D359 − Parallèles et distincts [*** à la main]
Prouver qu'il existe au moins un ensemble fini E de n points dans l'espace qui ne sont pas tous situés dans le même plan de sorte que pour tout couple de points A et B appartenant à cet ensemble, on sait trouver deux autres points C et D du même ensemble tels que les segments AB et CD sont parallèles tout en étant distincts.
Pour les plus courageux: trouver trois exemples d'ensembles E₁,E₂ et E₃ ayant des nombres différents de points (n₁ < n₂ < n₃).
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Prenons un cube ABCDEFGH (voir figure ci-après),on constate qu’à tout couple de points on peut en associer un autre qui soit parallèle, à l’exception des diagonales internes AG, BH, CE, DF.
SI on ajoute le point I, symétrique du centre O du cube par rapport à la face EFGH, on voit qu’alors on peut trouver des couples de points à mettre en face des couples correspondant aux diagonales : IE par rapport à AG, IH//FG, IF//HB, IG//EC.
On a créé ce faisant d’autres couples « orphelins » , IA, IB, IC, ID. Pour pouvoir les appairer , il faut aussi ajouter le point J, symétrique de I par rapport à O. ON a alors les couples appairés suivants : IA//JG ; IB//JH ; IC//JE ; ID//JF. Par ailleurs IJ est parallèle aux cotés AE, BF…
On a donc avec cette lanterne de 10 points construit un ensemble répondant à la question.
En ajoutant les points K et L similaires à I et J par rapport aux faces AEHD et BFGC , on obtient un ensemble de 12 points répondant à la question : en effet IK//JL et IL//JK.
En ajoutant les points M, et N par rapport aux faces ABFE et DCGH, on obtient un ensemble de 14 points.
