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G234. Pour le plaisir des macarons de Montmorillon
1) enfants porteurs de badges 1,2, … dont les numéros tous différents sont choisis parmi l’ensemble des entiers naturels 1,2, … . , sont assis autour d’une table circulaire. On leur annonce la distribution d’un nombre de macarons de Montmorillon égal à la somme des produits des numéros des badges portés par deux enfants voisins l’un de l’autre, soit ou encore ∑ avec 1 modulo . Les enfants qui naturellement cherchent à rendre maximum parviennent à se répartir équitablement tous les macarons. Que valent et ?
2) Si les enfants avaient décidé un goûter frugal en minimisant , quelle aurait été l’économie du nombre de macarons ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Préliminaires
Par convention, les indices d’une permutation de longueur seront toujours considérés modulo . Considérons une permutation de 1, … , , et ! ∑ "
:
; … ; ; ; "; … ; ; ; "; … ;
On construit la permutation ’ en « renversant » la sous-partie ; "; … ; ; : ; … ; ; ; ; … ; "; ; "; … ;
On remarque que :
!%& ! " & & " '& ("&
• Si est « maximale » alors ) * ) " et + * + " (1)
• Si est « minimale » alors ) * + " et + * ) " (2) On rappelle en outre quelques formules utiles dans la suite :
,
1
2 ,
12 1
6
Question 1
Supposons que est « maximale ». On peut poser, sans nuire à la généralité que + et que + :
)
… ; ; ; ; ; ; ; ; …
+
On appliquant la propriété (1), on en déduit ) et + :
) )
… ; ; ; ; ; ; ; ; …
+ +
On obtient, en répétant l’opération, un ordonnancement complet, qui permet de conclure que est finalement :
… ; & 5; & 3; & 1; ; & 2; & 4; & 6; … On obtient pour cette permutation la valeur de suivante :
, & 2
& 1 2 1 1 2 3& 11 18 6
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On sait en outre que les enfants parviennent à se répartir équitablement les macarons : | * | 6 | 2 3& 11 18 * |18 Il suffit ensuite de tester les différents cas :
2 3 6 9 18
4 11 82 270 2076
En supposant que l’énoncé exclut implicitement le cas 2, on peut alors conclure que : 4 5 enfants se partagent 6 789 macarons.
Question 2
On peut maintenant se contenter d’étudier le cas 9. On suppose cette fois que est « minimale ». On peut poser, sans nuire à la généralité que ; 9 + < et que =) :
)
>; ?; <; =; ;; ; ; ; @
)
On appliquant la propriété (2) plusieurs fois, on en déduit l’ordonnancement:
+ ) + )
@; >; ?; <; =; ;; ; ; ; @
<
+ ) +
Ce qui permet de conclure que est finalement :
6 ; 3 ; 8 ; 1 ; 9 ; 2 ; 7 ; 4 ; 5
On obtient donc 169 macarons, soit une économie de 101 macarons, par rapport au placement maximal.
