D354 ‒ Le cube [** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
Un cube est posé sur un plan horizontal en contact avec un de ses sommets.
Les distances des 8 sommets au plan sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cm.
Quel est le côté du cube ?
Solution proposée par l'auteur Réponse
Démonstration :
On peut choisir un repère orthonormé (O, x, y, z) tel que [Voir Figure 1] le point de contact soit l’origine O ; Ox et Oy soient dans le plan P ; Oz soit dirigé vers le haut.
De plus, on peut faire tourner le cube pour que le sommet A situé à la distance 1 du plan ait pour coordonnées (a, 0, 1) avec a > 0. [Il suffit que OA soit dans le plan (O, x, z), dirigé du bon côté].
Soit B (b, c, 2) le sommet situé à la distance 2 du plan.
On a = + donc D a pour coordonnées (a + b, c, 3).
Soit z la cote de C. La face (CA’B’D’) est la translatée de la face (OABD) par le vecteur .
Donc les cotes de C, A’, B’, D’ sont z, z + 1, z + 2, z + 3 et pour respecter les contraintes de l’énoncé, il faut z = 4.
Soit le côté du cube.
On a :
.
De plus, est colinéaire à et de norme
On a donc = pour un certain réel [ compte tenu de l’orientation].
Donc soit :
Compte tenu de (1) :
Après simplification il vient
P O (0, 0, 0)
A (a, 0, 1)
D (a + b, c, 3)
B (b, c, 2) C
A’
B’
D’
x y z
Figure 1
Mais implique donc et (2) devient D’où
Remarque :
Les relations permettent de tirer facilement :
