J128. La méga-rafle de la dame J. Jeux de plateaux
Problème proposé par Stéphane Rézel
Q1 : Quelle taille a le plus petit damier sur lequel il est possible de prendre, comme au jeu de dames, 10000 pièces adverses en une seule rafle ?
Q2: Même question avec 868, 1331 et 17971 pièces adverses.
Nota sur les règles du jeu de dames : Le jeu se joue sur les cases foncées du damier. La prise d’une pièce adverse (pion ou dame) se fait en sautant diagonalement par-dessus à condition qu’une case vide soit derrière elle. Une pièce peut prendre en avant ou en arrière et changer de direction, si besoin, à chaque fois qu’une nouvelle prise est possible. Contrairement au pion, la dame peut prendre à distance et n’est pas obligée de s’arrêter juste derrière la pièce capturée. Durant la rafle, une pièce peut passer plusieurs fois sur une même case vide mais aucune pièce adverse ne peut être sautée deux fois. Les pièces capturées sont retirées du damier une fois la rafle entièrement terminée. Toutes les règles sont sur le site http://www.ffjd.fr/Web/
Solution de Paul Voyer
Q1
Selon la parité de la dimension du damier, le remplissage est plus ou moins bon.
On peut éliminer les damiers de dimensions paires, dans lesquels un bord horizontal et un bord vertical sont inutilisables, ainsi que les damiers à coins blancs.
Reste à considérer les damiers :
(4p+1)x(4p+1) coins noirs (4p+3)x(4p+3) coins noirs
Le meilleur remplissage est obtenu avec un damier (4p+1)x(4p+4) coins noirs.
4p² pièces dans un damier (4p+1)x(4p+1)
Un damier 201x201 à coins noirs permet une rafle de 10000 pièces avec le
cheminement décrit ci-dessous.
p p p p p p
p p p p p p
p p p p p p
p p p p p p
p p p p p p
D
p p p p p p
Q2
(4p+3)x(4p+3) coins noirs Il faut partir d'un coin
avec 1 pièce : 3x3 trivial
avec 9 pièces : 7x7
7 9
p p p
6 4 8
p p p
1 5 3
p p p
D 2
avec 25 pièces : 11x11
21 23 25
p p p p p
20 18 22 16 24
p p p p p
11 19 13 17 15
p p p p p
10 8 12 6 14
p p p p p
1 9 3 7 5
p p p p p
D 2 4
