est u n e extension galoisienne finie de groupe de Galois le groupe de décomposition de w dans K / k , groupe que l'on n o t e r a Dw( K / k ) ou encore Dv( K / k ) ; I^w( K / k ) , n o t é aussi I^v( K / k ) , désignera le groupe d'inertie de w dans K / k . Dans le cas archimédien, p a r définition Iw est t o u j o u r s trivial ; u n e place infinie se décompose ou bien reste inerte et dans ce cas on parle de complexification, notion introduite p a r J a u l e n t [Ja2].

a) G r o u p e s d e n o m b r e s .

O n p r e n d p o u r T et 5 deux ensembles disjoints de places de k, T C plk,o, S = SoUS<

avec So C plk,o et Soo C plk,oo ; à T on associe le m o d u l e m de fc suivant : m = J J u.

vÇT O n n o t e r a alors :

k^T = { x € k^x, ( x , T ) = 1}

= {x G k^T, v(x) = 0 Vu G plk,oo}

k +S° ° = { x e k * / x = 1 ( m ) et u ( x ) = 0 Vu G plk,oo\Soo},

km = i^x € ^k* / ^X = ¹ (^m) ^{e t V}(^X) = 0 Vu G plk,oo},

ESk,m = V(x) = 0 Vu G

= {x G F / u(x) = 0 Vu G p/fc,o}, Ek = {x £ kx / u(x) = 0 Vu G p/fe},

<S>> = { & * } ,

(5o> est le sous-groupe de Ik construit à p a r t i r des idéaux de So-

b) G r o u p e s d ' i d é a u x .

Ik désignera le groupe des idéaux non nuls de k ; on rappelle alors que les idéaux p r e m i e r s de k correspondent à plk⁰. O n n o t e r a alors:

Pk = {(x), x G k+} , P £r d = {(x), x e k * } , Pk,m = { ( z ) , x G *;+}, P f c = {(*)> ® e k+ 5~ } , Pk,T = {(x), ( x , T ) = 1}, ik,T = { Q e lk, ( Q , T ) = i } .

c) G r o u p e s d ' i d è l e s .

J k désigne le groupe des idèles de k, J^{k m} le sous-groupe des idèles de k dont la u - c o m p o s a n t e a p p a r t i e n t à Ulv pour t o u t u de T Up/fc)00.

U f ^m désignera le p r o d u i t suivant :

n ^ t i i * ; n c j k . veT ves v<£SUT

d) O r d r e d e c/f,

Notons p a r Rk m le rayon Pk^ ( S o ) et définissons alors c/f m c o m m e é t a n t le quotient h , T / R f ,m ï o n Pe ut r e m a r q u e r que clf m s'identifie aussi à c lk i T n/ c lk t m( S ) , où clktm = h,T/Pk,m et clktm{Soo) = (clk,m(av m)) avec avm G v.

O n a la f o r m u l e classique suivante : P r o p o s i t i o n 1 . 1 :

U { N v - l ) l < J = l c i t i Si veT

(Es k : E U ' où N v correspond à l'ordre du corps résiduel en v, i.e. à I j ^ r l -

kv

De m a n i è r e plus générale :

P r o p o s i t i o n 1 . 2 : Si m = FLeT^™") nv > 1,

J J ( N v - ^ . ( N v )7 1» -1

I 4 J = \ d * \ .

R e m a r q u e 1 . 1 :

Soit p u n n o m b r e premier ; si l'on s'intéresse à la p-partie de clf m ( m = H w), pour ver

q u ' u n e place j o u e u n rôle il f a u t que N v soit congru à 1 m o d u l o p.

e ) p - r a n g d e ds k m.

On se fixe k, on o m e t k dans les notations, on suppose que S^{0 0} C pl^rkoQ et de plus que N v = 1 (p) p o u r v E T .

i) On p a r t de la suite exacte

P ïr d( S0) IT p h IT

P * r ( S o ) l T^p R^{s m}h^v P ï^{r d}( S⁰) I^{T p} '

I t , . , , clsm IT . , c ls ire

o ù W l 7 e s t i s o m o r p h e à ( j i y > p o r d (^{S o}) i^Tr i s o m o rP^{h e à s =} S o u p r ^ , et où c l^S correspond à l'extension abélienne m a x i m a l e de k non ramifiée, non complexifiée et So-décomposée.

C e t t e suite exacte devient :

i . ^PT^d . ^d l , ^{d §}

P Z ° ° ( S o ) iT pn P r (cism)p ( c i s y ii) Identification de P $^{r d} / ( S⁰) I^{T P} n P f^d :

N o t o n s p a r cl^s\p] l'ensemble des éléments de c l^s annulé par p ; ceci f o r m e un IF^P- espace vectoriel de dimension d égal au p-rang de c l^s. Soit . . ,hd u n e 2F^p-base de cet e s p a c e ; p o u r hi, il existe u n idéal Qi tel que c l^s( Q î ) = hi, i.e. il existe G k^x tel que Qi^p = (cti)Qs⁰,i avec Q^{S o},i G (S⁰).

E n p r e n a n t ( Q i , T ) = 1, on s'assure que (a,-,T) = 1 ; notons alors:

As⁰ = E^s{ a¹, . . . , a^d)^{F p} , et ^ l ' h o m o m o r p h i s m e n a t u r e l suivant :

vs m : k ï / kx Pk is° ° — • P ïr d/ P i ° ° ( S o ) IT p n P°T r i. vp^ est bien défini et est n a t u r e l l e m e n t surjectif ; évaluons k e r ^ ^ :

p o u r x G kT (i.e ( x , T ) = 1), supposons que ^ ( x ) = 1 ; alors (x) = QpQ s0( a ) avec a G k+s°°, Q G I t et G {S0) ; p a r conséquent c ls( Q )p = 1, i.e. c ls( Q ) G cls\p\, plus précisément :

ds( Q ) = T [ h ï ; t

ainsi Q^p = n,- (Qi)^P " ' - m . Q ' s⁰ avec b G k^T et Q'^So G (S⁰), d'où

i

l'idéal Q"S(j est principal et est engendré p a r u n e 5o-unité au sens ordinaire, alors x G AS o. k f . k +s~ , i.e.

A a k^{x P}k+^s<

k e r *^{s m} = ^{A %} Z ^kT O n obtient alors la suite exacte :

k ïpk ±s~

1 . AS ok ïPk +s° ° kx ** P f

kx Pk +s~ kx Pk + r p $ ~ ( S0) iT pn P f rd

de plus c e t t e suite exacte est u n e suite de _ZF^p-espaces vectoriels, ainsi il vient : dpclsm = dvc ls + dp ( y ô r j — } ~ dP (k* rk+ s l °n A s o) •

iii) C o n s t r u c t i o n de :

kx Fx ( 1R* \

• > TT — TT

^ m ' 7,XPi.+oo I I pxP 1 1 " LXP7.+00 1 1 FxP 1 1 \ T?XP / '

KT m veT 1 v vepll*^ \ /

• I n j e c t i v i t é : prenons x dans k e r Q ^ ; p o u r u G T , il existe av dans Ukv et bv dans Ukv tels que x = av.bv p, i.e x = bvp (v) ; p a r le l e m m e chinois [La, chapitre 1, §4, page 11], il existe b dans kx tel q u e :

x = bi^p ( m ) , i.e x = aW avec a = 1 ( m ) .

P o u r u G ph,oo\Soo et p ^ 2, p a r le t h é o r è m e d ' a p p r o x i m a t i o n [Kol, chapitre 1, §4, t h é o r è m e 1.68, page 48], on p e u t t o u j o u r s trouver bo dans k r , bQ = 1 ( m ) et tel que v(abQ) = 0 p o u r v G ph,oo\Soo ; on a u r a alors

x = (abop) ( I V , i.e x G k+°°k*p. Si p = 2, alors de x = a&² et de = 1, on a x G

• Surjectivité : elle provient d u l e m m e chinois.

A i n s i i r ( w h r ) = S * ( • $ ) + _rd k,oo > { ! & ) • iv) I n t e r p r é t a t i o n de A^SJ A^{S 0} n k ^ k + f^{0 0} :

on utilise de nouveau l ' h o m o m o r p h i s m e €>fⁿ défini p r é c é d e m m e n t : e * . â * ^ n C ^ ) t t

• A_ n i-XPr,Ao n kx pk ++s5_ 1 1 l rp° ° 1 1 \ Fx Pxp I 1 1 / 1 1 \ 1RXP / ' SiSo 1 I kT Km veT \ rv J vepll^ V^"- /

© ^ est injective, ainsi on a l'isomorphisme de 2Fp-espaces vectoriels suivant :

~ 05M < ? ) AS on k y k + s ~ -

T h é o r è m e 1 . 1 : F o r m u l e d u p - r a n g d e clf ^m.

Soit c l lm le quotient Ik t T/ Rk j m, où R ft m désigne le rayon ; alors dpclSkim = dpclf + \T\ + S2p. |{W G ^ \ 5 c o } | - dp ( es m( AS o) ) ,

où Sp = 1 si p = 2, 0 sinon, et où © ^ ( A ^ ) est l'image diagonale de As⁰ = E Î ( a1, . . . , ad)F pd a n s l [ ( ^ b ) I I f ^ V

ver \^rv ) ve^Pi^rke}00 / C o r o l l a i r e 1 . 1 :

P a r une d é m a r c h e analogue, on p e u t évaluer | c / fm| en fonction de |c/f j, où S = So U plk,oo ; on a :

I 4 J = { E § k : E L ) .

f ) L ' e x t e n s i o n a b é l i e n n e m a x i m a l e d e k, T - r a m i f i é e m o d é r é e , S ' - d é c o m p o s é e . On rappelle q u ' u n e extension K / k est dite T-ramifiée m o d é r é e si :

i) K / k est non ramifiée en t o u t w\v, v Ç p 4i 0\ T ;

ii) l'indice de ramification de w\v dans K / k , v Ç. T , est étranger à la caractéristique du corps résiduel Fv (on p e u t se référer à [Sel] ou [Fr]).

E n p r e n a n t T vide et S vide, on trouve clk, le groupe des classes au sens restreint, groupe qui correspond à l'extension abélienne m a x i m a l e de k non ramifiée a u x places finies ; p o u r T vide et S égal à l'ensemble des places réelles de k, on obtient cl°krd le g r o u p e des classes au sens ordinaire qui correspond à l'extension abélienne m a x i m a l e de k non ramifiée a u x places finies et décomposée à toutes les places infinies. De m a n i è r e générale, dés que T est vide, on p e u t r e m a r q u e r que c / fm s'identifie à l'extension abélienne m a x i m a l e de k 5 - d é c o m p o s é e ; on supposera alors pour les lemmes 1.1, 1.2, et 1.3 que T est non vide.

L e m m e 1 . 1 : Soit k fT le corps de rayon R fm = Pk™{So), m = J J v ; alors k fT/ k v£T

est T - r a m i f i é e modérée, S-décomposée.

D é m o n s t r a t i o n :

Il est clair que k f^T/ k est T-ramifiée et ^ - d é c o m p o s é e . Notons par k ( m ) le corps de rayon m et p a r k ( m0) celui de rayon m0 = J J v, p o u r vv€T\V O 0 G T quelconque ; kf T

est la sous-extension m a x i m a l e de k ( m ) , ^ - d é c o m p o s é e .

Le groupe de Galois de k ( m ) / k ( m o ) est engendré p a r le groupe d'inertie de Vo dans k ( m ) / k ; ainsi e^Vo ( k ( m ) / k ) = | G a l { k ( m ) / k { m⁰) ) \ = — y , e^vo (k{ m ) / k )

("E'fc.mo : ^fc.mj désignant l'indice de ramification de Vq dans k ( m ) / k .

Ainsi, e„0 ( k f T/ k ) est étranger à N v0. •

Soit F u n e extension abélienne T-ramifiée modérée, ^ - d é c o m p o s é e de k contenant s t r i c t e m e n t k fT ; alors il existe u n m o d u l e M = J J va", av > 1, tel que k C F C

vÇT k ( M ) .

On a alors le s c h é m a (1) suivant :

k ( M )

où kf ^T = F fl k ( m )

k

Scindons T en sous-ensembles Tq, où Tq = {v € T, c a r Fv = q }, q p a r c o u r a n t les n o m b r e s premiers ] T — [ j Tq, M = J J J J va".

ï ? Il vient alors le s c h é m a suivant p o u r qQ fixé :

fc(Mo)

k ( m ) fc(Mo)

où Mo = n ^ n veTî0 fCTlToo et M⁰ = J J ^v- I I

v€T^qo veT\T^V0

L e m m e 1 . 2 :

Le g r o u p e G a i ( k ( M ) / k ( M0) ) est engendré p a r un sous-groupe de (/„ ( k ( M ) / k ) )v exq o ; il est d ' o r d r e une puissance de qo.

D é m o n s t r a t i o n :

on considère le s c h é m a suivant :

fc(M„) k ( M )

L' où L est le corps fixe par les groupes d'inerties lv ( k ( M ) / k ) , v e Tqo et L' = L 0 k ( M0) ; ainsi le c o n d u c t e u r de L divise J J v^a",

v€T\Tqo

i.e L = L ' . U

L e m m e 1 . 3 :

Le g r o u p e G a i ( k ( M ) / k ( m ) ) est e n g e n d r é p a r un sous-groupe d e (/„ ( k ( m ) / k ) )v eTq, q G IN, d ' o r d r e une puissance de q ; p l u s p r é c i s é m m e n t , il existe q G IN, v G Tq tels que ev ( k ( M ) / k ( m ) ) soit d ' o r d r e une puissance de q.

Ceci est i m m é d i a t p a r le l e m m e 1.2.

P r o p o s i t i o n 1 . 3 :

k f^T est l'extension abélienne m a x i m a l e de k, T - r a m i f i é e modérée, S-décomposée.

D é m o n s t r a t i o n :

On suppose T non vide.

R e p r e n o n s le s c h é m a (1) avec F contenant strictement A;f T ; p a r le l e m m e 1.3, il existe q, v G Tq et I 'v( k ( M ) / k ) sous-groupe de Iv( k ( M ) / k ) d ' o r d r e u n e puissance de q tel que

K ( H M ) / k ) + l o h H = G a l { k { M ) / N ), I 'v( k ( M ) / k ) n H

ce quotient s'identifie à u n sous-groupe de Iv ( N / k ) d ' o r d r e u n e puissance de q. P a r t r a n s i t i v i t é de l'indice de ramification puis p a r le l e m m e 1.1, on obtient la proposition

1.2. •

R e m a r q u e 1 . 2 :

Si l'on n o t e p a r induction k f+ 1 T l'extension abélienne m a x i m a l e de k fT, T,-ramifiée modérée, ^ - d é c o m p o s é e (i > 1), où Ti = {w G p l îi Ti w\v, u G T } et Si = {w G pif , w\v, v G 5"}, on définit u n e suite de corps k f^T et ainsi la T - S tour de k, notée k f , v u e c o m m e réunion des k fT ; pour p premier k%(p) désigne la p-extension m a x i m a l e de k contenue dans fcf ; on p e u t également noter que k ^ ( p ) / k est la p- extension m a x i m a l e de k, T-ramifiée m o d é r é e et .S'-décomposée.

L'inégalité

dpclk,m > 2 + 2 j dpE lm + 1 , où S = S0 U plr k%,

implique que k a u n e p - T - S tour infinie, i.e que l'extension k ^ ( p ) / k est infinie [Mai].

R e m a r q u e 1 . 3 : S u r le d é p l o i e m e n t d e k fT/ k .

On p r e n d u n ensemble fini T ' de places finies de k, T ' C T, T ' fl S = 0.

Il est clair que le groupe de Galois de k f T/ k f T, est engendré p a r les groupes d'inertie des places v de T \ T ' dans k f^T/ k ] p o u r v G T \ T ' , |/„ = x , ceci p a r la proposition 1.1.

Ainsi l'extension k f^T/ k f^T, est déployée, i.e

G a i t ! T') ~~ ( J ) Iy / k j veT\T'

si et seulement si

(Ek,m> '• Ek,m) = I I {Ek , f '• Et r n ) - veT\T'

P o u r k = (Q, S = 0, T ' — 0, on retrouve la décomposition d e Q ( m ) , m = J J v.

vÇ.T g ) U n e s u i t e e x a c t e l i a n t c l fm à d e s q u o t i e n t s d ' i d è l e s .

P r o p o s i t i o n 1 . 4 :

Nous avons ia s u i t e exacte :

Î Jk,mS J.S r fi, .5 i j^S * C k ^ Clk,m >

Jk,m x P J k

°U C k = h * '

O n p e u t r a p p r o c h e r c e t t e suite exacte de celle apparaissant dans [Mat].

D é m o n s t r a t i o n :

• Définition de :

pour x G Jk et p a r le t h é o r è m e d ' a p p r o x i m a t i o n , il existe a £ kx tel que j = x a G J^{k m} > ^{o n} P^{o s e} alors

4 > l ( x ) = J I m o d u l o R?^ktm . vepik, o

L ' i n d é p e n d a n c e d u choix de j provient d u fait q u e <t>^(kx) = 1 m o d u l o Rk m.

• Recherche de ker<f>^ :

<f>i(X) = 1 m°d Rk,m

« J J v * M = (Z)QS o

avec z dans et Qs0 dans (S0) ; par conséquent - G Uk<m et x Ç. Uk r nk+l S c ak>

Z

De plus, en r e m a r q u a n t que ( ^ mA ; + 5 o ° = 1 m o d R fm, on en déduit : TjS b.Soch.y. ; / 5

, ,S ^ k,m m ^ ^fc,™ i-,

k e r ( f ) m = ~k_K k,m x = F " "

2 É t u d e d e k e r j

Dorénavant, on considère K / k u n e extension galoisienne finie T-ramifiée modérée, de g r o u p e de galois G ) S et T désignant des ensembles de places de k, on peut é t e n d r e ces ensembles à K en S ( K ) = {w G p l u , w\v, v G 5"} et T ( K ) = {w É plKi w\v, v G T } ; on p e u t alors définir m ( K ) = J J c o m m e m o d u l e de K et

weT(K) ainsi \^{K )}.

P a r abus on n o t e r a S ( K ) p a r S , T ( K ) p a r T , m ( K ) p a r m et c / ^ ^ j j ^ par c / f -m. L'application j^/km. définie c o m m e suit :

rj s j. rl S

< m ( Q ) ^ c l l m ( Q OK ) , Q O k é t a n t l'idéal Q é t e n d u à l ' a n n e a u des entiers de K . L e m m e 2 . 1 : T h é o r è m e 9 0 d e H i l b e r t a v e c m o d u l e .

Sous les h y p o t h è s e s précédentes, p o u r t o u t cocycle f de Zl( G , E f< m) , il existe b élément de I Ï + s°° tel que

V<r G G, f ( a ) = b .

P o u r T vide, on retrouve le t h é o r è m e 90 de Hilbert, ainsi p o u r la d é m o n s t r a t i o n on p e u t supposer que T est non vide.

D é m o n s t r a t i o n :

P a r le t h é o r è m e 90 de Hilbert, H1 (G, Kx) = 1 [Gru, §2.7, proposition 3, page 124] ; ainsi p o u r t o u t cocycle de G dans K^x, il existe 6 de K^x tel que

V<7 G G, f(cr) = b .

L'élément b est défini p a r la résolvante de Hilbert c o m m e suit :

b = f (a) -c < Ti a v e c c £ K * tel que b soit non nul [Gru, §2.7, page 124].

<?eG

L'extension é t a n t T-ramifiée modérée, on p e u t trouver u n élément c a p p a r t e n a n t à Kx tel que t r x / kc = 1 (m) [Fr, §5, t h é o r è m e 2, page 21], t r ^ / k désignant la trace dans l'extension K / k ] par le t h é o r è m e d ' a p p r o x i m a t i o n , on p e u t choisir c dans K+ s°° et p a r conséquent, t r n j kc £ Km So° • D

L e m m e 2 . 2 :

C f c^xn ; on a l'égalité si K / k n e complexifie a u c u n e place en dehors de Soo-

D é m o n s t r a t i o n :

Il est clair que est inclus dans k^x H K +^s° ° . P o u r x G k^x fl K+^s°° et pour w G pIk,oo\S<x>, alors w ( x ) = 0 ; ainsi si w est réelle, alors p o u r t o u t e place v de plk,oo, w\v, nous avons cr^w(x) = a^v( x ) > 0, i.e v(x) = 0 ; p a r contre si w est complexe, l ' i n f o r m a t i o n w ( x ) = 0 est vide.

Ainsi si K / k ne complexifîe a u c u n e place en dehors de S0 Q, l'égalité est immédiate.

•

On p e u t alors énoncer le p r e m i e r résultat de c e t t e partie.

P r o p o s i t i o n 2 . 1 :

Soit K / k une extension galoisienne finie, T - r a m i f i é e m o d é r é e , plk,oo\Soo-décomposée ; soit G = G a l ( K / k ) , alors on a l'isomorphisme s u i v a n t :

kerjS K / k > m ~ H \ G , Es K > m) .

En p a r t i c u l i e r si l'extension K / k est cyclique, alors k e r j x /^{k m} s'identifie à E ^ *^m/ (^E^ ^ où G = (cr) et EsK*m = {* G E U NK / kx = 1}.

D é m o n s t r a t i o n :

• C o n s t r u c t i o n de l ' h o m o m o r p h i s m e :

Soit l'application <3>fyfc m : kerj^/k,™. —> H1 (G, défini c o m m e suit : pour Q G h , T tel que c / f -m( Q ) = 1, on p e u t écrire

Q Ok = ( a ) V5 o,

où a G KmS°° et ^So e st u n <So-idéal de A'; en particulier, est un élément de E fC m, quelque soit a a p p a r t e n a n t à G.

Si Q O k s'écrit également (ol'VSq), alors on en déduit l'existence de £ G E ^m tel que a^v~^a = e^x~^ao {^x~^a, Ver G G ; en r e m a r q u a n t que l'application qui à a associe e^1-<T est u n cobord dans H1 (G, -E^m), o n Pe ut définir $K/k,m '•

*Kik,m : c l l J Q ) G k e r £^{/ k t n} —> / G Z \ G , E^{s K},^m) m o d B \ G , ( Q Ok) = (a)V5 o / : a e G ^ a1' * .

• Injectivité de §^{s K / k},^m :

Soit c i l J Q ) G k e r js K / k < m tel que ( c / g J Q ) ) = 1 dans Hl( G , Es K <J - alors il existe ^£ G tel que (c/£^m(<2)) = ( / : <r e¹" ' ) , i.e a¹' * = e¹' " , Va G G. Ainsi e / a G kx n K +S o° , i.e d'après le l e m m e 2.2 , e / a G k+S o°.

E n écrivant Q O k { s / o ) = Vs0(e), on en déduit que Vs0(£) est u n So-idéal de K , stable p a r G ; l'extension é t a n t non ramifiée en So, alors Vs0(e) est un S'o-idéal de k, i.e c/ f m( Q ) = l .

• Surjectivité :

Soit / G Z^l( G , E f^{C m}) alors p a r le l e m m e 2.1, il existe b G K+^{S o}° tel que /(cr) = b1- " , M a e G.

L'idéal (b) p e u t sécrire VVs0 avec V étranger à S0 et Vs0 u n S'o-idéal de K ; (&)1-<T

é t a n t u n So-idéal de K , alors V1 - < 7 = (1) Ver G G ; finalement il suffit de r e m a r q u e r que V est u n idéal étranger à T , ainsi l'extension é t a n t T-ramifiée, alors V est l ' é t e n d u d ' u n idéal Q de Ik,r•

On a alors <D*^/fc|m «^m( f i ) ) = / m o d B^l( G , E ^ ) . •

E n p r e n a n t T vide et S égal à tous les plongements réels, on retrouve le résultat d'Iwasawa [Iw] à savoir :

Si K / k est u n e extension galoisienne finie non ramifiée p o u r les idéaux alors k e r j % îk~ H \ G , E %d) .

O n p e u t élargir la situation de la proposition 2.1 en p r e n a n t u n e extension K / k , T-ramifiée m o d é r é e m a i s pas forcément plk,oo\Soo~décomposée. Avant de développer ce p o i n t , pour u n e extension galoisienne finie K / k , nous noterons p a r 7 l'ensemble des places réelles de k qui se complexifient dans K / k et p a r 7 = 7 fl plk,oo\Soo- On p e u t r é s u m e r la situation :

plk,oo = Sqo U 7 U A , réunion disjointe .

On p e u t r e m a r q u e r que les places de A se décomposent t o t a l e m e n t dans K / k , puis que S U 7 = S U 7.

On a alors le résultat principal suivant : T h é o r è m e 2 . 1 :

Soit K / k une extension galoisienne finie, T - r a m i R é e m o d é r é e de g r o u p e de Galois G et soit 7 l'ensemble des places réelles de k qui n e sont p a s dans S , et qui se complexifient dans K / k .

On a alors la suite exacte :

1 — • T — • k e r j^{s K / k m} % H \ G , E^{s K > m}) 1, r<\î\

u2 , c f T?SUÎ\ _

g e t S9U (Ek ,m ) ~ n s " - S g n ( Ek^ )

où r ~

R e m a r q u e s 2 . 1 :

i) S g n ( - E f ^ ) correspond à l'image de E ' ^ dans J J vÇ-y \

ii) Sous les hypothèses de la proposition 2.1, 7 = 0, ainsi T = 1 et on retrouve la proposition 2.1.

D é m o n s t r a t i o n :

La définition de est celle de la proposition 2.1 ; la surjectivité est i m m é d i a t e . En ce qui concerne l'injectivité, le p r o b l è m e rencontré est le m ê m e que celui apparaissant dans le l e m m e 2.1.

Calcul de k e r :

On rappelle que ( c / f^{> m}( Q ) ) = 1 Q O^K = {a / e) .V ^{S o}{e), avec ( a / e ) e P f l KmS o oi Vso So-idéal de K , a G K+s°° et £ G ; de ceci on en déduit que ( e / a ) G ainsi k e r $ ^ C c lk m ( P ^ Z ^ (Sof) ; l'inclusion réciproque é t a n t évidente, on a alors :

ker*s m = clsk>m ( P f cUH S o ) ) • nSooU-7 L+ SooU-7 Or r /⁵ ( r^s° °^uî ( ^k'^m ~ —2 Il suffit ensuite de r e m a r q u e r q u e :

k±USoc 1 1 l ff?X + sm „6-7 \^ f R * \ U t

ceci p a r l ' h o m o m o r p h i s m e de signatures partielles.

3 C a p i t u l a t i o n d e c l ^{k m} d a n s p o u r K = k f ^T .

P o u r T vide, S égal à l'ensemble des plongements réels, on sait que le noyau de j ° 0k

est cl°^krd p o u r K = k l^{r d} ; ceci est u n e conséquence i m m é d i a t e du t h é o r è m e de l'idéal principal [AT, chapitre 13, §4, t h é o r è m e 7, page 194] :

Soit G un g r o u p e fini et H son g r o u p e des c o m m u t a t e u r s ; alors l ' h o m o m o r p h i s m e de transfert V^g^ h • G^{a b} — • H^{a b} est nul.

O n p e u t ainsi d é m o n t r e r à l'aide de ce résultat, la proposition s u i v a n t e : P r o p o s i t i o n 3 . 1 :

Soit K = kf ^T ; alors cl^{k m} capitule entièrement dans c l i . e k e r j ^ ^^{k > m} = cl^{k m}. D é m o n s t r a t i o n :

O n applique le t h é o r è m e de l'idéal principal en p r e n a n t H = clf^ m et — = ; ainsi V g ^ h c lk m — y c / f -m est nul. P a r [Sel, chapitre 7, §8, application, page 130], on conclut facilement. •

R e m a r q u e 3 . 1 :

P o u r p premier, si l'on n o t e k fT( p ) p a r K , alors c lk m( p ) capitule entièrement dans dSK,m(p).

R e m a r q u e 3 . 2 :

Soit F / k u n e sous-extension galoisienne de k f^T/ k ; on a alors u n e évaluation partielle de \ k e r j p ik m\ en utilisant u n résultat de Suzuki [Su] ; considérons le s c h é m a suivant :

k1,T _1,X ™2,T s Fs ks

F

k

Le résultat de Suzuki indique que [ F : k] divise l'ordre du noyau de l ' h o m o m o r p h i s m e de t r a n s f e r t VH^N : Ha b —>• Na b, où H = G a i (fcfi T/fc) et N = G a i ( f c f ^ / F ) ; ainsi [ F : k] divise \ k e r j ^/ k m\ .

Les t r a v a u x de Suzuki complètent l'article de J a u l e n t sur le p r o b l è m e de la capitulation [Jal] n o t a m m e n t le corollaire 11 d u t h é o r è m e 10 et confirment la conjecture 4.

R e m a r q u e 3 . 3 :

J a u l e n t [ J a l , §3, corollaire 14, page 25] a établi u n analogue du t h é o r è m e 94 de Hilbert avec rayon (Sq = 0) ; en particulier dans le cas m o d é r é , le corollaire indique que capitule dans c l ^^M, où K = kf^{< T} et M. = J J J J u^¹", e^w é t a n t l'indice de

v£T w\v ramification de w dans K / k .

R e m a r q u e 3 . 4 :

Soit K / k cyclique T-ramifiée modérée, S'-décomposée de groupe de Galois G ; supposons que S contient l'ensemble des plongements réels de k, alors on sait que le quotient de H e r b r a n d de E j( m est égal à [K : A;]-1 [La, corollaire 2, page 192].

P a r le t h é o r è m e 2.1, il vient :

k e r j^{s K / k},^m\ = \ H ° ( G , E l^m) \ . [ I < : k].\r\ . E n particulier, si K est égal à i.e c / fm est cyclique, alors

Ek,m - N^K/kE^{S K},^m .

On p e u t r a p p r o c h e r ce résultat à certains t r a v a u x de L e m m e r m e y e r [Le, 1.7] et de Schmithals [Se].

4 É t u d e d u c o m p o r t e m e n t d e s c l a s s e s d e c / f m

é t e n d u e s à c l g

Soit K / k u n e extension galoisienne finie, T-ramifiée m o d é r é e de groupe de Galois G.

On rappelle que 7 désigne l'ensemble des places réelles de k se complexifiant dans K / k .

P r o p o s i t i o n 4 . 1 :

Sous ces hypothèses, on a

H ° ( G , clfç ) J / W | m \ r r 2( r p S x

où est définie dans la proposition 1.3.

On rappelle que p a r le l e m m e de Shapiro, [Ko2, §3.4], [AW, §4, proposition 2, page 99] H < ( G , U K ) ^{e t} H \ G , ] \ U k^w) s'identifient respectivement à H ^ D ^ , I<*⁰) et

w\v v/Jv

H¹( D^{W o}, U k^{W o}) p o u r u n e place arbitraire w⁰ de K au-dessus de v [Kol, chapitre 2,

§4, proposition 2.65, page 126] ; on m o n t r e de m a n i è r e identique que H ' ( G , J J U ^ ) ui\v s'identifie à Ht( DW o, U } ( ) pour u n e place a r b i t r a i r e w0 au-dessus de v.

L e m m e 4 . 1 :

P o u r t o u t e place v de T, Hn( G , f j UxKw) = 1, Vn G ZL.

w\v D é m o n s t r a t i o n :

P a r u n résultat classique de cohomologie ([Sel, chapitre IX, §5, t h é o r è m e 8, page 152]), il suffit de vérifier que Hn( G , J J U ^ J ) s'annule pour deux valeurs consécutives

w\v de n.

Fixons-nous iuo|î>, v Ç. T .

UfrWQ p e u t ê t r e v u c o m m e limite projective des quotients Ukwq / ^ kw q > * > 1 j d ' a u t r e p a r t , U k / U x ^ p o u r i > 1 s'identifie à FWo où FWo est le groupe additif d u corps résiduel en w⁰ (voir par e x e m p l e [Sel]) ; la place Wç> é t a n t ramifiée m o d é r é e dans K / k alors Hn( IW o, FW o) = 1, Vn [AW, §6, corollaire 1, page 105] ; on p e u t ainsi utiliser la suite de Hochschild-Serre [AW, §5, proposition 5, page 101] ; pour t o u t n > 1, on a alors

1 fyn 0 k 0 j Hⁿ( D^{W o}, F^{W o}) - 4 1 ;

il suffit ensuite de r e m a r q u e r que Vu, Hⁿ ( (F^{W o})^{I w}° J = Hⁿ l ^ , F ^{W o} ) = 1

\ •'two / \ Iwo j [Gru, §2.6, corollaire, page 124].

Ainsi p o u r t o u t n > 1, Hn ( DW 0, FW 0) = 1; p a r [Se2, §1, l e m m e 3, page 132], on conclut q u e Hn( DW o, U ^w o) = 1 p o u r t o u t n > 1.

On p e u t r e m a r q u e r que dans ce cadre précis IWo est cyclique. • L e m m e 4 . 2 :

i) Hⁿ( G , U ^^m) = 1 p o u r t o u t entier n i m p a i r .

ii) Hn( G , U fC r n) ~ J J CJfv = Ci7'- I I C /v, ceci p o u r t o u t entier n pair,

"GSoUp/J^ vçs⁰

et où fv est le degré résiduel de v dans K / k . D é m o n s t r a t i o n d u l e m m e 4.2 :

On a :

H g m u = u h ^ i i u d . u ^ u k ) - n / m n ^ o v£T w\v v£S ui|t; v£SuT w\v

= n ùn( Dw o, ui K w o) . n Hn( Dw o, i <x o) . n H Dw o, UK w o\ , ver ves v(SUT u'O <?c<? "'0 qcq u;q |v qcq

• P o u r v G So, Dw est cyclique, ainsi nous avons d ' u n e p a r t

H^{2 q}( D^w, K * ) ~ H ° ( D^W, K^x) c ^K c D t ~ C^{f v},

NKw/ kvK £

où D ^ désigne l'abélianisé de Dw et C/v le groupe cyclique d ' o r d r e fv, puis d ' a u t r e p a r t

H2 q + 1( DW, K * ) ~ H \ DW, K * ) = 1, ceci p a r le t h é o r è m e 90 de Hilbert ;

• p o u r w dans pIk,o\TUSo, ces places ne se ramifiant pas dans K / k , alors Hn( Dw, Ukw) — 1 p o u r t o u t entier n [Se2, §1.2, proposition 1, page 131] ;

• p o u r w\v, v Ç. T , p a r le l e m m e 4.1 on sait que Hn( Dw, U ^ J ) = 1, Vn ;

• p o u r les places infinies trois situations peuvent se présenter :

. v G A ( = ensemble des places décomposées dans K / k et non dans S ^ ) , alors Hn( Dw, UK w) = l , V w \ v , V n ;

• ^ G SooXSoo n 7, alors Hn( Dw, Kx) = 1, Vw\v, Vn ;

. t; G 7, alors H2 q + 1( DW, KX) = H2 q + 1( Dw, UK w) = H \ DW, €X) = 1 et jRx

H^{2 q}( D^w, K^x) = H^{2 q}( D^w, Uk^w) = j ^ . • D é m o n s t r a t i o n de la proposition 4.1 :

O n p a r t de la suite exacte

1 — p o u r obtenir

Z71S

K,m i^s a

^ u s K,m

1ÂK,m S

EsK,m

U i ESK,m

7/S

i.e H \ G , ^ ) ^ H \ G , E s K t m ) . t-Ji<-_JK,m

De la proposition 1.3 appliquée à K , nous avons U^s

H ° ( G , C k ) H ° ( G , c l lm) — • H \ G , - ^ ) H \ G , Ck) . K,m

Or H \ G , Ck) = 1 [Ta, §9.1, page 180], ainsi il vient :

H ° { G , J^K) ^ H ° ( G , c l^{s K t m}) H¹ (G, ^ k ) 1 . •

Notons p a r l'hypothèse s u i v a n t e :

k e r H2( G , J H ( G , U x^m) = H (G, E ^ J ;

on a alors le second t h é o r è m e dans lequel intervient ( c l j , le sous-groupe des G classes ambiges et le sous-groupe jx/k,m (c^f,m) des éléments de m représentés p a r u n idéal de k :

T h é o r è m e 4 . 1 :

Soit K / k une extension galoisienne finie, T - r a m i f i é e modérée, de g r o u p e de Galois G ; alors :

i) Sous H%/ k

H {G 1 Eic,m) — K J ii) sinon, on a l'injection

K J G

J K/k ,m

JK/k

^ H2( G , ES KJ ,

et la double inégalité

1 < H2( G , E l J /

JK/k (^clk,m)

<

n /»

veSoupik ,00

7 :

où / est égai au p p c m des degrés résiduels fv des places v de So U plk,00 • D é m o n s t r a t i o n :

La proposition 4.1 a p p o r t e le premier point et l'injection du second point.

Notons p a r A £ le quotient [ H2( G , E ^t T n) / que

3 K/k (Clk,m) ; on p e u t alors r e m a r q u e r

is m( H2( G , E U ) k e r af,

R e m a r q u o n s ensuite le d i a g r a m m e c o m m u t a t i f de G'-modules suivant :

jpS 'm 7 jS K,m ^UK,m-

u ^s

0 1 K,m

K> J K CK

1

où est défini dans la proposition 1.3.

Ce dernier p e r m e t d ' o b t e n i r le d i a g r a m m e c o m m u t a t i f cohomologique (2) suivant :

H (Gic lK , m ) (2)

H \ G , U lm) b

H²( G , J^K) H2( G , C K )

H2( G , c ls h- J Ainsi, k e r a ^ C k e r (d o 6), i.e k e r < |ker (d o 6)|.

n / . P a r conséquent, k e r < .O

d o b ( H * ( G , U l J ) , ceci par le l e m m e 4.2 ; il reste à évaluer |d o b ( H2( G

Observons le nouveau d i a g r a m m e c o m m u t a t i f suivant : H \ G , H2( G , J k ) H2( G , CK)

m v S P

- 2 Z / Z n

où n = [ K : k] ( o n p e u t se référer à [Ta, §11]).

Ainsi p o u r h (E H²{ G , J k ) ,

f3 o d(h) = i n v ( h ) ;

or en identifiant H²( G , J^K) à J J H²( D^{W o}, K *^o) , on a h = J J / i „ , et ainsi par

«épi* y

«"ol® 1C1 définition

i n v (h) = ^~^inv^v(hv) m o d u l o ZZ,

où invv est l'invariant local associé à KW o/ kv, à valeurs dans Q / 2 Z [Kol, §5.6, page 135],

Alors p o u r h de H²( G , U ^^m) qui s'identifie à J J H²( D^{W o}, K *^q) , ceci p a r le ves⁰u^Pi^kao

w0 l«9c<7 l e m m e 4.2, nous avons :

(5 o d o b(h) = i n vv( hv) m o d ZZ.

O n p e u t alors se rappeler que H²( D^{W o}, K *^q) est u n groupe cyclique d ' o r d r e égal au degré résiduel fv de w0\v dans K / k , engendré par un élément uv tel que i n vv( uv) =

— [Se2, §1, proposition 4, page 136] ; il vient alors Jv

i n v o b ( H2( G , U lm) ) = C j ,

où Cf désigne le groupe cyclique d ' o r d r e / , et f le ppcm des degrés résiduels fv, v dans So U plk,oo-

E n conclusion,

\ d o b ( H²{ G M l^m) ) \ = \/ 3 o d o b ( H²( G , U l J ) \

\ i n v o b ( H2( G , U l J ) \ f •

R e m a r q u e 4 . 1 :

( c l l S

L ' i s o m o r p h i s m e e n t r e H²( G , E ^^m) et ' ^s est équivalent à l'hypothèse 3 K / k,m\ k,m)

u s K/k,m "

R e m a r q u e 4 . 2 :

Soient K / k u n e extension galoisienne finie et T et S deux ensembles disjoints de places de K , non archimédiennes p o u r T ; supposons l'extension K / k T - r a m i f i é e modérée, <So-décomposée ; contrairement aux points précédent, T et S peuvent ne pas ê t r e stables par G = G a l ( K / k ) ; on associe à T le m o d u l e M = J J u;0", aw > 1,

weT et ainsi le rayon H ^ M = KSm { S o ) .

O n n o t e alors c l l e quotient I k , t / ^ k , m -

E n a d a p t a n t la d é m a r c h e précédente à c e t t e situation, n o t a m m a n t les lemmes 4.1 et 4.2, et en p r e n a n t 7 vide, on arrive au résultat suivant :

H \ G , Es K M) ^ ( c is K M) / n , G

où % est l'ensemble des classes de c/^- M représentées par un idéal de k et E ^ M = {x G Kx, x = 1 ( M ) , w ( x ) = 0 Vto G p//(:\<5}; pour S = pIk,oo, on retrouve un résultat de M a t s u m u r a [Mat].

a ) É t u d e d e p o u r K / k , T - r a m i f i é e m o d é r é e :

i) Soit wo place de K et v £ 7 U 5 o ; notons HWo l'un des sous-groupes cycliques de G contenant D^{W o}, le groupe de décomposition de ivç> dans K / k ; notons également p a r MWo le sous-corps fixe par HW o.

O n a alors le d i a g r a m m e c o m m u t a t i f suivant : H2( G , ES K >J

resH, WQ

H2( HW 0, E ^m)

*^{w o K}.^{o )} H \ G , U K ) r e S D w? H²( D^{W O}, Y I K ) w\v

r e sD u 'Ul⁰

Jwq

H2( DW Q, K *0)

ou :

• a^WQ est u n plongement de K * dans K *^o,

• jWo est la p r o j e c t i o n de JK sur I<*o,

• i w⁰ est u n plongement de K*o dans J J K * w\v

x e 1Q0 iw o( x ) = J J ( ^ ) e I J K l w\v w\v où xw = s x avec s G G j ~ tel que su>o = w et où s ~ t s t G Dw o

On connait p a r le l e m m e de Shapiro l'isomorphisme suivant : _ iwa(resD )

H²( G , I J O H²( D^{W o}, K *⁰) ; w\v

ainsi l ' é t u d e de k e r o crWQ) et par conséquent l ' é t u d e de k e r ifn, équivaut à l'étude d e k e r [ H2( G , E lm) ^ H2( DW o, Kx o) } .

E n particulier si p o u r t o u t e place v de So U 7 il existe Woju, Wo € p l x , telle que

k e r H2( HW 0, Es k, J H2( Dw o, K *o) alors e st vérifiée.

= H2( HW 0, E xm) ,

ii) I n t e r p r é t a t i o n de H \ H^{W o}, E^{s K i m}) ^ ^ H \ D^{W o}, K *^o) .

HWq et DWq é t a n t cycliques, l ' é t u d e initiale se réduit à l ' é t u d e suivante :

{EK,m) fc*

N K / MW 0E lm NKW Q/kJ<wa

a^{w o} é t a n t u n plongement de K^x dans K *^o.

Nous arrivons ainsi à la proposition 4.1 qui donne u n e condition suffisante afin que

HK/k,m s o i t réalisée : P r o p o s i t i o n 4 . 2 :

Soit K / k , T - r a m i û é e m o d é r é e ; p o u r que H ^^{k m} soit réalisée, il suffit que p o u r t o u t e place v de So U 7, et p o u r w0\v quelconque, il existe un sous-groupe cyclique G a l ( K / MW o) de G contenant DW o, tel que

Vx € MW0 n EsK m alors x G NK w J k vKx o. C e t t e condition n o r m i q u e se t r a d u i t p a r :

Vx G MW0 D Es K r n, alors

• p o u r y € 7, cr^WQ (x) > 0,

• p o u r v G So, v(x) = 0 ( fv) , i.e x = 7r0"^.u, où n est une uniformisante de kv et u une unité.

R e m a r q u e 4 . 3 :

O n p e u t noter que c e t t e condition est i n d é p e n d a n t e d u choix de w0\v . R e m a r q u e 4 . 4 :

Si K / k est T-ramifiée modérée, S'-décomposée, cyclique et telle que E^{k m} — , alors ï i x j k m vérifiée.

b ) É t u d e d ' u n c a s l i m i t e : Ex[ G , ds K < m) = 1.

R e p r e n o n s le d i a g r a m m e (2) ; nous avons alors k e r a ^ = k e r (d o b), i.e

k e r a ^ | = |ker (d 0 b) [,

et ainsi, en r e p r e n a n t la d é m o n s t r a t i o n d u t h é o r è m e 4.1, on obtient n /«

,00

Am " 7

O n p e u t r e m a r q u e r que l'hypothèse Hl( G , c l ^ ^ = 1 est vérifiée, si |c/^-m| est IfS

étranger à |Cr| ; dans ce cas, on a u n isomorphisme e n t r e Hⁿ( G , ^s'^m ) et H^u( G , C k ) , p o u r t o u t n entier, et p a r conséquent a ^ ( ^ H²( G , U x^{t m}) ) ⁼ G/-

Notons

p a r Cnj x . . . x Cn r, avec . . . \nr et nr — f , la décomposition canonique de H2{ G , U km) ; en utilisant la suite exacte

1 — • H \ G , E l J H \ G , US K,m) ^ H \ G - > H \ G , Es K t m) 1, E^{s K},^m

on a alors la proposition suivante : P r o p o s i t i o n 4 . 3 :

Soit K / k une extension galoisienne finie, de g r o u p e de Galois G, T - r a m i f i é e m o d é r é e ; supposons |dpcmI é t r a n g e r à \G\, alors il v i e n t :

n

i ) A i = \ H2( G , E l j \ = »e S°U pf ~ ; p l u s précisément, on a l ' i s o m o r p h i s m e

H2( G , Es K tJ ~ Cn ix . . . x Cn r_1,

où Cn i x . . . x Cn r est la décomposition canonique de J J C/„ ; ves0upik

i i ) H 3( G , E U ^ Cf ,

où f = p p c m { fv, v £ S o i ) plk, oo}j et n — [K : k}.

On p e u t n o t e r que ce résultat est donc valable, si K désigne u n e T - t o u r finie de k, u n e T - S tour finie de k, u n e p - T - t o u r finie de k, ou bien u n e p - T - S tour finie de k.

C o r o l l a i r e 4 . 1 :

Soit K / k une extension galoisienne finie, T - r a m i f i é e modérée, So-décomposée tel que ( \ G \ , \ c l^{s K}j ) = l ;

alors si |7| < 1, H2( G , E ^ J = 1 ; sinon nous avons H2( G , EsK^m) ~ C f1 - 1.

Ce corollaire p e u t p a r exemple, s'appliquer à la 2-T-,S'-tour de k lorsque celle-ci est finie.

R e m a r q u e 4 . 5 :

Si c l^{k m}( p ) est u n groupe cyclique d ' o r d r e n, alors on p e u t r e m a r q u e r que la p-T- S tour K de k est finie et de plus que fcf (p) = kf ^T( p ) [Mai] ; dans ce cas précis

ES' *

H3( G , E j çm) s'identifie à A'm 1_ , où a est un élément g é n é r a t e u r de G et E ^ ^ ( E lm)

Es *

le noyau dans E f^{C m} de la n o r m e N^/k- Ainsi est isomorphe à C r avec / = 2 si et seulement si au moins u n e place infinie réelle de k se complexifie dans K , sinon / = 1.

A ce propos, on r e t r o u v e u n cas particulier du t h é o r è m e 2.1, i.e dans ce cas |T| = / . R e m a r q u e 4 . 6 :

P r e n o n s p o u r K la 2 - T - S tour de k et supposons K / k finie.

On p e u t alors se poser la question suivante : à quelle condition a-t-on u n isomorphisme e n t r e H ~ \ G ^ ) et

K,m

P a r le l e m m e 4.2, nous avons la suite exacte

1 H ° ( G , E f tK,m m) H ° ( G , Us K tJ 1/S

— • H ° ( G , t ^ ¹ ) —> H¹( G , E x^{i m}) —> 1.

On r e t r o u v e de nouveau la suite d u t h é o r è m e 2.1.

Us-

M o n t r e r l'isomorphisme e n t r e H '1 (G, s'm ) et H ° ( G , E ^m) équivaut à Ek m =

&K,m

E k m i 7 é t a n t l'ensemble des places de k se complexifiant dans K / k ; dans ce cas on p e u t alors r e m a r q u e r que l'extension kf ^T( 2 ) / k est complexifiée en 7, et d ' a u t r e part que :

G a i ( k lT( 2 ) / k ï ¥ ( 2 ) ) = ® (fc?iT(2)/fc) . v€-y

E x e m p l e 4 . 1 .

P r e n o n s K = Q ( y / ^ 3 , ^ 7 ) , k = Q, T = {3,7}, 5 = 0 ; K / k est T-ramifiée m o d é r é e ; 7 = {id}.

On a la situation suivante :

I< Qr Q'7

® ( V 2 Î ) V7

E n utilisant la proposition 1.1, on a

,1 = 1 2 ; ainsi le 2-rang de c/ç m est égal à 2, et Q fT( 2 ) = K .

P a r conséquent, k e r j fC^k m = clQ m( 2 ) ; ainsi en utilisant le t h é o r è m e 2.1, on a

É t u d e de E^{5 K}/ E l^m :

Afin d ' o b t e n i r la s t r u c t u r e du quotient E ^ / E ^ , il suffit d'observer l'image diagonale de E x dans Fj>3.Fq7.Fq<, ; ici F-p3 est le corps à 32 éléments, dont le sous-groupe multiplicatif est engendré p a r u>, racine de X⁸ — 1 dans IF3 ; Fq⁷ et Fq⁷ sont deux corps à 7 éléments.

Notons p a r e l ' u n i t é f o n d a m e n t a l e de(Ç(\/2T), £ = 2 H ' P a r P A R I , on p e u t r e m a r q u e r que

où x est u n e u n i t é de K .

Ainsi de e = 1 (P3), o n a i = u2 dans F-p3.

Ensuite, c o m m e e = —1 (Vt-V-j), alors x2 = 1 {Vt.V't), et ainsi il vient : x = — 1 (Q7) , x = 1 (Q7), par e x e m p l e .

E n résumé, matricellement nous avons :

Fv3 F q7 F q7

Ce ( w⁴ - 2 - 4 \ z \ a;2 - 1 1 J

Ceci p e r m e t d ' o b t e n i r la s t r u c t u r e de c l ^ (cf. t h é o r è m e 1.1) :

Application du t h é o r è m e 4.1 :

P o u r que soit vérifiée, il suffit que pour t o u t x G E ^ ^ H Q ( y / 2 Ï ) , x soit t o t a l e m e n t positif; ici E f1 + \ / 2 1 . . „ c ^{C m} D<Ç(\/2T) est u n sous-groupe du groupe (e) où e = 2 H , et ainsi n ^ ik m est vermee.

C o r o l l a i r e 4 . 2 :

Sous les h y p o t h è s e s de l ' e x e m p l e 4.1,

JK/k,m\ClQ,m) et p a r conséquent

H2( G , E xm) est un sous-groupe de C4.

On p e u t r e m a r q u e r que la 2 - T - S tour de(Q est finie, puis que<Ç^(2) = <ÇfT(2), ceci p a r u n résultat de [Mai].

5 E t u d e d u c a s c y c l i q u e .

D a n s c e t t e partie, nous supposerons que K / k est u n e extension cyclique, T-ramifiée m o d é r é e ; sous c e t t e hypothèse, la b o r n e m a j o r a n t A ^ est optimale, i.e. nous avons le t h é o r è m e suivant :

T h é o r è m e 5 . 1 :

Soit K / k une extension cyclique de g r o u p e de Galois G, T - r a m i f i é e m o d é r é e ; alors

\ H2( G , E I J \

{cifc ) / jK/k (clk,m)

ves0n uPik ,00

7 '

Tout d ' a b o r d u n l e m m e qui résulte d ' u n résultat de Gras [Gra]

L e m m e 5 . 1 : O r d r e d e s T - S c l a s s e s a m b i g e s d e K . On a la f o r m u l e s u i v a n t e :

K m Ï | Clk,r

[K : k].\dk,m{(vf-)v esoAam)ves0 0\(s0 0ty1))\J

où fv est le degré résiduel de v dans K / k et où avm G k+v. D é m o n s t r a t i o n d u l e m m e :

Appliquons à n o t r e situation la formule établie p a r Gras [Gra, §2, t h é o r è m e 2.7] avec

"H = c lk t m( S0, v e s ^ ) et où G I<+w ; on a alors :

( < m )

G | cl^k I I I e - {Uk,m : NK / kUK M) v£T

[I< : fc]. \clk,m{(vf")v es0, ( < ) , e 50 0\ ( s0 0n7) ) | . (A : A n K % ) ou

NK/ k UK, M = n I I NKw/kvUKw, avec ew ( = ev) l'indice de ramification de veT H» w£pl K

w dans K / k , et U^ef^w = {x G U k^w, w(x - 1) > e^w} ,

• uk,m = n u i ,

. K + , = {x G K + , x = \ ( M ) , M = I I vET w\v

. A = {x G fc+, (x) G ( N^{K / k}( S o ) . N^{K / k} ( ( b l )^{w l v}, „^{e S o o}) ) } , où b l G K £ > . L'extension é t a n t T-ramifiée modérée, il vient alors i m m é d i a t e m e n t :

i) I Ie^ = v£T

ii) {Uk • NK/kU K , M ) = 1 [Sel, chapitre V, §6, corollaire 3, page 101].

D ' a u t r e p a r t , p o u r x de A, on a p a r définition (a) G ( N^K/^k( S⁰) . N^K/^k •»es^,oo))>

i.e

v pAr(S0)u5oo\(Soon7) _

O U &k,m = {x G Et\

„ _ PAr5ouSco\(5ocri7)

X t k,m )

,SoU5oo\(Soon7) , v(x) = 0(/„), Vv G So}.

On voit i m m é d i a t e m e n t que t o u t élément de £ ^5° )u 5 o o\ ( 's'x , n'r) e st p a r t o u t n o r m e locale dans K / k , par conséquent n o r m e globale; en r é s u m é t o u t x de A est n o r m e globale dans K / k .

Il reste à vérifier que si x est élément de A fl N x / k Kx, alors en fait x a p p a r t i e n t à Njc/kK^i ; on p e u t d é j à s'assurer que x est n o r m e d ' u n élément de K £ [Gra, §2, l e m m e 2.5], puis il f a u t r e m a r q u e r , puisque l'extension est T-ramifiée modérée, que t o u t x de A fl N k / i c K t a p p a r t i e n t au noyau de l'application surjective Af suivante :

v€T 1 Kw/kvU k, u tw

Enfin, c o m m e le noyau de Af est e x a c t e m e n t N x / k i ^ X i ) , [Gra, 2.6.1 et 2.6.2], on en déduit alors la trivialité de (A : A H K j ^ j . •

Nous pouvons alors d é m o n t r e r le t h é o r è m e 5.1 : D é m o n s t r a t i o n :

On rappelle que l'on note p a r A ^ le quotient —-— ; il vient alors

A^m — égalité qui devient :

K J

\ H \ G , E l J \ . \ H \ G , E l J \ . \ js K / k t m (c/f,m) 1 m G , E lm) \ . \ ( c l lm)G\

A i = Q ( Es kJ .

\ k e r ( js K / kJ \ . ( E S J : ES K,m) .\jS K / k,m fc) 2 W - I K J I

ceci p a r le t h é o r è m e 2.1, et où Q ( E j^{( m}) désigne le quotient de H e r b r a n d de E ^ ^ . On sait que Q ( E fC m) est égal à ^ [La, chapitre IX, §5, corollaire 2, page

[K : k\

192].

Ainsi, on a en utilisant le l e m m e 5.1,

A i =

2^{h , V H}- I l f v \ d^{s k t}J . : E *^{t m}) . | d^k,^m ( { ( v ' - U s o , « U s ^ n , ) ) ) v£So

P a r le corollaire 1.1, on a :

jS U-y

k,m 2 ^ { E ^ Z - . E ^ Y 1 -, p a r conséquent,

n U I^{c l}t m \ - \^{c l}k , m (((V^fv)veSo, (OveSoo\(5oon⁷))) v€S0Uplk ,00

mais encore

^ = n /«•

dk,m ({(vf v)ves0, (aVm)v€S00\(S00n'y))) ves0upiki, 00 clk,m ({{v)v e S o, (a^JvgSoou,)) Si l'on observe le quotient

f>r)>)

dans l'extension k ( m ) / k , on s'aperçoit qu'il p e u t s'identifier à u n sous-groupe de G a l ( K / k ) , plus précisément au sous-groupe de G a l ( K / k ) engendré par les groupes de décomposition des places de SoUp4) 0o ; ainsi si l'on note par / le ppcm des degrés résiduels fv des places v de Sq U plk,00, on a alors

et par conséquent le t h é o r è m e 5.1. •

R é f é r e n c e s

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Christian Maire

Université de F r a n c h e - C o m t é

Laboratoire de M a t h é m a t i q u e s - U . R . A 741 16, r o u t e de Gray

25030 Besançon cedex