P RÉSENTATION DE L ’ ACTIVITÉ À LA MÉTHODE D ’E ULER A PPROXIMATION DE COURBES REPRÉSENTATIVES DE FONCTIONSGRÂCE

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P

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Niveau : Terminale S

Outil : tableur

Pré- requis : - dérivée d’une fonction - approximation affine - primitive d’une fonction Place dans la progression :

Cette activité peut être proposée après avoir traité la dérivation et introduit la notion de primitive Objectifs :

 Comprendre et utiliser la méthode d’Euler

 Utiliser le tableur pour visualiser la courbe d’une fonction dont on ne connaît pas l’expression

 Mise en évidence de l’existence et de l’unicité d’une primitive ayant une condition initiale Déroulement :

 Dans un premier temps, on compare les résultats obtenus par la méthode d’Euler avec les valeurs réelles de la fonction. Cela permet de « légitimer » la méthode et de constater que les approximations sont d’autant meilleures que le pas choisi est proche de zéro.

 Dans un deuxième temps, on utilise la méthode d’Euler pour obtenir une représentation graphique approchée d’une fonction définie comme la primitive d’une fonction ayant une condition initiale.

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I) Présentation de la méthode

La méthode d’Euler est utilisée pour approcher la représentation graphique d’une fonction f lorsque l’on connaît uniquement sa valeur en un réel x0 et sa dérivée f ’.

Pour cela, on utilise une approximation affine de la fonction f :

Si f est une fonction dérivable en a, alors pour h proche de 0, on a f(a + h)  f(a) + h.f ’(a).

En exploitant ce résultat, on peut approcher la courbe Cf de la fonction f à l’aide d’une courbe constituée de segments de droites.

On considère un réel h strictement positif.

On suppose connus les réels x0 et f(x0). On construit une suite (xn) de la façon suivante. On pose : x1 = x0 + h ; x2 = x1 = h ; x3 = x2 + h ; …. ; xn+1 = xn + h

On considère alors les points M0, M1, M2, … de la courbe Cf d’abscisses respectives x0, x1, x2, ….

Chaque point Mn a pour coordonnées (xn ; f(xn)).

Les points Mn définis précédemment ne peuvent être placés dans un repère (puisque la fonction f n’est pas connue). Par conséquent, on cherche à construire, uniquement à l’aide de f ’ et de x0, une suite de points P0, P1, P2, …qui approchent les points M0, M1, M2, …de la courbe Cf.

On part du point M0(x0 ; f(x0)) dont les coordonnées sont supposées connues avec f ’(x0)  0. On pose :

 y0 = f(x0). On construit le point P0 confondu avec le point M0.

 y1 = f(x0) + h.f ’(x0). On construit le point P1(x1 ; y1). Comme y1  f(x0 + h)  f(x1), le point P1 est proche du point M1.

 y2 = f(x1) + h.f ’(x1). On construit le point P2(x2 ; y2). Comme y2  f(x1 + h)  f(x2), le point P2 est proche du point M2.

On recommence ainsi de suite…

On a construit une suite de points Pn(xn ; yn) tels que yn+1 = yn + h.f ’(xn).

En joignant les points P0, P1, P2, …., on obtient une courbe affine par morceaux qui approche celle de f.

II) Premier exemple

Dans un premier temps, nous allons étudier le cas d’une fonction dont on connaît l’expression afin de comparer les résultats obtenus par la méthode d’Euler et de «légitimer» cette méthode.

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 4] par f(x) = .

On souhaite observer la courbe obtenue par la méthode d’Euler et la comparer avec la courbe représentative de la fonction f.

1. Déterminer la fonction dérivée f ’ de la fonction f.

f est dérivable sur [0 ; 4] et pour tout x[0 ; 4], f ’(x) = …

2. On considère un réel h strictement positif fixé et on pose x0 = 0.

Comme cela a été décrit dans la partie I, la suite (xn) est définie par

 









 x h

x 0 x

n 1 n

0

On veut maintenant définir la suite (yn) obtenue par la méthode d’Euler.

2 Regard sur Leonhard Euler :

Mathématicien suisse du XVIII^ème siècle, il étudia le droit et la philosophie puis devint l’élève de Jean Bernouilli. Il fut par la suite professeur de mathématiques en Russie, fit un bref passage en Allemagne, puis de retour en Russie, participa à l’essor des mathématiques. Il devint totalement aveugle à l’âge de 64 ans, mais cela ne l’empêcha pas de continuer ses recherches. On lui doit de très nombreux résultats en analyse et en probabilités (irrationalité du nombre e, démonstration du petit théorème de Fermat, coefficients binomiaux, formules de trigonométrie…).

En utilisant l’expression de la dérivée obtenue précédemment, déterminer la valeur de y0 et l’expression de yn+1 en fonction de h et de xn.

y0 = … yn+1 = …

3. A l ‘aide d’un tableur, on veut réaliser la feuille de calcul ci-dessous :

Procédure :

On souhaite compléter le tableau de façon à ce que tout soit recalculer automatiquement lorsque l’on changera la valeur du pas h définie dans la cellule B1.

 Commencer par compléter les cellules A1, B1, A3, B3, C3 et D3.

 On souhaite maintenant compléter toute la colonne A. Compléter la cellule A4 par sa valeur puis saisir la formule dans la cellule A5 permettant d’obtenir sa valeur en fonction de la valeur de la cellule précédente et du pas h. Utiliser ensuite la poignée de recopiage vers le bas. S’arrêter lorsque l’on atteint la valeur 4 pour xn.

 Compléter la colonne B à l’aide de l’expression de la fonction f et des différentes valeurs de xn et la poigné ede recopie vers le bas.

 On souhaite maintenant compléter la colonne C donnant les valeurs de la suite (yn). Étant donné que l’on a fixé y0 = x0, commencer par écrire « =B4 » dans la cellule C4. Compléter ensuite la cellule C5 à l’aide de la formule déterminée à la question II.2. Ne pas oublier que la valeur du pas h est donnée dans la cellule B1. Recopier cette formule vers le bas afin de compléter toute la colonne C.

 Compléter la colonne D par recopie d’une formule écrite en D4.

 Pour finir, saisir toutes les cellules de A3 à C24 et utiliser l’assistant pour visualiser les courbes représentant la fonction f et son approximation par la méthode d’Euler. On choisira le type de graphique :

 Changer la valeur du pas h saisi dans la cellule B1. Observer le graphique pour des valeurs de h égales à 0,1 et 0,01.

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

Ex 1 : si on souhaite, dans les cellules d’une même colonne, faire toujours le même calcul mais avec les valeurs des cellules B4, puis B5, puis B6…, on tapera une première fois la formule avec la valeur $B4, puis on utilisera la fonction de recopiage vers le bas afin de compléter les autres cellules. Le paramètre B est fixé, seul le numéro de ligne est variable lors du recopiage.

Ex 2 : si on souhaite cette fois répéter un calcul dans différentes cellules mais toujours avec la valeur fixe de la cellule B4, on saisira alors $B$4 dans la formule. Le paramètre B et le numéro de la ligne sont fixés.



III) Deuxième exemple

Dans cette partie, nous allons traiter le cas d’une fonction G dont on connaît uniquement l’expression de sa dérivée g et une valeur. Comme dans de nombreux cas, nous ne savons pas déterminer une primitive de g et donc une expression de G. L’objectif est d’obtenir une approximation de la courbe de la fonction G.

On considère la fonction g définie sur  par g(x) = .

1. Justifier l’existence de primitives de la fonction g sur .

…

On considère la fonction G, primitive de g sur , vérifiant G(0) = 1.

2. En utilisant la méthode décrite précédemment, et en prenant 0,1 comme pas, déterminer les expressions des suites (xn) et (yn) obtenues par la méthode d’Euler et visualiser à l’aide d’un tableur, une expression de l’approximation de la courbe de la fonction G obtenue sur l’intervalle [0 ; 5].

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