UNIVERSITE CADI AYYAD Facult´e PolyDisciplinaire de Safi
Master MatMod 2018−2019
Introduction `a la th´eorie des graphes
TD N
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Les bases de la th´ eorie des graphes
Exercice 1 : ´el´ements de base d’un graphe
1. Existent-t-ils des graphes dont les sommets ont pour degr´e les s´equences suivantes ? Si la r´eponse est oui, dessiner le graphe correspondant.
(a) 1,2,2,3,4,7 (b) 1,2,3,4,4 (c) 2,3,4,8,3 (d) 0,3,3,3,3,3,3,3,3 (e) 1,1,3,3,4,5,6,7 (f) 1,1,3,4,5,6 (g) 3,3,4,4,6,6,6,8
2. Donner la taille d’un graphe d’ordre 6 ayant 4 sommets de degr´e 2 et deux sommets de degr´e 4. Dessiner ce graphe.
3. SoitGun graphe d’ordre 10, de taille 11 et dont les sommets sont de degr´e 2 ou 3. Donner le nombre de sommets de degr´e 2 et de degr´e 3. Dessiner le graphe G.
4. Est-t-il possible de construire un graphe d’ordre 10 et de taille 50 ?
5. Un graphe d’ordre 4 peut-il avoir un sommet de degr´e 1 et 3 sommets de degr´e 3 ? 6. Existe t-il un graphe d’ordre 4 et de taille 7 ? Justifier votre r´eponse.
7. Montrer que siGest un graphe d’ordren>3 etδ(G)> n
2, alorsGcontient un triangle.
Exercice 2 : M´ethodes de Construction de graphes
1. Un hypercube de dimensionnnot´eHn(appel´e aussin-cube) est un graphe dont les sommets sont des ensembles den-uplets de{0,1}. Deux sommets sont adjacents si et seulement si les n-uplets correspondants diff`erent en exactement une coordonn´ee.
(a) DessinerH1,H2, H3,H4. (b) D´eterminer l’ordre deHn.
(c) Montrer queHn est un graphe r´egulier. D´eduire la taille deHn.
2. Le treillis bool´een de dimension n not´eBLn est un graphe dont les sommets sont tous le
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el´ements deP(E) avecE ={1,2,· · ·, n}. Deux sommets sont adjacents si et seulement si leur diff´erence sym´etrique est un singleton.
(a) DessinerBL1,BL2,BL3. (b) D´eterminer l’ordre deBLn.
(c) Montrer queBLn est un graphe r´egulier. D´eduire la taille deBLn. (d) Dessiner un sous graphe, un graphe partiel et un graphe induit duBL3.
3. Soit n, r deux entiers tels que 2r 6n. Un graphe de Johnson J(n, r) est un graphe dont les sommets sont les parties `a r´el´ements d’un ensemble `a n´el´ements, deux sommets ´etant adjacents lorsque les sous ensembles correspondants ont exactementr−1 ´el´ements communs.
(a) DessinerJ(5,1) etJ(4,2).
(b) Donner la classe des graphesJ(n,1).
(c) DessinerJ(5,2) le compl´ementaire deJ(5,2).
(d) D´eterminer l’ordreJ(n, r).
(e) Montrer queJ(n, r) est un graphe r´egulier. D´eduire la taille deJ(n, r).
(f) Dessiner un sous graphe, un graphe partiel et un graphe induit duJ(5,2).
1 Mustapha KCHIKECH
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Introduction `a la th´eorie des graphes
4. Un graphe G = (Z/nZ, E) est ditcirculant d’ordre net de partie S ⊂Z/nZ o`u 0∈/ S et x∈S implique−x∈S et (x, y)∈E si et seulement six−y∈S.
a. Dessiner 4 exemples de graphes circulants d’ordre 8.
b. Est-ce que les graphes circulants sont r´eguliers.
c. Est-ce que le compl´ementaire d’un graphe circulant est un graphe circulant ? Si oui donner un exemple.
Exercice 3 : Graphes isomorphes- compl´ementaire de graphes
1. Soit G est un graphe d’ordre n et de taille m, donner l’ordre et la taille de G le graphe compl´ementaire de G.
2. Dessiner un graphe isomorphe `a son compl´ementaire.
3. Montrer que deux graphes Get H sont isomorphes si et seulement si leur compl´ementaire Get H sont aussi isomorphes. Donner un exemple.
4. Trouver les graphes isomorphes parmi les graphes suivants :
5. Montrer queHn et BLn sont isomorphes o`uHn est l’hypercube de dimensionnetBLn est le treillis bool´een de dimensionn.
6. Un graphe G est autocompl´ementaire si G = G. Montrer que si G est un graphe auto- compl´ementaire d’ordrenalorsn≡0[4] oun≡1[4]. La r´eciproque est-elle toujours vraie?
7. Montrer que tout grapheGautocompl´ementaire d’ordre 4k+ 1 poss`ede un sommet de degr´e 2k.
2 Mustapha KCHIKECH
