Feuille d’exercices 6

Universit´e Joseph Fourier

MAT233 Fonction de plusieurs variables 2013-2014

Feuille d’exercices 6

Exercice 1 Pour tout entierd>1 et toutr>0, on d´esigne parBd(r) la boule ouverte de rayonrdansR^d centr´ee en 0, d´efinie comme

B_d(r) :={(x₁, . . . , x_d)|x²₁+· · ·+x²_d< r²}.

1) Montrer que 1l_Bd(r)∈L¹(R^d).

2) Pour tout ´el´ement P ∈R^d, soit B_d(P, r) l’ensemble {P+Q|Q∈Bd(r)}.

Montrer que 1lB_d(P,r)∈L¹(R^d) et Z

R^d

1l_Bd(P,r)(x) dx= Z

R^d

1l_Bd(r)(x) dx.

3) On d´esigne parVd(r) le volume deBd(r), d´efini comme V_d(r) :=

Z

R^d

1l_Bd(r)(x) dx.

Montrer queVd(r) =r^dVd(1).

4) En utilisant le th´eor`eme de Fubini, montrer que Vd(1) =

Z 1

−1

V_d−1(p

1−t²) dt 5) En effectuant un changement de variables, montrer que

Vd(1) =V_d−1(1) Z π/2

−π/2

cos(θ)^ddθ.

6) D´eterminer les valeurs deV1(1),V2(1) etV3(1).

Exercice 2 SoitE la fonction d´efinie surRtelle que E(x) =

(e^1/x, x <0, 0, x>0.

1) Montrer que, siP est un polynˆome, alors on a

x→0limP(1/x)E(x) = 0.

2) En d´eduire que la fonctionEest de classeC^∞.

3) Soienta < bdeux nombres r´eels. Montrer queF(x) =E(a−x)E(x−b) (x∈R) est une fonction de classeC^∞ et `a support dans [a, b].

4) Montrer que la fonctionH :R^d→Rd´efinie comme

H(x1, . . . , xd) =E(x²₁+· · ·+x²_d−1) est de classeC^∞ et est `a support compact.

Exercice 3 On d´esigne parC_c^∞(R) l’espace vectoriel des fonctions surRqui sont de classeC^∞et `a support compact. Le but de cet exercice est de montrer queC_c^∞(R) est dense dansL¹(R). On fixe une fonction positiveχ∈C_c^∞(R) telle que

Z

R

χ(x) dx= 1.

1) Pour toutes fonctionsϕ∈C_c^∞(R) etf ∈L¹(R), on d´efinitϕ∗f :R→Rtelle que (ϕ∗f)(x) =

Z

R

ϕ(x−y)f(y) dy.

Montrer queϕ∗f est bien d´efinie et est une fonction de classeC^∞. En outre, pour tout entiern>1, on a (ϕ∗f)⁽ⁿ⁾=ϕ⁽ⁿ⁾∗f.

2) Montrer que, si ϕ∈C_c^∞(R) et sif ∈L¹(R) est `a support compact, alors ϕ∗f ∈ C_c^∞(R).

3) Pour tout entiern>1, soit χ_n ∈C_c^∞(R) d´efinie commeχ_n(x) =nχ(nx). Montrer que

Z

R

χn(x) dx= 1.

4) Soitf une fonction continue `a support compact surR. Pour tout entier n>1, soit fn=χn∗f. Montrer que la suite de fonctions (fn)n∈Nconverge uniform´ement vers f, autrement dit,

n→+∞lim sup

x∈R

|fn(x)−f(x)|= 0.

En d´eduire queC_c^∞(R) est dense dansCc(R) relativement `a la normek.ksup, d´efinie commekfksup= sup_x∈R|f(x)|.

5) Soit g une fonction dansL¹(R). Pour tout entiern>1, soit g_n =χ_n∗g. Montrer quegn∈L¹(R) et que

n→+∞lim kgn−gk_L1= 0.

En d´eduire queC_c^∞(R) est dense dansL¹(R) pour la semi-normek.kL¹.