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Introduction `a la th´eorie des graphes

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Introduction ` a la th´ eorie des graphes

Master MatMod

Semestre 2 2017-2018 Mustapha KCHIKECH Facult´e polydisciplinaire de Safi

Universit´e Cadi Ayyad

(2)

Chapitre I

Concepts fondamentaux

espace

Master MatMod Introduction `a la th´eorie des graphes

(3)

Motivation

Probl`eme des ponts de K¨onigsberg (1736)

Laville de K¨onigsberg(Kaliningrad) comprenait4quartiers, epar´es par un fleuve.7ponts permettent de relier ces quartiers. Les habitants de K¨onigsberg se demandaients’il ´etait possible de faire une promenade qui emprunte chacun des sept ponts une fois et une seule (et revient `a son point de d´epart) ?

Probl`eme du parcours du cavalier (1759)

Uncavalierpeut-il parcourir les64 cases de l’´echiquierune fois et une seule, en partant de n’importe laquelle et peut-ilrevenir au point de d´epart?

Probl`eme des quatre couleurs (1852)

(4)

R´ ef´ erences

J.A. Bondy, U.S.R. Murty.Graph theory. Spinger, 2008.

R. Diestel,Graph Theory, Electronic Edition, Springer-Verlag, 2000.

G. Chartrand, P. Zhang,Chromatic Graph Theory. Discrete Mathematics and Its Applications. 2008.

J-C Fournier,Graphs Theory and Applications. Wiley-ISTE. 2010.

R-J. Wilson,Introduction to Graph Theory (5th Edition). Pearson. 2010.

C. Vasudev,Combinatorics and Graph Theory. New Age International Publishers. 2007.

C. Berge,Graphes et hypergraphes. Bordas. 1973.

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Histoire

L’histoire de lath´eorie des graphesa commenc´e par l’´etude decertains probl`emes, tels que :

Le probl`eme desponts de K¨onigsberg, r´esolu parEuler au1736, lamarche du cavaliersur l’´echiquier

le c´el`ebre probl`eme dela coloration des cartes g´eographiques(connu aussi par leth´eor`eme des 4 couleurs).

1847 Kirchhoff(1824-1887)d´eveloppa la th´eorie des arbres (analyse de circuits

´

electriques).

1860 Cayley(1821-1895)d´ecouvrit la notion d’arbre (´enum´eration des isom`eres satur´es des hydrocarbures de typesCnH2n+2).

1859 Hamilton(1805-1865)Existence de chemins hamiltoniens.

1879´enonc´e du probl`eme des 4 couleurs (M¨obius (1790-1868), Morgan (1806-1871), Cayley, solution prouv´ee en 1976.

1936 K¨oning, le premier ouvrage sur les graphes.

A partir de 1946le d´eveloppement intense de la th´eorie des graphes grˆace `a des chercheurs commeKuhn,Ford,Fulkerson,Roy,Bergeet...

1958 Berge, l’ouvrage”Th´eorie des graphes et ses applications”donna naissance `a l’`ere moderne de la th´eorie des graphes.

(6)

Pr´ esentation

Lath´eorie des graphesconstitue l’une des principales branches des math´ematiques discr`eteset de l’informatique fondamentale.

Depuis le d´ebut du 20`eme si`ecle, elle s’est d´evelopp´ee dans diverses disciplines : math´ematiques, informatique, cryptographie,

les sciences sociales, la biologie, la chimie,...

De mani`ere g´en´erale, lath´eorie des graphespeut ˆetre consid´er´ee comme un outil de mod´elisation permettant derepr´esenterune structure d’un objet complexe en exprimant lesrelationsentres ses ´el´ements.

Autrement, lath´eorie des graphesmis au point un ensemble des techniques et outils math´ematiques permettent de d´emontrer des propri´et´es, d’en d´eduire des m´ethodes de r´esolution et des algorithmes.

En particulier, il permet derepr´esenterde nombreuses situations rencontr´ees dans desapplicationsfaisant intervenir desmath´ematiques discr`eteset n´ecessitant unesolution informatique:

R´eseaux de t´el´ecoms, Circuits ´electriques, r´eseaux de transport, ordonnancement d’un ensemble de tˆaches,...

En r´esum´e,la th´eorie des graphespeut ˆetre consid´er´ee comme une m´ethode de pens´ee,

un moyen de mod´elisation,

permet l’´etude d’une grande vari´et´e de probl`emes.

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(7)

D´ efinitions Et notation

Un grapheGest le couple constitu´e par unensemble finid’objetsV et un ensembleEsous-ensemble deV ×V.

Les ´el´ement deV sont appel´essommets(nœudsoupoints).

Les ´el´ement deEsont appel´esarˆetes.

Une arˆeteed’un graphe est une pairee= (u,v)de sommets. Les sommetsuet v sont appel´es lesextr´emit´esde l’arˆetee.

Un graphe est souvent not´eG= (V,E),G= (V(G),E(G))ouG= (VG,EG).

Lenombre de sommetsd’un grapheG est appel´eordredeG, on le note soit ordre(G)ou soit|V|.

G´en´eralement, un graphe estd’ordrenrespectivement detaillemsi il contientn sommetsrespectivementmarˆetes.

Ungraphe trivialest un graphe dont l’ordre est1.

Ungraphe videest un graphe dont la taille est0.

(8)

D´ efinitions Et notation

Adjacence, voisinage, degr´e

Deux sommetsuetv sontadjacentsouvoisinssi et seulement si(u,v)est une arˆete dansE.

Deux arˆetes sontadjacentessi et seulement si elles ont uneextr´emit´e commune.

Soitvun sommet deG, on appellevoisinagedevl’ensemble des sommets adjacents `av. Il est not´eN(v).

Le degr´ed’un sommetvest lenombre de voisinsdev. Il est not´edeg(v)ou d(v). Autrement,deg(v) =|N(v)|.

De mˆeme,le degr´ed’un sommetvest lenombre d’arˆetes incidentes`av. Un sommet dedegr´e nulest ditisol´e.

Ledegr´e minimumd’un grapheGest not´eδ(G).

Ledegr´e maximumd’un grapheG est not´e∆(G).

Sivest un sommet d’un grapheGd’ordren, alors

0≤δ(G)≤deg(v)≤∆(G)≤n−1

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D´ efinitions Et notation

Graphes orient´es, Multigraphes

UngrapheG= (V,E)est ditorient´esi chaque ´el´ement deE, appel´earc, est orient´e, munies d’un senset d´efini par sonorigineet sonextr´emit´e.

Pour un arc(vi,vj)deE, le sommetvi est sonextr´emit´e initiale, et le sommet vjsonextr´emit´e finale.

Une boucleest une arˆete ou arc de la forme(x,x).

Une arˆete ou un arc(vi,vj)estmultiple, si elle correspond `aplusieurs arˆetes ou arcsayantvi comme extr´emit´e initiale etvjcomme extr´emit´e finale, dans ce cas l`a, on parle d’unmultigraphe.

Graphe simpleest un graphenon orient´e, sans boucle et non multiple. En g´en´erale, le mot graphe d´esigne un graphe simple.

(10)

Repr´ esentations

Repr´esentation graphique

Un graphe estrepr´esent´epar undessinsur un plan o`u

les sommets sont repr´esent´es par despointsou despetits cercles, les arˆetes sont repr´esent´ees par deslignes.

Remarque :la repr´esentation d’un graphe par un dessinn’est pas unique.

Exemple :

G1= (V1,E1)avecV1={1,2,3,4,5}etE1={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,1)}

G2= (V2,E2)avecV2={a,b,c,d,e}etE2={(a,c),(a,d),(b,d),(b,e),(c,e)}

1

2

4 3 5

a

e b

d c

Dans un graphe orient´e, lesarcs sont repr´esent´es `a l’aide d’une fl`eche.

Un multigraphe orient´e avec des boucles

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(11)

Repr´ esentations

Repr´esentation algorithmique

Les graphes sont unestructure de donn´eesimportante enalgorithmique.

Il est doncfondamentalde s’int´eresser `a la mani`ere derepr´esenterdes graphes en vue de leursmanipulations algorithmiques.

Plusieursmodes derepr´esentationpeuvent ˆetre envisag´es selon lanature des traitementsque l’on souhaite appliquer au graphe consid´er´e.

1 Repr´esentation parmatrice d’adjacences.

2 Repr´esentation parmatrice d’incidences.

3 Repr´esentation par tableau delistes d’adjacences.

(12)

Repr´ esentations

Repr´esentation par matrice d’adjacences

La matrice d’adjacenced’un graphe simpleG= (V,E)d’ordrenest la matrice M= (mij)1≤i,j≤nde dimensionn×ntelle que

mij=

n

1, si(i,j)E(c-`a-d(i,j)est un arc);

0, sinon.

graphe

a

e b

d c

matrice d’adjacences

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

1 0 0 0 1

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

graphe

1

2

3 4

5

matrice d’adjacence

0 1 0 1 0

0 0 0 0 0

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

1 0 1 1 0

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Repr´ esentations

Repr´esentation par matrice d’incidences

Soit un grapheG= (V,E)sans boucledensommets etmarcs.la matrice d’incidencedeGest lamatriceM= (mij)1≤i≤n;1≤j≤mtelle que

mij=

(

1, si l’arcj arrive au sommeti;

−1, si l’arcj sort du sommeti;

0, sinon.

graphe

1

5 2

matrice d’incidences

−1 −1 1 1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1 0 0 0

0 0 −1 0 −1 0 1 1 0

0 1 0 0 0 −1 −1 0 1

0 0 0 −1 0 0 0 −1 −1

(14)

Repr´ esentations

Repr´esentation par tableau de listes d’adjacences

Tableau de listes d’adjacences

Soit un grapheG= (V,E)densommets. le tableau de listes d’adjacencesdeG est un tableauTdenlistes, une pour chaque sommet deV. Un tel tableau doit v´erifier pour tout couple de sommets(i,j):

jT[i]⇔(i,j)∈E

graphe

1

2

3 4

5

tableau de listes d’adjacences T[1] = (2,4)

T[2] = () T[3] = (2,1) T[4] = (2,3) T[5] = (1,3,4)

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(15)

Exemple

SoitG= (V,E)le graphe suivant,

a

e b

d c

f

on a,

n=|V|=6,m=|E|=9.

deg(d) =deg(f) =2,deg(c) =deg(e) =3 etdeg(a) =deg(b) =4.

(16)

1er Th´ eor` eme en th´ eorie des graphes

1er Th´eor`eme en th´eorie des graphes

Le th´eor`eme suivant est consid´er´e comme ´etant lepremier r´esultat publi´een th´eorie des graphes. Il a ´et´e observ´e par le math´ematicien suisseLeonhard Euler en 1736.

Aujourd’hui, il est connu sous le nom dulemme des poign´eesde main (Handshaking Lemma).

Th´eor`eme SiG= (V,E)est un graphe de taillem, alors

X

v∈V

deg(v) =2m

Preuve :Il suffit de remarquer que dans la sommation

X

v∈V

deg(v)une arˆete

e= (v,u)∈Eest compt´ee exactement deux fois, une fois dansdeg(v)et une fois dansdeg(u).

Corollaire Le nombre de sommets de degr´e impair dans un graphe est pair.

Preuve :Exercice.

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Exemples et exercices

1 Existe-t-il un graphe dont les sommets ont pour degr´e 1,2,2,3,3 ? Mˆeme question avec la suite 1,1,2,3,3.

2 Un grapheGd’ordre 15 et de taille 20 poss`ede 14 sommets de degr´exet un sommet de degr´ey. donner les valeurs dexet dey.

3 Montrer que siGest un graphe d’ordrenet de taillemalors δ(G)6 2m

n 6∆(G).

4 Sinest l’ordre d’un grapheG etmest son nombre d’arˆetes alorsmn(n−1)

2 .

5 Montrer que tout graphe non trivial a au moins deux sommets de mˆeme degr´e.

6 Soitkun entier,k>2. Un odd-graphOkest un graphe dont les sommets sont les parties `ak−1 ´el´ements de l’ensemble{1,2,· · ·,2k−1}, deux sommets

´

etant adjacents lorsque les sous ensembles correspondants sont disjoints.

1 D´eterminer l’ordre de ce graphe, le degr´e de chaque sommet et le nombre d’arˆetes de ce graphe.

(18)

Isomorphisme de graphes

SoientG1= (V1,E1)etG2= (V1,E2)deux graphes.

D´efinitionOn dit queG1etG2sontisomorphes, et on ´ecritG1'G2, s’il existe une bijectionϕ:V1V2telle que pour tout couple de sommetsu,vV1,

(u,v)∈E1⇔(ϕ(u), ϕ(v))∈E2

Autrement dit :Deux graphes sontisomorphessi ce sont lesmˆemes graphes,dessin´es diff´eremment, ou on peut les´etiqueteravec les mˆemes ´etiquettes de sorte que chaque sommet ait exactement lesmˆemes voisinsdans les deux graphes.

1 2

4 3

1

2 4 3

1

2

3 4

Th´eor`emeSi deux graphesG1etG2sontisomorphes, alors ils ont lemˆeme ordre, mˆeme tailleet lesdegr´esdes sommets deG1sont lesmˆemesque lesdegr´esdes sommets deG2.

PreuveVoir TD.

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Isomorphisme de graphes

Remarque La r´eciproque n’est pas toujours vraie. Les deux graphes suivants ne sont pas isomorphes.

1 2 3

4

5

6

7 8

a b c

d

e

f

g h

Exemple Dessiner des graphes non isomorphes d’ordre 4.

(20)

Sous-graphe et Graphe partiel

SoientG= (V,E)un graphe etX un sous ensemble de sommets deV.

Le grapheGX = (X,EX)est ditsous-graphe deG si et seulement siEXE.

SiEX est form´e de toutes les arˆetes deGayant leurs deux extr´emit´es dansX alorsGX = (X,EX)est unsous-graphe induitdeG.

Le grapheGX = (X,EX)est ditgraphe partieldeG, siX =V etEXE.

Autrement dit, on obtientGX en enlevant une ou plusieurs arˆetes au grapheG.

e e 2 e 3 e 4

e 5 e 6 e 7

v 4

v 3

v

1 2

(a) v 1 v5

e e2 e3 e4

e5 v4

v3

v2 v 1

(b) 1 v5

e e2 e5

e6 e7

v5 v3

1 v

(c) v1 2

Figure:

(a):Un grapheG; (b):Graphe partiel deG;(c):Sous-graphe deG.

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(21)

Op´ erations sur les graphes

D´efinition :

Le compl´ementaire d’un graphesG= (V,E)est le graphe

G= (V,V×V\E)

L’union de deux graphesG1= (V1,E1)etG2= (V1,E2)est le graphe

G1G2= (V1V2,E1E2)

L’intersection de deux graphesG1= (V1,E1)etG2= (V1,E2)est le graphe

G1G2= (V1V2,E1E2)

Le produit cart´esien de deux graphesG1= (V1,E1)etG2= (V1,E2)est le

(22)

Op´ erations sur les graphes

Exemple :

Un graphe et son compl´ementaire

1

2

3 4

5

6

3 4

5

1

2

3 4

5

6

Deux graphes et leur union

1

2

3 4

5

6

3 4

5 5

3 4

Deux graphes et leur intersection

c a

b

c1 a1

b1

a2 a3 a4 a5 a6

b2 b3 b4 b5 b6

c2 c3 c4 c5 c6

Deux graphes et leur produit cart´esien

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(23)

Types de Graphes

Ungraphe completest un graphe o`u chaque sommet estreli´e `a tous les autres.

Un graphe complet d’ordrenest not´eKn.

On appelle unecliqueunsous-graphe completd’un grapheG.

Dans un grapheG= (V,E), un ensembleSV est ditstablesi deux sommets distincts deSne sontjamais adjacents. On noteα(G)le cardinal maximum d’un stable deG (nombre de stabilit´e).

1

v2

v v v

v1

v2

v

v1

v7 v3

v5 v

(III) v

v v v

4

5 6 7 3 8

10

v9

v8

10

(I) (II)

Figure:

(24)

Types de Graphes

Un graphe estr´eguliersi tout ses sommets ont lemˆeme degr´e.

Autrement, un grapheG= (V,E)estr´eguliersi et seulement si

∀x,yV, deg(x) =deg(y)etδ(G) = ∆(G).

Un graphe estk-r´eguliersi tout ses sommets sont dedegr´ek.

Autrement, un grapheG= (V,E)estk-r´eguliersi et seulement si

∀x,yV, deg(x) =deg(y) =k etδ(G) = ∆(G) =k.

Un graphe completKnest un graphe(n−1)-r´egulier.

Un graphek-r´egulierdek+1 sommets est ungraphe completKk+1. Un graphe3-r´egulierest appel´egraphe cubique. Exemple : le graphe complet K4, le graphe de Petersen.

1

2 4 3

Le grapheK4et le graphe de Petersen

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