1.1 Détermination du rapport charge/masse de l électron (méthode de Thomson et Kaufmann)

(1)

Corrig´ es du chapitre 1

Introduction

1.1 D´ etermination du rapport charge/masse de l’´ elec- tron (m´ ethode de Thomson et Kaufmann)

La méthode de Thomson (1897) consiste à étudier la déviation d’électrons de vitesse initiale~v0

(parallèle à Oy) par un champ électriqueE~ et un champ magnétiqueB, tous deux constants,~ homogènes, parallèles à Ox et agissant dans la région située entre O et un écran où sont matérialisés les électrons (voir fig. 1.1). L’impact du faisceau électronique est détecté sur un

écran placé à la distancedde l’origine O. On noteeetmla charge et la masse électroniques etω=^|ê_m^|^B la quantité appelée pulsation synchrotron.

Figure 1.1: Schéma de l’expérience de Thomson - Kaufmann 1. Principe de l’expérience

(a) Dessiner l’allure typique d’une trajectoire ´electronique.

(b) Trouver l’´equation param´etrique (en fonction du temps) de la trajectoire d’un

électron, en prenant comme origine des temps l’instant où l’électron passe en O.

A quelle condition obtient-on un impact sur l’´ecran ?`

(2)

(c) Soitt1 l’instant d’impact sur l’écran. Dans l’hypothèse oùωt1 ≪ ^π2, déterminer l’équation cartésienne de la courbe sur laquelle se trouvent les impacts lorsque la vitesse initiale varie en module. Que se passe-t-il si on inverse le champ électrique ? (d) Comment cette expérience permet-elle de mesurer le rapport ^charge_masse pour l’élec-

tron ?

2. Corrections relativistes

Peu de temps après les premières expériences de Thomson, Kaufmann (après le premier article d’Einstein sur la Relativité Restreinte) s’aper¸cut que la loi parabolique obtenue en 1c n’était pas vérifiée près de l’origine O, c’est-à-dire là où l’on trouve les particules dont la vitesse initiale est très grande.

(a) Identifier l’origine de cette anomalie.

(b) À l’aide de la conservation de l’énergie, déterminer la variation dans le temps de la coordonnéexà l’aide de la fonctionT(t)définie comme :

T(t) =^d´^ef γmc² , γ= (1−β²)⁻^1/2 , β =v

c . (1.1)

(c) En utilisant la relation fondamentale de la dynamique (relativiste), trouver le complexeZ(t) =^d´^ef y(t) +iz(t)en fonction deT(t)

(d) Trouver la fonction T(t) (poser τ = _c^T_|_e⁽⁰⁾_|_E). En déduire l’expression des trois coordonnées d’espace en fonction de la variableφ(τ)définie parsinhφ(t) ^d´=êf _τ^t (e) Montrer que si v0 → c, les impacts se rapprochent de l’origine O’ suivant une

courbe qui n’est plus tangente `a O’z^′. Retrouver la pente verticale mise en

´evidence dans la partie 1 par un passage `a la limite convenable.

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1. Principe de l’exp´erience

(a) On prend les deux champs orient´es dans le sens des x positifs. La force

électrique est dirigée le long de Ox, vers les cotes négatives (la charge eest négative). Par ailleurs, au moment où l’électron arrive en O, la force de Lorentz est dirigée vers les z positifs. Au total, la trajectoire est une hélice d’axe parallèle à Oz, située dans l’octantx <0,y >0,z >0.

(b) La force agissant sur l’électron estF~ =e(E~+~v×B) ; la projection sur les trois~ axes de l’équation fondamentale de la Dynamique donne (m est la masse de l’électron)m¨x=eE,mÿ =ez B,˙ m¨z =−ey B. Avec les conditions initiales˙ précisées, on en déduit d’abord x = êE_2mt². En posant Z(t) = y(t) + iz(t), on voit que Z(t) satisfait ¨Z = iωZ˙, avec ω = ^|e|B_m , d’où ˙Z(t) = ˙Z(0) eîωt, où ˙Z(0) =v0. Une deuxième intégration en temps donney(t) = ^v_ω⁰sinωtet z(t) =^v_ω⁰(1−cosωt) .

(3)

1.1. Détermination du rapport charge/masse de l’électron (méthode de Thomson et Kaufmann) 3

Figure 1.2: Lignes où se distribuent les impacts quand la vitesse initiale varie (à gauche, champ électrique dirigé comme Ox, à droite, champ dirigé en sens contraire de Ox). Plus la vitesse initiale est grande, plus l’impact est proche de O’.

Pour avoir un impact sur l’écran, il faut que ^v_ω⁰ soit supérieur àd, soit que les

´electrons aient une vitesse assez grande, ou que le champ magn´etique ne soit pas trop intense.

(c) Si t1 est l’instant d’impact sur l’écran, alorsy(t1) =d; dans l’hypothèse où ωt1≪ ^π2, on en déduitt1≃v^d0, d’oùx(t1)≃2mvêEd²²₀ etz(t1)≃^ωd2v0².

L’équation cartésienne de la courbe sur laquelle se trouvent les impacts lorsque la vitesse initiale varie en module s’obtient en éliminantv0 entrexet z, soit z² = ^(Bd)_2E² _mê x : c’est donc une demi-parabole, dont l’axe est parallèle à O’x^′, orientée vers lesx^′ négatifs siE >0, (champ électrique dirigé vers les x positifs), vers les x^′ positifs si E < 0 (champ électrique dirigé vers les x négatifs, voir fig. 1.2).

(d) Cette exp´erience permet de trouver le rapport ^charge_masse en mesurant les coordonn´ees de quelques points de la demi-parabole

2. Corrections relativistes

(a) L’anomalie observée apparaˆıt près de l’origine ; elle concerne les électrons de grande vitesse et résulte du traitement non-relativiste

(b) L’énergie totale est γmc²+eU ≡ T −eEx, à une constante additive près ; comme c’est une constante du mouvement,T(t)−eEx(t) =T(0), d’où :

x(t) = 1

eE[T(t)− T(0)]

(c) La relation fondamentale de la dynamique relativiste donne par projection

˙

py=eBvz et ˙pz=−eBvy, d’o`u : md

dt γ(t) ˙Z

=−ieEBZ(t)˙ ⇐⇒ mγ(t) ˙Z=−ieBZ˙(t) +mγ(0)v0 . CommeT(t) =mγc², on en déduit l’équation différentielle :

T(t) ˙Z+ ieBc²Z(t) =mc²γ(0)v0≡ T(0)v0 , dont la solution est :

Z(t) =T(0)v0

ieBc²

h1−exp ieBc²

Z t

0

dt^′ T(t^′)

i

(4)

(d) On avx= _eE¹ T˙(t) et _dt^d(mγvx) =eE, d’o`u : d

dt(c⁻²T 1

eET˙) =eE ⇐⇒ TT˙ = (eEc)²t ,

et T(t) = T(0) coshφ(t) dans les notations introduites de l’énoncé. On en déduit :

Z(t) = T(0)v0

ieBc² h

1−exp

−ieBc² τ

T(0)φ(t)i , et les coordonn´ees de l’´electron :

x(t) =−cτ[coshφ(t)−1]

y(t) =v0τ E

Bc sinBc E φ(t)

, z(t) =v0τ E

Bc 1−cosBc E φ(t) (e) Le point d’impact sur l’´ecran se produit ent=t1, soitd=v0τ_Bc^E sin[^Bc_Eφ(t1)].

Si v0 →c, T(0)→+∞, donc sin[^Bc_Eφ(t1)]→0, ainsi que φ(t1)≡φ1. Dans cette limite :

z(t1)≃v0τBc

2Eφ²₁ , x(t1)≃ −cτ 2 φ²₁ .

Figure 1.3: Cas relativiste : lignes où se distribuent les impacts quand la vitesse initiale varie (à gauche, champ électrique dirigé comme Ox, à droite, champ dirigé en sens contraire de Ox). Plus la vitesse initiale est grande, plus l’impact est proche de O’.

Les points d’impact se répartissent donc sur la droitez =−^BcEx, inclinée de l’angleψpar rapport à O’x^′, tel que tanψ=^Bc_E (voir fig. 1.3). Dans la limite

“cinfinie” on retrouve la tangente verticale de la demi-parabole obtenue dans la premi`ere partie.

1.2 D´ etermination du nombre d’Avogadro N ` a l’aide du mouvement Brownien

Le mouvement Brownien est le mouvement irrégulier de particules (diamètre de l’ordre du micron) en suspension dans un fluide. Il résulte des impacts nombreux incessants des petites

(5)

1.2. D´etermination du nombre d’AvogadroN `a l’aide du mouvement Brownien 5

particules du fluide sur la “grosse” particule et est le révélateur de l’agitation thermique et des fluctuations thermodynamiques . Dans ce qui suit, on étudie une description dynamique simple du mouvement et, la rapprochant de mesures effectuées par Jean Perrin, on donne le principe de l’une des toutes premières déterminations précises deN.

1. Mod`ele dynamique pour le mouvement Brownien.

La grosse particule, de massem, est soumise à deux forces¹ de la part du fluide : une force de viscosité, proportionnelle à la vitesse, la constante de proportionnalité étant notéeC, et une forceF(t) de moyenne nulle fluctuant très rapidement à l’échelle du mouvement de la particule. Le fluide est supposé être à l’équilibre thermique à la températureT.

(a) Notantx(t)la position de la grosse particule², ´ecrire l’´equation fondamentale de la dynamique. On poseτ =^m_C ; quel est le sens physique deτ ?

(b) Après multiplication membre à membre par x, prendre la moyenne d’ensemble de l’équation et la simplifier en laissant tomber³ les corrélations entre F(t) et x(t). Après transformation du terme contenant la dérivée seconde, en déduire une équation différentielle pourhxx˙i. À quoi est égal⁴ le termehx˙²i?

(c) Intégrer l’équation différentielle sachant que la quantité hxx˙i est nulle àt = 0 (quel est le sens physique d’une telle condition ?). En déduire hx²i(t) sachant qu’àt= 0, hx²iest nul (sens physique ?) et montrer que, pourt≫τ, la forme asymptotique dehx²i(t)est de la formehx²i(t)≃2Dt, oùD est une constante appeléeconstante de diffusion.

(d) Dans le cas de particules sphériques de rayon a = 0,4µm, et pour des faibles vitesses, on peut écrire C= 6πηa (loi de Stokes) oùη est la viscosité du fluide (η= 10⁻³kg/m s(eau à27ôC)) ; la densité de la particule est comparable à celle de l’eau, et on prendra ρ= 1 g/cm³. En déduire l’expression de hx²ià retenir dans le cas d’une observation macroscopique (échelle de temps expérimentale : une seconde).

2. Relevé d’une expérience de Jean Perrin (1905) [1] La table p. 6 donne les nombres d’occurrences de la quantitéδ(t)définie comme :

δ(t) =^d´^ef x(t)−x(t−2) , o`ut est en secondes etδen µm.

(a) Utiliser ce relevé d’expérience pour calculerhx²iet en déduire la valeur numérique de la constanteD introduite en 1c.

1Ces deux forces ont la même origine physique et résultent des chocs des particules légères du fluide.

Elles ne sont donc pas sans relation l’une avec l’autre, elles sont mˆeme indissociables.

2On se place `a une dimension d’espace pour simplifier.

3On peut montrer que cette approximation ne modifie pas le régime à grand temps, qui est le seul résultat utile ici.

4Penser au théorème d’équipartition de l’énergie.

(6)

(b) Par comparaison avec la partie 1, obtenir la valeur num´erique du nombre d’Avo- gadroN (la constante des gaz parfaits est R= 8,31 J/K).

δ(t) nombre d’occurrences

<−5,5 0

entre−5,5et−4,5 1 entre−4,5et−3,5 2 entre−3,5et−2,5 15 entre−2,5et−1,5 32 entre−1,5et−0,5 95 entre−0,5et+0,5 111 entre+0,5et+1,5 87 entre+1,5et+2,5 47

entre+2,5et+3,5 8

entre+3,5et+4,5 3

entre+4,5et+5,5 0

>+5,5 0

3. Mod`ele stochastique : la marche de l’ivrogne

Pour finir, il s’agit maintenant de définir un modèle simple demarche au hasardsur un réseau unidimensionnel de points régulièrement, espacés de la distancea. Une particule (ou un homme éméché) se déplace en effectuant des sauts sur ce réseau de la fa¸con suivante : tous les ∆t, la particule située au site d’abscissepa (p∈Z) saute sur l’un des deux sites premiers voisins, vers la droite avec la probabilitép, vers la gauche avec la probabilitéq= 1−p. La position de la particule est donc une variable aléatoireX pouvant prendre les valeurs discrètes na. Conventionnellement, le site de départ est celui fixant l’origine (n= 0) du réseau ; le cas échéant, on poserav=a∆t.

(a) Soit xn(t)la position atteinte par la particule au temps t =N∆t quand elle a effectu´ensauts vers la droite etN−nsauts vers la gauche (0≤n≤N). Quelle est la probabilit´ePn

d´ef

= Prob[X =xn(t)]?

(b) À l’aide desPn, écrire l’expression de l’espérance mathématique de l’aléatoireX. (c) On introduit la fonction génératriceF(λ) =^d´êf PN

n=0λⁿPn. Expliquer commentF permet de calculer simplement les moyennes des puissances⁵de la positionhX^ki. (d) Utiliser ceci pour trouver :

i. la valeur moyenne de la position à l’instantt,hXi(t). En déduire la vitesse moyenne définie commeV =^d´êf ¹_thXi(t); vérifier qu’elle s’annule sip=q= ¹₂ (marche non biaisée) ;

ii. l’écart quadratique de la position∆X² =^d´êf hX²i − hXi². Comment varie-t-il en temps ? En déduire l’expression de la constante de diffusion D. Com- menter en comparant avec les résultats de deux parties précédentes.

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5Ces quantit´es sont appel´eesmoments.

(7)

1.2. D´etermination du nombre d’AvogadroN `a l’aide du mouvement Brownien 7

1. Mod`ele dynamique pour le mouvement Brownien.

(a) L’équation fondamentale de la dynamique estm¨x=−Cx˙+F(t). En prenant une moyenne d’ensemble, on ahxï+ ¹_τhvi= _m¹hF(t)i= 0 ; ceci montre que τ ^d´=êf ^m_C est le temps de relaxation de la vitesse moyenne, puisque l’intégration donnehvi(t) =hvi(0) e⁻^t/τ.

(b) En effectuant les op´erations indiqu´ees, on trouve : hx¨xi+1

τhxx˙i= 1 mhF xi .

En négligeant les corrélations entreF(t) et x(t),hF xi → hFihxi= 0 puisque la force fluctuante a une moyenne nulle. Par ailleurs hx¨xi= _dt^dhxx˙i − hx˙²i, d’où l’équation demandée pourhxx˙i:

d

dthxx˙i+1

τhxx˙i − hx˙²i= 0

D’après le théorème d’équipartition de l’énergie, la particule étant en équilibre avec le bain, on a ¹₂mhx˙²i=¹₂kBT, d’où finalement :

d

dthxx˙i+ 1

τhxx˙i= kBT

m . (1.2)

(c) La condition initialehxx˙i(0) = 0 signifie, par exemple, que vitesse et position sont décorrélées au départ – et on peut toujours choisir l’origine de l’axe au point de départ. La solution de (1.2) avec cette condition initiale est :

hxx˙i(t) =kBT

C (1−e⁻^τ^t) .

La condition hx²i(0) = 0 signifie qu’au départ, il n’y a pas de dispersion des positions initiales des particules de l’ensemble statistique. En vertu de hxx˙i=¹₂hx²i, cette dernière quantité s’obtient par intégration :

hx²i(t) = 2kBT

C [t+τ(e⁻^t^τ −1)]≃ 2kBT

C t ∀t≫τ ceci montre que la constante de diffusion est :

D=kBT C

Noter qu’avec une force ext´erieure syst´ematique Fext, on a hvi(t) = _C¹Fext

(après un bref transitoire), ce qui permet d’identifier _C¹ avec la mobilité µ ; dès lors, la relation précédente s’écrit :

D µ =kBT

c’est la formule d’Einstein reliant constante de diffusion et mobilité, avatar le plus élémentaire du théorème de fluctuation-dissipation.

(8)

(d) Avec la loi de Stokes (particules sphériques et faibles vitesses), C = 6πηa, m = ^4π₃a³ρ, d’où τ = ^2a_9η²^ρ ≃ 4×10⁻⁸s. Sans aucun doute, l’expression approchéehx²i(t)≃2Dtest pertinente pour des expériences faites à l’échelle de la seconde.

2. Relev´e d’une exp´erience de Jean Perrin (1905)

(a) La table donn´ee dans le texte permet de calculer la moyenne statistique de l’´ecartδ² :

hδ²i= 0 (−5,5)²+ 1 (−5)²+ 2 (−4)²+. . .+ 3 (4)²+ 0 (5)²+ 0 (5,5)² 2 + 32 + 111 +. . .+ 95 + 87 + 8 , soitδ²= ⁸¹⁰₄₀₁µm²≃2,02µm². D’o`u 2D×2≃2,02µm², et :

D≃0,505×10⁻⁸cm²s⁻¹ .

(b) Par ailleursD = ^k^B_C^T = _N^RT_C, d’o`u l’expression du nombre d’Avogadro N (`a l’ambiante,T ≃293 K) :

N = RT

6πηaD ≃ 8,31×293

6π×10⁻³×0,4×10⁻⁶×0,505×10⁻¹² , soit :

N ≃6,3×10²³ 3. Mod`ele stochastique : la marche de l’ivrogne

(a) xn(t) est la position⁶ atteinte par la particule au temps t=N∆t quand elle a effectuénsauts vers la droite et N−nsauts vers la gauche (0≤n≤N), doncxn=n(+a) + (N−n)(−a) = (2n−N)a. La probabilité correspondante estPn= Cⁿ_Npⁿ(1−p)^N⁻ⁿ, d’où :

Pn

d´ef

= Prob[X = (2n−N)a] = Cⁿ_Npⁿ(1−p)^N⁻ⁿ on v´erifie sans peine que PN

n=0Pn = 1. Cette distribution est appel´ee loi binomiale.

(b) L’espérance mathématique de l’aléatoireX, notéehXi, est par définition : hXi=

N

X

n=0

Pn(2n−N)a= 2a

N

X

n=0

nPn−N a .

(c) En d´erivant F(λ), on obtient ^dF_dλ = PN

n=1nλⁿ⁻¹Pn, puis en faisant λ = 1, PN

n=1(ou 0)nPn= ^dF_dλ

λ=1. La somme au premier membre est l’une des contri- butions apparaissant danshXi. La connaissance deF(λ) permet visiblement de trouver par dérivations successives les différentes valeurs moyenneshX^ki, k∈N, appeléesmoments.

6L’origine est prise au point de d´epart.

(9)

1.3. Les exp´eriences de Kappler (1931) 9

(d) L’expression compacte de la fonction génératrice s’obtient en calculant explicitement la somme apparaissant dans la définition (on remarque que c’est le développement d’un binôme) :

F(λ) =

N

X

n=0

Cⁿ_Nλⁿpⁿ(1−p)^N−n= [λp+ (1−p)]^N ; comme il se doitF(1) = 1 (c’est la somme des probabilit´es).

i. la valeur moyenne de la position à l’instantt,hXi(t) est−N a+ 2F^′(1) ; le calcul donne hXi(t) = (p−q)N a = (p−q)_∆tât ; elle s’annule bien si p=q= ¹₂ (marche non biaisée), est positive si p > q et négative dans le cas contraire. La vitesse est doncV = (p−q)_∆tâ .

ii. la moyenne du carr´e de la positionhX²iesta²P

n(2n−N)²Pn. Un calcul sans difficulté donnehX²i=N²a²+4a²N(N−1)p(p−1). La soustraction du carré de la valeur moyenne donne l’écart quadratique :

∆X²= 4a²N pq= 4a²pq t

∆t ;

il croˆıt linéairement en temps, ce qui signifie que la taille typique du domaine visité à l’instant t augmente comme √

t, régime de croissance intermédiaire entre dusur-placeet un mouvement de typebalistiqueoù la coordonnée augmente linéairement en temps.

L’expression de la constante de diffusion s’obtient par identification avec D ^d´=^ef ^∆X_2t² soit :

D= 2a²N pq=pq2a²

∆t

En tant que fonction dep, D est maximum pour p=q = ¹₂, soit quand lehasard est le plus grand. La constante D est bien sˆur nulle pour une marche non al´eatoire (p= 1 ouq= 1).

Tous ces r´esultats sont en harmonie avec ceux obtenus dans les deux premi`eres parties. Pour en savoir plus sur les marches au hasard et les processus stochastiques, le livre de Montroll et West [2] en propose une remarquable (et lisible) initiation.

1.3 Les exp´ eriences de Kappler (1931)

Il s’agit d’une autre méthode précise de détermination du nombre d’Avogadro⁷. Kappler a mesuré les fluctuations de la position d’équilibre d’un petit miroir (surface de l’ordre de 1 mm²), suspendu dans l’air verticalement par un fil de torsion de constanteK ; la position du miroir peut être très précisément repérée par la déviation d’un rayon lumineux. On note

7Avant de faire cet exercice, il est recommand´e d’avoir fait l’exercice 1.2 p. 4, tout particuli`erement la partie 1.

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T la température de l’air,θl’écart à la position d’équilibre,I le moment d’inertie du miroir par rapport à son axe de rotation. À la force de rappel près, le miroir est dans une situation très comparable à celle d’une particule brownienne et, sous les impacts des molécules d’air, effectue des petites oscillations aléatoires autour de sa position d’équilibre.

1. Sachant que le miroir est en équilibre thermodynamique avec l’air ambiant, quelles sont les valeurs moyennes de son énergie cinétique et de son énergie potentielle ? 2. En déduire queN est donné par :

N = RT

Khθ²i (1.3)

o`uhθ²iest l’´ecart quadratique de la position du miroir.

3. La mesure donne hθ²i = 4,18×10⁻⁶rad². Trouver la valeur de N sachant que K= 9,4×10⁻¹⁶SI,R= 8,31 J/K.

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1. L’´energie m´ecanique du miroirE a pour expression : E=1

2Iθ˙²+1 2Kθ² ,

où les deux termes à droite représentent respectivement les énergies cinétique et potentielle. Tout comme un oscillateur harmonique, la “coordonnée”θet la “vitesse”

θ˙ figurent au carré dans E, d’où équipartition de l’énergie quand on prend les moyennes à la températureT :

h1

2Iθ˙²i=h1

2Kθ²i= 1 2kBT

2. Deh¹2Kθ²i= ¹₂kBT et de kB=_N^R , on déduit l’expression donnée dans l’énoncé : N = RT

Khθ²i (1.4)

hθ²i´etant l’´ecart quadratique de la position du miroir, puisque la valeur moyenne deθest nulle.

3. L’expérience est évidemment menée à l’ambiante,T ≃293 K ; on trouve : N ≃ 6,15×10²³

(11)

1.4. ´Equilibre d’une atmosph`ere isotherme 11

1.4 Equilibre d’une atmosph` ´ ere isotherme

Jean Perrin [1] a également étudié la répartition de la densité d’équilibre d’ungazdilué de grosses particules de masseM immergées dans un fluide, le tout étant contenu dans un bocal cylindrique vertical. Plus précisément, Jean Perrin a observé que la densité linéaire n des grosses particules, homogène à l’inverse d’une longueur, variait avec l’altitudez suivant la formule barométrique :

n(z) =n(0) e^−βMgz (β= 1

kBT) ; (1.5)

gest l’accélération de la pesanteur,zest l’altitude comptée positivement vers le haut,kB la constante de Boltzmann.

1. Soit P(z) la pression à l’altitude z. Montrer que la condition d’équilibre mécanique de la tranche de gaz située entre les altitudesz et z+ dz donne ^dP_dz =−^MgS n(z), S désignant la section droite du bocal cylindrique.

2. Le gaz de grosses particules étant très dilué, il obéit à une équation d’état du genre gaz parfaitP V =N kBT, oùN est le nombre de particules dans le volumeV. En déduire la formule barométrique(1.5).

3. CommentN est-il inclus dans les résultats précédents ?

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1. P(z) étant la pression à l’altitudez, la condition d’équilibremécaniquede la tranche de gaz située entre les altitudesz etz+ dz est :

−P(z+ dz)S+P(z)S−mg= 0 ,

oùmest la masse de la tranche de gaz de grosses particules situé entre les altitudes z et z+ dz ; m = M ndz, où n(z) est la densité linéaire des grosses particules.

Finalement :

dP

dz =−M g

S n(z) (1.6)

Cette équation est parfois appeléeéquation barométrique.

2. Avec l’hypothèse du gaz parfait de grosses particules, l’équation d’état pour la petite tranche située entre z et z+ dz est P Sdz =ndzkBT, d’où P = ⁿ_SkBT et par dérivationP^′ = ⁿ_S^′kBT ; le report dans (1.6) donne l’équation fermée pour la densité :

dn dz + M g

kBT n(z) = 0 , dont la solution estn(z) =n(0) e⁻^βMgz, avecβ= _k_B¹_T.

(12)

3. N est inclus dans l’argument de l’exponentielle puisquekB = _N^R. L’échelle carac- téristique de décroissance de la densité avec l’altitude est ξ = ^k_Mg^B^T = _N^RT_Mg ; la mesure deξdonneN parN =_ξMg^RT .

1.5 Mesure pr´ ecise de l’impulsion de particules par focalisation

Des électrons d’énergieE de l’ordre du keV sont émis par une source S située au point O et sont injectés dans la région z > 0 (voir fig. 1.4). La vitesse initiale ~v0 est dans le plan xOz et sa direction par rapport à l’axe Oz est caractérisée par l’angle α6= 0, en principe bien déterminé. Dans la régionz > 0 règne un champ magnétique statique et homogène, parallèle à Oz et de moduleB ; eet mdésignent la charge et la masse de l’électron⁸,c la vitesse de la lumière dans le vide.

Figure 1.4: Schéma précisant la géométrie de l’injection des particules

1. Calculer num´eriquement le modulev0 et le comparer `ac.

2. Écrire l’équation fondamentale de la dynamique projetée sur les trois axes ; en déduire les équations différentielles pour les coordonnéesx,y etz d’un électron, exprimées à l’aide de la pulsation cyclotronωc =^|e|B_m . Combien vaut ωc ?

3. Donner l’expression de z(t), puis celle de la composante de la vitesse suivant Ox, soit vx(t); en d´eduirex(t). Achever l’int´egration en donnanty(t).

4. Soit r la distance d’un ´electron `a l’axe Oz ; donner l’expression de r en fonction du temps et en tracer le graphe.

5. On dispose un détecteur D sur l’axe Oz: à quelles distancesLk de O doit-on le placer pour recueillir les électrons ? On désigne dans la suite par L1 la plus petite des Lk ; calculerL1numériquement quandα= 45ô.

6. On déplace le détecteur le long de Oz, désignant pardsa distance au point O. À l’aide d’un dessin, représenter le signal re¸cu sur le détecteur en fonction ded, sachant qued ne peut excéder60 cm. Expliquer en quoi la mesure deL1constitue une détermination de l’impulsion initialep0 des électrons.

8Les valeurs à utiliser pour les applications numériques sont données à la fin de l’exercice.

(13)

1.5. Mesure pr´ecise de l’impulsion de particules par focalisation 13

7. En réalité, le signal mesuré par D présente une largeur finie, provoquant une incertitude sur la mesure de p0. Sachant que cette largeur ne peut être expliquée ni par les inévitables inhomogénéités spatiales du champ magnétique, ni par la valeur (inconnue) dev0(qui est parfaitement définie), quelle est la cause de l’élargissement ?

8. Il s’agit maintenant de préciser comment on peut modifier l’appareil pour réduire l’erreur sur la mesure de p0 =mv0, à condition de pouvoir mettre le détecteur en-dehors de l’axe Oz ; dans la suite,ddésigne la distance entre le détecteur et le planxOy.

(a) Pour une valeur donnée de l’angleα, exprimer la distance d’un électron à l’axe Oz, soitr, en fonction de sa coordonnéez.

(b) Soit deux angles d’injection α^′ etα^′′ (α^′ < α^′′) et les deux longueursL^′₁ etL^′′₁ correspondantes ; quelle est l’inégalité entre L^′₁ et L^′′₁ ? Pour ces deux angles, représenter graphiquement la variation deren fonctionz.

(c) Soitαla valeur “nominale” de l’angle d’injection. Pourzfixé, donner l’expression de la variation δr de r lorsqueαvarie de δα autour deα; en déduire qu’il est possible de choisird afin que la variation der par rapport à α ne dépende que de termes en (δα)². Écrire l’équation fixant cette valeur particulière ded, soit dm (ne pas chercher à résoudre cette équation, mais en donner une illustration graphique).

(d) En déduire la modification à apporter au dispositif pour que la mesure dep0 soit beaucoup plus précise (l’appareil focalise les électrons dans le plandm).

Valeurs num´eriques :

e=−1,6×10⁻¹⁹C,E= 1 keV,mc²= 511 keV,B = 10⁻³T,α= 45^o.

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

1. Posant β = ^v_c⁰, l’énergie cinétique est ¹₂mβ²c² et vaut donc 10³ keV ; comme mc² ≃ 511 keV, on voit d’emblée que β ≪ 1 ; plus précisément β² ≃ 511² soit β ≃6,3×10⁻². La vitesse v0 est donc voisine de 6,3×10⁻²×3×10⁸ m/s soit environ 19 000 km/s.

2. L’équation fondamentale de la dynamique projetée sur les trois axes donne : m¨x=eBy ,˙ mÿ=−eBx ,˙ m¨z= 0 .

ωc=^1,6×10₉_×⁻₁₀¹⁹₋^×1031 ⁻³ ≃1,8×10⁸rad/s.

3. Par intégration compte tenu des conditions initiales z(0) = 0, vz(0) = v0cosα, z(t) = (v0cosα)t. Par ailleurs, on a ˙vx=−ωcvyet ˙vy = +ωcvx, d’où ¨vx=−ω_c²vx; avecvx(0) =v0sinα, ˙vx(0) =−ωcvy(0) = 0, la solution estvx(t) =v0sinαcosωct, d’oùx(t) =_ω^v⁰_csinαsinωctpuisquex(0) = 0. Enfin, compte tenu devy(t) =−ω¹cv˙x, une intégration donney(t) =_ω^v⁰

csinα(1−cosωct). La trajectoire est donc une hélice d’axe parallèle à Oz, coupant l’axe Oy au point d’abscissey0= ^v_ω⁰

csinα.

(14)

4. r²=x²+y²= (^v_ω⁰_csinα)²(2−2 cosωct), soit : r(t) = 2v0

ωc

sinα sinωct

2

C’est une sinuso¨ıde rectifi´ee (voir fig. 1.5).

Figure 1.5: Distancer(t) `a l’axe Oz.

5. Le détecteur D étant sur l’axe Oz, il faut le placer là où la trajectoire recoupe l’axe Oz, c’est-à-dire en des points correspondant à r= 0 : les distancesLk sont donc telles queLk =z(t=k^2π_ω_c), soitLk =k^2π_ω_cv0cosα; numériquement : L1≃47 cm.

6. Le signal est nul tant que d6=L1 ; la mesure de L1 permet de trouver la vitesse v0, donc ausip0≡mv0 (voir fig. 1.6).

7. Compte tenu des éléments donnés dans l’énoncé, la cause de l’élargissement du signal est l’imprécision de l’angle d’injection α, qui provoque une dispersion des trajectoires.

Figure 1.6: Représentation schématique du signal re¸cu par le détecteur en fonction de sa distancedpar rapport à la fente d’entrée.

8. On dispose le détecteur en-dehors de l’axe Oz, d désignant la distance entre le détecteur et le planxOy

(a) Pour exprimerr, distance d’un électron à l’axe Oz, en fonction de z, il suffit d’éliminer le temps entre les fonctions r(t) et z(t) obtenues ci-dessus. On

(15)

1.5. Mesure pr´ecise de l’impulsion de particules par focalisation 15

trouve ainsi :

r= 2v0

ωc

sinα

sin ωcz 2v0cosα

d´ef

= f(z) (1.7)

(b) Physiquement, il est ´evident queL^′₁> L^′′₁ siα^′< α^′′.

Figure 1.7: Variation de la distance r à l’axe Oz en fonction de z pour deux angles d’injection voisinsα^′< α^′′ (voir (1.7)). Le premier zéro est à l’abscisseπcosα.

(c) Pour réduire l’incidence de l’erreur sur l’angle sur la largeur du signal, il suffit de placer le détecteur en un endroit tel qu’une petite variationδαne produise qu’une variation d’ordre supérieur pour les points d’impact. Les variations de αprovoquent aussi une dispersion des coordonnées xet y, mais on peut envisager un détecteur de forme annulaire, perpendiculaire à Oz, de rayon

égal à la distancerintroduite plus haut, et situé à la distancedde O.

Afin qu’une petite variation δα autour de la valeur nominale α donne une variation d’ordre supérieur pour r, il faut et suffit que la dérivée de r par rapport àαs’annule pourα=α: ^∂r_∂α

α=α= 0, condition qui s’explicite en⁹ : tanX+ (tan²α)X= 0 , X ^d´=^ef πd

L1

,

oùL1=^2π_ω_cv0cosα. Cette équation fixe la valeur dedà choisir, soitdm, d’où la position du plan du détecteur. Cette équation a une infinité de solutions (comme le montre un graphique). La plus petite solution positive est un certain nombreX0compris entre ^π₂ etπ, d’où la plus petite valeur ^X_π⁰L1pourdm

(d) L’appareil focalisant les électrons dans le plandm, il faut disposer dans celui-ci un détecteur annulaire de rayon égal à rm

d´ef

= f(dm) (voir ´eq.(1.7)).

Les livres de Enge [3] et Smith [4] donnent de nombreux autres exemples d’applications de cette technique de focalisation, et constituent une bonne introduction `a la Physique nucl´eaire.

(16)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Figure 1.8: Focalisation des trajectoires pour des petites variationsδαautour d’un angle nominal d’injectionα.

1.6 Spectrographe de masse

Un four à haute température (T de l’ordre de1 000 K) contient du chlore gazeux. Après ionisation (par un dispositif non-représenté), le mélange isotopique binaire d’ions Cl⁻(charge q=−|e|, massesM1 etM2) issus du four est accéléré par une ddpU (de quelques dizaines de kV) avant d’être injecté dans la fente d’entrée S d’un spectro de masse. Le champ magné- tique est horizontal, et perpendiculaire au plan de la figure. P désigne une plaque sensible détectant l’arrivée des ions.

Figure 1.9: Sch´ema d’un spectrographe de masse.

1. Pr´eciser le sens de la ddpU et la direction du champ magn´etiqueB.~

2. Donner l’ordre de grandeur de la vitesse d’un ion avant accélération parU et montrer que l’énergie cinétique thermique correspondante peut être négligée.

3. Soitv la vitesse acquise au point S par un ion de vitesse initiale nulle. La trajectoire d’un ion dans la partie où règne le champ magnétique est un arc de cercle : rappeler pourquoi ; donner l’expression de son rayonRet le calculer numériquement.

4. Lid´esigne la distance horizontale entre S et le point d’impact d’un ion de masseMi. Comment varie qualitativementLien fonction deMi, toutes choses ´egales par ailleurs ? ExprimerLi en fonction dehetRi, et en fonction deh,Mi,q,B etU.

(17)

1.6. Spectrographe de masse 17

5. Calculer num´eriquement la distance∆Ls´eparant les deux types d’impacts.

6. Soitδv0 l’incertitude sur la vitesse initiale compte tenu de l’agitation thermique dans le four. Écrire la condition sur v, Mi,δv0 et ∆M =M1−M2 pour que les impacts de deux isotopes soient bien séparés malgré l’agitation thermique.

Valeurs num´eriques :

q=−1,6×10⁻¹⁹C, masses atomiques : Mi= 35 et37 g/mol, U = 10 kV, B = 0,1 T, h= 10 cm.

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

1. Les ions sont chargés négativement : la plaque de droite doit être à un potentiel supérieur à celui de la plaque d’entrée à gauche. Les trajectoires doivent incurvées vers le bas : le champ magnétiqueB~ doit donc être dirigé vers l’arrière du plan de figure.

Figure 1.10: À gauche : polarités de la ddp. Au milieu : orientation du champ magnétique (q <0). À droite : impacts des ions quandM1> M2.

2. L’ordre de grandeur de l’énergie d’un ion avant accélération parU est celui d’une vitesse thermique, soit ∼ ^{1 000}293 × 25 meV ; l’énergie cinétique thermique, environ 85 meV, est donc négligeable devant les quelques kV acquis grâce à la ddp.

3. La forceq~v×B~étant perpendiculaire à la vitesse, il en est de même de l’accélération :

~v a donc un module constant et le mouvement est circulaire uniforme. La relation M^v_R² = qvB donne le rayon R du cercle : R = _|^Mv_q_|_B, d’autant plus petit que la charge est grande et le champ intense.

4. Une masse élevée correspond à une grande inertie, donc à une faible incurvation de la trajectoire : plusM est grand, plus le rayon de courbure est grand, et c’est bien ce que dit la formule précédenteR ∝M. Li est donc d’autant plus grand que la masseMi est élevée.

Le th´eor`eme de Pythagore donneLi=p

R²_i −(Ri−h)²=p

h(2Ri−h).

Par ailleurs ¹₂Miv²_i =|q|U, d’o`uvi= q

2^|q|U_M_i et Ri= _B¹q

2MiU

|q| . 5. Num´eriquement :

(18)

R1= _0,1¹ q

2×37×10⁻³×10⁴

6,02×10²³×1,6×10−19 ≃87,7 cm, R2=q

M2

M1 ≃85,2 cm.

L1≃40,7 cm,L2≃40,1 cm et ∆L≃0,6 cm.

6. L est une fonction de R, qui varie si la vitesse initiale varie, et qui dépend de la masse des ions. Comparée à la vitesse acquise sous l’effet de la ddp, δv0 est très petit, et vaut environq

kBT

M ; par ailleurs, la différence relative de masse ^∆M_M est elle-même assez petite (M1 ∼ M2 ∼ M). S’agissant par ailleurs de trouver des ordres de grandeur, il est licite de raisonner par différentiation.

Partant de L = p

h(2Ri−h), on trouve δL = _L^hδR. La variation δv0 donne une variation δ1L ≃ L^h

Mδv0

|q|B ; ∆M donne la variation δ2L ≃ ^hL

∆Mv0

|q|B . On veut δ1L≪δ2L, soitM δv0≪v0∆M, ou encore√

M kBT ≪ q2|q|U

M ∆M, soit : kBT ≪ |q|U∆M

M 2

,

condition qui est toujours tr`es largement satisfaite dans les conditions de l’exp´e- rience puisquekBT ∼85 meV≪|q|U ∼ quelques kV et ^∆M_M ²

≃3×10⁻³.

1.7 Le spectrom` etre de Bainbridge

La figure 1.11 donne le schéma d’un spectrographe de masse dû à Bainbridge. Une source

émet des ions positifs (masseM, chargeq) dont le module de la vitesse initiale,v, est réparti sur un grand intervalle. Ces ions sont injectés à travers la fente S1 dans une enceinte à vide haute et étroite, où existent d’une part un champ électriqueE~ créé par deux plaques P et P’

parallèles distantes dedet portées à des potentiels différents (V =VP−VP^′ >0), et d’autre part un champ magnétique uniforme de module B, perpendiculaire au plan de la figure et pointant vers le lecteur. La vitesse initiale~vest parallèle à l’axe S1S2.

Figure 1.11: Sch´ema du spectro de masse de Bainbridge.

(19)

1.7. Le spectrom`etre de Bainbridge 19

1. À l’aide d’un dessin, donner les directions des deux forces (électrique et magnétique) agissant sur un ion situé dans l’enceinte.

2. Quel est le module de la force r´esultante ?

3. B et v étant fixés, montrer que l’on peut ajuster la ddp V de sorte qu’un ion ayant cette vitesse ne subisse aucune déviation dans l’enceinte.

4. Quelle est la vitessev0des ions issus de la fente S2 ? A.N. : V = 100 V,d= 2 cm, B= 1 T.

5. Dans la région située au-dessous du plan de trace xx^′ existe un champ magnétique uniforme B~^′ dirigé comme indiqué. Dessiner la trajectoire d’un ion. Quelle est l’expression du rayon de celle-ci, en fonction deq, M,v0 etB^′ ?

A. N. : trouver la valeur approximative de R sachant que les ions constituent un m´elange isotopique de³⁷Cl⁺ et de ³⁵Cl⁺ et queB^′ = 10⁻³T.

6. Dessiner deux trajectoires pour deux ions de mˆeme charge et de masses M1 et M2

(M1 < M2).

7. Soit∆l= 1 mm la résolution linéaire de la plaque sensible (voir fig. 1.11). Quelle est la condition sur B^′ assurant que l’on peut séparer les impacts de deux ions dont la différence des masses est∆M ? Peut-on séparer les isotopes du chlore avec la valeur deB^′ choisie en 5 ?

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

1. Les deux forces sont horizontales, la force magnétique est dirigée vers la gauche, la force électrique vers la droite.

2. Le module de la force résultante est|q(E−vB)|=q|^Vd −vB|. 3. Un ion de vitessev n’est pas dévié dans l’enceinte siV =qdB.

4. v0= _dB^V = ₂_×¹⁰⁰₁₀−2 m/s = 5 km/s.

5. Dans la r´egion situ´ee au-dessous du plan de trace xx^′, la trajectoire d’un ion est un demi-cercle de rayonR= ^Mv_qB⁰_′ = _1,6×10^36×10₋19×6×10⁻³^×5×10²³×10³ ⁻³ ≃1,9 m.

6. Les deux trajectoires pour deux ions de mˆeme charge et de masses M1 et M2

(M1 < M2) sont trac´ees sur la figure 1.12

7. On a 2∆R= 2^∆Mv_qB_′⁰. Pour que cette distance soit supérieure à ∆l, il faut que B^′ soit plus petit que 2^∆Mv_qδl⁰ ^d´=êf B_max^′ ≃ 0,25 T ; avec la valeur indiquée en 5., la séparation des deux types d’impact est très nette.

(20)

Figure 1.12: Trajectoires circulaires de deux ions apr`es s´election de vitesse.

Remarque

Le chlore est très électronégatif et acquiert la structure de l’argon en fixant un

électron et devenant un ion Cl⁻. On peut néanmoins facilement fabriquer et ma- nipuler des ions Cl⁺ en s’assurant de l’absence d’électrons baladeurs.

1.8 La force d’Abraham - Lorentz

La force de freinage F~rad écrite en (I-1.30) est conceptuellement pathologique, comme le montre l’analyse qui suit. En reprenant les notations de la section 1.5, Tome I, l’équation d’Abraham - Lorentz pour une particule de chargeeet de massemsoumise à une force¹⁰F~ est (~v≡~r˙) :

m~v˙ =mτ~v¨+F~ ; (1.8)

où le tempsτ ≃6,4×10⁻²⁴sest défini en (I-1.22). Comme déjà mentionné, une première bizarrerie de cette équation est l’apparition d’une dérivéetroisième de la position de la particule (définie par le rayon-vecteur~r), censée représenter l’effet du freinage par rayonnement.

De surcroˆıt, la perturbation du mouvement provoquée par cet effet est fondamentalement singulière, au sens où ellemodifie l’ordre de l’équation différentielledu mouvement, lequel passe de 2 à 3 dès que la charge est non-nulle. En fait, c’est bien parce que lepetit paramètre est en facteur de la plus haute dérivée que la perturbation est ditesingulière, par définition¹¹. Ces avertissements étant donnés, il s’agit maintenant d’examiner les conséquences de l’équation(1.8) telle qu’elle est, précisément pour bien mettre en évidence les très graves difficultés de fond qu’elle soulève.

1. En utilisant la méthode connue pour intégrer une équation différentielle telle que(1.8),

écrire l’expression générale de l’accélération~v(t), supposant connue l’accélération à un˙ certain instantt0,~v(t˙ 0).

10Dans le mod`ele de Thomson, cette force n’est autre que−mω²₀~r, voir (I-1.31).

11Le même phénomène se produit pour l’équation aux valeurs propres de Schrödinger, où c’est cette fois la constante de Planck qui est en facteur de la plus haute dérivée. Il existe un traitement perturbatif spécifique pour ce genre de question, appelé méthode BKW (ou WKB) dans le contexte quantique (voir chapitre 9).

(21)

1.8. La force d’Abraham - Lorentz 21

2. En examinant le cas particulier F~ = 0, montrer que cette solution est aberrante physiquement.

3. Revenant à la solution générale obtenue en 1 dans le cas F~ 6= 0, montrer que l’on peut formellement éliminer les solutions divergentes par un choix convenable de t0. Commenter ce choix – qui, sur le plan technique, exprime une condition aux limites plutôt qu’une condition initiale.

4. En déduire l’expression régularisée de la solution obtenue en 1. Revenant un cran en arrière et en analysant le noyau intégral figurant dans cette expression, vérifier que l’équation du mouvement redonne bien, dans la limite de charge nulle, l’équation ordinaire de la dynamique.

5. Afin d’exhiber clairement la violation annoncée d’un grand principe physique, effectuer un changement de variable d’intégration très simple pour obtenir :

~v(t) =˙ 1 m

Z +∞ 0

e^−sF(t~ +τ s) ds . (1.9) Commenter cette dernière équation et montrer qu’un principe physique y est violé.

6. Afin de mettre en évidence cette violation de fa¸con encore plus spectaculaire, traiter le cas d’une particule de vitesse nulle ent=−∞et soumise à une force échelon :

F~(t) =

0 sit < 0

F~0 sit > 0 . (1.10) Résumer ces résultats en tra¸cant la variation en fonction du temps de l’accélération et de la vitesse. Noter que la particule se met en mouvement. . . avant l’application de la force¹² !

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

L’´equation d’Abraham - Lorentz pour une particule de chargee et de masse m soumise `a une forceF~ est (~v≡~r˙) :

m~v˙ =mτ~v¨+F ,~ o`uτ ≃6,4×10⁻²⁴s.

1. L’équation à résoudre est ¨~v−τ¹~v˙ =−mτ¹ F~, dont la solution, générale est :

~v(t) = ˙˙ ~v(t0) e^t⁻^τ^t⁰ − 1 mτ

Z t

t0

e^t⁻^τ^t′ F~(t^′) dt^′ (1.11)

12Un phénomène inacceptable, que l’on appelle parfoispr´eaccélération d’une particule chargée. . .

(22)

2. SiF~ = 0, l’expression (1.11) montre clairement que l’acc´el´erationdivergeexponen- tiellement aux grands temps.

3. On peut formellement ´eliminer les solutions divergentes en prenant t0 = +∞. Il s’agit d’une condition aux limites qui ´elimine de fait la “condition initiale”.

4. En faisantt0= +∞dans (1.11) :

~v(t) =˙ 1 m

Z +∞ t

1

τe^t⁻^τ^t′ F~(t^′) dt^′≡ 1 m

Z +∞ t

K(t−t^′)F(t^′) dt^′ . (1.12) Toutes les solutions de (1.12) sont aussi solutions de (1.11), mais (1.12) n’introduit pas de solutions aberrantes : en ce sens, il s’agit de la former´egularis´ee de (1.11), et ce d’autant plus que la limite de charge nulle reproduit bien l’EFD.

En effet, dans la limitee→0,τ →0 et le noyauK(t−t^′) se comporte comme une fonction de Dirac ; on obtient alors ˙~v(t) = _m¹F(t).

5. Il est déjà visible sur (1.12) que l’accélération à l’instant t dépend des valeurs de la force à des instantsultérieurs: cette équation viole le Principe de causalité. Le changement de variable suggéré met ceci en lumière ; on obtient la forme :

~v(t) =˙ 1 m

Z +∞ 0

e^−sF(t~ +τ s) ds

6. Avec une force ´echelon :

t <0 : ~v(t) =˙ 1 mτ

Z +∞ 0

e^t⁻^τ^t′ F~0dt^′= 1

mF~0e^τ^t , t >0 : ~v(t) =˙ 1

mτ Z +∞

t

e^t⁻^τ^t′ F~0dt^′ = 1 mF~0 . Pour en savoir plus sur ce sujet, voir le livre de Jackson [5].

Figure 1.13: Préaccélérération d’une particule chargée : la particule se met en mouvement . . . avant l’application àt= 0 de la force constante !

(23)

1.9. Dur´ee de vie de l’atome de Jean Perrin 23

1.9 Dur´ ee de vie de l’atome de Jean Perrin

Il s’agit de développer un argument semi-quantitatif illustrant l’instabilité électrodynamique de l’atome selon Jean Perrin [6]. Dans ce modèle, l’électron (massem, chargee) tourne autour du noyau de charge|e| supposé fixe et, d’un point de vue strictement mécanique, reste en

équilibre sur sa trajectoire grâce à l’attraction électrostatique du noyau. À un instant donné, l’électron se trouve à la distancerde ce dernier et le module de sa vitesse estv.

1. L’accélération centrale a pour expression ^v_r² ; écrire la relation entre accélération et force et en déduire que la quantitémv²rest une constante du mouvement.

2. Soit T la période du mouvement circulaire uniforme de rayon r ; donner l’expression deT en fonction der, re (rayon classique de l’électron) etc(vitesse de la lumière).

3. Écrire l’expression de l’énergie mécanique totale de l’électron,E.

4. Donner une expression deE ne faisant intervenir quee^′² et r. La tracer en fonction der.

5. En d´eduire la variation d’´energiedE lorsquervarie dedr.

6. La puissance rayonnée par l’électron accéléré est : P= 2e^′²

3c³ ~v˙² (e^′²= e² 4πε0

) . (1.13)

En assimilant~v˙² et le module carré de l’accélération centrale, montrer que la dérivée der est donnée par :

˙ r=K

r² . (1.14)

Pr´eciser la constanteKen fonction de cet de re.

7. En déduire la valeur derà l’instant t, r(t), connaissant sa valeur initialer0. Donner l’expression du temps τ au bout duquel la distance au noyau a été divisée par 2^1/3. Calculer numériquementτ avecr0= 3 ˚A.

8. Comparer τ et la périodeT0 calculée avec r0. Avec un dessin, donner l’allure de la trajectoire de l’électron.

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

1. m^v_r² = ê_r^′2² donnemv²r=e^′². 2. T = ^2πR_v ,re=_mcê^′²2, d’oùT = ^2πr_c q

r re. 3. E= ¹₂mv²−^er^′².

(24)

4. E= _2r¹(mv²r)−ê^′r² =−ê2r^′². E tend vers−∞sir→0. . . 5. dE=_2rê^′²2dr.

6. L’assimilation recommandée dans l’énoncé donne P = ^2e₃_c^′3² v² r

2

= ^2e₃_c^′3² e^′² mr²

2

. Par ailleursP =−^dEdt =−2rê^′²²r˙ d’où ˙r=−^4r3rê²²^c.

7. r²r˙ =−⁴3r²_ec donne par int´egrationr(t) = (r³(0)−4r²_ect)^1/3. Le temps τ est tel que 4r_e²cτ = ¹₂r³(0), d’o`u τ = ^r_8r³⁽⁰⁾2

ec. Comme re ≃3 F = 3×10⁻⁵˚A, on trouve τ≃ ×10⁻⁹s.

8. τ ≫ T0 ∼ 2×10⁻¹⁶s. La trajectoire de l’électron est une spirale très “dense” : au début du mouvement, d’un tour à l’autre, la variation de la distance électron - noyau estδr∼ −r(0)^4rê²^c²T ∼ −2×10⁻⁷˚A.

(25)

Corrig´ es du chapitre 7

L’Ancienne Th´ eorie des Quanta

7.1 Particule charg´ ee dans un champ ´ electromagn´ eti- que

Une particule de massemet de chargeQest soumise à un champ électromagnétiqueE~, ~B; si~v désigne la vitesse de la particule, la force de Lorentz est :

F~ =Q(E~+~v×B~) . (7.1)

Ce champ peut être associé à un potentiel(φ, ~A)tel que : E~=−∂ ~A

∂t −∇~φ , B~=∇ ×~ A .~ (7.2) φetA~ ne d´ependent que de la coordonn´ee~ret du temps.

1. ´Ecrire la force de Lorentz en fonction du potentiel.

2. Calculer explicitement la composante suivant Oxdu double produit vectoriel et montrer qu’elle peut s’´ecrire (~v≡~r˙) :

∂

∂x(A.~v~ )−~v.~∇Ax . (7.3) 3. En d´eduire que la composanteFxde la force de Lorentz peut ˆetre mise sous la forme :

Fx=Q

−∂φ

∂x + ∂

∂x(A.~v~ )− d dtAx

. (7.4)