POINT SINGULIER D'INDI~TERMINATION, III. SUR L'ETUDE ANALYTIOUE DES SOLUTIONS D'UN SYSTEME D'I~OUhTIONS DIFFI~RENTIELLES DANS LE V01SINAGE FUN

SUR L'ETUDE ANALYTIOUE DES SOLUTIONS D'UN SYSTEME D'I~OUhTIONS DIFFI~RENTIELLES DANS LE V01SINAGE F U N

POINT SINGULIER D'INDI~TERMINATION, III.

PAR

J. MALMQUIST

S T O C K H O L M .

D a n s d e u x t r a v a u x pr~c6dents ~ n o u s a v o n s dtudi4 u n s y s t ~ m e d ' ~ q u a t i o n s diff~rentielles

(x) xk+~ dy~

off k est u n e n t i e r > o et les seconds m e m b r e s s o n t r6guli~res p o u r o < I x l < r, l Y i l < r ' ( i ~ - - I . . . . n) et s ' a n n u l e n ~ p o u r x ~ - o , Y l - ~ o , . . . y n = o . P o s a n t

~ (y~, . . . y,,; x) = F , a, . . . n ( x ) ~ , . . . Y~2 (i = ~ . . . . , ) on s u p p o s e que les coefficients a~ .. . . n ( x ) s o n t a s y m p t S t e s g des sdries de p u i s s a n c e s de x s u r la s u r f a c e de R i e m a n n de log x ou d a n s u n s e c t e u r de s o m m e t x - ~ - o . D ~ s i g n o n s les t e r m e s d a n s ~ du p r e m i e r degrd en y~ . . . . y~ p a r

n

a;~ (x) ~

j = l

et p o s o n s

a~j(x) ~ ai~ + a~).) x + . . . _~3

1 S u r l'6tude a n a l y t i q u e des solutions d ' u n syst~me d'6quations diff~rentielles dans le voisinage d ' u n p o i n t singulier d ' i n d ~ t e r m i n a t i o n . Acta math., t. 73, P- 8 7 - - I 2 9 et t, 74, P. 1--64- E n r e n v o y a n t dans la suite ~ ces t r a v a u x n0us les d~signons p a r (I), (II).

110 J. Mal mquist.

D a n s le t r a v a i l p r 6 s e n t nous supposons que les racines s l , . . , sn de l'~quation earact~ristlque

I ~;~ - 8~,jl = o (i, j = ~, . . . , )

song + o, et n o u s nous p r o p o s o n s de compl6ter sur u n c e r t a i n p o i n t les & u d e s pr6c6dentes dans le cas off il y a e n t r e sx, . . . s, des r e l a t i o n s de la f o r m e

s~ - - kl sl + "'" + k , , s , ,

off kl, . . . kn sont des e n t i e r s _--__ o d o n t la somme est .>_-2.

N o u s eommengons p a r u n r~sum~ c o u r t des r~sultats p r i n c i p a u x que nous avons o b t e n u s dans (I), (II) et d o n t nous a u r o n s besoin dans la suite. P a r des t r a n s f o r m a t i o n s simples on peu~ r a m e n e r le syst~me (I) s la f o r m e n o m a l e suivante

1 d Yi

~.

Xk+

(2) ;=~

+ ~ ( y , . . . y~; x) ( i = I, . . . "),

oh j~(X) song des f o n c t i o n s enti~res et r a f i o n n e l l e s de degr~ k - - I au plus et e~

esg ~gal ~ o ou i de mani~re que le syst~me lindaire

x~+l d yt _ ~ ( ~ x ~ (ri y~ + ~ y~-~) (i =

(3) d x - - ' ~ Y ~ + , . . . n)

se d~compose en un c e r t a i n n o m b r e de syst~mes partiels de la f o r m e xk+l d y l ~_ f ( x ) y 1 § r x k y 1

d x

.~k + l .~ Yi = f ( x ) ff, "~- xk (r y, -~ yi--1)

"~ d x ( i = ~ , . . . m),

les m - - I dernibres dquations p o u v a n t aussi m a n q u e r . P o u r les n o m b r e s rj c o r r e s p o n d a n f ~ u n e mgme f o n c t i o n f i ( x ) on p e u t supposer q u ' a u c u n e des diff6rences ~ ) . - ry n ' e s t dgale ~ u n e n t i e r # o. Les s~ries ~ c o m m e n c e n t p a r des t e r m e s de degr6 ~ 2 p a r r a p p o r t s Yl, . . . Y=.

N o u s p r e n o n s le systbme diff6rentielle sous la f o r m e (2). D~signons p a r

~ ( a = o , + I, +_2 . . . . ) les a r g u m e n t s diff6rents des h o m b r e s s l , . . . s n et ces a r g u m e n t s a u g m e n t d s de multiples de 2 • et supposons les rangds de mani6re que T~ < ~ + 1 . N o u s consid6rons les secteurs

Sur l'~tude analytique des solutions d'un syst~me d'6quations diff6rentielles. 111

X ~ : ~ - - ) - + 9 ~ < 9 < +9~+1

de sommet x----= o, 9 6rant l'argument de x. Une au moins des expressions

a la valeur I pour 9 = ~ 9~ +-- 9 P a r des approximations suceessives nous avons d6montr6 le r6sultat suivant.

f t chaque seeteur X~ correspond une solution et une seule du syst~me (2)asymp- tote dans X~ g des sdries de puissances qui satisfont formellement au syst~me (2).

~ 3 ~

L'angle d'un secteur X , est > ~ - et < Soit m a i n t e n a n t X un secteur

= k

dont l'angle est < it- et dont les arguments limi~es sont # ~, 9o +-- (~ = o, + I, + 2, ...). II peut arriver que certaines des expressions

e - ~ ~ - k (i = I , . . . n)

tendent vers o quand x tend v e r s o dans une direction quelconque appartenant s X. Supposons que ceci a lieu pour i : I , . . . p. Nous avons ddmontrd l'exis- tenee d'une solution unique du syst~me (2) telle que Yl . . . . yp pre~ne~t des valeurs donndes pour un looi nt x o de X et Yl, . . . Y~ soient asymptotes dans X aux s~ries de puissances qui satisfont formellement au sgst~me (2).

Nous avons fair une application des r6sultats pr6c6dents "~ l'6tude d'un syst6me lin6aire et homog6ne que l'on peut prendre sous la forme normale eorrespon- dant ~ (2)

(4) x~+~ = ~ ( ~ ) w § ~(,-i~,. + ~,w-,)

+ x~+~ ~,~(x).vj

j = l ( i = I . . . . ~ ) ,

aij(x) 6rant asymptStes s des s6ries de puissances. 1Nous d6signons par 9* des arguments d6finis de la mani~re suivante. On pose, si J~(x)=V d~(x)

(x) - ~ (~) = ~ ; J (s;j + ...), s , . . o et on consid~re les expressions

112 J. Malmquist.

U n a r g u m e n t ~0" s a t i s f a i t s la c o n d i t i o n que l ' u n e a u m o i n s de ces e x p r e s s i o n s air la v a l e u r I p o u r ~o ~ 0 " . N o u s c o n s i d g r o n s des s e c t e u r s X d6finis de la m a n i ~ r e s u i v a n t e : p a r t a n t d ' u n s e c t e u r ~0 o < q0 < ~0 o + ~-, off q0o, 9% + ~ s o u r diffgrents des a r g u m e n t s ~0", on a u g m e n t e ce s e c t e u r d a n s les d e u x d i r e c t i o n s sans que l ' o n r e n c o n t r e u n a r g u m e n t ~*. M a i n t e n a n t on a l e t h 6 o r ~ m e s u i v a n t d~- m o n t r ~ d a n s (II).

chaque sectcur X correspond une substitution lin6aire et homogdne de d$ter- m i n a n t 6gal ~ 1 pour x = o p a r laquelle le syst~me (4) se transforme au syst~me (3) correspondant. Les coefficients de eette substitution sont asympt6tes clans X des s6ries de puissances de x. Ces s~ries asymptotiques sont ind62oendantes des secteurs X .

P o u r la validit6 de ee t h 6 o r ~ m e on n ' a p a s b e s o i n de s u p p o s e r que t o u s l e s n o m b r e s s ~ , . . , s~ s o n t 4 = o. L e t h d o r ~ m e est d ' u n e i m p o r t a n c e f o n d a m e n t a ] p o u r l'6~ude d ' u n s y s t ~ m e (2).

C o n s i d 6 r o n s d ' a b o r d le cas off l'origine est situ~ ~ l'ext&'ieur du polygone conrexe enveloppant s~, . . . sn. I I y a a l o r s des d i r e c t i o n s d a n s lesquelles r o u t e s les f o n c t i o n s

e--Siz--k

Soit ~ ' ~ ~0 _--< ~ "

( i = I , . . . n) u n s e e t e u r d o n t r o u t e s les diree-

e-( .... + " +".'n-'~/~-k (i = , , . . . n) x t e n d v e r s o d a n s cer~aines d i r e c t i o n s ~ p p a r t e n a n t au Ln m ~ m e chose p e u t a v o u r lieu p o u r c e r t a i n s syst~mes de t e n d r a vers o q u a n d

s e c t e u r ~0' < 99 < ~0".

t e n d e n t v e r s o p o u r x ~ o.

t i o n s o n t c e t t e p r o p r i ~ t C

I1 p e u t a r r i v e r q u ' i l existe des r e l a t i o n s s i ~ k xs 1 + "" + kns~,

off k~ . . . . k,~ s o n t des e n t i e r s _>--o d o n t la s o m m e est =>_ 2. D a n s le cas eon- sid~r~ ces r e l a t i o n s sont n 6 c e s s a i r e m e n t en n o m b r e fini. E n ~ c r i v a n t les v a r i a b l e s Yx . . . . y , d a n s a n o r d r e c o n v e n a b l e on p e u t s u p p o s e r qu'elles o n t la f o r m e

(5) s ~ = k l s l + "'" + k i - x s ~ - l .

Consid~rons les s y s t 6 m e s d ' e n t i e r s a l , . . . ~ p o s i t i f s on nuls tels que

~ + " " + an >_-- 2. P r e n o n s u n n o m b r e N s u f f i s a m m e n t g r a n d . Si a~ + ... + ~n > N c h a c u n e des f o n c t i o n s

Sur l'~tude analytique des solutions d'un syst~me d'~quations diff~rentielles. 113 h o m b r e s al, . . . an d o n t la s o m m e est ~ N. D~signons p a r ill, . . . fl~ l'un quel- c o n q u e des a u t r e s syst~mes de n o m b r e s don~ la somme est ~ N, le syst~me i l l , - . , fin d t a n t different des syst~mes de n o m b r e s k s . . . . ki-1, o , . . . o e n t r a n t dans les relations (5). 2k c h a q u e syst~me ~1 . . . . ft, c o r r e s p o n d e n t des h o m b r e s ifl de mani~re que

e--(~,s, + " 9 "+~n 8n--s~) ~--k

t e n d e v e r s av dans e h a q u e d i r e c t i o n a p p a r t e n a n t an s e c t e u r ~ ' ~ ~ ~ ~ " . Soil e n s u i t e k l , . . . / ~ i - 1 u n syst~me de h o m b r e s e n t r a n t dans les r e l a t i o n s (5), con- siddrons le cas off la f o n c t i o n

P (x) = k~ (,'1 x~ + A (x)) + . - + k , _ l (,-,-2 x ~ + f , - 1 (x)) - (,., x ~ + .f, (x)) n ' e s t pas i d e n t i q u e m e n t nulle et posons

P ( x ) = Co x~ + . . . + c r x ~-k', ck' ~ o .

Si )~'> o il p e u t a r r i v e r que la fonc~ion e--ck, z--k'

t e n d vers ~ dans c h a q u e d i r e c t i o n a p p a r t e n a n t au s e c t e u r ~ ' ~ r ~ ~ " . D a n s ce cas n o u s d6signons kl, . . . ~i-1 p a r xl, . . . ui-~.

A u syst~me lindaire (4) que l'on o b t i e n t en ne re~enant dans les seconds m e m b r e s de (z) que les t e r m e s d u p r e m i e r degrd en Yl, . . . Y~ c o r r e s p o n d e n t des a r g u m e n t s ~*. N o u s considdrons des secteurs X d~finis de la mani~re suivante.

:Tg tt

P a t r o n s d ' u n secteur ~ o ~ r + ~ qui c o n t i e n t le secteur ~ ' ~ , ~0

7 g

et q~o + ~ 6tan~ diff~rents des a r g u m e n t s ~* et des a r g u m e n t s p o u r lesquels u n e des f o n c t i o n s

O U

011

] e (~ s~ +" " " + 2n sn--si{~ ) x - l " ]

le

c o r r e s p o n d a n t "s X l , . . . • a la valeur I. On volt f a c i l e m e n t que ce s e c t e u r f a i t p a r t i e d ' u n s e c t e u r X~ ddfini s la page I I I. On a u r a un secteur X en au~-

8

114 J. Malmquist.

m e n t a l i t le secteur 9% < q~ < 99o + ~ - duns les deux directions sans que l'on ren-

~rC

contre u n des a r g u m e n t s que nous venons de d~fendre pour 0Oo, 9Oo + ~ ou les a r g u m e n t s q~ -- ; , ~ " + ~ .

M a i n t e n a n t on a le th6orbme suivant d6montr6 duns (I),

(II).

A tout secteur X correspondent des solutions du syst~me (2) ddfinies p a r des s6ries

(6) u, = t,; x) (i = n)

proc6dant s u i v a n t les puissances de certaines expressions tt, 9 9 9 t,; Yl =- tl, . . . Yn ~ t~

est la solution; gdn~rale du syst~me (3) eorrespondant au syst~me lindaire que l'on obtient en ne retenant dans les seconds membres de (2) que les termes du p r e m i e r _/ degrg en Y l , . . / / . Y ~ . L e s coefficients des s&'ies (6) sont des fonctions ddtermin6es de x. D a n s le cas oi, il n'y a aucune relation de la f o r m e (5) ces coefficients, sont asympt5tes dans X ~ des s6ries de puissances. D a n s ce cas les s6ries (6)convergent p o u r des valeurs de x, t 1 .. . . t~ telles que I x { < ~, ]ti] < l x ] ~ ' ( i = I, . . . n), x appurtenant ~ X ; dm~s le cas o72 t o u s l e s hombres ri sont o on p e u t prendre $ - ~ o, d a n s les aub'es cas on p e u t p r e n d r e 6 entre o e t t. D a n s le cas oft il y a des relations (5) les s6ries asymptotiques p o u r les coefficients des sgries (5) p e u v e n t ecn- tenir des puissances n6gatives et des logaritmes. D a u s ee cas les sdries (6) con- vergent p o u r des valeurs de x, t,, . . . tn t e l l e 8 que { x I < ~, I

t,I

I

~' (i

~,

On p e u t dire uussi que les dquations ( 6 ) d 6 f i n i s s e n t une substitution par laquelle le syst~me (2) se t r u n s f o r m e au syst~me (3) correspondunt ~ (2).

Consid6rons ensuite le cas off l'origine est situg ~t l'int6rieur ou sur la limite du polygone convexe enveloppant S l , . . . s~. II existe t o u j o u r s des sdries (6) sutis- f a i s a n t f o r m e l l e m e n t au syst~me (2), mais en g~n6ral elles n ' o n t pus u n domaine de convergence. Mais on p e u t obtenir des sdries convergentes en rempla- 9ant certuines des expressions t a , . . , tn par o. On p e u t prendre u n secteur q ~ ' < 99 < ~ " duns lequel cer~aines des fonc~ions

e - S i ~ - k (i =- I , . . . ~),

soit celles qui correspondent s i ~ . . . p, t e n d e n t vers o, et on peut supposer que les fonctions c o r r e s p o n d a n t s i : p + I , . . . ~ t e n d e n t vers oc darts chaque direction a p p a r t e n a n t ~r ce secteur. M a i n t e n a n t on peut d~finir des secteurs X

Sur l'6tude analytique des solutions d ' u n syst~me d'6quations diff6rentielles. 115 de l a m ~ m e m a n i ~ r e q u e p r 6 c 6 d a m m e n t e n d 4 f i n i s s a n t les a r g u m e n t s exception- nels a u t r e s que ~0" g l ' a i d e des h o m b r e s s~, . . . s, seuls. ~ u n tel s e c t e u r cor- r e s p o n d e n t d e s s o l u t i o n s du s y s t ~ m e (2) r e p r & e n t d e s p a r des s6ries que l ' o n o b t i e n t des s & i e s (6) en r e m p l a ? a n t t ~ + ~ , . . , t, p a r o. Ces s~ries c o n v e r g e n t p o u r des v a l e u r s de x , t ~ , . . . t p telles q u e I x ] < r , Itil < l x l " r ' ( i : I , . . . p ) , x a p p a r ~ e n a n t g X. Ce r 6 s u l t a t e s t v a l a b l e aussi q u a n d c e r t a i n s des n o m b r e s S~+s, . . . s~ s o n t nuls, sous la c o n d i t i o n q u ' i l existe u n e s o l u t i o n du systSme (2) a s y m p t 6 t e d a n s X g des sdries de p u i s s a n c e s . ~

I I .

D a n s le cas o(1 il y a des r e l a t i o n s (5) les eoefficientls d e s s & i e s (6) ne s o n t p a s en g6n6ral a s y m p t 6 t e s g des s6ries de p u i s s a n c e s de x. M a i s on p e u t ob- t e n i r des s & i e s proe6da, n t s u i v a n t les p u i s s a n c e s de c e r t a i n e s e x p r e s s i o n s %, . . . ~n de telle m a n i ~ r e que les coefficients s o i e n t a s y m p t S t e s g des s6ries de puis- sances. N o u s allons le m o n t r e r d a n s le cas off l ' o r i g i n e est situ6 g l ' e x t 6 r i e u r du p o l y g o n e c o n v e x e e n v e l o p p a n t s~,... Sn.

Consid~rons u n s e c t e u r X d6fini g la p a g e 113, il f a i r p a r t i e d ' u n s e c t e u r X~ d6fini g la p a g e I I I . S o i t y~=y~(x) (i-~ I , . . . n)la s o l u t i o n u n i q u e d u s y s t ~ m e (2) a s y m p t 6 t e d a n s X~ a u x s & i e s de p u i s s a n c e s qui s a t i s f o n t formelle- m e n t au s y s t ~ m e 2. E n p o s a n t d a n s ( 2 ) y ~ = y i ( x ) + t7i (i--~ I , . . . n ) o n a u r a p o u r ~ h , - . - V , , u n s y s t ~ m e de l a f o r m e (2) d o n t les s e c o n d s m e m b r e s s ' a n n u l e n t i d e n t i q u e m e n t p o u r W = o, . . . Vn-~ o; ces seconds m e m b r e s s o n t des s&ies de puissances de W , . . . '2~ d o n t les coefficients s o n t a s y m p t 6 t e s d a n s X~ g .des s6ries de puissances. C o n f o r m ~ m e n t au r6sul~at 6nonc~ p. I I2 p o u r u n s y s t ~ m e d ' 6 q u a t i o n s diff6rentielles lin6aires on f a i r e n s u i t e u n e s u b s t i t u t i o n .

~,

= ~ b,j(~)~. (,: =

a u s e c t e u r X de m a n i ~ r e que le s y s t ~ m e p o u r z ~ , . . , z,~ soit de c o r r e s p o n d a n t

la f o r m e

(7)

d--x - - j ~ (x)z, + x ~ (,', z~ + ~, z,-1) + ~ , ( < , . . . z,; x) (i = I . . . ,,), 1 Pour la discussion de l'existence d'une telle solution voir (II), p. 8--23; ~ cet endroit nous n'avons ddmontrd l'existence de la solution que sous certaines conditions suppldmentaires concer- nant le seetcur X, mais par unc modification du raisonnemeat employ6 on peut d6montrer que la solution existe dans tout cas, sous ]a scule supposition qu'il existe des s6ries de puissances qui satisfont formellement au systdmc (2).

116 off l ' o n a

J. Matmquist.

les coefficients a~, ~, .... ~ Ix) &aa~ a s y m p t 6 t e s clans X g des s6ries Re puissances i n d ~ p e n d ~ n t e s de X.

N o u s d4finissons les e x p r e s s i o n s %, . . . ~,~ p a r la solution g4ndrale d ' u u cer- t a i n syst~me

(8) a:~+' d d-~, = ~ (x)~, + x ~(,-, ~, + ~, ~,_~) + O,(~, ~ , . . . ~,_~) ~ (i-~ ~ , . . . ~),

o~ G, es~ i d e n t i q u e m e n ~ n u l et Gi, i > x, son~ des fonc~ions enti~res e t r a t i o n - nelles

9 " " " ' " " " " i - - 1

k a , . . , ke-~ ~ a n ~ les e n t i e r s qui fignren~ duns les r e l a t i o n s (5)- ~Tous allons m o n t r e r q u ' o n p e u t d ~ e r m i n e r des f o n c t i o n s en~i&res e~ r a t i o n n e l l e s g,-, ~ ... ~ - 1 (x) de mani~re que le syst~me (7) soi~ s a t i s f a i t p a r des s~ries

( m ) ,~, = ~ + ~ , . . . , , ( ~ ) , ? . . . ~ ^{(i =} ~ , . . . ,),

ot~ ~i . . . ~,~(x) sont des loner.ions a s y m p t f t e s duns X g des s~ries de puissances.

N o u s ~nongons d ' a b o r d quelques r4sultats p o u r u n e 4quation diffgrentielle lin~aire d o n t n o u s a u r o n s besoin e~ que l'on d4mon{re sans peine. C o n s i d & o n s l ' d q u a t i o n diff4rentielle

(Ii)

o~ P ( x ) est de la f o r m e

zk+, d ~ + P ( x ) y = F(x),

et F ( x ) est u n e f o n c t i o n asympt6~e duns X g u n e s6rie de puissances; ~j, . . . ~ sont des e n t i e r s ~ o d o n t la s o m m e est ~ 2. N o u s supposons en p r e m i e r lieu que a~, . . . a~ n ' e s t pas u n syst~me de n o m b r e s kl, . . . ki-1, o, . .. o. 8i a~, . .. a , n'es~ pas u n syst~me de h o m b r e s f l , , . . . / ? ~ (voir p. II3) ou s'il est u n systbme de n o m b r e s flI, . . - ~ , , et / n ' e s t pus u n h o m b r e i~ c o r r e s p o n d a n t l ' 6 q u a t i o n (I I) a u r a u n e seule int6grale a s y m p t 6 t e dans X g une s6rie de puissances. L a m~me

Sur l'~tude analytique des solutions d ' u n syst~me d'~quations diff~rentielles. 117 chose a lieu si a~, . . . a~ e s t u n s y s ~ m e de h o m b r e fl~, . . . fl~ e~ i e s t un h o m b r e i~ c o r r e s p o n d a n t , c o m m e on le voi~ f a c i l e m e n t en r e m a x q u a n t que les s e c t e u r s p a r lesquels n o u s a v o n s a u g m e n t ~ le s e c t e u r ~o < ~ < r + ~- p o u r o b t e n i r X z n e c o n t i e n n e n t u u c u n a r g u m e n t p o u r lequel

eP(~ --~ I.

S u p p o s o n s e n s u i t e que a~ = k~, . . . a ~ - i ^{- -} ~ i - 1 , qi = ^{o ,} . . . g , ~ =--- O. Con- sid~ro~s d ' a b o r d le cas off la f o n c t i o n

kl (rl x ~ § f l (x)) + ... + k~-1 (ri--1 x k § g~-i (x)) ~ (ri x k § j~ (x)) --~ Co x ~ § "'" § c~, x ~-~' n e s ' a n n u l e p a s i d e n t i q u e m e n ~ e~ s u p p o s o n s que k ' > o, c~, ~= o. P o s o n s

P ( x ) -= co x k' + "" + ck, e~ c o n s i d 6 r o n s l ' 6 q u a t i o n diff6rentielle

(is) xk'T1 d y 2[_ P ( x ) y = ~ ( x ) ,

d x

off F(x) est u n e f o n c t i o n a s y m p t S t e dams X ~ u n e s~rie de puissances. Si kl, . . . k~-i n ' e s t p a s u n s y s t ~ m e de h o m b r e s • . . . xi-~ (voir p. I I 3 ) l ' ~ q u a t i o n (IS) a u r a u n e seule i n t ~ g r a l e a s y m p t S t e d a n s X s u n e sdrie de puissances, s i kl, . . . k~-i est u n s y s t ~ m e de h o m b r e s xl, . . . xi-1 d e u x cas p e u v e n t a v o i r lieu.

Ou b i e n l'~qua~ion (I5) a u n e seule i n t 4 g r a l e a s y m p t S t e d a n s X ~ u n e s~rie de puissances, ou bien r o u t e s les i n t 4 g r a l e s de ( I s ) son~ a s y m p t S t e s d a n s X s c e t t e s4rie. L e d e r n i e r cas ne p e u t a v o i r lieu que si l ' a n g l e de X est < ~ .

A u s s i t S t q u ' u n e ~ q u a t i o n ( I I ) ou (12) a u n e seule i n t ~ g r a l e a s y m p t S t e d a n s X s u n e s~rie de p u i s s a n c e s c e t t e i n t d g r a l e est la seule qui s a t i s f a i t dams X u n e in4galit~ de la f o r m e [ y l < K I x l -~ o~ K, )~ s o n t des h o m b r e s positifs.

S u p p o s o n s enfin que

et consid~rons l ' ~ q u a t i o n

3) x dy + " y = F ( x ) ,

118 J. Malmquist.

F ( x ) ~ a n t a s y m p t 6 t e duns X tt u n e sdrie de puissances. S i r n ' e s t pus o ou e n t i e r n ~ g a t i f l'~quation (~3) a u r a u n e seule int~grale a s y m p t 6 t e duns X ~ u n e s~rie de puissances. Si r est o ou e n t i e r n g g a t i f et que le d d v e l o p p e m e n t asymp- t o t i q u e de F ( x ) ne c o n t i e n t pus u n t e r m e x -~ l ' g q u a t i o n ( ~ 3 ) a u r a u n e seule i n t d g r a l e a s y m p t 6 t e duns X t~ u n e sgrie de puissances ne c o n t e n a n t pus x - r .

I n t r o d u i s o n s m a i n t e n a n t les sdries (Io) duns le syst~me (7). On a u r a

(:t4) Xk+

a ~ - b - 9 9 + a n ~ 2

~- j~ (x) z~ § x ~ (r, z i + ~l z i - 1 ) § Z ai, ~ .. . . . an (X) z~' . . . z~nn

a l "t- " " 9 - f ( z n > 2

(i = ,),

o5 x ~+ld~j d o i v e n t ~tre remplac~s p a r les seconds m e m b r e s de (8) et z l , . . . ~'n d x

d o i v e n t ~tre remplacds p a r les s~ries (Io). P r e n o n s u n e n t i e r v >~ 2 et supposons les f o n c t i o n s ~; . . . n, a~ § " " + an ~ ~ et gc k ... ki_~, kl + " " § k , - _ ~ ~ d~ter- mindes de mani~re que les t e r m e s dans le d d v e l o p p e m e n t de ( I 4 ) d e degr~

< : ~ p a r r a p p o r t s ~ , . . . ~ disparaissent. De plus les f o n c t i o n s r ... ,,~, a~ + ..- + an ~ v s o n t supposges a s y m p t S t e s duns X ft des s~ries de puissances.

N o u s c h e r c h o n s les t e r m e s duns le d ~ v e l o p p e m e n t de (~4) de degrd u + ~ p a r r a p p o r t tt ~ . . . . ~ . P o u r p o u v o i r les dcrire n o u s i n t r o d u i s o n s les n o t a t i o n s sui- vantes. N o u s d~signons p a r

le coefficien~ de z ~ , . . . , a , dans le d d v e l o p p e m e n t de z ~ , . . , z ~ , on a donc 7 , + " " +Y~ < a , + -.. + a . en s u p p o s a n t que ~ 1 + --- + f l , ~ > I. D e plus nous d~signons p a r

G:, :.

le c o e f f c i e n t de 4 ' " ' ~ duns la somme

P o u r que les t e r m e s duns le d d v e l o p p e m e n t de (I4) de degr~ v + I p a r r a p p o r t v~, . . . ~ d i s p a r a i s s e n t il f a u t et il suffit que

Sur l'6tt~de analytique des solutions cl'un syst~me d'~quations diff~rentielles. 119

Z

a ~ + - - 9 + a t ~ = ~ ' + l

+

k x + " ⁹ " + k i _ _ l = ~ + 1

G O f I . . . C t ~ ~1

+ E ...

a x + " 9 " + a n = v + l

~ = < f l x + ' " " + f i n < ~ + 1

a ~ + 9 9 9 + a n = v + 1

a t + 9 9 9 + a n ~ * + l 2 6 1 5 ~ + . . . + f T n < , v + l

+

a a + - ' ' + a n ~ + l

( i = ~,...,)

to~ t . , , ~ ; q

i d e n t i q u e m e n ~ par r~pport s ~ 1 , . . . *n. Ici G ~ , . . ~ , ( x ) ne contielanent que des

t~l , . .

f o n e t i o n s g i , k . . . ~'i-~ ( x ) suppos6es d6termin6es et G~ .... ~,,~" (~J,'l,, .., z~) ne con- t i e n n e n t que des f o n c t i o n s ~0j, r ... ~ suppos6es dgterminges.

P o s o n s d'abord i ~ I darts (I5). P o u r les f o n c t i o n s ~01 .. . . n on aura

a ~ + - - 9 + e t n = v + l

)

[~(x)~ + x~(,.~,~ + ~ , ~ _ , ) ] , ? . . . %7'

a t + . - - + a ~ + l

~ 2 4 - - : - + a n ~ , + l

120 J. Malmquist.

+ ~_~ al, ~ . . . . ~,, (x) G~: . . . . ~ 9 . . ~ , ( q ~ , ~ ... ~ ) ~ ' . . . ~

at+ 9 . 9 +an=~'+ l 2 < ~ 3 ~ + . 9 . + / 3 n < r

+ Z al . . . n ( X ) , ~ . . . . ,~n

a t ~ . . . + a n = * + l

i d e n t i q u e m e n t p a r r a p p o r t ~ z~ . . . . ,~. D 6 s i g n a n t les foncr q~.u, .... , , , a ~ + . - . + a n ~ - v + I darts un o r d r e c o n v e n a b l e p a r 9 ~ , . . . 9 ~ r c e t t e 6 q u a t i o n d o n n e lieu g un syst~me d ' 6 q u a t i o n s de la f o r m e

(~6) xl+~ d 9~ d x + p~ (x) ~h + ~ z ~ ~ = ~ (h = ~ , . . .

M).

S i ~ h = q~l . . . a n O n a i c i

P~ (x) = ~ ,j (,-j ~ + ]) (~)) - (,-, ~ + f , (x))

j = l

~ J ~ J = Z '~'J'~J'91 . . . a j ' _ _ l - - 1 , r . . . . at~

.,4'=2

. . . . ^{~ .} .., ~.) + ~ , o. (~) y , a,, ~ ... ~. (x) C:~',... ~ (~j. ~,, . . .

2 ~ 1 + " ⁹ " +~3n<*+l

~ t , 9 9 a n 2--~ i l l + 9 9 9 + f l n < ~ + l

a f - 1 6 t a u t > o eL aj, 6taalt < v + I. I1 est loisible de s u p p o s e r que la s o m m e

~j 90j ne c o n t i e n n e que des t e r m e s c o r r e s p o n d a n t ~ j < h. C'esr ce que l'on v o l t en p r e n a n t d ' a b o r d ~01 ---91,0 .... o,,+1 et en d 6 s i g n a n t e n s u i t e p a r ~0~ . . . . ~0, les f o n c t i o n s ~01, ~ .. . . n c o r r e s p o n d a n t ~ an ~ v et ainsi de suite, et en s u p p o s a n t la chose dtablie q u a n d on r e m p l a e e n p a r n - I.

Les f o n c t i o n s Fh sont asymptStes dans X s des s6ries de puissances de x.

A u c u n e des expressions ~ _ j a j s j - - s l n ' e s t 6gale ~ o. Supposons d 6 m o n t r 6 que

j = l

les h - - I premieres ~quation (I5) sont satisfaites p a r des f o n c t i o n s ~01, . . . r assymptStes daals X ~ des s6ries de puissances. Alors on voit, en s ' a p p u y a n t sur les rgsultats gnone6s p o u r u n e 6quatlon (I I), que la h i ~ " d q u a t i o n ( t 6 ) a u n e seule int6grale ~0a de la m~me n a t u r e . P a r suite, il est d6montr4 que les 6qua-

Sur l'6tude analytique des solutions d'un syst~me d'6quations diff6rentielles. 1~1 t i o n s (~6) sont satisfaites p a r des f o n c t i o n s ~0~ . . . . ~ r de la n a t u r e indiqude.

De plus on voit que les s~ries a s y m p t o t i q u e s p o u r q0~, . . . ~VM sont u n i v o q u e m e n t d6termin~es et i n d d p e n d a n t e s de X s'il e n e s t ainsi des sdries a s y m p t o t i q u e s p o u r les f o n c t i o n s ~;, ~ .. . . ,,, al + . . ' :~ an < ~ + I e t des f o n c t i o n s g;,~ ... ~_~, k~ + - . . + k ~ - x < ~ + I.

P a s s o n s ensuite ~ la d6,termination des f o n c t i o n s 9~,.,~ . . . ,~, i := 2 , .... ~, a t + . . . § a , , - - - - ~ + ~ e t des f o n c t i o n s g;,~., .... ~i-~, i - - - - ~ , . . . n , k ~ + . . . + k ~ _ ~ - ~

~ + I. S u p p o s o n s les f o n e t i o n s ~;,~ . . . ~, gg,~" . . . ~ - a , a~ + . . . + a n ~ ' + ~, k~ + ' " + k ~ ' - ~ u + I d~termin~es p o u r i--= I , . . . ~ - - I et s u p p o s o n s q u e ces f o n c t i o n s ~ . . . , s o n t asympt6~es dans X ~ des s~ries de puissances univoque- m e n t ddterminSes. L e s f o n c t i o n s ~ . ... "n, a~ + - ' . + a,~ = ~ + I, que n o u s d6si- g n o n s duns un ordre c o n v e n a b l e p a r ~ , . . . 9~M, d o i v e n t satisfaire s des 6qua~ions a n a l o g u e s ~ (~6)

(~7) x ~+~d~ + P ~ ( ~ ) ~ + x~:~,~q~ ~' ( h = ~, ~ ) ,

d x = ~ . . . .

o~ l ' o n a m ~ i n t e n a n t si ~ ~ ~ , ~ ... ~,~

j = l

F A ~ ~ ~ z - - 1 , ~, . . . . aT~ - - b ~ , ~, . . . . a n

+ y, a~,~ ... ~ ( x ) G ~ ' , ~ , ( ~ . j , . ~ .. . . ~,,) + a~ . . . ,,(x) .

2 . ~ [ 3 1 9 r 9 9 9 + l~ a < ~: §

b~ .. . . , (!tang ~gal s g~. k ... *x-1 p o u r a 1 : kl, . .. a 2 - 1 : k x - - 1 , a ~ = o , . . . a n : O et ~gal ~ O p o u r les autres valeurs de a l , . . , an.

D ' a p r ~ s la s u p p o s i t i o n les f o n c t i o n s Fh + b2. ~ .. . . ~ sont a s y m p t b t e s duns X '~ des s6ries de puissances u n i v o q u e m e n t d~termin~es. O n voit f a c i l e m e n t q u ' o n p e u t d 6 t e r m i n e r u n i v o q u e m e n t des foncgions engi~res et r a t i o n n e l l e s b2, ~ ... ~n de mani~re que les ~qua~ions (I7) soient satisfaites p a r des f o n c t i o n s ~ , . . . ~ z a s y m p t S t e s duns X ~ des s~ries de puissances u n i v o q u e m e n t d~termin~es. Si

n

Z a j S j - - 8 2 : ~ 0 on p e u t poser b~. ... , ~ o (cf. le cas de ~ : I). S u p p o s o n s que

j = l

122 J. Malmquist.

~ _ j a j s . j - - s z - ~ o et que Ph(x) ne se r~duit pas t~ r x k. On peut prendre pour

j = l

b~,,~ ... % une fonction entiSre et rationnelle de x de maniSre que l'6quation (I7) en question soit de la forme (I2), on p r e n d b~ ... ,~ de degrd aussi p e t i t que possible; ce degr~ est < k - k' et la f o n c t i o n bz .. . . ~ est u n i v o q u e m e n t d~ter- mince. Deux cas p e u v e n t avoir lieu, ou bien l'dquation (17) a u r a une seule in- t~grale asympt6te dans X t~ une s~rie de puissances u n i v o q u e m e n t d~terminge, ou bien routes les int~grales de (I7) seront asympt6tes dans X s cette s~rie.

D a n s le dernier cas on prend pour q~h une int6grale d~termin~e quelconque de (i7). Supposons enfin que Ph(x) se r~duit tL r x *. S i r est different de o et d ' u n entier n~gatif on prend p o u r bz .. . . n la fonc~ion entiSre et rationnelle u n i v o q u e m e n t d~termin~e de degrd aussi p e t i t que possible telle que r ~ q u a t i o n (I7) soit de la forme (I3); le degr~ est < k. L ' d q u a t i o n (I7) a u r a u n e seule in- t~grale asympt6te dans X s une s~rie de puissances u n i v o q u e m e n t d~terminde.

S i r est o ou u n e n t i e r n~.gatif on prend pour b~ .. . . ~ la somme d ' u n e fonc- t i o n entiSre et rationnelle de degr~ aussi p e t i t que possible ( < k) et d ' u n terme a x -r+k de maniSre que l'~quation (I7) soit de la f o r m e (~3) et air une seule in-

~oTale a s y m p t 6 t e dans X s une sdrie de puissances qui ne contient pas le terme x-~; cette s~rie et la fonction bx ... % sont d~terminges d ' u n e maniSre univoque.

P a r 1s il est dgmontr~ que l'on peut ddterminer routes les fonctions r . . . ~, g,..~ ... ~i_~ e n t r a n t dans (~5). Les f o n c t i o n s gt,~ ... ,i_~ e~ les sdries asympto- tiques pour les fonctions T~., .. . . n sont u n i v o q u e m e n t ddtermin~es et ind~pen- d a n t e s de X.

:Maintenant on voit qu'on peu~ ddterminer les fonctions (9) et les sdries (~o) de maniSre que ces s~ries satisfassent f o r m e l l e m e n t au systSme (7), *~ . . . . ~ ~tant les expressions d~finies par la solution g~n~rale du systSme (8). Les fonctions

~; . . . n(x) dans (m) son~ asymp~6tes dans X t~ des sdries de puissances. Ces s~ries a s y m p t o t i q u e s et les fonctions (9) sont u n i v o q u e m e n t d~termin~es et in- d d p e n d a n t e s de X. P o u r u n n o m b r e fini de systSmes de valeurs i, a ~ , . . , an sa~isfaisant ~ s~ = ~.jajs~ il p e u t arriver que ~ . . . n (x) peu~ 8tre choisi d ' u n e

j = l

infinitd de mani~res. Mais une fois ces f o n c t i o n s ddtermin~es les fonctions

Sur l'@tude analytique des solutions d'un syst~me d'6quations diff@rentielles. 123 9~ . . . ~,~(x) suivantes ne p e u v e n t 8tre choisies que d ' u n e seule maniSre q u a n d le secteur X est donn6.

N o u s allons d~montrer la convergence des s~ries (IO). Nous faisons d'abord une r e m a r q u e c o n c e r n a n t les expressions ~1, . , . *n. On p e u t dcrire

(I8) ~, = t, + H , ( t l , . . . t,--~; x) (i = I, . . . ,), off H t est i d e n t i q u e m e n t n u l et H;, i > I, est f6nction enti~re et rationnelle de t~ . . . . t~-l, log x d o n t les coefficients sont des fonctions de x asympt6tes dans u n seoteur X (et pear-@ire dans des secteurs plus grands) ~ des s6ries de puis- sances pouvant c o n t e n i r des puissances n6gatives en nombre fini; t o u s l e s termes de H~ sont de degr6 > I par r a p p o r t g t ~ , . . , t~-l. Nous m o n t r o n s que des ingg~litgs de la forme

I ~ l < I x l k + ' r ' (i = x , . . . . )

e n t r a i n e n t pour t~, . . . t, des in6galit6s de la mSme forme

l t , l < I ~ l ~ + ~ v ( i = ~ , . . . -)

valables si Ix[ est plus petit q u ' u n c e r t a i n nombre et x a p p a r t i e n t ~ X. A cet effet, nous posons dans (8)

~ -- x T M v~ (i -=- I, . :. n),

d'ofi r6sulte pour vl, . . . v~ le syst~me suivant x~+l d vi : f i (x) v~ + x (ri vi + Ei v~-l)

d x

(s') ( i - - ~ , . . . ,)

-{- X - ( k + l )

Gi(x,

off r~. = r i - - ( k + I). L ' i n t 6 g r a l e g6n6rale de ce syst~me s'6crit

( I 8 ' ) V i - - ~ t / X - - ( k + l ) -~" H~(tl x -(~+~), . . . t~-lx-(k+i); x) (i = I , . . . ~), par suite on a

xk+l H~(t 1 x--(~+~),.., ti--lX--(~+~); x ) - ~ H i ( t 1 .. . . ti-~; X) (i-~- I, . . . n).

Tous les termes des fonctions G~(x, ~ , . . . ~_~) @rant de degr6 > 1 par r a p p o r t

~, ~ , . . . x~-~ Ies expressions

x - I ~ + ~) G~ (x, x ^{T M} v~ . . . . x ^{T M} v~_~)

124 J. Malmquist.

duns (8') e o n t i e n n e n t x k+~ comme facteur. O n e n conclut que les coefficients des fonctions H~ sont des f o n c t i o n s de x d o n t les va, leurs absolues sont plus p e t i t e s qu'une constante quand x a p p a r t i e n t :~ X et Ix[ e s t p l u s peti~ qu'un .certain nombre. P a r suite les in~galit~ [v~!] < r' ( i = I . . . . n) en~rainent des in4galitds de la f o r m e I t~x-(~+l),] < e' ( i - - I , . . . n).

Inversement, des in~ga.lit~s [ ti[ < r',[ x[ ^{T M} (i ⁼ I , . . . ~') e n t r a i n e n t [ ~ [ <

< u I T M (r = i , . . . ,,).

'On p e u t r e m p l a c e r l'exposant k + I par k ~ c~, o < i~ < I. Si les fonctions H~ duns (I8) ne c o n t i e n n e ~ t pas l o g x on p e u t remplacer l ' e x p o s a n t k + I par ]c ,ou p a r le p l u s g r a n d des hombres It--,k' ,(voir p. ~!7)- D~signant l'exposant par ~u o n p e u t donc ,dire que les in4galit~s ,].~,.,] < ,#']:x]~" '(i= I , . . . ,) enCrainent ,des :in~galit~s t t~l < r'l x ]" (i : I, . . . ,n) et in~ersemen~.

D'upr~s :(~8) on peut ~crire les s4ries (Io) c o m m e des s~ries proc~dant suivant les puissances d e t ~ , . . , t,, soient

(~o')

al ~- . . . . q - a t e > 2

ces s~ries. Les coefficients ~ - , ... ,(x) sont en valeurs absolues plus petits duns X que des expressions K [ x ] -~, les hombres positifs K , ~ variant de t e r m e terme. Ces coefficients s a t i s f o n t aux m~mes 4qu~tions diff~rentielles lin~aires que les coefficients d ' u n syst~me de s~ries (6) c o r r e s p o n d a n t s (7)- P a r suite, (IO') est un syst~me de sdries (6). L e s s~ries ( I O ' ) c o n v e r g e n t doric x p o u r Ix[ < r , I t~[ < r ' l x l ~ (i = I , . . . ,), x a p p u r t e n a n t s X. D'apr~s la r e m a r q u e faite con- c e r n a n t les expressions ~ il en rdsulte que les s~ries (Io) c o n v e r g e n t pour Ix ] < r, ]~t] < r ' l x [ " ( i = I , . . . n), x a p p a r t e n a n t s X. N o u s avons donc d~montr~ le th~or~me suivant

Th6orbme 1. I1 y a une substitution

(io) z, = ~, + y , ~ , . , . . . , , ( x ) ~ , . . . 4 " ( i = ~ , . . .

,)

a l + " " " + a n ~ - - 2

par laquelle le syst~me (7) correspondant ~ u.n secteur X se transforme ?e un syst~me de la forme

(8) x~+l d ~; d x = 2 ; ( x ) ~, + x ~ (,-, ~, + ~, ~,-1) + e , ( x , ~,, . . . ~,-1) ti = i . . . . n).

1 Voir (I), p. II6--I18 et (II), p. 41--49.

Sur l'~tude analytique des solutions d'un syst~me d'~quations diff~rentielles. 125 Les s&'ies (IO) convergent pour des valeurs de x, ~1, . . . ~ telles que [ x [ < ~ , [,,[ < ] x [ , ~ ' ( i = i , . . . n), x aploartenant ~ X . Les coefficients 9i . . . ~(x) sont asymptftes dans X ~ des sdries de puissances univoquement ddtermindes et ind@en- dantes de X . G~(x, I : 1 , . . . ~,._~) sont des fonetions enti~res et rationnelles de x;,

~1 . . . . ~ - 1 univoquement ddtermi~des

oie kl . . . . k~-i sont les en~Ners q u i entrent dans lea relation.s, (5}..

Dans un travMl: r6cen4 4e, nature puremen~ formelle ]Yl, I:Iuknharu ~ a obtenu an rdsultat, duns la d.iree~ion d u ~hdorSme, ddm, on~r6. I1 s'es~ servi d ' u n sys,~me r6duit plus. simple qua le syst~me, (8')' en ce sans qu'iI ne, reCienb dans G~: qua les termes donnan~ lie,a ~ des logaritmes, les hombres k~ .. . . . k~-~ sutisfon~ donc

la conditi'o.n q~e,

~ ( r ~ + A ( x ) ) § . . . + ~ - ~ ( r ~ - , ~ + ~ _ ~ ( x ) ) - ( r , z ~ . : ( x ) ) = r x ~,,

r 6~an, t~ o, ou ur~ eatier n6gatif; de plus

gi, ~ .... ~-~_~ (x) = a x -~+~.

Si l'on prend le systSme (8} sous cette forme plus simple les coefficients des s6ries (IO) correspondantes sont asympt6tes dans X s des s~ries qui peuven~

contenlr des puissances n@atives mais pas de logaritmes.

Duns ce qui pr6cSde nous avons suppos6 que l'origine est situ6 ~ l'ext6rieur du polygone convexe enveloppant s l , . . , s~. Supposons muintenunt que carte condition n'est pus remplie. On peut alors, en g6n~ral de plusieurs manigres, diviser les hombres s ~ , . . , s,~ en deux groupes de mani8re que les hombres de Fun des groupes soient situ6s d'un m8me c6t6 d'une droite passant par l'origine e t l e s nombres de l'autre groupe soient situ6s de l'autre c6t6 de carte droite.

Soient s~ . . . . s p e t Sp+l,... s~ deux groupes de carte nature. En d6finissunt des secteurs X comme ~ la page 114 on peut alors d6montrer le th6orgme suivant.

Th6or~me 2. l l y a u~w substitutiou

( I 9 ) Z i = $i § Z ~Pi .. . . ap(32) T~l' . . . ~ppP ( i = I, . . . n) a ~ + . . , + a p >2

1 MASUO HUKUHARA, Int6gration formelle d'un syst~me d'~quations diffdrentielles non lindaires duns le voisinage d'un point singulier. Annali di mat. pura ed appl., S. 4, t XlX (I94O), p. 35--44.

126 J. Malmquist.

p a r laquelle le syst~me (7) correspondant h u~ secteur X se t r a n s f o r m e ~ un syst~me de la f o r m e

'~+~ ud~--~ _ ~ (~) ~ + x~(,.~ + ~ _ ~ ) + e,(x, ~l, 9 9 9 ~ , - ~ )

(20) (i = ~ . . . v)

+ ~ , . ( ~ , , . . ~ . ; x )

x~+~ d~_~ = ~ ( ~ . . . . . . ; x )

d x (i = p 4- I , . . . n).

L e s sdries (19) et les s~ries ?~t(z, . . . ~,~; x) convergent p o u r des valeurs de x, ~ , . . . ~ . tetles qu~ I ~ l < e , I~,l < Ixl'~' ( i = ~ , . . . p ) , I ~ i 1 < r ( i = p + ~ , . . . - ) , x

a p p a r t e n a n t ~ X . L e s coefficients de ees s~ries sont asymptotes d a n s X 5 des s&'ies de puissances. L e s s~'ies ?~(,t . . . . ~,; x) (i = I, . . . n) s ' a n n u l e n t i d e n t i q u e m e n t p o u r ~p+l - - o , . . . ~ = o. G i ( x , ~l, .. 9 ~ - 1 ) (i ~- I, . .. p) sont des f o n c t i o n s enti~res

et rationnelles de x, ~ . . . . ~ - 1

( 2 i ) e i (f~, T 1 , . . . Ti--1) = Z g i , kt, k i _ _ l (X) T~ll . . . 9 ki--1

" " t ~ 1

k2, .. 9 k i - i dtant des nombres entiers > o e t de somme > 2 e n t r a n t d a n s des rela- tions de la f o r m e

(22) s~ = ~, s~ + . . . + k~_~ s~_~ (i = z , . . . p ) .

La dOmonstration de ce thgor~me est tout-~-fait analogue ~ la dOmonstra- Lion du thOorbme I, il nous semble inutile d'y entrer. Le thdorbme 2 est vrai aussi quand certains des hombres sm+~,.., s~ sont 0 sous la condition qu'il eziste une solution du systbme (2) asymptSte darts X ~ des s@ies puissances.

Nous remarquons enfin qu'on peut Sraiter d'une maniOre analogue un systOme de la forme

d Y,

-- ... n),

( 2 3 ) x - ~ x --r~yz + eiyi-1 + ~ ai . . . n(x)y~, y~,~ (i-~ I , . . .

a a + 9 . . +an>__ 2

les coefficients ai ... ~(x) 6rant asymptbtes s des s6ries de puissances sur la surface de Riemann de log x

Supposons que r ~ , . . . r n sont polygone eonvexe enveloppant relations

ou dans un certain secteur de sommet x - ~ o.

# o et que l'origine est situ6 ~ l'ext6rieur du I, r l , . . , r,,. I1 peut arriver qu'il existe des r i : k + k irl + . . . . b k n r n

Sur l'6tude analytique des solutions d'un syst~me d'6quations diff6rentielles. 127 off k,k~ . . . . k~ sont des e n t i e r s ~ o t e l s q u e k ~ + ... + k n ~ 2 . O n p e u t s u p p o s e r qu'elles o n t la f o r m e

(24) r, = k + / q r l q .. . . + ki--lri--1 (i = 2 , . . . n).

Alors o n a l e th6or~me s u i v a n t

17 y a une substitution

( 2 ~ ) y , = Z i 27 Z ~Oi .. . . n ( / ) ~ 1 1 ' . . . Z a " ( i = I , . . . T$)

at+ 9 . . +an>__2

Th@or~me 3.

p a r laquelle le syst~me (23) se transforme te un syst~me de la forme d z i

( 2 6 ) x ( ~ x ~ - r i g i + 8 i z i - 1 -~ a i ( x , g l , 9 9 9 z i - 1 ) ( i : I . . . . n ) .

Les s&ies (25) convergent pour des valeurs de x, z ~ , . . , zn telles que I x I < ~, [&[ < [x[ ~ ' (i = I . . . . n), o < J < ~. Les coefficients q% . . . , ( x ) sont asymptotes 5 des sdries de puissances. G~(x, z D . . . zi-1) sont des fonctions enti&es et ration- nelles

(27) G~(x, Zl, 9 . . z~-~) ---7- ~_J k, kt, ... ki__ 1 ~; b(;) x ~ z~, . . . Z i _ _ l ~'~'-' k, k l , . . , k~-i ~tant les entiers qui entrent dans les relations (24).

S u p p o s o n s e n s u i t e que les n o m b r e s I, rl, . . . r v se t r o u v e n t d ' u n m@me c6t6 d ' u n e d r o i t e passan~ p a r 1'origine et que r p + l , . . , r,, se t r o u v e n t de l ' a u t r e cOt@

de c e t t e d r o i t e ou sont nuls. Supposons qu'il existe e n t r e r~ . . . . rp des relations de la f o r m e

( 2 8 ) r i : k - ~ k l r I ~- . . . ~- k i - 1 r i - - 1 ( i = 2, . . . p ) ,

k , k ~ , . . . k ~ - ~ & a n t des e n t i e r s _--o tels que k ~ + . . - + k i - ~ 2 . Alors on a l e th6orSme s u i v a n t

T h ~ o r ~ m e 4. II y a une substitution

(29) .~, = z,

+ ~

p a r laquelle le systOme (23) se transforme ~ un systOme de la forme

128 J. Malmquist.

(3o)

dz,

x)

x ~xx = r,. z~ + ~. z~_5 + Gi (x, z , (i = ~, . . , p )

~ dzi = ~,(z,, ^{. . . z n ;} x) ( i - ~ p + ~ , . . . , ) .

L e s s&ies (29) et les sdries ~ ( z I . . . . zn; x) conve~ye~t pour des valeurs de x, z~, o < ~ < I. L e s coefficients de ces s&ies sont asymptotes ~ des sdries de puissances.

L e a s&ies ?~(zl, . . . z~; x) ( i = I . . . n) s ' a n n u l e n t i d e n t i q u e m e n t p o u r z ~ + l - ~ o , . . . z~ ~ o. G t ( x , zl, . . . zi-1) sont des fonctions enti~res et rationnelles

(3,~)

k, kl, . . . k~--i $ t a n t les entiers q u i entrent dans les relations (28).

O n d6montre ces th6or~mes de la m~me mani~re que les th6or~mes I, 2 en se report~n~ g l a d6mons~ration de convergence f a i t e clans (II) p. 50--53.

D a n s le cas off les seconds membres de (23) s o n t des s6ries de puissances de x, Y l , - . . Y,, les s6ries (25) , (29) eL les s6ries ~i(zl, . . . z,; x) dans (30) se r6- duisen~ s des s6ries de puissances de x, z ~ , . . , gn, on retrouve doric des r6sul- t a t s classiques.