Liste de questions pour l’interrogation de th´ eorie des graphes

Maths discr`etes, 2012-2013 Universit´e Paris-Sud

Liste de questions pour l’interrogation de th´ eorie des graphes

L’interrogation aura lieu en TD le 5 ou 6 d´ecembre (selon le groupe)

Exercice 1. Existe-t-il un graphe simple `a 8 sommets dont la liste des degr´es est 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4 ?

Exercice 2. Existe-t-il un graphe simple `a 6 sommets dont la liste des degr´es est 2, 2, 3, 3, 4, 4 ?

Exercice 3. Les graphesG3 etG⁰₃ sont-ils isomorphes ?

G’ :

E’

G’

3

H’

A’ B’

C’

D’

F’

A

E F

D C B

H

G G :

₃

Exercice 4. Dans le graphe G₄ (ci-contre), chaque arˆete repr´esente une liaison directe en bus. On veut se rendre de A `a B. Combien de bus faut-il prendre au minimum ? Donner tous les itin´eraires allant de A `a B r´ealisant ce nombre minimal de bus.

G :

₄

A

E F

C B

H

G D

Exercice 5. Le grapheG5 (ci-contre) est-il connexe ?

G :

5

B

C D E I F

J K

L A

H G

Exercice 6. Le grapheG6 (ci-dessous `a gauche) a-t-il un chemin eul´erien ?

A B

C

D F E

G H G :

6

A B

C

D F E

G H G :

7

Exercice 7. Le grapheG7 (ci-dessus `a droite) a-t-il un cycle hamiltonien ? Exercice 8. Le dessin ci-contre repr´esente diff´erents pays sur une ˆıle. Un voleur, dans le pays A, veut s’enfuir dans le pays H en fran- chissant chaque fronti`ere une fois (pour brouiller les pistes) mais en ne franchissant pas deux fois une mˆeme fronti`ere (pour ne pas ˆ

etre reconnu). Est-ce possible ? Si oui, indiquer un itin´eraire possible.

Mod´eliser d’abord la question en termes de graphe.

B

C

D E F

G A H