D10111. A faire sur la plage On donne les angles 20

D10111. A faire sur la plage

On donne les angles 20^◦, 30^◦, 40^◦, 50^◦ de la figure ci-dessous. Que vaut l’angle marqu´e d’un point d’interrogation ?

Solution

Bien sˆur, avec papier et crayon, on peut poser des ´equations, du genre a/sinA = . . ., faire quelques transformations trigonom´etriques, et trouver que l’angle inconnu vaut 30^◦. Voici un raisonnement de g´eom´etrie ´el´ementaire qui peut se faire en tra¸cant la figure sur le sable de la plage.

Tout triangle a 180^◦ pour somme de ses angles, doncADB = 20^◦,ADC = 80^◦,CED = 50^◦. On voit des triangles isoc`eles, o`u BA=BD, DC=DE, AC=AD.

Le cercle de centre D, de rayonDC, recoupe AC en F.DCF est isoc`ele et CF D= 80<sup>◦</sup>, puisBDF = 40<sup>◦</sup>.F BDest isoc`ele etF B =F D.

CommeDE =DC =DF, DEF est isoc`ele, et commeEDF = 60^◦, il est mˆeme ´equilat´eral.F E=F D etEF D= 60^◦.

Le cercle de centreF et de rayon F D passe aussi parB etE. L’arc DE y est vu sous un angle 60^◦ de F, et donc sous un angle moiti´e (30^◦) de B.

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