N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
E. C OMBESCURE Solution de la question 255
Nouvelles annales de mathématiques 1
resérie, tome 13 (1854), p. 270-271
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SOLUTION M LA QUESTION 255
(TOir t. X I , p. 3 1 4 ) ;
PAR M. E. COMBESCURE, Professeur (New-York).
Si l'on substitue dans l'équation polaire d'une droite r* au lieu du rayon vecteur r, et i w au lieu de l'angle po- laire Û), on obtient l'équation d'une hyperbole équilalsère.
D'une manière analogue, en substituant y/—i (tang^r)2
pour tang \ r et 2W pour w, dans l'équation polaire sphé- rique d'un grand cercle, et en changeant les constantes de manière<jue les imaginaires disparaissent, on tombera sur l'équation d'une hyperbole sphérique. (STREBOR.)
L'hyperbole équilatère sphérique peul être considérée comme l'intersection de la sphère
et de l'hyperboloïde
son équation entre le vecteur sphérique r et la longitude w sera donc
i -4- cos2 r
—— — = a cos 2 w.
sin2 r
L'équation générale de la circonférence d'un grand cercle est, dans le même système de coordonnées,
cot r = A cos (w — a), ou
i — tang2 { r
^r-1— = A cos (w — a).
2 tang -j r '
En y substituant s/ — i tang2 f r pour tang -j r, cette équation devient
i -4- tang11 r
^—=- = A COS (261 — a ) ,
2 y — i tang2 \ r
où Ton a remplacé aussi a) par 2W. Or, i i — cos r tang2 - r = •
° 2 i + cosr et, conséquemment,
(i — cos rY + (î 4 - cos r )2
— = A cos (2w — a )r
2 y — i (i + cos r ) (i — c o s r ) OU
i + cos2 r f
— = A y—-1 cos (2 w — a ) .
sin2 r x J
Mettant a pour A \/— i, et supposant nulle la constante cc7 on retombe sur l'équation de l'hyperbole équilatère sphé- rique, ainsi qu'il était proposé de le vérifier.
