D185. Tarentule tisse sa toile
Problème proposé par Dominique Roux
Tarentule décide de tisser sa toile sur un hublot circulaire. Elle parcourt le bord du hublot et place dans cet ordre 6 points d'ancrage A,B,C,D,E,F puis elle tisse 3 fils rectilignes
AD,BE,CF qui se croisent en un point T. Comme elle a l'esprit de géométrie, elle fait en sorte que le fil CF est la bissectrice de l'un des angles formés par les deux autres fils, tout en respectant les mesures suivantes TA = 5 cm, TD = 12 cm, TB = 4 cm et TF = 10 cm. En déduire les angles que font les trois fils entre eux.
Solution de Paul Voyer:
Il est immédiat que TE=15 cm et TC=6 cm (puissance de T par rapport au cercle).
Il suffit de placer E et A tels que angle TEF = angle TFA = u, et tels que les points A, C, F, E soient cocycliques.
Ces points ont pour coordonnées (origine en T) : E : 15 cos u, 15 sin u
A : 5 cos u, -5 sin u C : -6
F : 10, 0
La médiatrice de EF a pour équation : (x-15cos u)²+(y-15 sin u)²=(x-10)²+y² soit -30x cos u -30y sin u+225=-20x+100 2x(2-3 cos u)-6y sin u + 25=0
La médiatrice de AF :
(x-5 cos u)²+(y+5 sin u)²=(x-10)²+y² soit -10x cos u+10y sin u +25=-20x+100 2x(2-cos u)+2y sin u -15=0
Elles doivent croiser la médiatrice de CF, soit x=2, à la même hauteur y.
4(2-3 cos u)-6y sin u +25=0 4(2-cos u)+2y sin u -15=0
L'élimination de y donne : 4(2-3cos u +6-3 cos u)-20=0 8-6 cos u -5=0
d'où cos u = 1/2, u=60°.
Les angles définis par les trois fils sont donc tous égaux à 60°.
