D227 Une araignée bien maniaque [*** à la main]
Solution
En partant du contour défini par trois heptagones réguliers, on observe que des points S, A et B on voit les côtés des trois heptagones sous le même angle égal à t = 180°/ 7 = 25,714…°.
Il en résulte que les points N, B et D sont alignés au même titre que : - les points P, B et E,
- les points Q, B et F, - les points N, S et F, - les points M, K, S et E, - les points J, L, S et D, - etc….
Par exemple N, B et D sont alignés car angle(NBQ) =2t, angle(SBQ) = 900° /7 = 5t angle (QBC) = 360° - 2*5t = 360° - 10t, angle(CBD)= t. D’où angle(NBQ) + angle(QBC) + angle(CBD) = 360°-7t = 360°-180° = 180°.
De la même manière M, S et E sont alignés car angle(LSM) = t, angle(LSA) = 4t, angle(ASE)
= 2t angle(LSM) + angle(LSA) + angle(ASE) = 7t = 180° etc…
On voit donc qu’après avoir tracé la contour bleu l’araignée en partant d’un sommet
quelconque d’un heptagone situé sur ce contour, peut déployer son fil selon des segments de droite qui s’appuient sur au moins trois des 17 sommets existants et les angles faits par deux segments consécutifs sont tous des multiples de t = 180° / 7.
De manière générale si l’araignée tisse sa toile à l’intérieur d’un contour bleu défini à partir de trois polygones à 2n+1 côtés, les angles que font deux segments de droites consécutifs sont des multiples de 180°/(2n+1). Si ces angles s’expriment en nombres entiers de degrés, 2n+1 doit être un diviseur de 180. Comme les diviseurs 3 et 5 sont interdits par hypothèse, les autres diviseurs impairs possibles sont 9,15 et 45. Les deux derniers sont exclus car avec des
polygones à 15 et 45 côtés, il y a respectivement au total 15 + 2*13 = 41 sommets et 45 + 2*43 = 131 sommets > 40 sommets.
Il ne reste plus que l’ennéagone (polygone régulier à 9 côtés) avec lequel il y a au total 9 + 2*7 = 23 sommets et qui donne un angle t de 20°.
D’où la figure réalisée avec trois ennéagones et donnant tous les segments de droite possibles qui s’appuient sur au moins trois sommets et incluent dans certains cas un côté de l’un des trois ennéagones:
Existe-t-il une ligne brisée joignant tous les sommets sans passer deux fois par le même chemin ? L’exercice s’apparente à la recherche d’un chemin eulérien dans un graphe connexe dont le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2. Voici l’une des solutions possibles.
Les sommets sont numérotés de 1 à 23 selon l’ordre de passage de l’araignée sur son parcours en rouge.
La liste des seize segments de droites constituant la ligne brisée est donnée ci-après avec les sommets n°1 et N°23 comme point de départ et point d’arrivée:
1-2-3, 3-4-5, 5-6-7, 7-3-8-9, 9-10-11, 11-6-12, 12-4-2-13, 13-10-14, 14-6-15, 15-16-3- 17, 17-6-18, 18-16-8-19, 19-3-20, 20-10-21, 21-3-22, 22-6-23.
A quatre occasions l’araignée a emprunté les côtés des polygones (2-3, 3-4, 21-10, 22-6).
