Si besoin avec l’aide d’un automate, vérifier qu’on sait trouver : 1) au moins un entier n tel que 2n + n est un multiple de 2013. [*]
2) au moins un entier n tel que la somme des chiffres de 2n est supérieure ou égale à 2013.
Trouver le plus petit n possible.[*]
Démontrer que :
1- pour tout entier naturel m, on sait trouver au moins un entier n tel que 2n + n est un multiple de m.[***]
2- par un choix convenable de l’entier n, la somme des chiffres de 2n écrit dans le système décimal peut être rendue supérieure à n’importe quel entier k fixé à l’avance.[****]
Démonstrations :
1) Si m est impair, 2n+m-1=2n (mod m), tandis que n+m-1=n-1 (mod m) : à chaque fois que l’on ajoute m-1 à n, la somme 2n+n diminue de 1 modulo m : on arrive donc obligatoirement à un multiple de m. Si m est pair m=2i*j où j est impair, et il suffit de faire le même raisonnement avec des nombres de la forme n=2i*k, modulo m.
2) Il suffit de montrer que pour toute puissance de 2, on peut en trouver une autre dont la somme des chiffres est supérieure. Or 2k+N =2k (mod 10k) pour N=4*5k-1 (puisque 2k+N=2k (mod 5k)). Donc la somme des chiffres de 2k+N est strictement supérieure à la somme des chiffres de 2k .
