Pompage optique doublement sélectif en vitesses

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Pompage optique doublement sélectif en vitesses

M. Pinard, L. Julien, F. Laloë

To cite this version:

M. Pinard, L. Julien, F. Laloë. Pompage optique doublement sélectif en vitesses. Journal de Physique,

1982, 43 (4), pp.601-629. �10.1051/jphys:01982004304060100�. �jpa-00209431�

Pompage

optique

doublement sélectif

en

vitesses

M.

Pinard,

L. Julien et F. Laloë

Laboratoire de

_{Spectroscopie}

Hertzienne de l’E.N.S., 24, rue _Lhomond, 75231 Paris Cedex 05, France

(Reçu le 6 novembre 1981, accepté le 21 décembre ₁₉₈₁₎

Résumé. 2014 La méthode du pompage

optique

sélectif en vitesses est étendue à la sélection de deux _composantes de la

vitesse des atomes, grâce à l’utilisation de deux faisceaux _{de pompage} de directions différentes, et à l’observation

d’effets croisés non _linéaires,

_{proportionnels}

à l’intensité de chacun des faisceaux. Un troisième faisceau,

_coplanaire

avec les deux

_{précédents,}

sert à la détection, les _{trois faisceaux étant issus du même laser. On obtient par} cette méthode toute une série de

_signaux

correspondant

aux différentes observables

_{atomiques (population,}

orientation,

alignement)

que l’on peut créer ou _détecter, suivant le choix de la

_polarisation

de chacun des faisceaux. On discute dans cet article la nature et la forme de ces

_signaux,

_{ainsi que les} conditions

_{géométriques}

dans

_lesquelles

ils ne sont

pas

élargis

par l’effet

Doppler.

On décrit enfin une

_expérience

réalisée avec des atomes de néon métastables où un

certain nombre de ces

_signaux

ont été observés. Abstract 2014 The

velocity

selective

_{optical pumping (V.S.O.P.)}

method is _generalized to the selection of two

compo-nents of the atomic _{velocities. Two pump beams with different directions} are used and the

_signal

obtained is due to crossed non-linear effects,

proportional

to both beam intensities. A third

_coplanar

beam is used for _detection, all three beams

_originating

from the same laser.

_Theory

_predicts

that a series of different

_signals

can be obtained

_by

this method,

corresponding

to various atomic observables

_(population,

orientation,

alignment)

which are

_pumped

or _detected,

_depending

on the beam

_{polarizations.}

We discuss the

_shape

of the various

signals

as well as _the

geome-trical conditions

_leading

to

_Doppler-free

curves.

_{Finally experiments}

with metastable neon atoms are described ;

their results agree with the theory.

Classification

Physics

Abstracts 32.80B - 42.65

Introduction. - La mise

au

_point

de lasers mono-modes a ouvert la voie a de nouvelles m6thodes

spec-troscopiques

utilisant la s6lectivit6 en vitesse de

1’excitation

_produite

_{par de telles} sources. La

_plus

connue de ces m6thodes est celle de

_{l’absorption}

satur6e,

qui

fait intervenir des effets de saturation d’une transition

_optique,

et

_qui

a donne lieu a de nombreuses

_{applications [1].}

Dans le cas ou les deux niveaux de la transition

_optique

6tudi6e ont des dur6es

de vie tres diff6rentes et

_possedent

une structure

(Zeeman

par

exemple

on _peut utiliser la m6thode du pompage

optique

selectif en vitesses

_[2]

dans

_laquelle

les effets de saturation

optique

sont

_{n6gligeables.}

Rappelons

le

_principe

et les

_{caract6ristiques}

de

cette derniere

methods,

qui

permet

de

creer,

dans un niveau fondamental ou metastable

_donne,

une obser-vable

_d6termin6e,

corr6l6e aux variables externes

des atomes. On considere un

_systeme

atomique

à deux niveaux e et _g de dur6es de vie tres differentes : le niveau _g est fondamental ou

metastable,

tandis que le niveau e a une duree de vie

d’origine

radiative

beaucoup plus

courte _1’e =

F -’.

Le niveau _g, comme 6ventuellement le niveau e,

comprend plusieurs

sous-niveaux Zeeman. Les atomes, en

_phase

_gazeuse, sont

pomp6s

optiquement

par un faisceau lumineux issu d’un laser

_monomode,

dont la

_{frequence DL/2 n}

est voisine de la

_{frequence 00/2 n}

de la transition

atomique

e H _{g. Le} faisceau de pompage est 6tendu de

_facon

a ce _que, sous son

_effet,

le

_{systeme atomique}

6volue en «

regime

de pompage »

_{[3], [4], [5].}

Il faut _pour cela _que les coh6rences

_optiques

_{cr66es par 1’excitation}

entre les niveaux e et _g restent a tout instant

n6gli-geables.

Le

_signal

obtenu dans ces conditions n’est alors du

_qu’aux

observables cr66es par pompage

optique

dans le seul niveau _g.

Plaçons-nous

par

exemple

dans le cas ou le faisceau de pompage,

polarise

circulairement,

cree dans le niveau _g une orientation

₍

_{Jz > (diff6rence}

de popu-lations entre sous-niveaux

_{Zeeman) ;}

celle-ci est

_dirig6e

le

_long

de la direction Oz de

_propagation

du faisceau. Si la

_largeur

en

_frequence

de l’excitation est

_beaucoup

plus petite

que la

largeur

du

profil Doppler

de la

transition

_atomique

utilis6e,

seuls sont orient6s par le pompage les atomes

_ayant

sur 1’axe Oz une

com-posante

de vitesse

_qui

v6rifie,

a r

_pres,

la condition :

ou k est le module du vecteur d’onde de la lumiere incidente. _{Le pompage} introduit donc dans le niveau _g

une forte correlation entre les variables internes

atomiques

(ici

(

J,- >)

et les variables externes

_(v,,).

La mesure du dichroisme circulaire de la vapeur

permet

d’obtenir un

signal proportionnel

a

l’orienta-tion des atomes

_[6].

Suivant le schema bien connu

en

absorption

_satur6e,

on

_peut

utiliser _pour la detection un faisceau sonde

_polarise

_{circulairement,}

issu du

meme laser

monomode,

et se

_propageant

dans la

direction

_oppos6e

a celle du faisceau de pompage. 11 d6tecte l’orientation des atomes de vitesse

longitu-dinale -

_{(QL -}

_Qo)lk.

A

resonance,

le faisceau de pompage et le faisceau sonde

_{interagissent}

avec les memes atomes de vitesse

longitudinale Vz

0,

et l’on obtient un

_signal

d’orien-tation. Hors resonance _par contre

_{(I QL -}

_{g2O 1 >}

_r),

les deux faisceaux

_{interagissent}

avec des atomes de vitesses

_{longitudinales}

_differentes,

et le

_signal

d’orien-tation est nul.

_Quand

on balaie la

frequence

du

laser,

le

_signal

d’orientation est donc une raie 6troite centree sur la

frequence atomique,

et

_{correspondant}

aux

atomes de vitesse

_{longitudinale quasi}

nulle.

Dans le raisonnement

_precedent,

nous avons

impli-citement

_n6glig6

l’influence des

_collisions,

ou

_suppose

qu’elles

detruisent

_{totalement ( lz).}

En

_presence

de collisions non totalement

d6polarisantes

_pour le niveau _g, le

_signal

d’orientation

_comporte

_égale-"

ment une

_composante

_large

_(sa

_largeur

_peut

etre

comparable

a la

_{largeur Doppler)}

li6e aux atomes

qui

ont ete

_pomp6s

alors

_qu’ils

avaient la vitesse

longitudinale vZ

mais

_qui,

_{apres collision,}

sont d6tect6s alors

_qu’ils

ont la vitesse

_{longitudinale -}

_vz. L’etude du

_profil

du

_signal

_obtenu,

_lorsqu’on

balaie la fr6-quence du

laser,

permet

d’obtenir des

_{renseignements}

sur les collisions subies _par les atomes dans la cellule. On

_peut

ainsi remonter a differents

_parametres

caract6ristiques

de ces collisions : sections efficaces de collision

_{[7], parametres}

de conservation de l’obser-vable etudiee lors de la

_collision,

_noyau

_integral

de collision

_[8,

9, 10,

11,

12],

etc...

Cependant,

les

_experiences

d6crites ci-dessus ne

permettent

de s6lectionner que l’une des

composantes

de la vitesse des atomes, celle

qui

est

_port6e

_par 1’axe Oz de

_propagation

commun aux deux faisceaux. Tous les effets _que l’on

_peut

etudier _par cette

_m6thode,

en

particulier

ceux lies aux

_collisions,

sont

_moyenn6s

sur les deux autres _{composantes vx} et _vy.

Le but de cet article est de montrer

_qu’il

est

_possible

de

_g6n6raliser

_{la m6thode du pompage}

_optique

selectif

en vitesses de

faqon

a s6lectionner

davantage

de

composantes

de la vitesse des atomes. En

_particulier,

l’utilisation d’un effet de _pompage croise entre deux faisceaux de pompage non colineaires

_permet

de

s6lectionner deux

_composantes

de cette vitesse. Nous avons mis en evidence

_{expérimentalement}

un tel

effet,

et calcule les

_{signaux qu’on}

_peut

attendre dans une telle

experience.

1.

_Principe

de la mktho(le. -1.1 DOUBLE SELECTION EN VITESSES. -

Consid6rons une

_experience

ou l’on utilise deux faisceaux de _pompage

_PI

et

_P2

et un faisceau de detection

D,

tous trois issus du meme

Fig.

1. - Schema dans

1’espace

des vitesses associe aux

atomes; pour un ecart a resonance _donne, a chacun des faisceaux de pompage P1 1 et P2 est associee une bande hachurée _{(perpendiculaire} a ce _faisceau) determinant les vitesses des atomes

_qui

sont en interaction resonnante avec

lui; Jp, intersection de ces deux bandes, est le. domaine

correspondant

aux atomes simultanement en interaction

avec les deux faisceaux de pompage. De _m8me, le faisceau de detection _{D, coplanaire} avec

_P1

et

_{P2, interagit}

de façon resonnante avec les atomes dont la vitesse tombe dans la bande hachuree _dD. La

_figure

la _represente le cas ou la

frequence

du laser n’est pas exactement centree sur la

reso-nance

_{atomique :}

les domaines _dp et _{dD ne} se recouvrent

donc pas. La

figure

lb _represente le cas ou la

_frequence

du laser est

_parfaitement

centr6e sur celle-ci : un recouvrement

important

des domaines intervient.

[Figure

1 _shows, in

_velocity

_{space, the}

_regions

correspond-ing

to atoms _interacting with

_pumping

beams

_P1

₁ and _P2

(hatched

bands

_{perpendicular}

to

_P1

₁ and

_P2),

or with both

beams

_(doubly

hatched area

_{dp). Similarly,}

the detection

beam D selects atoms with _velocity

_falling

inside a band

AD

perpendicular

to D. In

_figure

la, it is assumed that the laser is off-resonance, so that _Ap and _Jo do not

_overlap.

In figure 1 b, it is assumed that the laser _frequency is centred exactly at the atomic resonance _frequency, so that all three

bands intersect around the

_origin

and a

_{Doppler-free signal}

laser monomode

_balayable.

Dans la cellule contenant les atomes, les trois faisceaux sont

_coplanaires

mais non colincaires. La selection en vitesses

_qui

r6sulte de cette

_géométrie

est schématisée sur la

_figure

_1,

qui

repr6sente

l’espace

des vitesses associ6 aux atomes.

Les atomes en resonance avec le faisceau

_{P, (resp.}

_P2)

ont la

_{projection vl}

_{(resp. V2)}

de leur vitesse le

_long

de

P, (resp. P2) qui

v6rifie la relation :

L’extr6mit6 du vecteur vitesse de ces atomes est donc situ6e dans une

_bande,

hachur6e sur la

figure

1,

per-pendiculaire

a

_{P1 (resp. P2).}

Les atomes en resonance à la fois avec les deux faisceaux _{de pompage} ont

1’extr6-mit6 de leur vecteur vitesse situ6e dans un

_petit

domaine

_Ap

doublement

_hachur6,

intersection des deux bandes associées a

_P1

et

_P2.

De la meme

_facon,

les

atomes en resonance avec le faisceau de detection D

ont la

_projection

de leur vitesse sur Oz

_qui

v6rifl*e une condition

analogue

a

_(1).

L’extr6mit6 de leur vecteur

vitesse se trouve donc situ6e dans la bande hachur6e

AD perpendiculaire

a D

_{représentée}

sur la

figure

1. Hors de la resonance exacte, c’est-a-dire

lorsque

I DL -

00 1 >> F et

dans la

_geometrie

consideree sur la

_figure,

les zones

_Jp

et

_{d p}

_{correspondant}

aux atomes

soit« doublement

_pomp6s

» soit d6tect6s n’ont pas de

recouvrement, comme

_repr6sent6

sur la

_figure

1 a,

et

aucun atome n’est en interaction r6sonnante avec tous

les faisceaux. A resonance

_cependant,

et comme

repre-sente sur la

figure

1 b,

un tel recouvrement se

_produit

et le

_petit

domaine

_triplement

hachur6 situ6 au centre

de la

_figure

definit un ensemble d’atomes

_{interagissant}

simultan6ment avec les trois faisceaux. On s6lectionne ainsi les atomes de vitesse

_quasi

nulle dans le

_plan

des faisceaux

_{(la composante vy}

de la

vitesse,

perpendi-culaire a ce

_plan,

ne

_joue

aucun

_role).

1.2 POMPAGE OPTIQUE A DEUX FAISCEAUX. - Pour

obtenir cette double selection sur la vitesse des atomes,

il est n6cessaire d’observer un «efTet de pompage croise » entre les deux faisceaux

_P1

et

_P2,

c’est-a-dire par

exemple

un effet en

₁₁

x

₁₂

ou

₁₁

et

₁₂

sont leurs intensit6s

_{respectives (effet}

de « saturation crois6e

»).

Differents effets de ce

_type

sont

_{envisageables.}

On

_peut

par

exemple

imaginer

de

g6n6raliser

le

principe

de

1’absorption

saturée a _{deux faisceaux de pompage : le}

premier

faisceau cree un « trou de

_{population »}

dans le niveau du bas de la transition

_atomique

utilis6e

(niveau g)

tandis _que le deuxieme faisceau modifie ce

« trou de

_population

». Mais des effets

_{plus specifiques}

au _pompage

optique

sont

_{également possibles}

et ce

sont ceux-la _que nous nous _proposons d’etudier dans

cet article.

_Chaque

faisceau est

_suppose

suffisamment

peu intense pour ne cr6er

_qu’une

saturation

_optique

negligeable,

mais sa monochromaticite entraine des effets de selectivity en vitesses _par le _pompage

_optique.

Le

_premier

faisceau modifie les

_populations

des differents sous-niveaux Zeeman du niveau _g. Son effet

peut

etre decrit en terme d’observables creees dans le

niveau _{g :}

_population

_(1),

_orientation,

ou

alignement.

L’effet de saturation crois6e est alors la modification

par le deuxieme faisceau de pompage des observables cr66es par le

premier.

1. 3 EXEMPLE SIMPLE. -

Plaqons-nous

dans un cas

simple

de

_faqon

a

_presenter

un effet

_possible

de

pom-page

optique

croise a deux faisceaux

[14].

La

polarisa-tion des faisceaux

_P1

et

_P2

est choisie

circulaire,

tandis _que le faisceau D mesure le dichroisme circu-laire de la vapeur contenue dans la cellule. Le

_signal

obtenu est donc

_{proportionnel}

a 1’orientation du niveau

_6tudi6,

selon 1’axe

Oz,

colin6aire a D.

11 est bien connu _que

_1’action,

sur un niveau

_donne,

d’un faisceau lumineux

_{polarise circulairement,}

est

double

[3].

Les

_populations

des sous-niveaux Zeeman

sont modifiées _{diff6remment par le} processus

d’absorp-tion et il en resulte une

_{orientation ( J )o dirigée}

selon la direction du faisceau de _pompage. D’autre

_part,

les sous-niveaux Zeeman sont

_deplaces

_{differemment,}

et ces

_deplacements

_peuvent

etre décrits comme 1’effet d’un

_{champ magnetique}

fictif

_{B f}

sur le niveau

[13].

Comme

J

_{>0’ Bf}

est

_dirig6

le

_long

de la direction du faisceau lumineux et

_change

de sens

quand

la

polari-sation de celui-ci passe de Q+ a a-.

Dans ces

conditions,

on voit

_qu’un

effet de «

pom-page croise »

_{peut.r6sulter}

de

_1’action,

sur l’orientation

(

J >0

cr66e _par un

_premier

faisceau,

du

_champ

magn6-tique

Bf

associ6 a un deuxieme faisceau. La

figure

2

repr6sente

cette situation : le faisceau

_P2

cree

l’orienta-tion

J

_)o

dont l’évolution est modifi6e par l’action du

_{champ Bf}

du au faisceau

_Pi.

On _{suppose que} les

atomes sont soumis a un

_{champ magn6tique Bo,}

dirig6

le

_long

de

_Oz,

et on admet dans un

_premier

temps

que le

champ magn6tique

total vu _par les

atomes est suffisamment

_grand

_{pour que} leur orienta-tion ait le

_temps

de

_pr6cesser

un

grand

nombre de fois

autour de lui

_pendant

la duree de vie de l’orientation. Dans ce cas, la

composante

stationnaire de l’orienta-tion

_{perpendiculaire}

au

champ

magn6tique

est nulle. Un atome en resonance avec le faisceau

_P2

seul voit son

_{orientation (}

_{J >}

_pr6cesser

autour de

_Bo,

et la valeur stationnaire de l’orientation

₍

_{J_, >}

detectee est

_simplement

obtenue en

_projetant

_{J >0}

sur l’axe Oz

commun au

_{champ magn6tique}

et a la detection. Par

contre, pour les atomes en resonance a la fois avec

_P1

et

_{P2, l’orientation}

_{J )}

_pr6cesse

autour du

_champ

magn6tique

total

_Bo

+

_Bf

resultant du

_champ

appli-que

et du

_champ

fictif du a

_P1.

L’orientation detectee

J,, , >

s’obtient donc en

projetant (

J

)o

d’abord sur la direction du

_{champ magn6tique}

total,

puis

sur Oz.

(1)

Des modifications de

_population

_peuvent se

_produire

si le niveau g se

_decompose,

non seulement en sous-niveaux Zeeman, mais aussi en

_plusieurs

niveaux de structure fine

ou

_{hyperfine (pompage hyperfin}

du sodium _{par exemple),}

ou encore si le niveau g est un niveau metastable _(trou de

population

introduit par le pompage dans le cas ou le niveau

Fig.

2. -

Exemple simple

d’effet de pompage croise :

l’orientation (

J

₎₀

cr66e par

P2

precesse autour du

_champ

total

_Bo

+ _Bf, ou

_Bf

est le

_champ

_magnetique

fictif associe

au faisceau

_{P, ;}

le faisceau D d6tecte l’orientation le

_long

de Oz _(voir le texte _pour une

_{description d6taill6e).}

[Precession

of the

_{orientation (}

J ₎₀ created _by

_P2

around the sum of a real field _Bo and an effective field _B

_created

_by

Pl,

The detection beam D

_provides

a

_signal

which is

pro-portional

to the

_projection

on Oz of the

stationary

value of

the atomic _{orientation (} J

_).]

La valeur de

₍

_{J,, . >}

est

_simple

a

_calculer,

et l’on obtient

un terme croise a 1’ordre le

_plus

bas en

_{1, 2}

propor-tionnel a :

Jo

et

_Bf

sont des fonctions de la vitesse v des _atomes,

respectivement proportionnelles

a

_{I 2}

et

_{Ii ;}

_0,

et

₀₂

sont les

_angles

_que font

_P,

et

_P2

avec

_Oz;

_wo est la

frequence

de Larmor du niveau g dans le

champ

magn6tique Bo.

Dans le cas

g6n6ral

ou le

_champ

total est

_quelconque,

on ne

_peut

_{plus négliger}

la

_composante

transversale de l’orientation.

Alors,

un raisonnement

_g6om6trique

simple

que nous ne

_{d6velopperons}

_pas ici

_(un

calcul

plus g6n6ral

est donne dans le

_§

_suivant)

montre _que

le meme terme croise est

_{proportionnel}

a :

y est le taux de relaxation de 1’orientation dans le niveau _g.

Le

_signal

d’orientation total d6tect6 par le faisceau

sonde,

en se limitant au terme en

_{1, I2,}

s’obtient en

sommant cette

_{expression, ponderee}

_par la fonction de

detection,

sur toutes les vitesses

_possibles

v des _atomes,

et en incluant 1’effet inverse ou 1’orientation est cr66e par

Pi

et le

_champ

_magnetique

fictif est du a

_P2.

L’etude détaillée des

_{caracteristiques}

du

_signal

obtenu

_(dependance

en

frequence

du

_laser,

en

_champ

magnetique,

en

_{angles 0,}

et

_02),

est faite dans la

_partie

2 dans le cas

_general,

c’est-a-dire _pour des

_{polarisations}

quelconques

des faisceaux de pompage et de detection.

2. Calcul

_general

des effets de _pompage

_optique

a deux faisceaux. - 2.1 HYPOTHESES DE CALCUL

ET NOTATIONS. - On se

propose ici d’6tudier 1’evolution d’un

_{systeme atomique}

a deux niveaux g et e, de

moments

_cinetiques

_Jg

et

_Je,

sous Faction de deux ondes incidentes de vecteurs d’onde

_k1

et

_k2,

issues du meme laser dont la

_{frequence DJ21f,}

est

_proche

de la fr6-quence

Qo/2

n de la transition

optique qui

relie _g et e. Le niveau e a une duree de vie _Te =

F -’

beaucoup

plus

courte _{que celle du niveau g.} Soit

_Teg

l’inverse de la duree de vie _Teg de la coherence

_optique

associ6e à la transition g H e. En 1’absence de collisions

d6pha-santes, on a :

On suppose que la

largeur spectrale

du laser est

petite

devant

_reg.

On

_peut

_donc,

dans le referentiel du

laboratoire,

d6crire les ondes incidentes comme des ondes

_{planes classiques}

de

_{polarisations respectives}

ell et _el2 et

_{d’amplitudes}

2

₈₁

et 2

_{82 :}

Un atome de vitesse v donn6e dans le r6f6rentiel du

laboratoire

_voit,

dans son

_referentiel,

deux ondes de

frequences Qi

et

₀₂

décalées par effet

Doppler.

Le

_probleme

6tudi6 se ramene

donc,

_{pour des} atomes

de vitesse v

_donn6e,

a celui du calcul de 1’evolution du

systeme atomique interagissant

avec deux ondes de

frequences

diff6rentes.

Nous nous int6ressons ici a des conditions ou le

systeme

atomique,

sous 1’effet de l’interaction avec les

champs électromagnétiques,

6volue en «

_regime

de pompage ». Dans le cas de 1’excitation _par un laser

monomode,

le

_temps

de correlation de cette interaction est

_{long (il}

est

_6gal

a

_zeg),

et l’évolution du

_systeme

est

en

_g6n6ral

du

_{type o}

_equations

de Bloch ».

_Cependant,

on sait

_{[5], [15] qu’on}

obtient en fait un «

_regime

de pompage » avec ce

_type

de source a la limite des inten-sit6s faibles ou :

ou

_Ðeg

est de l’ordre de

grandeur

d’un element de matrice d’une

_composante

due 9 entre un sous-niveau de _g et un sous-niveau de e

₍₉

est le moment

_dipolaire

electrique

de

_1’atome)

et 6

_{1’amplitude}

du

_champ

6lectrique

de l’onde. La condition

_{(3) exprime}

_que le

temps

caract6ristique

d’6volution des observables

atomiques

cr66es par Ie pompage est

_{beaucoup plus}

grand

que Leg’ Nous supposerons que

_reg

n’est pas

beaucoup plus grand

que r : il est donc coherent avec

(3)

de

_negliger

les effets d’6mission stimulée que

pourraient

induire les faisceaux.

Le

_{systeme atomique}

evolue

_6galement

sous l’action d’autres processus :

relaxation,

effet de

_champs

a diff6rentes causes : _processus

radiatifs,

_temps

de transit fini des atomes dans les faisceaux et relaxation sur les

_parois,

collisions entre atomes... Le taux de relaxation y dans ce niveau v6rifie la condition :

Dans ce cas, meme si la condition

(3)

est

_verifiee,

les faisceaux de

_pompage

_peuvent avoir des effets

impor-tants sur les

_populations

des diff6rents sous-niveaux Zeeman du niveau metastable

_(fi

_g.

Le

_systeme

_atomique

est soumis a un

_champ

magn6-tique stamagn6-tique applique Bo, dirig6

selon Oz.

L’ampli-tude

_Bo

de celui-ci est faible de sorte _que les 6carts Zeeman _mo

_{(resp. mi)}

entre les sous-niveaux de _g

(resp. e)

sont

_petits

devant la

_largeur

de la transition :

Par contre 1’ecart Zeeman _mo dans le niveau metastable

peut

etre

_comparable

au taux de relaxation dans ce

niveau :

2.2

EQUATIONS

D’EVOLUTION DE L’OPTRATEUR DEN-sITE. - 2 . 2 .1

Rappel :

pompage

optique

à

_{un faisceau.}

- On

_{appelle J l’opérateur}

densite du

_systeme

ato-mique

et _Qg

_(resp.

_ce)

sa restriction au _sous-espace

associ6 au niveau _g

_{(resp. e).}

Pg

et

_Pe

sont les

_projecteurs

sur les niveaux _g et e.

11 est bien connu

_{[3], [4] qu’en regime}

de pompage, la vitesse de variation de

_{l’op6rateur}

densite des atomes est la somme de trois termes :

Le deuxieme et le troisieme terme rendent

_compte

respectivement

de 1’emission

_spontan6e

et de l’évolu-tion propre du

systeme

atomique

sous 1’action de

diverses causes autres _que 1’interaction avec le

rayon-nement

_(relaxation

_par

collisions,

champ

magn6tique

applique, etc...).

Le

_premier

terme decrit

1’effet,

sur le

systeme atomique,

de 1’interaction avec les ondes lumineuses incidentes.

Pour une seule onde

_plane

incidente

quasi-mono-chromatique,

de

_frequence

0 et de

_polarisation

_ei, le

premier

terme s’ecrit :

(2)

A

_partir

de maintenant, on conviendra

_d’appeler

« niveau metastable » le niveau g, car ceci

_correspond

aux

experiences

que nous avons effectivement _{realisees ;}

cepen-dant, g peut etre un niveau fondamental ou un niveau

radia-tif, tant que rinverse de sa duree de vie est

_petit

devant

_reg.

et

L’op6rateur

de

_{pompage A}

et

_{l’op6rateur}

d’excitation E associ6s a l’onde incidente sont definis _{par :}

D,

_qui

repr6sente

la

_{partie angulaire}

de

_rop6rateur

dipolaire électrique,

est un

_opérateur

tensoriel d’ordre

1 choisi de

_{façon que Je}

₁₁

D

₁₁

_{Jg >}

=

1 ;

r’ _et AE’

sont deux nombres reels

_{proportionnels}

a l’intensité

du faisceau

incident,

et

_ayant

chacun la dimension de 1’inverse d’un _temps; ils valent

_{respectivement :}

On a

_pose

avec

Les fonctions r’ et ð.E’ varient

_{respectivement}

avec la

frequence

de l’onde incidente comme une

_absorption

et une

_dispersion

de

_demi-largeur

reg-Dans

_{1’equation (6 . a),}

le

_premier

terme decrit le

depart

des atomes de 1’etat metastable lors du pro-cessus

d’absorption

_(terme

de

d6population).

Le

coefficient festa un facteur

_pres

_6gal

a

_1ITP

ou

_Tp

est le

_temps

_{de pompage associ6} au faisceau incident.

L’op6rateur A

n’est pas scalaire et _{le processus}

d’absorption

est en

_g6n6ral

_{anisotrope (pour}

une

pola-risation donn6e e.,, les sous-niveaux Zeeman de g

peuvent

etre

_{d6peupl6s différemment).}

Le deuxieme terme se

_pr6sente

comme un terme d’evolution propre sous 1’action d’un hamiltonien effectif AE’A

_[13].

Celui-ci a _{pour effet de}

_d6placer

les sous-niveaux. Zeeman de g d’une

quantite qui depend

de la

polari-sation ea et du sous-niveau Zeeman.

Les termes d’6mission

_spontanee

dans

_{d a/dt}

s’ecrivent :

L’op6rateur

1:),

qui

decrit le transfert par emission

spontanée

du niveau e vers le niveau _g est un

operateur

scalaire défini dans

_[3],

_[16].

11 est

_{proportionnel}

a la

probabilité

par unite de temps

r

r de retomb6e par

emission

_spontan6e

du niveau e vers le niveau _g. Celle-ci n’est pas forc6ment

6gale

a

r,

car le niveau e

peut

6ventuellement se d6sexciter vers d’autres niveaux

(soit

radiativement,

soit _par

_collisions).

2. 2. 2 Cas de deux

_faisceaux.

- Les

_{equations (6)}

sont obtenues en

_supposant

_que les coh6rences

optiques

ont une m6moire faible

[condition (3)],

ce

_qui

conduit a des

_equations

en «

regime

de _{pompage »}

qui

peuvent

etre r6solues a tous les ordres en I

_(intensit6

du faisceau de

_{pompage). Lorsqu’on}

a deux faisceaux de pompage, tous deux suffisamment faibles pour satisfaire a cette meme

_{condition, l’id6e}

la

_plus

natu-relle est d’6crire directement que la variation

tempo-relle de a est

_simplement

la somme des variations

impos6es

par chacun des faisceaux. Cette

g6n6ralisa-tion des

_{equations (6)}

n’est en fait _pas

6vidente,

car la

superposition

des deux ondes incidentes

_pourrait

donner lieu a des effets coh6rents d’interference

qui

sont

_ignores

dans le

_point

de vue

_precedent.

C’est

pourquoi

nous avons

repris

la resolution des

_equations

g6n6rales

d’evolution de

_{l’op6rateur}

densit6 a dans le cas de deux faisceaux d’intensites faibles

_(cf.

appen-dice

_1).

On montre

_cependant

_que les termes d’inter-f6rence en

_{81 E2}

qui

_apparaissent

dans Ce et _Qg

calcul6s

au

_deuxieme

ordre en

_{champ électrique}

_apportent

au

signal

croise en

_{Il 12}

une contribution

_negligeable.

Les seuls termes croises

_importants

sont ceux

qui

proviennent

des termes en

6f

et

_6§

_{dans a,,}

et _J

calcul6s au deuxieme ordre en

_{champ 6lectrique :}

ils r6sultent en

_quelque

sorte d’un

_{premier cycle}

de pompage

optique

par un

_faisceau,

suivi d’un deuxieme

cycle

de pompage par 1’autre.

II est donc

_possible,

_{pour calculer 1’evolution des}

op6rateurs

densites ce et Qg, de faire un calcul en

_partant

des relations suivantes ou les effets des deux faisceaux

ont

_simplement

ete

_{ajout6s :}

idern

₍₁

-+

₂₎

_repr6sente

_{la m8me}

_expression

_{que celle}

qui precede

ofi’l’on a

_remplac6

_partout

l’indice 1 par 2

(A1

1 e t E

sont

les

_{operateurs de}

_{pompage et d’excitation} associes au faisceau

_{1 ;}

la

_dependance

avec la

_frequence

f2l (resp. Q2)

est entierement contenue dans

_F’

et

_AE’

₍

(resp.

F’

et

_AE2)).

2. 3 ETUDE DU REGIME STATIONNAIRE. - 2 . 3 .1 Cas

simple.

- Pour calculer les termes

de pompage crois6s

qui

nous

_interessent,

_qui

sont du 2e ordre en

_intensite,

il faut resoudre les

_equations

₍₈₎

_par iteration

_jusqu’a

l’ordre 2. Nous allons dans un

_premier

_temps

mener ce

calcul dans un cas

_simple,

de

_faqon

a mettre en evidence les effets de pompage croises obtenus et a

_d6gager

leur

signification physique :

on

_ignore

_pour le moment les effets dus a la retomb6e par emission

spontanee,

et on

suppose que le

champ magn6tique applique

est nul. Le niveau 6volue donc

_uniquement

sous 1’action des deux faisceaux incidents et de la relaxation. L’evolution

globale

de

_(n)a9,

_opérateur

densité _ag calculé à l’ordre n en

_intensite,

est alors

_regie

_par

_{1’equation :}

Cette

_equation

se resout

_simplement

_par

_iteration,

chaque

ordre

_{correspondant}

a un nombre donne de

cycles

de pompage

optique.

A l’ordre le

_plus

bas en

intensite

_(ordre

_0),

_{l’opérateur}

densite de _g est

_{isotrope :}

En

_reportant

cette valeur dans

_(9),

les commutateurs

s’annulent,

et la solution de

_1’equation

s’6crit :

A l’ordre 1 en

intensit6,

_Qg est une combinaison lin6aire

des

_op6rateurs

de _pompage

_{A 1}

_et

_A2

ou n’interviennent que les «termes de

_depopulation

». Les effets de

pompage croise entre les deux faisceaux ne

_peuvent

apparaitre qu’a

l’ordre suivant en

_reportant

₍₁₀₎

dans

(9).

On

obtient alors une

_equation

ou

_apparaissent

des

termes crois6s en

₁₁

_I2,

en

_plus

des termes en

I2 1

et

_{I2 2}

Nous nous int6resserons ici

_uniquement

aux termes

crois6s. Ils sont de deux sortes :

soit

soit

Ces termes croises

_peuvent

etre

_{appeles respectivement}

termes de «

_{depopulation-depopulation »}

et termes de

«

_{dépopulation-déplacement}

». Dans ce cas

_particulier,

la structure des termes de « _pompage croise » est donc

particulierement simple.

2.3.2 Cas

_général.

_{Décomposition}

sur une base

d’opérateurs

tensoriels irréductibles. - Si l’on tient

compte

de 1’6mission

_spontan6e,

et

_qu’on

se

_place

en

reprendre

les

_equations

₍₈₎

en

_ajoutant

dans chacune

un terme _{d’evolution propre :}

Supposons

que

Bo

est

_dirig6

selon Oz. Les hamilto-niens

_qui

lui sont associ6s s’6crivent :

Pg

J,

Pg

(resp. Pe J. Pe)

est l’orientation le

_long

de Oz dans le niveau g

(resp.

e).

Nous _{supposerons par la suite que}

_{1’amplitude}

du

champ magnetique

applique Bo

est telle _que

_{a)’ 0}

soit tres

petit

devant r. Nous

_n6gligerons

donc 1’action du

champ magn6tique

sur les observables du niveau

excite ;

cette

_{approximation}

revient a faire

_He

= 0.

Pour r6soudre les

_equations

d’evolution

_globales

de

Qg

et (Je obtenues

alors,

il est commode de

d6composer

chaque op6rateur

densite sur une base

_{d’op6rateurs}

tensoriels irr6ductibles. Les

_op6rateurs

_{densites 6e}

et _Qg s’ecrivent :

T(k)(j )

est

_{l’op6rateur}

tensoriel irreductible norm6

agissant

a l’int6rieur du’niveau de moment

_cinétique

J

_[17].

Son sens

_physique

_pour diff6rentes valeurs de k

et q est bien connu

_[18],

_{[19] ;}

en

particulier :

T(o) >

est

_{proportionnel}

a la

_population

totale du niveau

_{considere ;}

(

T(’) >

est

_{proportionnel}

a l’orientation

_{J,, >}

dans ce

_niveau,

le

_long

de 1’axe

_Oz;

T(’) >

et (

T(’) >

sont, a un facteur

_pres,

les

compo-santes

_{longitudinales}

et transversales de

_{1’alignement}

dans le niveau.

L’int6r8t de cette

_{decomposition}

est _que 1’effet du

champ magn6tique

dans le niveau g

s’exprime

de

faqon

simple.

En effet comme :

Le terme _{d’evolution propre s’6crit :}

Les

_op6rateurs

de _pompage et _{d’excitation peuvent}

etre

_decomposes

de la meme

_faqon,

en _{posant :}

L’ opérateur E 1,2

est d6fini par:

Les

_composantes

_{A 1, (k)}

et

_{E1,2 9}

_dépendent

des

pola-risations _e).1 et _{e ).2’} Pour une excitation lumineuse

statique,

elles sont

_{ind6pendantes}

du

_temps,

et en

regime

stationnaire les

_composantes

_o-

et

_a(k)

6gale-ment.

On _peut

_d6composer

le vecteur

_polarisation

_ei

sur une base standard define par

[17]:

Les coefficients _ap sont les _composantes standards de ea. Le referentiel

Oxyz

est orthonorm6 et fixe par

rapport

au

_{laboratoire ; l’axe}

Oz du

_champ

_magn6tique

a ete choisi comme axe de

_{quantification.}

La

_{partie angulaire}

D de

_{l’op6rateur dipolaire}

elec-trique

peut

etre

_d6compos6e

de

_faqon

_{analogue :}

Avec ces

notations,

les

opérateurs

de pompage et d’excitation s’6crivent

[18] :

On

_peut

montrer _que leurs

_composantes

sont de la forme :

avec

et

Les coefficients

_{9 q (k) (e,,)}

sont

_identiques

a ceux definis dans

_[20].

Leurs valeurs sont donn6es dans le tableau I dans le cas d’un faisceau de

_polarisation

circulaire ou

lin6aire. On a

_suppose

_que le faisceau se _propage dans le

_plan

orient6 zOx dans une direction

_qui

fait

l’angle

Tableau I.

2.3.3 Resolution des

_équations

_par itération.

_Effets

de _pompage croisé. - A

l’ordre 0 en

intensité,

on a

toujours :

A l’ordre 1 en

_intensité,

1’6volution de

_{(1) O’e}

est donc

_regie

_par

_{1’6quation :}

La solution de cette

_equation

s’6crit :

La matrice densité

_{(1) a.}

du niveau métastable 6volue sous 1’effet de _quatre causes

_(interaction

avec les faisceaux

incidents,

retomb6e par emission

spontanée

(3),

relaxation et effet du

_champ

_magn6tique

_{statique) :}

Les deux

_premiers

termes se

_regroupent

simplement,

et

_{l’int6gration}

de

_1’equation

d’6volution de

_(1)Ug

donne :

on a pose :

Dans cette

_expression

_qui

decrit l’effet d’un

_cycle

de _{pompage par} le faisceau

_1,

le

_premier

terme

_correspond

à la

_{depopulation,}

et le deuxieme a la retomb6e.

A l’ordre 2 en

_intensite,

_1’equation

d’6volution de

(2) Ce

s’6crit en utilisant

1’expression (21).

Nous nous

contenterons ici d’6crire les termes de _pompage crois6s li6s a l’interaction du

_{systeme atomique}

d’abord avec

un faisceau

_{( 1 er}

_cycle

de _pompage

_{optique) puis}

avec 1’autre

_(2e

_{cycle) :}

L’operateur

(E2

T(ki)(j g))

peut

etre

_decompose

sur la base des

_T(’)(Je);

ses

_composantes

dans cette base sont donnees _par A. Omont

_[18]

et valent :

Les

_composantes

de

_{l’op6rateur}

(2)

(Je sont donc de la forme :

d(1) a

dc2y

Comme ceux de

T ’

les termes

_apparaissant

dans

_T

sont de

_quatre

_{sortes ;} si on se limite aux termes

croisés,

ceux

_qui

décrivent l’interaction avec Ie faisceau lumineux contiennent soit des anticommutateurs

_(termes

en

_T

_{i T2)}

soit des commutateurs

_(termes

en

_{r ( AE§}

et

_T2

_{AE [ ) :}

Ces deux termes sont la

_{generalisation}

des

_{expressions (11)}

et

₍₁₂₎

en

_presence

d’un

_{champ magn6tique.}

A

_partir

des

₍₂

_kl

_I +

₁₎₍₂

_k2

+

₁₎

_op6rateurs

_{71,’,, 1 (J,) Tl,’ 2) (J,),}

on

_peut

construire un ensemble

_{d’op6rateurs}

tensoriels irr6ductibles

_{V(’)(Jg) Q}

d’ordre K

_{(I k, -}

_{k2 I}

_K

_k1

+

_k2)

[21] :

L’élément de matrice r6duit de

VK)

s’obtient en utilisant la formule

_(7.1.1)

de

_{[22] :}

Avec ces

_notations,

les

_produits

_{T (k )}

_{T (k2)}

_peuvent s’6crire :

ou

_{T)(J g)}

est

_{l’opérateur}

tensoriel irréductible norme d’ordre K

_agissant

dans le niveau _g. On deduit

_simplement,

des relations de

_symétrie

des coefficients de

_{Clebsch-Gordan,}

_{que :}

Pour etre non

nuls,

les termes

_apparaissant

dans

₍₂₄₎

doivent donc verifier :

- soit la

condition k1

+ k2

+ K

_pair;

il

_s’agit

alors de termes en

_{r, T2 ;}

- soit la condition

Remarquons

que le coefficient

9 j

qui figure

dans

1’expression

(23)

est nul si

k1 + k2

+ K est

_{impair :}

ceci

est

naturel,

car les

propri6t6s

de

sym6trie

de

l’op,6rateur

_(Je cree _par un _processus

_{d’absorption}

sont les memes que celles de

l’op6rateur

_J resultant de la

depopulation

par ce _processus.

A ces termes, il faut

ajouter

ceux

_{qui proviennent}

de la retomb6e _par emission

_{spontan6e ;}

Au

_total,

les termes sources dans 1’evolution de

(2) O"g

sont de deux sortes :

- des termes de _«

pompage-pompage » en

_F’

_T2

ou l’on a

regroupe

les effets dus a la

depopulation

et a la

_{retombee ;}

ils

_{correspondent à k1}

+

_k2

+ K

_{pair ;}

- des

termes de ((

_{pompage-deplacement »}

en

_{F’ AE’}

et

_F’

_AE’

ou la retombee lors du 2e

_cycle

de pom-page n’intervient pas; ils

correspondent à k1

+

_k2

+ K

impair.

En

_regroupant

les differents

_{termes, l’équation}

d’6volution de

_{(2) O"g}

se resout

_{simplement ;}

dans la

compo-sante

_(2)a(K)

de

_{(2) asur}

la base des

_{T(K) (ig),}

apparaissent

deux sortes de termes croises :

- des termes de _«

pompage-pompage »

_{(k, + k2}

+ K

_{pair) :}

- des

termes de «

_{pompage-déplacement » (k1 + k2}

_{+ K}

_{impair) :}

Dans ces

_expressions,

le coefficient entre crochets est un facteur

_numerique

fonction de

_{k,, k2 et K.}

Nous le

noterons :

avec

Dans les coefficients

_#(K)

se trouve rassemblée toute la

_{d6pendance angulaire}

_{d’un effet de pompage} croise donne

_{(c’est-a-dire}

associ6 a des valeurs de

_{ki, k2,}

K et

_Q

_donn6es).

2.3.4

_Dépendance

_angulaire

des

_effets

de _pompage croisg. - Le

signal

detecte est

_{proportionnel}

a une

quantit6

que nous _{noterons s,} combinaison lin6aire de

diff6rents

_ag’>,

_qui,

dans le cas d’un faisceau sonde se

propageant

parallelement

a

_Oz,

se r6duit a des expres-sions

_{simples :}

pour le

signal d’absorption independant

de la

polari-sation

_(en

_supposant

_{nul l’alignement longitudinal);}

pour le

signal

de dichroisme

circulaire ;

pour le

signal

de dichroisme lin6aire selon les axes Ox

et Oy ;

pour le

signal

de dichroisme lin6aire selon les bissec-trices de Ox et

_Oy.

II sera commode de poser de

fagon

analogue

fl(O), fl(l), 0

N22)

+

_#(2)

ou

(!’22 - #+b>li,

selon la

nature du

_signal

de detection.

Supposons

que

chaque

faisceau de pompage prenne alternativement deux 6tats de

_polarisation

ez et

_e#l

(en

pratique

nous nous limiterons a deux situations :

polarisation

alternativement 0’+ et 0’- ou seuls les

(P q (1)

varient et

_polarisation

alternativement lin6aire dans le

_plan

zOx

_(*-+)

et hn6aire

_parallele

a

_Oy

₍₁₎

ou seuls les

_{q (2)}

_varient).

Calculons alors la

_quantite

qui

est, a un facteur

pres,

la

partie

de s

qui change

de

signe

a la fois

_quand

on

_change

_ea, en

_e.il

et _e;’2 en

_{e A2}

(partie

« doublement

impaire

»).

11 est int6ressant de consid6rer cette

_quantite

car c’est a elle

_qu’on

a acces

expérimentalement quand

on module simultan6ment les

_{polarisations}

des deux _{faisceaux de pompage}

_(aux

frequences respectives

(ol

etW2)

et

_qu’on

s6lectionne dans le

_signal

d6tect6 la

_partie

modul6e a la fois a ₍₉₁

et _W2’ Celle-ci n’est sensible

qu’aux

termes crois6s

presents

dans

_(2)a(K)

associ6s a des valeurs d6termin6es de

_kl

1 et

k2. A

un facteur

num6rique pres, qui

n’est

fonction _que de

_{ki, k2 et}

_{K, la}

_partie

doublement modu-16e du

_signal

detecte est alors

_6gale

a :

Les tableaux II et III donnent les valeurs de la fonction

_F(()

_{pour diff6rents choix des}

_{polarisations}

_el

et

_eu

_{de chacun des faisceaux de pompage} et des

quantites (

associ6es a la detection. Dans le tableau II

sont rassembl6s les effets de « _{pompage-pompage »} et

dans le tableau III les effets de «

pompage-d6place-ment », Dans les deux cas, on s’est limite a l’interaction du

_{systeme atomique}

avec le faisceau 1

_puis

avec le faisceau 2 : il convient donc

_partout

_d’ajouter

1’effet

sym6trique

ou le

_{systeme atomique interagit}

d’abord

avec le faisceau 2

_puis

avec le faisceau 1

(cf.

_equations

(26)

et

_(27»).

On

_peut

commenter de la

_faqon

suivante deux effets

pr6vus

dans le tableau III :

9 Le terme de la

_premiere

_ligne

decrit 1’effet

_simple

presente

dans la

_partie

1.3.

_Chaque

faisceau de pompage,

polarise

alternativement a+ et 6-,

produit,

par un effet de pompage, une orientation

_qui

est modifi6e _par 1’effet de

_deplacement

du a 1’autre faisceau : cet effet de

_deplacement,

dans le cas d’une

polarisation

circulaire,

peut

etre decrit comme celui d’un

_{champ magn6tique}

fictif

_{Bf [13].}

11 en r6sulte une orientation

_{longitudinale}

selon Oz

simultan6-ment modul6e aux deux

_frequences

de modulation des

_{polarisations}

de _pompage.

Cet effet croise est a

_priori

la somme de trois termes contenant les commutateurs

_{[T 11, T 11 ], [T(1)9 T!)l]}

et

_{[T(l), Tb1)].}

Le dernier 6tant

_nul,

seules les

compo-santes transversales des orientations cr66es _par chacun

des faisceaux

_apportent

une contribution. C’est

pourquoi

la

_d6pendance

en

_angles

de 1’effet est en sin

₀₁

sin

_02,

et la

_d6pendance

en

_{champ magn6tique}

proportionnelle

a :

On retrouve donc les r6sultats obtenus

g6om6trique-ment

_{au §}

1. 3.

On _{peut remarquer que} cet effet croise est une fonction

_impaire

de

_Bo.

Ceci 6tait

_previsible

_par des

Tableau II. - Termes croisés en

T

[ r] (pompage

par 1

puis

par

2)

[Crossed

rí rí

terms

_{(pumping by}

1 then

_by

_2).]

Tableau III. - Termes croisés en

T

( AE] (pompage

par 1

puis

déplacement

par

2).

considerations de

_{sym6trie :}

en

_effet,

dans une

sym6trie

par

rapport

au

_plan

zOx des trois

_faisceaux,

les

pola-risations _{circulaires des deux faisceaux de pompage} sont

_chang6es

de

_signe,

et le terme source de 1’effet croise est

_{inchange ;}

_{par contre,} dans cette

_sym6trie,

l’orientation

_{résultante J,. > change}

de

_signe

ainsi que le

champ magn6tique

Bo.

o Le terme de la derni6re

_ligne

est

_6galement

un effet d’orientation

_{longitudinale,}

résultant cette fois-ci du

_couplage

entre les

_alignements

_{cr66s par chacun} des deux faisceaux. Un tel

effet,

pr6vu th6oriquement

par Lombardi

[23],

a

_d6jA

6t6 mis en evidence dans des situations

_{expérimentales}

ou la vitesse des atomes

n’est pas sélectionnée

_[23,

_24].

Dans le cas de

_{polarisations}

_linéaires,

soit

per-pendiculaires

au

_plan

_zOx,

soit contenues dans ce

plan,

le

_plan

des faisceaux est, comme _{pour 1’effet}

croise

_precedent,

un

_plan

de

_sym6trie

_{pour 1’excitation.}

L’orientation r6sultante

_{J,, , >}

est donc

_également

une fonction

impaire

de

_Bo.

Remarque.

- Les termes associ6s à

PÕO)

dans le

tableau II d6crivent le « trou de

_population

» cr66

par un effet de pompage croise entre les deux faisceaux

polarises

tous deux circulairement ou tous deux lin6airement. En facteur de ces _termes, se trouve le

coefficient

_Cp(k,

_k,

_0).

Le calcul montre _que ce dernier a la forme

simple

suivante :

Dans le cas ou

_F,

=

r,

c’est-a-dire ou les deux niveaux

e et _g forment un

_systeme

_ferm6,

cette

_expression

est

nulle : il ne

_peut

_y avoir d’effet de pompage croise sur la

_population

du niveau g

(il

s’agit

ici de la somme des

_populations

des sous-niveaux Zeeman du niveau g,

qu’on

a

_suppose

sans structure

_hyperfine).

2.4 CALCUL DU SIGNAL DETECTE. - 2.4.1

Gene-ralités. - Nous avons calculé dans les

paragraphes

precedents

les termes _{de pompage crois6s a} 1’ordre

le

_plus

bas dans la matrice densite _(7g d’un atome de vitesse v donn6e. La valeur moyenne d’une

obser-vable A dans ce niveau est donc une fonction de v

qui

s’6crit :

Elle est _{detectee par} un faisceau sonde de

_polarisation

donn6e,

de

_{frequence angulaire S2L}

_(les

deux faisceaux pompe et le faisceau sonde sont issus du meme laser

monomode),

et se

propageant

dans la direction

Oz,

dont on mesure

1’absorption

_par le _gaz

atomique

6tudi6. L’intensit6 du faisceau sonde est

_suppos6e

suffisamment faible pour

qu’on puisse negliger

tout

phenomene

de pompage ou de relaxation associe a ce faisceau. D’autre

_part,

dans notre cas ou le niveau _g

a une dur6e de vie

_{1/y beaucoup plus longue}

_{que celle} de la coherence

_optique

_’reg’ on

_peut

montrer

_(lorsque

la

_{largeur Doppler}

est

_{beaucoup plus grande}

que

la

_largeur

naturelle de la

_transition)

_{que les} termes

resultant de l’interaction coh6rente de 1’atome avec les faisceaux de pompage et le faisceau sonde sont

négligeab1es apres

integration

sur les vitesses des

atomes

_(cf.

_{appendice 1).}

Le

_signal

s’obtient donc en

_{calculant la r6ponse}

au faisceau sonde du

_systeme

atomique

pr6alablement

prepare

par les deux faisceaux de pompage.

Les observables d6tect6es _par le faisceau sonde

dependent

de la

_polarisation

de celui-ci. En modulant

de

_faqon

_appropriée

cette

_{polarisation,}

on

_peut

s6lec-tionner une observable determinee A. Dans le cas d’un

_signal

_{d’absorption}

_(4),

la contribution des atomes de vitesse v s’6crit

[6] :

kd

est le vecteur d’onde du faisceau de detection :

k =

OLIC

est le module du _vecteur d’onde du faisceau

laser.

La

_d6pendance

en vitesse

_{de ae > (v) provient}

de celle de

_Qg(v).

On s’int6resse ici

_uniquement

au

_signal

resultant des effets de pompage crois6s a l’ordre le

plus

bas en intensite. Le calcul du

_signal

fait donc intervenir les

_{expressions (26)}

et

₍₂₇₎

_qui

donnent les termes crois6s dans

_{(2) cr(’).}

Dans ces

_expressions

la

_d6pendance

en vitesse

_provient

_uniquement

des

profits F’ r§

et

_fi

_AE’

ou :

et

k,

et

_k2

sont les vecteurs d’onde

_respectifs

des deux faisceaux de pompage; si

01

et

₀₂

sont les

_angles

alg6-briques

que

font,

dans le

plan

zOx

_orient6,

ces deux

vecteurs avec

_Oz,

on a :

Le

_{signal d’absorption}

associe aux atomes de vitesse v

donnee

_depend

donc des

_{composantes v.,}

et _vz de cette

(’)

Pour

_simplifier,

nous nous limiterons dans cet article à

1’6tude des

_{signaux d’absorption. Cependant,}

si l’on

_dispose

un

_analyseur

de

_polarisation

sur le faisceau de detection

apr6s la travers6e du gaz

atomique,

il est

_possible

de mesurer

la

_{dispersion optique}

de ce _{gaz; le calcul des}

_signaux

eor-respondants

serait tres semblable a celui que nous