Examen partiel, Logique

Examen partiel, Logique

20 mars 2014

Dur´ee: 3h. Document autoris´es: tous. R´esultats que vous pouvez utiliser: ceux du cours (Si vous voulez utiliser un r´esultat vu en TD, il faut le red´emontrer).

Exercice 1

On consid`ere l’ensemble de variables propositionnelles {P₁, P₂, P₃} et l’ordre P₃ > P₂ > P₁. Soit E l’ensemble de 4 clauses suivant:

¬P₁_P₂, ¬P₁_P₃, P₁_¬P₂, ¬P₃_¬P₂

1. Donner l’arbre s´emantique de E 2. Donner le BDD de E

3. Donner une preuve par r´esolution binaire et factorisation binaire de l’insatisfaisabilit´e de E[{P₁_P₂}

Exercice 2

Donner une preuve dans NK du jugement `(B!A)_B o`u A, B sont des variables roposi- tionnelles.

En existe-t-il un preuve dans NJ ? Justifier

Exercice 3

Dans cet exercice, les symboles de pr´edicats sont binaires (en nombre arbitraire) et l’ensemble de symboles de fonction est vide. Soit B l’ensemble des formules du prermier ordre sans variable libre dont une forme pr´enexe est de la forme

9x₁, . . . ,9x_m,8y₁, . . . ,8y_n.

o`u est sans quantificateur (autrement dit, tout quantificateur existentiel pr´ec`ede tout quan- tificateur universel).

Montrer que toute formule 2 B qui est satisfaisable poss`ede un mod`ele fini dont on bornera la taille en fonction de . En d´eduire que le probl`eme de la satisfaisabilit´e d’une formule deB est dans PSPACE.

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Probl` eme

SoitP un ensemble d´enombrable de variables propositionnelles. que C⁰).

Soit un ordre total bien fond´e sur leslitt´eraux (par simplicit´e, on pourra supposer que l’ensemble des litt´eraux est{L_i, i2 N} et que l’ordre est donn´e par L_i > L_j ssi i > j). On consid`ere la restriction suivante de la r`gle de r´esolution:

C_P ¬P _C⁰ R^S

C_C⁰ SiP est maximal dans C_P ET ¬P est maximal dans¬P _C⁰ Noter qu’il s’agit d’une g´en´eralisation de la r´esolution avec strat´egie ordonn´ee puisqu’on peut avoirP Q ¬P par exemple.

SiE est un ensemble de clauses, on noteE^⇤ l’ensemble des cons´equences deE par factori- sation et r´esolution suivant la strat´egie S ci-dessus.

1. Montrer que la strat´egie n´egative est un cas particulier de la strat´egie ci-dessus (rappel:

la strat´egie n´egative consiste `a ne faire de r´esolution que sur des clauses dont l’une des pr´emisses ne contient que des litt´eraux n´egatifs).

2. Si E1 est un ensemble de clauses, la strat´egie du support (par rapport `a E1) est la restriction de la r´esolution binaire au cas o`u l’une des pr´emisses est dans E1. Si E est un ensemble de clauses on note R_E1(E) l’ensemble des clauses d´eductibles de E par factorisation binaire et par la strat´egie du support (par rapport `a E1).

Donner un ensemble de clauses insatisfaisableE tel queR_E(E) ne contient pas la clause vide.

3. Un ensemble de clauses E est satur´e siE^⇤ =E.

Montrer que, si E est satur´e et ne contient pas ? et U est un ensemble de clauses unitaires de E (i.e., des clauses r´eduites `a un litt´eral), alors R_U(E) est satur´e et ne contient pas ?.

4. Si E est un ensemble de clauses, soit U(E) l’ensemble de toutes les clauses unitaires de E^⇤, soit P1 = {A 2 P |A 2 U(E) ou ¬A 2 U(E)} et S(E) = R_U(E)(E^⇤)\F0(P \ P1) (i.e., les clauses de R_U(E)(E^⇤) ne contenant pas de variable de P1). Soit enfin S₁ ✓P1

et S₂✓P \ P1.

Montrer que (S₁ |=U(E) et S₂ |=S(E)) ssiS₁[S₂|=E.

5. Montrer que, si E est satur´e et ne contient ni ? ni clause unitaire, et L est un litt´eral minimal de E, alors (E[{L})^⇤=E[{L}.

6. Montrer que, si E est fini et E^⇤ ne contient pas ?, on peut construire, `a l’aide des questions pr´ec´edentes, un mod`ele de E^⇤.

En d´eduire que la strat´egieS est r´efutationellement compl`ete.

Note: A titre indicatif, voici la longueur des solutions dans le corrig´e: Exercice 1: 13 lignes, Exercice 2: 25 lignes, Exercice 3: 22 lignes, Probl`eme: 63 lignes.

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