I. Généralités sur les v.a. quelconques II. Régularité de la fonction de répartition

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I. Généralités sur les v.a. quelconques II. Régularité de la fonction de répartition

Définition 1.

SoitXune v.a.

Safonction de répartitionF_Xest définie surRpar :

F_X : R −→ [0; 1]

x 7−→ P(X ≤x)

Théorème 1.

La fonction de répartition caractérise la loi.

Théorème 2.

SoitXune v.a. etFXsa fonction de répartition. Alors : 1. FXest continue à droite en tout point

2. FXest continue admet une limite à gauche en tout point 3. FXest croissante surR

4. lim

x→−∞FX(x) = 0 5. lim

x→+∞FX(x) = 1

Remarque.

La continuité à droite n’entraine pas nécessairement la continuité.

En particulier, la fonction de répartition d’une v.a. discrèteXest discontinue en tout pointxtel queP(X=x)>0.

Le saut est précisément d’amplitude égale àP(X=x).

Définition 2.

Une v.a.Xest dite à densité si sa fonction de répartition est continue surRet de classeC¹surR, sauf éventuellement en un nombre fini de points (SNFP).

Remarque.

Une v.a. discrète n’est donc pas à densité, puisque sa fonction de répartition comporte des discontinuités.

Remarque.

Une v.a. peut très bien n’être ni discrète, ni à densité.

Définition 3.

SoitXune v.a. à densité, de fonction de répartitionFX.

Alors, toute fonctionf_Xdéfinie surR, et telle quef_X(x) =F_X⁰ (x)en tout pointxoùFest de classeC¹, est appeléedensité deX.

Remarque.

Pour définirfXsurRtout entier, on lui donne une valeur arbitraire, positive ou nulle, aux points oùFXn’est pas de classeC¹. En effet, on ne change pas la valeur d’une intégrale si l’on change la valeur de la fonction en un nombre fini de points (isolés).

La fonctionfXpossède alors un nombre fini de points de discontinuité.

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Remarque.

Une v.a. à densité admet donc une infinité de densités : toute fonction positive égale àF_X⁰(x), pourx∈R, SNFP

Théorème 3.

La donnée d’une densité caractérise la loi.

Théorème 4.

SiXest à densité, alors X(Ω) ={x∈R|f_X(x)>0}.

Théorème 5.

SiXest à densité, alors, pour tout réelx: a. F_X(x) =P(X ≤x) =

Z x

−∞

f_X(t)dt

b. 1−F_X(x) =P(X > x) = Z +∞

x

f_X(t)dt

Théorème 6. caractérisation d’une densité

Une fonctionfest une densité si, et seulement si, les trois points suivants sont vérifiés : 1. f est positive surR

2. f est continue surR, SNFP 3.

Z +∞

−∞

f_X(x)dx= 1

Théorème 7.

SoitXune v.a. à densité.

Alors, ∀x∈R, P(X=x) = 0.

Théorème 8.

SoitXune v.a. à densité, eta < bdes réels. On a : 1. P(X ≤a) =P(X < a) =FX(a) =

Z a

−∞

fX(t)dt

2. P(X ≥a) =P(X > a) = 1−FX(a) = Z +∞

a

fX(t)dt

3. P(X ∈[a, b]) =P(X ∈]a, b[) =P(X ∈[a, b[) =P(X∈]a, b]) =FX(b)−FX(a) = Z b

a

fX(t)dt.

III. Exemples de transferts

Remarque.

Si toute variable aléatoire fonction d’une v.a. discrète est elle-même une v.a. discrète, il n’en est pas nécessairement de même pour les v.a. à densité.

En effet, il suffit par exemple d’appliquer la partie entière pour transformer une v.a. à densité en v.a. discrète.

Pour savoir si la transformée d’une v.a. à densité l’est également, on étudiera généralement sa fonction de répartition.

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Remarque.

Dans toute le suite,Xdésigne une v.a. à densité, de densitéfX, et de fonction de répartitionFX. Y est une v.a. fonction deX.

Exemple 1.

transformation affine Soit(a, b)∈R², aveca6= 0. On poseY =aX+b.

Une fonction affine étant définie (et même plus !) surR, la v.a.Y est bien définie.

Déterminons sa fonction de répartitionFY. Soity∈R. On a :

FY(y) =P(Y ≤y) =P(aX+b≤y) =P(aX≤y−b) =









 P

X≤ y−b a

, sia >0 P

X≥ y−b a

, sia <0 .

Bilan, FY(y) =









 FX

y−b a

, sia >0 1−FX

y−b a

, sia <0 .

La fonction affine y7−→ y−b

a est de classeC^∞surR, donc a fortiori continue surRet de classeC¹surR, SNFP.

FXest également continue surRet de classeC¹surR, SNFP, en tant que fonction de répartition d’une v.a. à densité.

Par composition,FY est l’est donc bien également, et ce dans les deux cas (a >0eta <0).

Y est donc bien une v.a. à densité.

Déterminons-en alors une densité :

En tout pointytel queFXest de classeC¹en y−b

a , on a, par dérivation d’une fonction composée :

F_Y⁰(y) =









 1 aFX⁰

y−b a

, sia >0

−1 aF_X⁰

y−b a

, sia <0

= 1

|a|F_X⁰ y−b

a

.

On peut donc prendre pour densité pourY la fonctionfY définie surRpar fY(y) = 1

|a|fX

y−b a

.

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Exemple 2.

carré SoitY =X².

La fonction carrée étant définie surR, la v.a.Y est bien définie.

De plus, la fonction étant positive, on aY(Ω)⊂R+. Soity∈R.

Siy <0: on a[Y ≤y]⊂[Y <0] =∅, donc FY(y) = 0. Siy≥0, on a :

FY(y) =P(Y ≤y) =P(X²≤y) =P(−√

y≤X≤√

y) = FX(√

y)−FX(−√ y).

FY est donc continue surR⁺et de classeC¹surR⁺, SNFP, en tant que composée de deux fonctions continues et de classeC¹, SNFP.

Par ailleurs,FY est clairement continue surR^∗−et de classeC¹surR^∗−, SNFP, puisqu’elle est nulle.

Il ne reste plus qu’à étudier la continuité en0.

On a : lim

y→0⁻FY(y) = 0 et lim

y→0⁺FY(y) = lim

y→0⁺(FX(√

y)−FX(−√

y)) = FX(√

0)−FX(−√

0) = FX(0)−FX(0) = 0 = FY(0), par continuité de la racine carrée et deFX.

FY est donc continue surRet de classeC¹surR, SNFP.

Siy <0: on aFY(y) = 0, doncF_Y⁰(y) =fY(y) = 0. Siy≥0, on a :

En tout pointytel queFXest de classeC¹en√ yet−√

y, on a, par dérivation d’une fonction composée : F_Y⁰(y) = 1

2√ yF_X⁰(√

y)− −1 2√

yF_X⁰(−√ y) = 1

2√

y F_X⁰(√

y) +F_X⁰(−√ y)

. On peut donc prendre pour densité pourY la fonctionfY définie surRpar :

fY(y) =







0, siy <0

1 2√

y fX(√

y) +fX(−√ y)

, siy≥0 .

Exemple 3.

exponentielle SoitY =e^X.

La fonction exponentielle étant définie et positive surR, on a là aussiY(Ω)⊂R^∗+. Soity∈R.

Siy≤0: on a donc FY(y) = 0. Siy >0, on a :

FY(y) =P(Y ≤y) =P(e^X≤y) =P(X ≤lny) = FX(lny)).

FY est donc continue surR+et de classeC¹surR^∗+, SNFP, en tant que composée de deux fonctions continues et de classeC¹, SNFP.

Par ailleurs,FY est clairement continue surR⁻et de classeC¹surR⁻, SNFP, puisqu’elle est nulle.

Il ne reste plus qu’à étudier la continuité en0.

On a : lim

y→0⁻

FY(y) = 0 =FY(0) et lim

y→0⁺

FY(y) = lim

y→0⁺

FX(lny) = lim

z→−∞FX(z) = 0, par propriété d’une fonction de répartition.

FY est donc continue surRet de classeC¹surR, SNFP.

Siy≤0, on aFY(y) = 0, doncF_Y⁰(y) =fY(y) = 0. Siy >0, on a :

En tout pointytel queFXest de classeC¹enlny, on a, par dérivation d’une fonction composée : F_Y⁰(y) = 1

yF_X⁰(lny).

On peut donc prendre pour densité pourY la fonctionfY définie surRpar :



0, siy≤0

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Exemple 4.

min et max

IV. Moments

Définition 4.

SoitXune v.a.

Sous réserve de convergence absolue de l’intégrale, on définit l’espérancedeX par : E(X) =

Z +∞

−∞

xfX(x)dx

Remarques.

1. SiXest bornée (presque surement), ie∃a < b / P(a≤X≤b) = 1, ce qui signifie encore quefXest nulle en dehors du segment [a, b], alorsE(X)existe, car l’intégrale précédente est faussement généralisée : c’est une intégrale sur un segment.

On a de plus dans ce cas par croissance de l’espérancea≤E(X)≤b.

2. SiXest positive (presque surement), ieP(X≥0) = 1, ce qui signifie encore quefXest nulle sur]− ∞; 0[, alorsE(X)existe si l’intégrale est cnvergente, car il s’agit de l’intégrale d’une fonction positive, et la convergence absolue équivaut à la convergence.

En cas de convergence, on a dans ce casE(X)≥0, toujours par croissance.

3. SiXn’est pas bornée et prend des valeurs négatives, alors l’étude de la convergence absolue est requise.

Mais, souvent, on pourra s’appuyer sur certaines propriétés (parité de la densité) pour simplifier la démarche.

C’est le cas par exemple pour la loi normale centrée réduite.

Théorème 9. théorème de transfert

SoitXune v.a. à densité, et densitéf, et soitgune fonction continue surX(Ω), SNFP.

Sous réserve de convergence absolue, on a alors : E(g(X)) =

Z +∞

−∞

g(x)f(x)dx

Définition 5.

SoitXune v.a. à densité, etn∈N^∗.

Sous réserve d’existence, on définit lemoment d’ordrendeXpar : mn(X) =E(Xⁿ) =

Z +∞

−∞

xⁿfX(x)dx

Remarque.

Le moment d’ordre1est donc l’espérance.

Théorème 10.

SiXadmet un moment d’ordren∈N^∗, alorsX admet un moment d’ordrem∈N^∗, dès quem≤n.

Remarque.

La réciproque est fausse.

(6)

Définition 6.

Sous réserve d’existence, on définit :

1. lavariancedeXpar V(X) =E[(X−E(X))²] = Z +∞

−∞

(x−E(X))²fX(x)dx 2. l’écart-typedeXpar σ(X) =p

V(X)

Remarque.

La variance est un indicateur de dispersion ("la moyenne des carrés des écarts à la moyenne").

Remarque.

Pour une v.a.Xdonnée, sont donc équivalentes l’existence d’un moment d’ordre 2, d’une variance, ou d’un écart-type.

Théorème 11. formule de Huygens

SoitXune v.a. admettant un moment d’ordre2. On a alors :

V(X) =E(X²)−(E(X))²

Démonstration.

Théorème 12.

SoitXune v.a. admettant un moment d’ordre2, etaetbdes réels. On a alors : 1. V(aX+b) =a²V(X)

2. σ(aX+b) =|a|σ(X)

Démonstration.

Remarque.

Déplacer la distribution (+b), ne modifie pas la dispersion, donc est sans effet sur la variance.

En revanche, le facteuramodifie les écarts entre les valeurs.

V. Lois à densité usuelles

1. Loi uniformeU([a, b]) Définition 7.

Soita < bdes réels.

On dit queXsuit une loiuniformesur[a, b], et on noteX ,→U([a, b]), si une densité deXest donnée par :

fX(x) =





 1

b−a ,six∈[a, b]

0 ,six /∈[a, b]

Remarque.

Il s’agit bien d’une densité : calculs à faire.

(7)

Théorème 13.

SiX ,→U([a, b]), alors sa fonction de répartition est définie surRpar :

F_X(x) =











0 ,six < a x−a

b−a ,sia≤x≤b 0, six > b

Démonstration.

Remarque.

Voici les graphes def(en bleu) et deF(en rouge), dans le cas d’une loi U([0,1]) :

Théorème 14.

SiX ,→U([a, b]), alors :

E(X) = a+b

2 et V(X) =(b−a)² 12

Démonstration.

Théorème 15.

En particulier, siX ,→U([0,1]), alors :

1. f_X(x) =

( 1 ,si0≤x≤1

0 ,sinon 2. F_X(x) =











0 ,six <0 x ,si0≤x≤1 1, six >1

3. E(X) =1

2 et V(X) = 1 12

Théorème 16.

Soita < b. Alors :

X ,→U([0,1]) ⇐⇒ a+ (b−a)X ,→U([a, b])

Démonstration.

2. Loi exponentielleE(λ)

(8)

Définition 8.

Soitλ >0.

On dit queXsuit une loiexponentiellede paramètreλ, et on noteX ,→ E(λ), si une densité deXest donnée par : fX(x) =

( 0 ,six <0 λe^−λx ,six≥0

Remarque.

Il s’agit bien d’une densité : calculs à faire.

Théorème 17.

SiX ,→ E(λ), alors sa fonction de répartition est définie surRpar : FX(x) =

( 0 ,six <0 1−e^−λx ,six≥0

Démonstration.

Remarque.

Voici les graphes def(en bleu) et deF(en rouge), dans le cas oùλ= 2:

Théorème 18.

SiX ,→ E(λ), alors :

E(X) = 1

λ et V(X) = 1 λ²

Démonstration.

3. Loi normale centrée réduiteN(0,1) Définition 9.

On dit queX suit une loinormale centrée réduiteet on noteX ,→ N(0; 1), si une densité deX, souvent notéeϕ, est définie surRpar :

(9)

Remarque.

Il s’agit bien d’une densité : vérifications à faire, sauf pour l’intégrale, dont la valeur est admise.

Théorème 19.

SiX ,→ N(0; 1), alors sa fonction de répartition, souvent notéeΦ, vérifie :

∀x∈R, Φ(−x) = 1−Φ(x)

Démonstration.

Remarque.

Voici les graphes deϕ(en bleu) et deΦ(en rouge) :

Théorème 20.

SiX ,→ N(0; 1), alors :

E(X) = 0 et V(X) = 1

Démonstration.

4. Loi normaleN(m, σ²) Définition 10.

Soitm∈Retσ >0.

On dit queXsuit une loinormaleet on noteX ,→ N(m, σ²), si une densité deXest donnée par :

fX(x) = 1 σ√

2πe⁻

(x−m)² 2σ²

Remarque.

Théorème 21.

SiX ,→, alors :

E(X) =m et V(X) =σ²

(10)

Démonstration.

Théorème 22.

SoitX ,→ N(m, σ²), et(a, b)∈R², aveca6= 0. Alors :

aX+b ,→ N(am+b, a²σ²)

Démonstration.

Théorème 23.

SoitX ,→ N(m₁, σ²₁)etY ,→ N(m₂, σ²₂)deux variables indépendantes suivant des lois normales.

Alors, X+Y ,→ N(m1+m2, σ₁²+σ₂²).

Démonstration.