SUR L'I~TUDE D'EQUATIONS
POINT SINGULIER D'INDI~TERMINATION.
PAR
J. MALMQUIST
~ STOCKHOLM.
ANALYTIOUE DES SOLUTIONS D'UN SYSTEME DIFFI~RENTIELLES DANS LE VOISINAGE D'UN
I.
Introduction.
Considdrons un syst~me d ' 6 q u a t i o n s diff~rentielles
( ' ) xk+iddYi= ~i(x, yl . . . . yn) ( i = I . . . . ',),
off k est u n e n t i e r p o s i t i f et les seconds m e m b r e s s o n t des s6ries de p u i s s a n c e s de x, Yl, 9 9 9 yn s ' a n n u l a n t p o u r x = o, Yl = o, . . . yn -~- O e t c o n v e r g e n t e s p o u r les valeurs de x, y l , . . . y , , , telles que I x ] < r , ] y ~ . ] < r ' ( i = I , . . . , ) . ~k c h a q u e solution Yl, 9 9 9 Y~ c o r r e s p o n d u n d o m a i n e que nous d~signons c o m m e un d o m a i n e d ' e x i s t e n c e de c e t t e solution. I1 est limit~ p a r c e r t a i n e s c o u r b e s en n o m b r e fini ou infini d6finies p a r des 6 q u a t i o n s I x l = r, [Yll = r ' , . . , l Y,,] = r ' ou p a r cer- t a i n e s de ces dquations, et Y l , - . . Y, s o n t r~guli~res q u a n d x a p p a r t i e n t s ce d o m a i n e et x ~e o. L e p r o b l b m e s t r a i t e r p e n t ~tre f o r m u l 6 de la m a n i b r e s u i v a n t e .
J~tudier la forme d'un domai~e d'existeuce d'u~e solution Y l , . . . Y, et la repr6senlatio~ a~alytique de Yl . . . . y. qum~d x apparlie~t ~ un tel domaine.
D a n s u n t r a v a i l prdc~dent 1 n o u s a v o n s ~tudi~ ce probl~me p o u r u n e ~quation diff6rentielle d u p r e m i e r ordre. D u n s le t r a v a i l p r d s e n t n o u s n o u s p r o p o s o n s de l ' ~ t u d i e r p o u r c e r t a i n s syst~mes de la f o r m e (I) s a t i s f a i s a n t s la c o n d i t i o n que les racines de l'6quation caract6ristique soient simples et # o.
t j . )/IALMQUIST, S u r l e s p o i n t s s i n g u l i e r s d e s 6 q u a t i o n s d i f f d r e n t i e l l e s . A r k i v f S r m a t . , a s t r . o. f y s i k , S t o c k h o l m 1 9 2 o , t . I 5 , n : o 3. V o i r e n p a r t i c u l i e r p . 28.
Nous allons dtudier un syst~me plus gdn~ral
( 2 ) . . . ( i = . . .
Les seconds membres sont des fonctions rdguli~res pour o < ]x] < r, ]yi] < r' ( i ~ - - - I , . . . n). I1 n'est pas n~cessMre de supposer qu'elles sont uniformes en x, nous les supposons d~.finies sur la surface de Riemann de log x. )/Iais elles doivent satisfaire ~ eertaines conditions asymptotiques que nous allons formuler dans le n:o I.
Dans le w I nous d~mon~rons, sous la, seule supposition concernant les racines de l'~quation caractdristique qu'elles sont ~ o, l'existence de certaines solutions particuli~rement int~ressantes qui satisfont ~ des in~galit~s de la forme ]yi] < ~"
(i--~ I , . . . n) dans des secteurs aussi grands que possiblesL
Dans le w 2 nous ferons une application des rdsultats du w 1 s la th~orie des solutions irr~guli~res d'un syst~me d'~quations diff6rentielles lin~aires dont l'6quation caract6ristique n'a que des racines simples. On sait que M. Horn ~ a l e premier d~montr6 l'existence de certaines solutions particuli~res qui sont asymp- tStes aux s~ries normales de Thom~ dans des secteurs aussi grands que possible.
Nous montrons que ces solutions s'obtiennent aussit6t si l'on applique le thdor~me I du w I k un syst~me de Riccati correspondant au syst~me lin6aire.
Dans le w 3 nous dtudions le probl~me pos~ au commencement pour un syst~me (I) ou (2) en supposant que l'~quation caract6ristique n'a que des racines simples et ~= o. Pour la solution du probl~me on peut chercher ft. se laisser guider d'un cas particulier off la solution est immediate, c'est le cas off la solution g~ndrale s'exprime sous la forme
yi = ~ i (X, tl, . . . tn)
(i = , , . . . ,,),
= + Z . . . . r t:,,
a V { - 9 9 9 + a n ~ 2
1 Des solutions de cette nature jouent un r61e fondamental dans le m~moire couronn~ de Boutroux, off elles sont d~sign~es comme des int~grales tronqu~es. Voir P. •OUTROUX, Recherches sur les transcendantes de M. Painlev~ et l'~tude asymptotique des ~quations diff~rentielles du second ordre. Ann. sc. de l'Ec. Norm. sup., t. 3o, I913, p. 255--375 et t. 3I, I914, p. 99--159.
2 j . HORIr ~]ber die irregul~ren Intcgrale der linearen D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n . . . , Acta math., t. 23, p. I 7 i - - 2 o 2 . Uber die asymptotische Darstellung der Integrale linearer Differentialgleichnngen, Acta math./ t. 24, p. 289--3o8; Journ. fiir die reine und angew. Math., t. 133, p. 19--67. Integra- tion linearcr Differentialgleichungen durch Laplacesche Integrale und Fakult~itenreihen, Jahresb. der deutschen Math.-Ver., 24 (1915) , p. 309.
off
Sur l'dtude analytique des solutions d'un syst~me d'dquations diffdrentielles. 89
Q. _~
t~ = C~ e ~ (~) x'~ ( i - I , . . . , ) , I T \
Ct ~tant des c o n s t a n t e s a r b i t r a l r e s et Q~/x~ ~tant des f o n c t i o n s enti~res et r a t i o n n e l l e s de I de degr~ k; les s~ries sont supposdes c o n v e r g e n t e s pour I x l < r,
X
I l i ] < r ' ( i : I , . . . ~ ) . D a n s ce eas les courbes
l Yi[~-P'
( i = I , . . . ~ ) l i m i t a n t u n d o m a i n e d ' e x i s t e n c e d ' u n e solution p e u v e n t ~tre remplac6es p a r des courbesI c , ~ ( ~ ) x ~ l = ~" Q (i = i , . . . . ) , car u n e courbe l y i l : p' est situge e n t r e d e u x courbes
q . • q. t
off e p e u t ~tre pris aussi p e t i t que l'on v e u t si ~" est suffisamment petit. P o u r u n syst~me (z) donnd on aura, dans un eas i m p o r t a n t , off les raeines ,91 .. . . sn de l ' d q u a t i o n caractdristique sont d ' u n m~me cStd d ' u n e d r o i t e p a s s a n t p a r l'ori- gine, la solution du probl~me sous une f o r m e a n a l o g u e si l'on se serf de la m 4 t h o d e classique p a r laquelle P o i n c a r 4 ~ a ddmontr~ l'existence de solutions a s y m p t o t i q u e s de c e r t a i n s syst~mes diff~rentiels. On p e u t d~finir u n e suite de seeteurs ddterminds X d o n t les angles sont > k ' et s c h a q u e s e c t e u r X c o r r e s p o n d u n syst~me de sdries d o r m a n t la solution g6n6rale; ees s~ries proc~dent suivant les puissances de c e r t a i n e s expressions
q ,
C,e ' (:~)x ~` ( i = I, . . .
~,),
les coefficients 6 t a n t des f o n e t i o n s de x d6finies dans X. D e u x secteurs X eon- s6cutifs ont une partie c o m m u n e dans laquelle une solution donn~e p e u t ~tre reprdsent~e p a r c h a c u n des deux syst~mes de s~ries c o r r e s p o d a n t s ces secteurs.
l'aide de ces s~ries on p e u t donc suivre u n e solution donnge q u a n d x t o u r n e a u t o u r de x = o. Le d o m a i n e d ' e x i s t e n c e p e u t ~tre suppos6 limit6 p a r des courbes
IC~e ~ ' ( ' ) x r ~ l = V (i = I , . . . ,,).
1 H. POINCAR~, Sur le probleme des trois corps et les d q u a t i o n s de la d y n a m i q u e . Acta math., t. I3, p. 1--27o, voir p. I36. Les mdthodes nouvelles de la m d c a n i q u e cdleste, t. I, p. 335.
1-5~--404~9. Aet~ ~o~hemat/ca. 73. tmprim6 le 29 uo~t 1940.
N o u s s u p p o s o n s e n s u i t e que s l , . . , s,, ne s o n t pus d ' u n m ~ m e c6t~ d ' u n e d r o i t e p a s s a n t p a r l'origine. A l o r s les s~ries pr~c~dentes s o n t en g~n~ral diver- genres. L e e a s p u r t i c u l i e r consid~r~ plus h a u t m o n t r e q u ' u n d o m a i n e d ' e x i s t e n c e ne s ' ~ t e n d pus en g~n~ral s x - - - - o si x ne t o u r n e q u ' u n h o m b r e fini de fois a u t o u r de x ~ o. Mais on p e u t c h e r c h e r ~ ~tudier les solutions particuli~res d o n t le d o m a i n e d ' e x i s t e n c e s ' ~ t e n d ~, x - ~ o. A cet effet, on p e u t se s e r v i r de s~ries a n a l o g u e s a u x s~ries pr~c~dentes ne c o n t e n a n t que c e r t a i n e s des expressions ti et s ' o b t e n a n t en p o s a n t c e r t a i n e s des c o n s t a n t e s Ci ~gales ~ o. Si s l , . . , sp (p < ~,) s o n t d ' u n m ~ m e c6t~ d ' u n e d r o i t e p a s s a n t p a r r o r i g i n e les s~ries que l ' o n o b t i e n t en p o s a n t C~ ~ o ( i : p - } - ~ , . . . n) a u r o n t u n d o m a i n e de c o n v e r g e n c e . On peu~ se s e r v i r de ces s~ries p o u r ~tudier u n e s o l u t i o n y~ . . . . y n telle que l Y~I < ~' (i : ~, . . . n ) d a , s u n c e r t a i n s e c t e u r . Soit ~ ' < ~ < q~" (~ = l ' a r g u m e n t de x) le s e c t e u r m a x i m u m duns lequel ces in~galit~s s o n t remplies. L a s o l u t i o n eons~deree p e u t ~tre r e p r ~ s e n t ~ e d a n s le s e c t e u r q~ - - ~ < q~ < + ~- p a r des s y s t ~ m e s de s~ries de la f o r m e pr~e~dente. L a p a r t i e d ' u n d o m a i n e d ' e x i s t e n c e de e e t t e s o l u t i o n se t r o u v a n t d a n s le d e r n i e r s e c t e u r est limitge p a r des c o u r b e s
P a r m i ces c o u r b e s il y a u n e c o u r b e s ' ~ t e n d a n t s x----o d a n s la d i r e c t i o n ~ ' et u n e c o u r b e s ' d t e n d a n t s x = o duns la d i r e c t i o n ~ " .
D a n s c e r t a i n s cas e x c e p t i o n n e l s il p e u t e x i s t e r des solutions qui s a t i s f o n t s des in~galitds l Yi [ < ~' (i = I . . . . n ) duns u n d o m a i n e limitg p a r un cercle ] x I ---~
et p a r deux c o u r b e s a y a n t la m ~ m e t a n g e n t e en x = o, m a i s ne s a t i s f o n t p a s ces in6galitds d a n s u n s e c t e u r e n t o u r a n t la t a n g e n t e en question. D e s solutions de c e t t e n a t u r e j o u e n t un rble i m p o r t a n t duns la th6orie des t r a n s c e n d a n t e s de Painlev6. L ' 6 t u d e de ces solutions est en ggn6ral difficile, n o u s n ' y e n t r o n s p a s duns ce t r a v a i l .
Darts les d e r n i e r s t e m p s M. T r j i t z i n s k y 1 a publid des t r a v a u x se r a p p o r t a n t a u p r o b l ~ m e qui n o u s occupe. E n s u p p o s a n t que les seconds m e m b r e s du s y s t b m e donnd s ' a n n u l e n t p o u r y l - - - - o . . . . y ~ - - o il d d d u i t des d d v e l o p p e m e n t s a s y m p t o t i q u e s de c e r t a i n s f a i s c e a u x de solutions.
1 W. J. TRJITZINSKY, Theory of non-linear singular differential systems. Trans. Amer. Math.
Soe., 42, I937, p. 225--52I. Analytic theory of non-linear singular differential equations. Mdmorial des sciences mathdmatiques, XC.
Sur l'~tude analytique des solutions d'un syst~me d'~quations diff~rentielles. 91 N o u s nous sommes limit,s, s l'~tude du probl~me pos~ au c o m m e n c e m e n t , au cas off les racines de l'~quation caractgristique sont simples et ~= o. N o u s esp~rons de p o u v o i r m o n t r e r dans u n t r a v a i l suivant q u ' o n p e u t t r a i t e r d ' u n e mani~re a n a l o g u e certains cas off l'~quation caract~ristique a des racines multiples.
w I. Th~ori~mes d ' e x i s t e n c e .
i. ~Tous consid~rons u n systbme d'~quations diff~rentielles (2) w ~ + l ~ = ~ ( y l . . . . y,~; w) (i = i , . . . . ) ,
ou les seconds m e m b r e s sont des sgries de puissances de Yl . . . . Yn
~ , ( y , , . . . y~; x) = a,(x) + a,1 (x)yl + " + ~,~(x)y,, + . - . ( i - - I , . . . ~)
d o n t les coefficients sont des f o n c t i o n s de x ddfinies sur la surface de l~iemann de log x 1. Les f o n c t i o n s ~3i sont r~guli~res p o u r o < I x [ < r, l Y~ I < r ' (i = I , . . . n).
N o u s supposons que
[ a~. (x)[ < g [ w [ (i ----I . . . . n)
et que les coefficients
aij(x)
t e n d e n t vers des valeurs finies aij q u a n d x t e n d v e r s o . Les racines de l ' 6 q u a t i o n caract6ristiqueI '~,J -- ~'~.l = o
sour suppos~es ~= o. P a r une t r a n s f o r m a t i o n lin~aire on p e u t r a m e n e r le syst~me (2) s la f o r m e n o r m a l e
(3) x~+~ d y~
off s ~ = o et e ~ = o ou I p o u r i - ~ 2 , . . . n . ~ o u s supposons que les f o n c t i o n s
~ s a t i s f o n t s des in4ga.lit~s de la f o r m e
(4) I ~ , ( y , . . . . u,,; w)I <
Kiwi +
K m a x ( l Y i I ~ , 9 , . ly,~l ~) ( i = ~ , . . . ,,)I ~ i (Ul . . . . y n ; X ) - ~ i (91 . . . . ~ n ; X) I <
(5) ?t (,: = ~ , . . . ,,)
< K [ I w l + ma~ (lY, I, I~,1)] . , ~ I Y , - - ~,1
i = 1
1 On p o u r r a i t se l i m i t e r i~ s u p p o s e r q u e les coefficients s o n t ddfinis s u r u n e p a r t i e de c e t t e surface limit~e p a r u n ou d e u x rayons. La th~orie s u i v a n t e est v a l a b l e aussi d a n s c e c a s .
pour les valeurs en question de x, y;, ~)i(i = I, . . . J~). Nous d6signons les conditions imposdes jusqu'iei au syst~me (3) comme les c o ~ d i t i o n s A .
lgous introduisons en outre une condition que nous d~signons comme Za c o J M i t i o n B . Nous supposons qu'il existe des s~ries de puissances formelles
(6) 4 , ) . + 4 ~) , ~ + . . - (i = , , . . . ,,)
de telle manibre que la condition suivante soit remplie. E n posant dans (3)
(7) y , - : f ~ . , ~ . (x) + z, (i : I, . . . ,,),
off
f , ~ (~) = 4 " x + . . . + 4 ~') x-" (i = ~, . . . ,,)
on a u r a un syst&me transform4
k~_l d 2*g
(s) x . . . ~, ~, + ~ , _ , + ~ - " ) ( < , . . . . , , , ; x) (i = ~ , . . . ,,).
d x
Soient r=v <= r, g.,- des nombres tels que If,-,-(*)l < ~.,-I*1 < _I 1.' pour I x l < "~,'- 2
Nous supposons que les fonetions ~'~') satisfont g des in6galit~s de la forme (9) [ ~ X ) ( z l , . . . z,,; x)l < K.,-I x 1"+' + K . , ' l x l max ( I z i l , . . . Iz,,I)
+ K,~ m ~
(I < I'
. . . .I~,, I')
( i = I , . . . '?1)
I r' (i = I, ~). Nous supposons eette condition remplie pour I x l < ,=,-, I*,1 < 2 .- 9
pour route valeur de N x . II r~sulte de (5) que I ~ ? ' ) ( < , . 9 9 *,,; x) - ~?") ( ~ , , . . . ~,,; x) I <
n
(IO) < g[(l + g,,')lzl + m~.x (1~,1, I~,1)]~1",- e,I
i = I
(i = I, . . . ~,).
L a condition asymptotique pos4e est 6videmment remplie si 1'oi1 suppose que les coefficients des s6ries ~ i dans (2) sont asymptStes b. certaines s4ries de puissances.
Nous allons d6montrer des th4or~mes d'existence sous la seule supposition que les eonditions A sont remplies. Si l'on suppose en outre que la condition B est satisfaite les solutions trouv6es seront asympt6tes aux series (6). Nous On pourrait se limiter h exiger que cette condition asymptotique ne soit remplie que jusqu'A un certain degr~ .u suffisamment grand,
Sur l'4tude analytique des solutions d'un syst~me d'4quations diff4rentielles. 93 allons consid6rer certains secteurs X de s o m m e t x----o et nous allons d 4 m o n t r e r q u k chaque secteur c o r r e s p o n d une solution ou u n faisceau de solutions de (3) satisfaisant s des indgalit4s de la f o r m e
lY'I < K ] x l (i = I, . ' . . n)
p o u r les valeurs de x qui a p p a r t i e n n e n t s un s e c t e u r X ( , ) s l ' i n t 6 r i e u r de X et qui satisfont s une in6galit4 I x I < e. P a r X(e) nous d4signons u n sec~eur d o n t les a r g u m e n t s s a t i s f o n t s
P t p
q~ + e < q g < ~ - - e ,
99', 99" 6rant les a r g u m e n t s e x t r e m e s de X. Si la condition B e s t r e m p l i e les solutions trouv4es s e r o n t a s y m p t 6 t e s aux s4ries (6) dans t o u t s e c t e u r X ( , ) .
2. Nous allons consid4rer deux sortes de secteurs, les uns o n t des angles 7g
> ~ et les a u t r e s o n t des angles =<~-. N o u s d4finissons ici les secteurs de la p r e m i e r e sorte. N o u s i n t r o d u i s o n s la variable auxiliaire
de sor~e que
/I X - - k
d x
d u - X~+I
et nous d6finissons les secteurs c o r r e s p o n d a n t s dans le plan u.
N o u s d4signons p a r g~ l'image de st p a r r a p p o r t s l'axe r4el et nous d4si- g n o n s p a r
99o, 99.- . . 99.-i los a r g u m e n t s de 5 . . . . ~n rang6s de mani~re que
~o < ~t < " < ~ - 1 .
Faisons t o u r n e r u dans le sens positif et dans le sens n4gatif et posons
( ~ o , , , . . . ~ - - , ; ~ = + , , +_2,...).
On a u r a uinsi une suite infinie d ' a r g u m e n t s 99~ (a ---- o, +_ I, + 2, . . .). t i chaque v a l e u r de ~ nous faisons c o r r e s p o n d r e u u s e c t e u r U~ c o n t e n a n t les ar- g u m e n t s q9 tels que
2 2
Ddsignons p a r X~ les secteurs c o r r e s p o n d a n t s darts le plan x.
U, cosdcutifs ont une p a r t i e c o m m u n e d ' o n t l'angle est D e u x secteurs
6gal s z.
L ' a n g l e d ' u a U n demi-plan
s e c t e u r Us est > z ~ et ~ 3 z , ear on a o < ~ s + ~ - - ~ v ~ 2 z . 9 ~ ' < ~ < ~o'+ z , off ~ ' est diff6rent des a r g u m e n t s 9~s + - ~ ,
2
f e r n n 6 c e s s a i r e m e n t p a r t i e d ' u n secteur Us, car on p e u t supposer que
~ , + - < < ~ + 1 + - .
2 2
C e t t e r e m a r q u e simple est d ' u n e i m p o r t a n c e capitate p o u r la suite.
P o u r la d ~ m o n s t r a t i o n du th6or~me I il nous f a u t consid~rer aussi c e r t a i n e s parties des secteurs U, dans lesquelles nous allons choisir les directions des lignes d ' i n t ~ g r a t i o n e n t r a n t dans les a p p r o x i m a t i o n s successives d o n t nous allons nous servir. Supposons d ' a b o r d que q~+~ - - q~ > z. N o u s d~signons p a r U(~ 1) la p a r t i e de U~ telle que les f o n c t i o n s e - S , "u ( i = I , . . . n ) t e n d e n t v e r s o q u a n d u t e n d vers l'infini dans une d i r e c t i o n q u e l c o n q u e a p p a r t e n a n t s U(1). Les a r g u m e n t s de U(1) s a t i s f o n t aux indgalitds
2 2
S u p p o s o n s ensuite que ~ a § ~s ~ Z. I1 y a d e u x parties U(1), U(2) de Us telles que certaines des f o n e t i o n s e-~i ~ (i---- I, . . . n) t e n d e n t v e r s o dans U(1) et les a u t r e s f o n e t i o n s e--~i ~ t e n d e n t v e r s o dans U~ ~). P o u r le voir nous con- sid~rons une ligne d r o i t e L p a s s a n t p a r l'origine et a y a n t une d i r e c t i o n d o n t l ' a r g u m e n t ~ s a t i s f a i t s ~s < ~ < ~s+l. On p e u t p r e n d r e L de mani~re que c e r t a i n s des points ~., soit ~1, . . . 5p, se t r o u v e n t de l ' u n c6t~ de L e t ~p+~, . . . 5, s o i e n t de l ' a u t r e cSt~ de i . On p e u t supposer que les a r g u m e n t s de s l , . . , sp sont c o n g r u s s ~ s ' , . . . ~s et que les a r g u m e n t s de 5 ~ + 1 , . . . ~ sont c o n g r u s s
~ O s + l , 9 9 9 ~ s " , 01~1 ~ s ' < "'" < ~ a < ~ 9 s + l ~ : "'" ~ ~ s " , ~Pc~ --- ~ s ' < 7K, ~ s " - - ~ O s + l < :7r,.
Les f o n c t i o n s e-~i u (i --- I, . . . p) t e n d e n t v e r s o si u t e n d vers l'infini dans u n e d i r e c t i o n d o n t l ' a r g u m e n t ~ satisfait s
2 2
Sur l'&ude analytique des solutions d'un syst&ne d'6quations diff6rentielles. 95 e~ les f o n e t i o n s e-S~ " (i = p + I, . . . n) t e n d e n t vers o si u t e n d vers l'infini dans une d i r e c t i o n s a t i s f a i s a n t s
7g ~r
9~.,, - - - < ~o < 9 ~ + ~ + - .
2 2
P a r suite, U~ ~) sera le s e c t e u r
99,~ + 3 S < 99 < min
2
et U~ ) sera le seeteur
I n a , x
+ 5 ,2 o.+1 -")
2
3- N o u s allons m a i n t e n a n t d ~ m o n t r e r Ie thdor~me suivant, off ~, ~' sont des n o m b r e s que nous Mlons dgfinir dans la s u i t e
Th~or~me 1. A chacun des secteu~s X , correspond u~e solution Y l , . . . Y, et une seuIe du syst~me (3) telle que lye[ ( i = I , . . . n) soient plus petits que r pour Ix[ < ~', x dans u n secteur X:(~) (~ l'intdrieur de X , . Les quotients ]~'[ ( i = - I , . . . n ) s o ~ t limit6s pour ces valeurs de x. S i le syst~me ( 3 ) s a t i s f a i t d la condition B , Yl, . . . Y~ seront asympt6tes aux sdries (6) dans X,(e).
A \ ' \
9 u . . ~ ' E
\ .
J 23 v " , , F
19
F i g . I.
L e secteur U,(~) c o r r e s p o n d a n t ~ u n secteur X,(~) est d~fini p a r
zc 3~r
9 ~ , ~ + - + ~ < 9 ~<9~,,+: + - - - - ~ . 2 2
~_ u n s e c t e u r U~(s) nous fMsons c o r r e s p o n d r e un damMne lI d o n t la f o r m e est montr~e sur la figure I dans le cas or ~v:+l - - ~0~ > ~r et sur la figure 2 dans
le eas off q ~ + ~ - - ~ z . I1 est limit6 p a r u n are B C d ' u n cercle ] u l = R de r a y o n assez g r a n d et p a r deux d e m i 4 a u g e n t e s B A et C D d ' a r g u m e n t s q ~ . + ~ + e
2
et ~0at-1 + 3 ~ - - - - ~ resp. 0 E et 0 F o n t l e s a r g u m e n t s ~ v ~ + ~ + - - - - ~ et ~ ~V~+ 3 ~ +
2 2 2
resp. S u r la figure I F 0 / ~ est le secteur U~ )(~). S u r la figure 2 F O F ' est le secteur U(: (,) et Z 0 E' est le seete~r U~)(,).
E .F ~
:"Z- \
Fig. 2.
P o u r plus de simplicit6 nous supposons que les n o m b r e s ei dans (3) sont 6gaux s o, le syst~me a done la f o r m e
(12) x~+~dyi= sivi + ?~i(y, . . . y~; x) ( i = I , . . . ~).
d x
D a n s le cas off il y a des n o m b r e s st qui sont 4 = o la d ~ m o n s t r a t i o n doit ~tre modifi~e un peu c o m m e nous le m o n t r o n s plus has (voir n:o 5).
N o u s d 6 m o n t r o n s le th6or~me I ~. l'aide des a p p r o x i m a t i o n s successives
u / i
(13) v , , , + l = e'," ~ e ~ ~ , ( . . . y , , ; x) d v (; = 1 , . . . '~1,
!
off y~'o = o ( i = I . . . . n) et v p r e n d successivement les valeurs o, 1, 2 . . . . Les i n t 6 g r a t i o n s s o n t effectu6es le l o n g de lignes droites d o n t tons les poinfs appar- t i e n n e n t ~ U et qui o n t des d i r e c t i o n s relies que les int6grales soient conver- genres. Si ~ + l - ~ > z les directions p e u v e n t gtre choisies dans U(, l)(e) et si
~ + l - go, _--< ~ on p e u t choisir certaines des directions darts U(l) (e) et les autres
Sur l'6tude analytique des solutions d'un syst~me d'~quations diff~rentielles. 97 directions dans U(~ ~) (e). (Sur la figure I la ligne d'inf~gration est d~sign~e p a r L e t sur la figure 2 les lignes d ' i n t ~ g r a t i o n sont d~sign~es par L m, L(~)).
P o u r les points v de ces lignes on a
(I 4) I m (s, (v - - u)) I > ~' I" -- " I :i = :, . . . ,), oh ~ ' : sin e. Nous pouvons prendre les nombres ~" = (k R } -~1~ < r, r r' assez petits pour que
(I5) K(,P + '~"~) < e'r n K ( r + r < ~', on p e u t p. ex. supposer que
2 n K 2 n K
Supposons que y:,, . . . y~, soient des fonctions de u rgguli~res dans 11 et y satisfaisant aux in~galit4s [y~,l < ~' (i-~ I . . . . n). E n r e m a r q u a n t qn'on p e u t t o u r n e r les lignes d ' i n t 4 g r a t i o n suivant les conditions pos&s sans changer les valeurs de y i , , + ~ ( i : I, . . . n) on voit que y i , , + l (i == I . . . . n) sont rdguli~res dans 1I. On conclut des in~galitgs (4), (:5) que ]Y~,,r < ~' (i--~ i . . . . n) car on a
If i
[e,,, I~-,~vlla,.l < ~,
(i = r , . . . ~,).Comme y i 0 : o ( i ~ - I , . . . n) il r~sulte que les ~quations (I3)d~finissent une suite infinie de fonctions y : , . , . . . y n , ( v = I, 2 , . . . ) qui sont r~guli~res dans II et y satisfont aux in~galit~s [y~,] < ~' ( i = I . . . . n; v = :, 2 , . . . ) .
I1 r~sulte de (I3) que
?g
y,,.+,
-= e., fe-.iv
[~i (yl . . . yn~; X) - - ~" (yl,,--1 . . . . yn,*--l; X)] dr'QO
(i = ~ , . . . ~,).
Si l'on d~signe par M i , le m a x i m u m de
[yi,~+l- yi,]
pour u dans 11 on a u r aM,, < :-, K(~ + V) ~ :~[,
. . . . 1 ( / = ~ . . . . " )h = l
d'ofi
< + = : , . . ,),
i = l i = l
M . < . ~' 1~ I; (r + / ) (~ = i, 2, ...).
i ~ l
cr
On en conclut, en vertu de lu seconde in~gulit6 ( I 5 ) , que les sdries Z ( y i , , + i - - y i , )
V ~ 0
convergent ubsolument et u n i f o r m ~ m e n t pour les vuleurs consid~r~es de u. P a r suite, les fonctions y~, t e n d e n t vers des fonetions y~ qui sont r6guli~res dans It e~ y sutisfont aux in~g~lit~s l Y~'I ~ '~' (i = ~, . . . '~) et aux ~quutions
( I 6 ) y i = e sin l e - - S i V ~ i ( Y l , . . 9 y n ; X ) ( I U (~ = I
?
et par 1"s uu syst~me (12).
I1 n ' y u qu'une seule solution Y l , . . . Y,~ telle que [yi] ~ ~" ( i = i duns 1I. En effet, supposons qu'il y uit deux solutions y ~ , . . , y~ et p~,.
uyun~ cette proprigt~. On u
~t
= C'ie siu _~_ e s i u / e - - , ~ i v ~i(:~]~ . . . . finj x ) d I" (i = I,
. ]
9 n ) ,
o~ C ~ , . . . 6~ sont des constuntes. Duns l e c u s o f i q ~ + l - - q ~ , > n e'~ ~ ( i = i , ..~) t e n d e n t vers ['infini duns U~ I) et duns le cas off ~ , ~ + 1 - - ~ ~ z certMnes des fonctions e~i '~ ( i = I , . . . ~) t e n d e n t vers l'infini dans /7 (1) et les uutres t e n d e n t vers l'infini duns U(~ 2). P a r suite, on dolt uvoir C~ ~ o , . . . C,~-- o, les fonctions
~)1 . . . . ~)~ s~tisfont doric ~ux 5quutions (I6). En d~signunt par 3/,' le m u x i m u m de l Y i - :#~'1 pour u duns U on a u r a comme pr~cgdamment
n K(,r + /
i ~ l 8 i = 1
ce qui est en contradiction avec lu seconde indgalit5 (~ 5). Donc ~ = y i ( i = I , . . . ~).
4- Montrons m a i n t e n a n t que les quotients ]~i] ( i : ~ , . . . ~ ) sont limit6s
] 95" ]
pour u duns 1I. Nous cherchons d'abord une limite sup6rieure des expressions
Sur t'6tude analytique des solutions d'un systbme d equations diff6rentielles. p.
ac
tt
99
( i = I , . . . ~)
p o u r u darts lt, Et & a n t un h o m b r e positif. Si I v ] est c r o i s s a n t ?~ p a r t i r de u le long" d ' u n e ligne d ' i n t 6 g r a t i o n l ' e x p r e s s i o n e o r r e s p o n d a n t e est plus p e t i t e que
co
$
s i
I,,'l
est d ' a b o r d d 6 e r o i s s a n t ~. p a r t i r de ,r n o u s posons ,~. = e"r (i b + e),off i b e i q ' e s t le p o i n t d ' i n t e r s e e t i o n e n t r e 1~ l i t h e d ' i n t 6 g r ~ t i o n et 1~ perpendieu- laire g eette ligne tirSe de l ' o r i g i n e . ~ est r6el et varie depuis u n n o m b r e n @ a t i f a e o r r e s p o n d a n t ~, ~t j u s q u ' ~ + ~ . L e h o m b r e b e s t r~el et s a t i s f a i t g
I b[>/~.
L ' e x p r e s s i o n eonsid6r4e p e u t s'6erireQ,
~J o
o~ r e s t un c e r t a i n n o m b r e > e'. Remplae,(ms d ' u b o r d ~/ p a r I e t 6 t u d i o n s la f o n e t i o n
ao
= b + e - e d Q
( I
q u a n d a v~rie de - - ~ g o. P o u r a - - o on a y < *. E n a p p l i q u ~ n t l a r ~ g l e d e l ' H o s p i t a l on volt Ms6ment que !/-+ i en d @ r o i s s a n t q u ~ n d a - * - ~ . Le m ~ x i n m m de y c o r r e s p o n d .~ u n e v~leur de a tel|e que
e~r
. . . d { 7 I -}- y I q- b , ~ - _ ~ 2 9
S u p p o s o n s que .R > it. Alors le m a x i m u m de ~ ~ b" + a'2! s ' o b t i e n t p o u r a = - - ]b], on amra done
y < - - - - < 2 I
#
p o u r routes les valeurs n4gatives de a.
si R > ~ -
M a i n t e n a n t on c o n c l u t que
O"
N o u s avons done d6montr6 le l e m m e s u i v a n t L e m m e . L e s expressions
o~
U
_ I ~
sont lohts petites que 2 p o u r u da~s 11 so~ts ht condition q~e B > ~ .
)k l'aide de ce l e m m e on c o n c l u t que les f o n c t i o n s yi, du n:o pr6e6dent s a t i s f o n t a u x in6galit6s
( i = I , . . . n)
E n effet, en s u p p o s a n t que ces in6galit6s a i e n t lieu p o u r u n e v a l e u r de v il r4sulte des in4galit6s (4) que
II I (
Xy,..+I "fffff~ I - b 4 K ] .' luU*'e.iulf I,.--1/ke-siVlldrl <4~.~
U
I ~k la limite on a u r a donc sous la c o n d i t i o n que R > ke--'"
ly, I < ~ K l x l (i =
, , . . . ~,)p o u r st dans 11.
S u p p o s o n s m a i n t e n a n t que le syst~me (I2) satisfait s la c o n d i t i o n B (voir n:o I/. P a r la s u b s t i t u t i o n (7) on a u r a le syst6me t r a n s f o r m 6
d x (i = I , . . . . ) ,
05 ~ N / sont des f o n c t i o n s s a t i s f a i s a n t aux in6galit6s (9)- N o u s supposons que
Sur l'~tude analytique des solutions d'un syst~me d'~quations diff6rentielles. 101
U
n o m b r e R ~ suffisamment grand. On a
en s u p p o s a n t que x a p p a r t i e n t ?~ lI~ et que
1
~
= ( k / r ~ < r ~ .N o u s supposons que
( 4 K + g~,)~v < ~ v < 2 I-r''
a p p a r t i e n t s un domaine lily semblable s 11 obtenu en remplagant R par u n
( i = I , . . . ,)
les h o m b r e s ~.~, 'r:v satisfaisant ?~ des in~galit6s analogues s (x S) . . . n KN (~v + ~,) < ~'.
Les fonctions z~ . . . . zn p e u v e n t 6tre obtenues par des a p p r o x i m a t i o n s sue- eessives analogues s
(I3).
E n s u p p o s a n t que
on aura
]x-Z=' z,, ,+, ] < [K~y
Supposons que
! ~,,. I < 4 K.,.]xl,,+~
t
K~,~: < K + 40~-
( i = , , . . . n)
~+' f l "+'
9 l u k e'~-I v ~ ~-"~~
u
( i = I , . . . n).
Alors, on conclut que I zi.~+,] < 4 K x [ x ] ' v + : (i ~- : , . . . n). )~ la limite on aura
8
p o u r u dans 1I.
P a r 1s le ~h~or~me I est d~mon~r~ pour un syst~me (i2).
( i ~ I , . . . ~)
5. N o u s disons m a i n t e n a n t quehtues m o t s du cas off il y a d a n s (3) des h o m b r e s ei 4= o. N o u s eonsiddrons les a p p r o x i I n a t i o n s successives s u i v a n t e s
~t
( ~ 7 ) f f i , , . + l - - e ' c i u f c , - s i v [ 6 i f f i - : , , . - - 1 - ~ ~i(ffh., . . . ?]nv; X)]([U (i = I, . .. ,,),
les lignes d ' i n t g g r a t i o n dr a n t les m g m e s que d a n s les d q u a t i o n s (I3). Afin de d 6 m o n t r e r la e o n v e r g e n e e nous s u p p o s o n s les h o m b r e s r < r, ~ " < r ' assez p e t i t s p o u r que
(i8) n K ( ~ + / ' 2 ) < e ' " - ' r , ~7 ~ K (; + / ) < d".
Si Yon s u p p o s e que ]y~.,,] < r ' (i = ~ , . , , ~) et si l ' o n d6signe p a r m;, ,+x le maxi- m u m de
]yi,,+l]
p o u r u d a n s II on a u r a6
-- ~17i--1,~'+1 + 9 9 9 ~)~
d'ofl l'on c o n e l u t en v e r t u de
(I8)
que m , , , + r < ~' ( i = I , . . . n). D 6 s i g n a n t en- suite p a r 3L~ le m a x i m u m de]Yi,,.+l--yi, l
p o u r u dans lI on a u r ah : l
d'ofl rdsulte que
donc
Z]/_i,, < "It ]~/l--1. ~ - ~ K ( r + .~'t) ~ j 2~/h r _ 1
~; 9
hml
(i = 2, . . . ~),
h = 1
n 9~ 2 K , n
Z Mice < ~,~ (,= q- , f . t ) Z ~fi,~--I (9 = I, 2, . . . ) .
i = l i = 1
I1 rdsui~e donc de la seconde in6galit6 (I8) que les a p p r o x i m a t i o n s successives c o n v e r g e n t a b s o l u m e n t et u n i f o r m d m e n t p o u r u darts 1I. )r la Iimite on a u r a
Sur l%tude analytique des solutions d'un systbme d'dquations diffdrentielles. 103 des f o n c t i o n s y~, . .. y,, qui s u t i s f o n t uux in~galit~s ]Y~I ~ ~' (i ~ [, . .. ~) et uux 6quutions
? t
(,9)
v; = d ' " l v , - , + (:h, 9 9 9 u , ; x)] vt , ]
~o
( i = I , . . . ~ ) ,
p a r suite uu syst6me (3).
E n s u i t e on aehgveru f u e i l e m e n t lu d d m o n s t r a t i o n .
6. N o u s consid6rons m u i n t e n a n t un s e c t e u r X a s s u j e t t i h lu seule c o n d i t i o n que certuines des f o n c t i o n s e"~ ~ (i = I . . . . ~) t e n d e n t v e r s o q u a n d u t e n d vers l'infini duns u n e d i r e c t i o n q u d c o n q u e ~ l ' i n t 6 r i e u r du s e c t e u r c o r r e s p o n d a n t U, l ' u n g l e de X es~ doric < K- N o u s p o u v o n s s u p p o s e r que e*i u ( i = I . . . p ) s o n t les f o n c t i o n s qui t e n d e n t v e r s o duns U; p o u r ehucune des f o n c t i o n s e"J '~
( j = p + I . . . . ~) il y u u n e purtie de U duns luquelle cette f o n c t i o n t e n d vers l'infini. P r e n o n s un p o i n t % de U(e) ~ l ' e x t 6 r i e u r du cercle l u g - - B et des
I .~, . . .
v a l e u r s initiules y ~ 0 ) , . . , y(O) de y ~ , . . , y~ relies que [y~O![<_ ( i = I , p). Soit
9 2
Xo lu vuleur de x c o r r e s p o n d u n t ~ %. On a le th6or~me suivant.
T h ~ o r e m e 2. 11 y a m~e solutio~ y , . . . yn et ,m~e seule d u systbme (3) t d l e que y , = y ~ ~ ( i = I , . . . p ) p o u r x - = x o et i Y , I < i ' ' ( i = I , . . . , ) pot,," ] x ] < L x
I B
] z [
S i la co~dition B e s t r e m p l i e y~, . . . y,, sero~t a s y m p t S t e s a u x sD'ies (6) d e n s X (~).
S i l'o~ sup2aose q u e X eo~#ie~# u ~ e d i r e c t i o ~ d a ~ s laquelle t&de.r les f o , e t i o ~ <
e-~J " ( j - - p + I . . . . ~) t e ~ d e ~ t v e r s o la soIutioJ~ ? h , . . . Y,~ sera u , i c o q u e m e n t ddtermi~,de p a r la couditio,, que y~ = y~O) (i = I, . . . p) p o u r x - - Xo et que ]y~] < .i"' (i = I, . . . ,~) le lo~g d ' u ~ e eourbe q u i s'~te~M ~'~ x = o d a u s la direeliot~ e~ questio~.
I1 suffiru d ' i n d i q u e r la Consid6rons le cus off p < m s u i v a n t e s '
d 6 m o n s t r a t i o n p o u r un syst~me de lu f o r m e (12).
On p e u t se servir des u p p r o x i m u t i o n s successives
1 Cf. I. B E : N D I X S O N , S n r l e s p o i n t s s i n g u l i e r s d e s s y s t e m e s d ' ( , q u a i i o n s d i f f ~ r e n t i e l l e s . A r k i v f S r m a t . , a s t r . Q c h f y s i k , S t o c k h o l m I 9 o 9 , t. 5, n : o s 2 I , 2 2 .
yi,,+l ~- y?) e ~'(u-~~ + e ~'~ l e - s ' v ~ , ( y x , , 9 9 9 y n , ; X) d x
if= i . . . . p)
t t' .
f *
y~.,+l e~ ~ e-~J f~j(yl~., 9 9 9 Y , , ; x ) d v
J
(j = p + I , . . . 75),
off y i 0 - ~ o ( i ~ 1 , . . . n) et 9 p r e n d successivement les w l e u r s o, I, 2 . . . . Les int~gr~.tions sont effectu~es le l o n g de lignes droites: une d r o i t e de % ~ u a y a n t u n e d i r e c t i o n a p p a r t e n a n t s U(~) et des droites de u s oo a y a n t des directions relies que les int6grales soient c o n v e r g e n t e s ; la ligne d ' i n t ~ g r a t i o n c o r r e s p o n d a n t
~, une v a l e u r de j est situ~e s l ' i n t J r i e u r d ' u n s e c t e u r duns lequel e-~J ~' t e n d vers o.
On consid~re le secteur de s o m m e t Uo o b t e n u en t r a n s p o r t a n t U(~)parall~le- m e n t ~ lui-m~me et on suppose que
2 K(,r -t- ~"') < ~'~", n K ( ~ + ~') < ~'.
Les r a i s o n n e m e n t s des n:os 3, 4 sont applicables avec des ldgSres modifications, si l'on se serf du lemme s u i w n t qui se d ~ m o n t r e c o m m e le l e m m e du n:o 4-
Lemme. L e s expres~io~s
?t
I,ee'," l Iv-"e-"'"l Idvl
~go
I:e' "l f
I "lu
so~t p l u s petites que 2, - sous la co~2dit/o~ que R > 2 ~ .
(i = x , . . . p)
( j ~ - - p + I , . . . 71)
w 2. ]~tude des i n t ~ g r a l e s i r r ~ g u l i ~ r e s d ' u n s y s t ~ m e d'~quations diff~rentielles ]in,aires.
7- Nous consid~rons u n syst~me lin~aire
(2I) x k + l d Y i n ~),
d x = ( : = i , . .
j : l
Sur l'~tude analytique des solutions d'un syst~me d'@uations diff~rentielles. 105 off les coefficients aij(x) sont r6guli~res sur la surface de R i e m a n n de log x p o u r o < l x l < r. De plus nous supposons que a~j(x) sont a s y m p t b t e s ~ certaines s6ries de puissances
ai i + a( 1),~ x + a~)x ~ ~- "".
Soient s j , . . , s~ les racines de l'6quation earact6ristique [ a u - - s ~ o ' ] = o .
N o u s eonsid6rons le eas oh e e t t e 6 q u a t i o n a une racine simple s 1.
s u b s t i t u t i m I lin6aire on sera r a m e n 6 au cas o5 l'on a
a n = s , , a , , = a i l = o ( i = 2 , . . . n ) . On p o u r r a done p r e n d r e le syst~me (21) sous la f o r m e
(22)
xk+l dxdYl = S l y 1 + a l j ( X ) ~ j = l
d x j=2 j=x
off l'on a lira a ~ j ( x ) = o.
X~0
N o u s eonsid6rons le syst~me de Rieeati p o u r zi = y• (i = 2 , . . . n) Yl
(23)
x k + l - - - -
axa
= - - 81Zi di- a i j z j ~- a i l ( X ) - - a l l ( x ) z / j=2+ ~ Zj (aij (x) -- alj (x) zi)
j=2
C'est u n syst~me de la f o r m e (2) d o n t l'6quation caract4ristique I a i j - (s, + s) ~ij I;.J=~ . . . . . = o
( i = 2 , . . . n),
P a r u n e
( i --- 2 , . . . , ) .
a l e s racines s ~ - - s l . . . . s , - 81 qui sont =~ O. Les c o n d i t i o n s A, B du n:o I sont 6 v i d e m m e n t remplies p o u r ce syst~me. Nous pouvons donc a p p l i q u e r le th6or~me I au syst~me (23).
Nous consid6rons les secteurs du th6or~me I d6finis 's l'aide des a r g u m e n t s de s ~ - s ~ , . . , s , - s x. Soit z~ . . . . z,~ la solution u n i q u e de (23) c o r r e s p o n d a n t s
u n t e l s e c t e u r d ' a p r S s le thdorSme I. z ~ , . . , z~ s o n t a s y m p t o t e s duns ee s e e t e u r c e r t a i n e s s4ries
~ ) x -F e~ ~ ) x s ~ . .
(24) ~,: + ' " (i 2, . n)
qui s a t i s f o n t f o r m e l l e m e n t au systSme (23). Si l ' o n pose y,: = z~y~ ( i - - 2 , . . . n) duns la premiSre d q u a t i o n (22) on a u r a u n e g q u a t i o n diffdrentielle du p r e m i e r o r d r e p o u r y~
d~ s~ + a~, (x) + ~ a~, (x)~, y~.
E n r e m p l a ~ a n t ici z~, . . . z~ p a r les s~ries (24) on a u r a une d q u a t i o n diff~rentielle f o r m e l l e qui est s~.tisfaite f o r m e l l e m e n t p a r u n e e x p r e s s i o n de la f o r m e
(26) e
Q(~)xr(I ~- b(ll)x-~
b~2)372-~ - ' ' ' ),est une f o n c t i o n entigre et r a t i o n n e l l e de ~ de degrd k au plus
x
Q = - ~ 1 + .
I I y a u n e solution yj de (25) u n i v o q u e m e n t d~termin~e qui se r e p r ~ s e n t e a s y m p - t o t i q u e m e n t p a r (26) d a n s le s e c t e u r consid~rde. P o s a n t y ~ = z i y l ( i = 2 , . . . n) on a u r a u n e s o l u t i o n Yl, 9 9 9 Y,, de (22) telle que yx, . . . y~ se r e p r d s e n t e n t a s y m p - t o t i q u e m e n t d a n s le s e c t e u r en question p a r des e x p r e s s i o n s
(zT)
Q 1
e ('~)x~O + b~)~ + bi~)~ ~ + ...)
Q 1
e (~).~ (b~) x + b?) x ~ + . . . ) ( i = 2 , . . . ~ ) ,
les n - - I derni~res e x p r e s s i o n s s ' o b t e n a n t p a r m u l t i p l i c a t i o n de (26) et (24).
N o u s p o u v o n s donc ~noncer le thdor~me s u i v a n t t.
ThOor~me 3. Soit sl une racine simple de l'~quation caractgristique du syst~me (2I) et prenons le syst~me sous la forme ( 2 2 ) . NOU8 eonsid~rons les seeteurs du thdor~me i d~finis h l'aide des arguments de s , - s 1 .. . . S n - sl. ~t un tel seeteur correspond une solution et une seule de (22) asymptote dans ee seeteur a u x expres- sions
(27).
i Cf. les t r a v a u x de M, HORN citds d u n s l ' i n t r o d u c t i o n .
Sur l'4tude analytique des solutions d'un systbme d'6quations diff6rentielles. 107 8. Nous supposons m a i n t e n a n t que routes les racines de l'~quation carac t6ristique sont simples. Alors le syst~me lin~aire peut ~tre r~duit s la f o r m e
d x
j = l
off l'on a lira aij (x) --- o.
x - ~ O
normales bien connues. Soient
(~9) ~Q' (~)
x~, (~,j + ~,~.~ ~ + ~,I.~ x ~ + . . . )les sgries normales correspondant h s~., off
Q~ ~ - ~ + " .
Consid~rons les secteurs ( ~ ) du th~or~me I correspondant aux
On aura n syst~mes de s6ries analogues s (27), les s~ries
(j = ~ , . . . ~,)
nombres s,:--sfl ( i = i , . . . n; i ~ fl), d~signons les par U,~, et eonsid~rons un demi-plan
~o' < ~0 < ~o' + ~, off ~0' est diffdrent des a r g u m e n t s pour lesquels I e~'-~J) ~l = I i ~ j .
Ce demi-plan fera partie, pour chaque valeur de fl, de F u n des secteurs U,~, soit / ~ ce secteur. Les secteurs U~ ( f l = I , . . . n) o n t une p a t t i e commune (f d o n t l'angle est > z. Soit X u n secteur correspondant duns le plan x. A ce secteur correspond d'apr~s le th~or~me 3 un seul syst~me de solutions y i l , . . , y~, (i = I , . . . n) du syst~me (28) asympt6tes aux s~ries (29)duns X. Le d 6 t e r m i n a n t des expressions (29) ~tant =~ o ces solutions f o r m e n t u n syst~me f o n d a m e n t a l .
Ce r~sultat nous donne u n m o y e n de suivre une solution donn6e quand x tourne a u t o u r de x ~-o. Consid4rons la suite infinie de demi-plans
~ ' + ~ < ~ o < ~ ' + ( ~ + ~ ) ~ ( ~ = o , +_~, +_2,...)
et lu suite correspondnnte de secteurs X, soit ~7, ( a - ~ o, +__ I, • . . . . ) c e s secteurs. Deux secteurs cons6cutifs ~7, o n t une partie commune 9 On peut supposer que l'on rencontre ces secteurs duns l'ordre
9 9 9 X - l ~ X o ~ X I ~ 9 9 9
q u a n d x tourne dans le sens positif. Soit
yr
i l ~ 9 " 9.~.1
J i nff--- I,
9 9 9 ,,)u n syst~me f o n d a m e n t a l correspondant ~ X~ et soit
~
C~ ~) w~t=1
(j = I , . . . $~)
l'expression correspondante de la solution g6n6rMe, o9 nous avons ddsign6 les constantes par C~ "). On peut de la manibre suivante d6finir la substitution qui lie les valeurs de ,~I~). ~ , C~ (~+~) correspondant ~ une meme solution. Nous prenons ^ une direction a p p a r t e n a n t au secteur c o m m u n ~ ~:~, X , + I et satisfaisant ~r la condition qu'aucune des fonctions J e("-s~)~ [ (i, j = I , . . . n; i # j ) n e soit constante quand u d6crit une droite d o n t la direction correspond b~ cette direction. I i y a u n hombre fll tel que les expressions
( i = I, . 9 . ?l; i:::l t= ~1)
t e n d e n t v e r s o q u a n d x t e n d vers o dans la direction consid~r~e. Si l'on divise les deux membres de l'6quation
n
' ~ , C~a)r162 = Z ~(0:+1),o(a+l)
i = 1 i = l
p a r e Q?~ ('{)Xr~ ' et si l'on fair tendre ensuite x vers o dans la direction consid~r~e O n a u r a
== C(a+l}
C(~ ) ~, 9
Ensuite nous pouvons .prendre u n hombre f12 de mani~re que
d ' G) - Q~ (') (i = ~ . . . . . ; i ~ ~, ~)
~endent v e r s o q u a n d x t e n d v e r s o dans la direction en question. Si 1'on divise les deux membres de l'6quation
~,(a) ~n(a) = (7(a +1) an(a+l)
i = l f = l
I
par e Q~ (Z)er~ et si l'on fair t e n d r e x v e r s o on a u r a
C~, +') ---~ C~) + C(; ) lira ( y ~ l _ ,,I,+1)~ e--Q~ (~) x--r~,
X ~ O
Sur l'~tude analytique des solutions d'un syst~me d'~quations diff~rentietles. 109 E n p o u r s u i v a n t ee r a i s o n n e m e n t on ddfinira u n e s u b s t i t u t i o n de la f o r m e
( 3 0 )
C ( a q-l)
C(~ + ~) 01~1 ffl . . . . fin est u n e t u t i o n est ~gal s x.
N o u s p o u v o n s m M n t e n a n t ~noncer le th~or~me s u i v a n t .
= c(/)
= C(~ ) -}- a l l C ~ ) - t - . . . - ~ a i . i - 1 C ~ ) . _ 1 (i = 2, . 9 . n),
p e r m u t a t i o n de I . . . . n. L e d d t e r m i n a n t de c e t t e substi-
t l ~ " " " J ~ n " " "
asymptdtes da~s Y;. aux sdries normales (29)
y!a) ~ e Q i ( ; ) x r i ( l J i j + b(1) x -~- bl.2~ x 2 -~ " ).
~O ~3
E n supposa~zt que x appartie~t au secteur commun & X~, X~+I on a les Squations
~ Ci Y~
t=1 i=1
( j = I , . . . ,,)
si les cot~stantes Ci ~+') sont lides aux constantes CI ~) par une substitution (30) de ddterminant dgal ?~ r.
Consid~rons en p a r i i e u l i e r le eas od les coefficients du syst~me ( 2 8 ) s o n t u n i f o r m e s a u t o u r de x = o et s u p p o s o n s que x t o u r n e u n e fois a.utour de x = o d a n s le sens positif. On a u r a 2 k s u b s t i t u t i o n s (3o). L e s d ~ t e r m i n a t i o n s des p u i s s a n c e s x~ e n t r a n t d a n s l e eMeul des coefficients de ees s u b s t i t u t i o n s d o i v e n t
~ v i d e m m e n t ~tre suivies avee e o n t i n u i t & P a r t a n t de
on a u r a done apr~s u n t o u r c o m p l e t
,9J = ~ O~ ~ e ~ ~' v - n y~})
i=1
( j = I , . . . n)
g = I , . . . n ) ,
T h 6 o r ~ m e 4. I1 y a une ~'uite infinie de secteurs ~2~ dont les angles sont
~rg
> ~ , deux secteurs consdcutifs ayant une partie commune. 34 chaque secteur X~
correspond un syst~me fondamental de solutions
j = l le d 4 t e r m i n u n t
I c~jl 4runt
4gal ~ I.L ' 4 q u ~ t i o n f o n d a m e n t u l e d 4 t e r m i n a n t e est
On volt donc que le p r o d u i t des racines de cette 4quation est 4gal s
n
H e ~ r i V ~ . i=l
( { = I , . . . JI),
w 3. l~tude du probl~me pos~ dans i'introduction.
9- Les a p p r o x i m a t i o n s successives 4tudi4es d a n s le w I d o n n e n t 4 v i d e m m e n t des r e p r 5 s e n t a t i o n s a n M y t i q u e s des solutions consid4r4es vMubles duns des secteurs duns lesquels ces s o l u t i o n s t e n d e n t vers o (pour x - ~ o). P o u r o b t e n i r des repr4- s e n t u t i o n s qui s o n t valables j u s q u ' h la l i m i t e d ' u n d o m a i n e d ' e x i s t e n c e et qui p e r m e t t e n t de suivre u n e s o l u t i o n q u a n d x t o u r n e a u t o u r de
x = o
on dolt e m p l o y e r d ' a u t r e s m4thodes. D u n s ce t r a v a i l nous Mlons n o u s s e r v i r de l~ m 4 t h o d e de P o i n c a r 4 d o n t nous a v o n s par14 d a n s l ' i n t r o d u c t i o n .N o u s s u p p o s o n s que les rucifies de l'4quution c a r a c t 4 r i s t i q u e s o n t simples et ~ o. N o u s p o u v o n s donc p r e n d r e le syst~me sous la f o r m e (I2). N o u s sup- posons que les c o n d i t i o n s A, B du n:o I sont remplies.
Consid4rons u n s e c t e u r X , du th4or~me I, soi~ y~") . . . . y(n ") la s o l u t i o n c o r r e s p o n d a n t e donn4e p a r le th4or~me I e t posons
(3 I) yi = y(a) Jr_ Zi ({ ~- I . . . . ~).
On a u r a p o u r zl, . . . z,~ un syst~me (12) off les seconds m e m b r e s s ' a n n u l e n t p o u r z~ = o . . . . z~ = o. E e r i v o n s ee s y s t 4 m e sous ls f o r m e s u i v a n t e
d z,: 2
(3 2) X k + l - - ' = 8iZi + al.a j) (X) Z4 -1- ~ ( a ) ( Z l , . . * Zn' X) (i = 1, . . ,l),
d x ' "
j = l
c o m m e n ~ a n t p a r des t e r m e s de degr4 ~ 2 en z~ . . . . z,~. N o u s
al.~)(x )
s o n t a s y m p t S t e s duns X , ( e ) s certMnes les s4ries !l~ ~)s u p p o s o n s que les coefficients s4ries de puissances
Sur l'4tude analytique des solutions d'un syst~me d'4quations diffdrentielles. 111
a{1. ) x ,y + a i j x (~) "~ + " "
ind4pendant de a.
N o u s consid4rons le syst~me lin4aire
(33) x/:+ 1 d z i __ d x siz~ + ~ j a r~)q (x) zj
j = l
( i = I , . . . . ) .
[1 y u d'aprbs le th4or~me 4 un syst8me fondamentul de solutions
i l ~ 9 . ,
(i= I , . . . ~)
usympt6tes duns une certaine purtie X~ de X~ uux s@ies normMes e x~i(~ij + b , j x + ij' + ' " )
correspondunt s (33). Ces sdries sont inddpendunt de tr.
7t:
N o u s posons
C)
(34) z~'j)- e Qi 7 x~i 21.~)
donc
(3s) 4~ ~- ~o + tly~ + t,!~ x" + . . .
L'angle de X~ est
duns X~, et nous fMsons duns (3 2) 1s substitution (36)
Le syst~me ~ransformg s'6eriru
77,
j = l
(i-- I , . . . , ) .
(37)
off
(38) P o s a n t (39)
x ~+1 ((~' = e , ( x ) r + ~I. ~ (~,, . . . r ~1 d x
P~ (x) = - x ~-~ Q ~ x + ''~ x~
= " i X k + Cf 1 X ~ - 1 + " " " + C[, k--I X + 3i
,, = < g*,C)
( i = I ; . . . ~).
( i = I . . . . ,,)
n o u s c h e r c h o n s s o b t e n i r u n e s o l u t i o n d e (37) s o u s l a f o r m e
(40) if, = t, + ~, g0~ .... *n (x) ~ ' . . . t~ n (i ~---z .... n).
a ~ + . . . + a n ~ 2
L e s c o e f f i c i e n t s 99~'~, ...~n p e u v e n t g t r e c a l c u l d s de la m a n i S r e s u i v a n t e . P o s o n s
e~ d 4 s i g n o n s p a r
9 " " ~ " " ~ n " " "
a ~ + 9 9 . + a n > ~ 2
Ga~: . . . . On [ (J) , an [flO~, .. . . . ?n)
le c o e f f i c i e n t de t~' . . . t~" d a n s l a sfirie q u e l ' o n o b t i e n t en i n t r o d u i s a n t les s~ries (40) darts ~ ' . . . ~ , . Si l ' o n s u p p o s e q u e les f o n c t i o n s ~vr ... rn c o r r e s p o n d a n t d e s - M e u r s de 7 ~ , - . . ~'~ relies q u e 7x + " " + 7, < N s o i e n t d & e r m i n ~ e s u n e
_(i)
f o n c , ~n ~v;j, .. . . j% c o r r e s p o n d a n t s fl~ + --. + ~ = - N d o l t & r e u n e s o l u t i o n de l ' ~ q u a t i o n d i f f ~ r e n t i e l l e l i n g a i r e s u i v a n t e d u p r e m i e r o r d r e
(41 ) x k+a
d x + +~'~ .... ~. (~, P, (=> + -.. + ~. Vn (=> - - P,(xl)
o~ l ' o n a
= o.(=) o,
9 . ~ , ... , . ) + ~n(=),
2 ~ a 1 + ..- + a , , < N , 2 = < 7 ~ + ..- + 7 , , < N .
1o. N o u s d ~ m o n t r o n s l a c o n v e r g e n c e des sfiries (40) darts le eas off st, . . . Sn se trouvent d'un m~me c6t~ d'une droite passant p a r l'origine en s u p p o s a n t q u e le secteur ~fa correspon'dant & X~ contient une pattie du secteur 99' < q9 < qD" darts lequel e~i ~ (i-= I, . . . n) tendent vers o. D e plus n o u s s u p p o s o n s a u p r e m i e r a b o r d q u ' i l n ' y a a u c u n e r e l a t i o n d e l a f o r m e
fll st + "'" + fl~ sn - - si == o, 05 /~x, . . . fir s o n t des e n t i e r s > o.
E n s u p p o s a n t l ' e n t i e r N ' s u f f i s a m m e n t g r a n d e t le h o m b r e p o s i t i f e suffi- s a m m e n t p e t i t le s e c t e u r /-f~(~) c o n t i e n d r a u n e p a r t i e d a n s l a q u e l l e r o u t e s les f o n c t i o n s
e(~'~,+"" +~,~n--~) " (i = I , . . . n)
Sur l'6tude analytique des solutions d'un systgme d'6quations diff~rentielles. 113 t e n d e n t vers o, off i l l , . . , f~ sont des entiers tels que fi-->_ o ( i = I , . . . n), f l + "'" + f , >= N'. E n d ' a u t r e s termes, le secteur dans le p l a n (fl sl + "" + fire sre--si) u a u r a u n e p a r t i e c o m m u n e avec le demi-plan s g a u c h e de l'axe imaginaire, et l ' a n g l e de ce s e c t e u r c o m m u n sera, p o u r routes les valeurs consid6r6es de f~, . . . fre, plus g r a n d q u ' u n c e r t a i n n o m b r e 6. On p e u t supposer que la m6me chose air lieu p o u r les valeurs de f ~ , . . , f,~ tels que f~ + ..- + f~ < N ' , si ~ est suffisam- m e n t petit, car on p e u t t o u r n e r les droites l i m i t a n t U, e n t r e certaines limites et on p e u t donc sut~poser ces droites choisies de mani~re que les droites cor- r e s p o n d a n t e s d~crites p a r (liSa + ... + f r e s , - - s i ) u soient distinctes de l'axe i m a g i n a i r e p o u r c h a q u e syst~me de valeurs fj, . . . fire, i tels que fl~+... +flre<N'.
Le secteur b~(e) & a n t ainsi d6fini nous le t r a n s p o r t o n s parall~lement s lui- m~me de sorte que le s o m m e t v i e n n e s u n p o i n t u o d o n t la valeur absolue R est s u f f i s a m m e n t g r a n d , d~signons ce s e c t e u r p a r 11. N o u s pouvons supposer % choisi de mani~re que ] u ] > B p o u r t o u t p o i n t de lt.
I1 y a des n o m b r e s positifs A~; a) .,~ tels que les s6ries A (i, a) ,-al... ~an
Z at, . 9 9 a n ~ 1 n
( i = I , . . . , )
a i e n t un d o m a i n e de p o u r les s6ries
p o u r u dans 1I.
Supposons que
c o n v e r g e n c e [ ~il < r ' (i = I , . . . ?/) et soient m a j o r a n t e s
~ . % 9 9 ( i = , , . . .
( i = I , . . . ~ )
p o u r fll + " " + fire < N si u a p p a r t i e n t ~ 1t, et eonsid6rons u n e f o n e t i o n 9~i~;: .... ~, (x) c o r r e s p o n d a n t ~ fll -t- ... ~- fire ~ -~,
abr6g6e
o n
Nous ~crivons l'~quation (4I) sous la f o r m e
x k + l d
~x + ~ P(x) =f(:~)
d q~ + = f ( x ) la variable t & a n t d6finie p a rt -= f V (x) ,1 ,. =
I
= - ~ (tt, r, + . . . + b'~ r~ - rD l o g u
1 - (~, c,, + .-. + ~ . e . , - ~ , , ) ( - k ~ ) ~
. . . . . . . , o . . . . . .
I k--1
+ (& s, + . . . . ~- ~ , , s . - si) u.
I1 r6sulte hombres
de la supposition f a i t e c o n e e r n a n t les nombres sl . . . . sn que les I~,~, + " + 3,,~,,-~<1
s o n t plus g r a n d s les quotients
q u ' u n nombre positif fixe i n d 6 p e n d a n t de fl~ . . . . fin, i et que Ifllr, + "'" + ~'~,',,-,',1
I & ~ , + ' + b>,,~,,-.~;I ' I ~>~ e,.~ + ... + / ~ , , c,,.~ - ~,sl
sont plus petits q u ' u n n o m b r e fixe.
P o u r la fonction f ( x ) on a
I f ( x ) l < ~ , A T : :) , . " a n G '~ ... ~.1"~.(~) a . a n k 7~ . . ,,,) + ~(',o) . . . "i~, . . . . 1%1"
Nous pouvons prendre la solution suivante de l'6quation (4I)
/
~fil~! .... '%' = e---t t e J ( x ) d c,
off 9 correspond s v de la m4me maniSre .que t correspond ~ u et l'int6gration est etfectu6e le long d ' u n e ligne droite qui s'6tend s l'infini dans une direction telle que la direction correspondante dans le plan (/7~ sl + "'" + tT,,s,,- si)v air u n a r g u m e n t entre ~ + 6 et 3 ~ 6.
2 2
On peut 6crire
t - - ~ = (• s, + . . + ~,, ,% - ~,) (~ - , . ) (~ + v), off
I,~1 < d , ' , .y = (~/~)--l/k
