Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique

(1)

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique

Guillaume Damiand

Laboratoire d’InfoRmatique en Image et Syst `emes d’information LIRIS UMR 5205 CNRS

Universit ´e Claude Bernard, B ˆatiment Nautibus (710), 43, Boulevard du 11 Novembre 1918, 69622 Villeurbanne Cedex

http://liris.cnrs.fr

(2)

Motivations

Cadre

Manipulation d’objets graphiques :

traitement d’images : ensembles de pixels ou voxels

mod élisation g éom étrique : objets surfaciques ou volumiques

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 2 / 95

(3)

Motivations

Besoins

Subdvision en cellules

sommets, ar ˆetes, faces, volumes . . .

face : couleur, taille, forme ar ˆete : longueur, gradient

sommet : point 3D

face : couleur

volume : r ´esistance

(4)

Motivations

Besoins

Relations entre les cellules adjacence, incidence, imbrication

(5)

Motivations

Principaux mod `eles

Mod élisation g éom étrique

triangles, tetra `edres, ... : mod `eles simpliciaux

^[S^PANIER^{66 ;M}^AY^{67 ;}

+ : simples, nD, boules topologiques

^A^GOSTON^{76 ;L}^ANG^95]

- : nombre d’ ´el ´ements, besoin de trianguler

windged-edge, half-edge, DCEL, quad-edge...

^[W^EILER^{85 ;B}^AUMGART^{75 ;}

+ : formes g én érales, op érations locales

^G^UIBAS^S^TOLFI^{85 ;M}^ANTYLA^88]

- : 2D, quelques travaux 3D, cellules 6= boules

puis des mod `eles `a base de cartes...

(6)

Motivations

Principaux mod `eles

Mod élisation g éom étrique

triangles, tetra `edres, ... : mod `eles simpliciaux

^[S^PANIER^{66 ;M}^AY^{67 ;}

+ : simples, nD, boules topologiques

- : nombre d’ ´el ´ements, besoin de trianguler

windged-edge, half-edge, DCEL, quad-edge...

+ : formes g én érales, op érations locales

- : 2D, quelques travaux 3D, cellules 6= boules puis des mod `eles `a base de cartes...

9 sommets, 9 ar ˆetes, 1 face 9 sommets, 15 ar ˆetes, 7 faces

(7)

Motivations

Principaux mod `eles

Mod élisation g éom étrique

triangles, tetra `edres, ... : mod `eles simpliciaux

^[S^PANIER^{66 ;M}^AY^{67 ;}

+ : simples, nD, boules topologiques

- : nombre d’ ´el ´ements, besoin de trianguler

windged-edge, half-edge, DCEL, quad-edge...

+ : formes g én érales, op érations locales

- : 2D, quelques travaux 3D, cellules 6= boules

puis des mod `eles `a base de cartes...

(8)

Motivations

Principaux mod `eles

Mod élisation g éom étrique

triangles, tetra `edres, ... : mod `eles simpliciaux

^[S^PANIER^{66 ;M}^AY^{67 ;}

+ : simples, nD, boules topologiques

- : nombre d’ ´el ´ements, besoin de trianguler

windged-edge, half-edge, DCEL, quad-edge...

+ : formes g én érales, op érations locales

- : 2D, quelques travaux 3D, cellules 6= boules puis des mod `eles `a base de cartes...

incident vertex

opposite halfedge halfedge

incident facet previous halfedge

next halfedge

(9)

Motivations

Principaux mod `eles

Traitement d’images

carr ´es, cubes, ... : mod `eles cubiques

^[K^OVALEVSKY^89]

+ : simples, nD, boules topologiques

- : nombre d’ ´el ´ements, besoin de quadranguler

graphe d’adjacence des r ´egions (RAG), multi-RAG

^[R^OSENFELD^{74 ;}

graphes duaux

^W^ILLERSINN^K^ROPATSCH^94]

+ : bas ´es graphes, nD pour RAG

- : ne repr ´esente pas toutes les relations

puis des mod `eles `a base de cartes...

(10)

Motivations

Principaux mod `eles

Traitement d’images

carr ´es, cubes, ... : mod `eles cubiques

^[K^OVALEVSKY^89]

+ : simples, nD, boules topologiques

- : nombre d’ ´el ´ements, besoin de quadranguler

graphe d’adjacence des r ´egions (RAG), multi-RAG

^[R^OSENFELD^{74 ;}

graphes duaux

+ : bas és graphes, nD pour RAG - : ne repr ésente pas toutes les relations puis des mod èles à base de cartes...

R₁

R

0

R₂ R₅

R₆ R₇

R₈

R

4

R

3

(11)

Motivations

Principaux mod `eles

Traitement d’images

carr ´es, cubes, ... : mod `eles cubiques

^[K^OVALEVSKY^89]

+ : simples, nD, boules topologiques

- : nombre d’ ´el ´ements, besoin de quadranguler

graphe d’adjacence des r ´egions (RAG), multi-RAG

^[R^OSENFELD^{74 ;}

graphes duaux

+ : bas és graphes, nD pour RAG - : ne repr ésente pas toutes les relations puis des mod èles à base de cartes...

R₁

R

0

R₂ R₅

R₆ R₇

R₈

R

4

R

3

(12)

Part I : Cartes Combinatoires et Invariants Topologiques

1

Cartes combinatoires/g én éralis ées

2

Invariants Topologiques

3

Op ´erations de base

(13)

1. Cartes combinatoires/g én éralis ées

1

Cartes combinatoires/g én éralis ées Cartes combinatoires

Cartes g én éralis ées Cellules dans les cartes

2

Invariants Topologiques

3

Op ´erations de base

(14)

Cartes combinatoires/g én éralis ées Invariants Topologiques Op érations de base

Cartes combinatoires

Les cartes combinatoires

Introduites en 2D ⇒ graphes planaires

^[E^DMONDS^{60 ; T}^UTTE^{63 ;}

JACQUES70 ; CORI73]

Etendues en ´ 3D

^[A^RQUES^K^OCH^{88 ; L}^IENHARDT^{88 ; S}^PEHNER^91]

D ´efinies en nD

^[L^IENHARDT^89]

R 1

R ₅

R ₃ R 2

R 0

Graphe planaire Carte combinatoire

σ (sommet) : permutation ; α (ar ˆete) : involution

(15)

Les cartes combinatoires

Introduites en 2D ⇒ graphes planaires

^[E^DMONDS^{60 ; T}^UTTE^{63 ;}

JACQUES70 ; CORI73]

Etendues en ´ 3D

D ´efinies en nD

^[L^IENHARDT^89]

V ₁ V ₂

−1

−2 2

1 4 −3

−4

6 −5

−6 3 5

σ

α

φ

(16)

Les cartes combinatoires

Introduites en 2D ⇒ graphes planaires

^[E^DMONDS^{60 ; T}^UTTE^{63 ;}

JACQUES70 ; CORI73]

Etendues en ´ 3D

D ´efinies en nD

^[L^IENHARDT^89]

Int ´er ˆets :

Repr ´esente les subdivisions de l’espace D ´efinition simple en nD :

un seul él ément de base Repr ésentation de la topologie :

relations d’adjacence Implantation efficace d’algorithmes

(17)

Notions pr ´ealables

permutation : bijection f de E → E

involution : bijection f de E → E, tel que f = f

⁻¹

Φ = {f

1

, . . . , f

k

} des permutations sur E. hΦi est le groupe de

permutations engendr é par Φ (toutes les permutations qu’il est possible d’obtenir par composition des él éments de Φ et leurs contraires)

orbite : soit e ∈ E. hΦi(e) = {φ(e)|φ ∈ hΦi}

(18)

Obtention intuitive d’une carte combinatoire

D ´ecompositions successives des cellules d’un objet Exemple en 2D :

Objet 2D Faces Ar ˆetes

⇒ Les brins

(19)

Obtention intuitive d’une carte combinatoire

Report des relations d’adjacence sur les brins

β

1

: brin → brin suivant de la m ˆeme

face

(20)

Obtention intuitive d’une carte combinatoire

Report des relations d’adjacence sur les brins

β

1

: brin → brin suivant de la m ˆeme face

β

2

: brin → brin de l’autre face inci- dente à la m ême ar ête

β

1

: permutation sur l’ensemble des brins β

2

: involution sur l’ensemble des brins

(21)

Les cartes en dimension 3

Ensemble de 2-cartes : chacune repr ´esente un volume

(22)

Les cartes en dimension 3

Ensemble de 2-cartes : chacune repr ´esente un volume

Ajout de β

3

: relie les volumes adjacents β

1

: permutation sur les brins β

2

et β

3

: involutions sur les brins

plus des contraintes de coh ´erences

(23)

D ´efinition alg ´ebrique des cartes combinatoires nD

Definition (carte combinatoire)

Soit n ≥ 0. Une n carte combinatoire (ou n-carte) est une alg `ebre C = (B, β

1

, . . . , β

n

) o `u :

1

B est un ensemble fini de brins ;

2

β

1

est une permutation sur B ;

3

∀i, 2 ≤ i ≤ n, β

i

est une involution sur B ;

4

∀i, 1 ≤ i ≤ n − 2, ∀j, i + 2 ≤ j ≤ n, β

i

◦ β

j

est une involution.

Remarque :

Ligne 4 : contraintes sur les relations

⇒ garantit la validit ´e des objets

Exemple, en 3D : β

1

◦ β

3

involution

(24)

Cartes g én éralis ées

Les cartes g én éralis ées

Cartes g én éralis ées : une d écomposition suppl émentaire

3G-cartes : α

0

, α

1

, α

2

, α

3

: involutions plus des contraintes de coh ´erences

(25)

Les cartes g én éralis ées

D éfinition alg ébrique des cartes g én éralis ées nD Definition (carte g én éralis ée)

Soit n ≥ 0. Une n carte g én éralis ée (ou nG-carte) est une alg èbre G = (B, α

0

, . . . , α

n

) o `u :

1

B est un ensemble fini de brins ;

2

∀i, 0 ≤ i ≤ n, α

i

est une involution sur B ;

3

∀i, 0 ≤ i ≤ n − 2, ∀j, i + 2 ≤ j ≤ n, α

i

◦ α

j

est une involution.

Avantages :

d ´efinition homog `ene pour toutes les dimensions

⇒ facilitent les d ´efinitions car plus de cas particulier

repr ´esentation d’objet avec ou sans bord, orientable/non-orientable

(26)

Propri ´et ´es

Une G-carte G = (B, α

0

, . . . , α

n

) est : D ´efinition (connexe)

G est connexe si pour b ∈ B, hα

0

, . . . , α

n

i(b) = B.

D ´efinition (avec/sans bord)

G est sans bord si ∀b ∈ B, ∀i ∈ {0, . . . , n}, α

i

(b) 6= b.

G est dite `a bord sinon.

D ´efinition (G-carte orientable)

Si G est connexe et sans bord. G est orientable si la n-carte

HG = (B, α

01

, . . . , α

0n

) a exactement deux composantes connexes distinctes. G est non orientable sinon.

(27)

Cellules dans les cartes

Exemple : 3-Cartes et Cellules

Cellules : repr ´esentation implicite : i-cellule = ensemble de brins

Utilise la notion d’orbite

(28)

Cellules dans les cartes

Repr ´esentation implicite : i-cellule = ensemble de brins Definition (i-cellule)

Soit C une n-carte, b un brin de cette carte, et i ∈ {0, . . . , n}. La i-cellule incidente `a b est :

Si i = 0 : < β

2

◦ β

0

, . . . , β

n

◦ β

0

> (b) ; Sinon : < β

1

, . . . , β

i−1

, β

i+1

, . . . , β

n

> (b).

Intuitivement : i-cellule incidente `a un brin = l’ensemble des brins atteignables par un parcours en utilisant tout les β sauf β

i

Attention : d ´efinition diff ´erente pour les sommets

(29)

Incidence et Adjacence

D ´efinition (Incidence)

Deux cellules c

1

et c

2

sont incidentes si elles sont de dimensions diff ´erentes, et c

1

∩ c

2

6= ∅.

D ´efinition (Adjacence)

Deux i-cellules c

1

et c

2

sont adjacentes s’il existe b

1

∈ c

1

et b

2

∈ c

2

tel que si i = 0 : d

1

= β

k

(d

2

) avec k ∈ {0, . . . , n} ;

si i > 0 : d

1

= β

i

(d

2

) ou d

2

= β

i

(d

1

).

(30)

Cellules dans les G-cartes

plus de diff ´erence entre les 0-cellules et les autres cellules Definition (i-cellule)

Soit G une nG-carte, b un brin de cette carte, et i ∈ {0, . . . , n}. La i-cellule incidente `a b est < α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b).

(31)

Codage en pratique

class CDart2D {

private:

CDart * FBeta[3];

bool FMarks[8];

}

class CMap2D {

private:

std::list<CDart2D *> FListOfDarts;

}

(32)

Plongement des cartes

Repr ésentation d’un objet : topologie : carte combinatoire g éom étrie : plongement

i-cellule topologique ⇐⇒ objet g ´eom ´etrique de dimension i

(33)

2. Invariants Topologiques

1

Cartes combinatoires/g én éralis ées

2

Invariants Topologiques Bases de topologie Invariants topologiques Liens avec cartes

3

Op ´erations de base

(34)

Bases de topologie

Hom ´eomorphismes

X et Y sont hom ´eomorphes s’il ∃ f une bijection continue de X dans Y, tel que f

⁻¹

est continue.

Intuitivement :

X peut se

d ´eformer continuement

en Y X et Y ont la

m ˆeme topologie

(35)

Bases de topologie

Vari ´et ´e

X est une vari ét é si en chaque point de X, il existe un voisinage hom éomorphe

à la boule unit é ou à la demi-boule unit é.

Bord

Soit X une vari ét é. Son bord est l’ensemble des points de X dont le voisinage est hom éomorphe à la demi-boule unit é.

vari ´et ´e avec/sans bord.

Orientable

Une vari ét é X est orientable s’il est possible de d éfinir une direction

gauche

et

droite

globalement en tout point de la vari ´et ´e.

(36)

Invariants topologiques

Invariant topologique

Une propri ét é qui se conserve par hom éomorphisme

2 objets hom ´eomorphes ont les m ˆemes invariants topologiques Exemples d’invariants :

dimension, nombre de composantes connexes, orientabilit ´e, caract ´eristique d’Euler, nombres de Betti, groupes d’Homologies. . .

(37)

Caract ´eristique d’Euler

Caract ´eristique d’Euler χ de C un complexe cellulaire 2D sans bord et connexe : χ(C) = k

0

(C) − k

1

(C) + k

2

(C)

avec k

i

(C) le nombre de cellules de dimension i de C.

Autrement dit : #sommets-#ar ˆetes+#faces

4 − 6 + 4 = 2 8 − 12 + 6 = 2 74 − 156 + 84 = 2

(38)

Caract ´eristique d’Euler

Caract ´eristique d’Euler χ de C un complexe cellulaire 2D sans bord et connexe : χ(C) = k

0

(C) − k

1

(C) + k

2

(C)

avec k

i

(C) le nombre de cellules de dimension i de C.

Autrement dit : #sommets-#ar ˆetes+#faces

9 − 18 + 9 = 0 72 − 144 + 72 = 0 148 − 298 + 148 = −2

(39)

Genre

Autre invariant topologique :

nombre maximum de courbes simples ferm ées non d éconnectantes Lien genre ↔ caract éristique d’Euler

χ(C) = 2 − 2g(C) si C orientable χ(C) = 2 − g(C) si C non orientable Extension aux objets `a bord/non connexe

χ(C) = 2#cc(C) − 2g(C) − #b(C) si C orientable χ(C) = 2#cc(C) − g(C) − #b(C) si C non orientable

avec #b(C) le nombre de bords

et #cc(C) le nombre de composantes connexes.

(40)

Caract ´eristique d’Euler-Poincar ´e

G én éralisation en nD de la caract éristique d’Euler Caract éristique d’Euler-Poincar é

Caract ´eristique d’Euler χ de C un complexe cellulaire nD sans bord : χ(C) = P

n

i=0

(−1)

ⁱ

× k

i

(C)

avec k

i

(C) le nombre de cellules de dimension i de C.

(41)

Classification des surfaces

Th ´eor `eme de classification des surfaces

Toute surface ferm ée est hom éomorphe à une des trois surfaces suivantes : S

²

, la sph `ere de dimension 2 ;

la somme connexe de g tores (ou tore `a g trous) ; la somme connexe de k plans projectifs.

Classification compl ète des surfaces ferm ées par caract éristique d’Euler + orientabilit é

Extension directe aux surfaces `a bord/non connexe :

ajouter nombre de bords et nombre de composantes connexes.

(42)

Pas de classification pour n > 2

2 objets non hom éomorphe avec m êmes caract éristiques : Euler, nb composantes connexes, nb bords

χ = 0, #cc = 1, #b = 3 χ = 0, #cc = 1, #b = 3

(43)

Nombres de Betti

Nombres de Betti b

0

, . . . , b

n

(apr `es tous nul)

Chaque b

i

est le rang du i

^`^eme

groupe d’homologie.

Intuitivement : b

i

nombre de composantes connexes de i-surfaces

b

0

= 1

b

1

= 3

b

2

= 2

(44)

Nombres de Betti

Lien avec caract ´eristique d’Euler-Poincar ´e

χ(C) = P

i=0

(−1)

ⁱ

× b

i

(C)

Attention `a la dimension :

2D : b

0

= 1 b

1

= 2 b

2

= 1 ⇒ χ(C) = 0. 3D : b

0

= 1 b

1

= 1 b

2

= 0 b

3

= 0 ⇒ χ(C) = 0.

(45)

Nombres de Betti

Invariant

plus fort

que la caract ´eristique d’Euler-Poincar ´e

b

0

= 1, b

1

= 3, b

2

= 2 b

0

= 1, b

1

= 2, b

2

= 1

χ = b

0

− b

1

+ b

2

= 0

(46)

Liens avec cartes

n-Carte : quasi vari ét é nD avec ou sans bord orientable ; nG-Carte : quasi vari ét é nD avec ou sans bord orientable ou non-orientable.

quasi vari ´et ´e nD

Des quasi vari ét é (n − 1)D coll ées entre elles le long de (n − 1)-cellules.

En 2D, quasi-vari ét é = vari ét é ; Pas en dimension sup érieure ; PB : 6 ∃ d éfinition combinatoire de vari ét é.

p

(47)

Liens avec cartes

Probl `eme

Les cellules ne sont pas forc ément hom éomorphe à des boules Alors que c’est une condition des complexe cellulaires

⇒ pas possible d’utiliser directement les d éfinitions pr éc édentes Exemples

R

¹

k

0

= 1, k

1

= 2, k

2

= 1, k

3

= 1 1-2+1-1=-1 mais χ(C) = 0

R

²

k

0

= 4, k

1

= 2, k

2

= 2, k

3

= 1

4-2+2-1=3 mais χ(C) = 2

Heureusement il y a des solutions (cf. plus tard)

(48)

3. Op ´erations de base

1

Cartes combinatoires/g én éralis ées

2

Invariants Topologiques

3

Op ´erations de base

Suppression

Contraction

(49)

Op ´erations de suppression

Suppressions

D ´efinies en dimension quelconque Contrainte : cellules localement de degr ´e 2

Suppression d’une i cellule ⇒ fusion des (i+1) cellules 2-Suppression

d

(50)

Op ´erations de suppression

Suppressions

D ´efinies en dimension quelconque Contrainte : cellules localement de degr ´e 2

Suppression d’une i cellule ⇒ fusion des (i+1) cellules 1-Suppression

d d

(51)

Op ´erations de suppression

Suppressions

D ´efinies en dimension quelconque Contrainte : cellules localement de degr ´e 2

Suppression d’une i cellule ⇒ fusion des (i+1) cellules 0-Suppression

d d

Autres op ´erations de base : contraction, insertion, ´eclatement

(52)

Suppression

Suppression en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {0, . . . , n − 1}

∀b

⁰

∈ C,

α

(i+1)

α

(i+2)

(b

⁰

) = α

(i+2)

α

(i+1)

(b

⁰

) (sauf pour i = n − 1)

B

^S

= α

i

(C) \ C

∀b

⁰

∈ B

^S

, α

⁰_i

(b

⁰

) = (α

i

α

_(i+1)

)

^k

α

i

(b

⁰

) k le plus petit entier

2-G-carte initiale ; ar ˆetes `a supprimer

(53)

Suppression

Suppression en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {0, . . . , n − 1}

∀b

⁰

∈ C,

α

(i+1)

α

(i+2)

(b

⁰

) = α

(i+2)

α

(i+1)

(b

⁰

) (sauf pour i = n − 1)

B

^S

= α

i

(C) \ C

∀b

⁰

∈ B

^S

, α

⁰_i

(b

⁰

) = (α

i

α

_(i+1)

)

^k

α

i

(b

⁰

) k le plus petit entier

B

^S

= Cα

1

− C

(54)

Suppression

Suppression en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {0, . . . , n − 1}

∀b

⁰

∈ C,

α

(i+1)

α

(i+2)

(b

⁰

) = α

(i+2)

α

(i+1)

(b

⁰

) (sauf pour i = n − 1)

B

^S

= α

i

(C) \ C

∀b

⁰

∈ B

^S

, α

⁰_i

(b

⁰

) = (α

i

α

_(i+1)

)

^k

α

i

(b

⁰

) k le plus petit entier

∀b

⁰

∈ B

^S

, b

⁰

α

⁰₁

= b

⁰

(α

1

α

2

)

^k

α

1

k plus petit entier

(55)

Suppression

Suppression en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {0, . . . , n − 1}

∀b

⁰

∈ C,

α

(i+1)

α

(i+2)

(b

⁰

) = α

(i+2)

α

(i+1)

(b

⁰

) (sauf pour i = n − 1)

B

^S

= α

i

(C) \ C

∀b

⁰

∈ B

^S

, α

⁰_i

(b

⁰

) = (α

i

α

_(i+1)

)

^k

α

i

(b

⁰

) k le plus petit entier

2-G-map finale

(56)

Contraction

Contraction : dual de la suppression

G = (B, α

0

, . . . , α

n

) ⇒ dual G

⁰

= (B, α

n

, . . . , α

0

)

2-G-carte initiale 2-G-carte duale

(57)

Contraction

Contraction en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {1, . . . , n}

∀b

⁰

∈ C,

α

(i−1)

α

(i−2)

(b

⁰

) = α

(i−2)

α

(i−1)

(b

⁰

) (sauf pour i = 1)

B

^S

= α

i

(C) \ C

∀b

⁰

∈ B

^S

, α

⁰_i

(b

⁰

) = (α

i

α

(i−1)

)

^k

α

i

(b

⁰

) k le plus petit entier

2-G-carte initiale ; ar ˆetes `a contracter

2-G-carte duale ; ar ˆetes `a

supprimer

(58)

Contraction

Contraction en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {1, . . . , n}

∀b

⁰

∈ C,

α

(i−1)

α

(i−2)

(b

⁰

) = α

(i−2)

α

(i−1)

(b

⁰

) (sauf pour i = 1)

B

^S

= α

i

(C) \ C

∀b

⁰

∈ B

^S

, α

⁰_i

(b

⁰

) = (α

i

α

(i−1)

)

^k

α

i

(b

⁰

) k le plus petit entier

B

^S

= Cα

1

− C

B

^S

= Cα

1

− C

(59)

Contraction

Contraction en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {1, . . . , n}

∀b

⁰

∈ C,

α

(i−1)

α

(i−2)

(b

⁰

) = α

(i−2)

α

(i−1)

(b

⁰

) (sauf pour i = 1)

B

^S

= α

i

(C) \ C

∀b

⁰

∈ B

^S

, α

⁰_i

(b

⁰

) = (α

i

α

(i−1)

)

^k

α

i

(b

⁰

) k le plus petit entier

∀b

⁰

∈ B

^S

, b

⁰

α

⁰₁

= b

⁰

(α

1

α

0

)

^k

α

1

k plus petit entier

∀b

⁰

∈ B

^S

, b

⁰

α

⁰₁

= b

⁰

(α

1

α

2

)

^k

α

1

k plus petit entier

(60)

Contraction

Contraction en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {1, . . . , n}

∀b

⁰

∈ C,

α

(i−1)

α

(i−2)

(b

⁰

) = α

(i−2)

α

(i−1)

(b

⁰

) (sauf pour i = 1)

B

^S

= α

i

(C) \ C

∀b

⁰

∈ B

^S

, α

⁰_i

(b

⁰

) = (α

i

α

(i−1)

)

^k

α

i

(b

⁰

) k le plus petit entier

2-G-carte finale

(61)

Part II : Applications

4

Segmentation d’Images

5

Simulation Physique

6

Autres Applications

(62)

4. Segmentation d’Images

4

Segmentation d’Images Quelques mod `eles Carte topologique

Algorithme incr ´emental d’extraction Segmentation bas ´ee Cartes Segmentation 2D

Segmentation 3D

Int égration de crit ères topologiques R ésultats

5

Simulation Physique

6

Autres Applications

(63)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

La segmentation

C’est regrouper les pixels en zones homog `enes

⇒ Besoin de caract ´eristiques sur ces zones Moyenne des couleurs des pixels

D étection de ruptures dans l’image (fronti ères) Crit ères sur la forme des r égions

...

Pour chaque crit ère ⇒ besoin d’informations un mod èle de repr ésentation

des algorithmes

(64)

Quelques mod `eles

Un mod `ele de repr ´esentation : le RAG

Graphe d’Adjacence des R´egions [Rosenfeld74]

R

₀

R

1

R

₂

R

3

R

₄

R

5

R

₀

R

₁

R

₅

R

₄

R

₃

R

₂

Image RAG

(65)

Quelques mod `eles

Un mod `ele de repr ´esentation : le RAG

Graphe d’Adjacence des R´egions [Rosenfeld74]

R

₀

R

1

R

₂

R

3

R

₄

R

5

R

₀

R

₁

R

₅

R

₄

R

₃

R

₂

Image multi-RAG

(66)

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion ?

(67)

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion : oui

(68)

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion ?

(69)

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion : oui

(70)

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion ?

(71)

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion : oui

(72)

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion ?

(73)

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion : non

Complexit ´e ?

(74)

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion : non

Complexit ´e : O(n

²

)

Si test de tout les couples de r ´egions

(75)

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Voisins(R) ?

Question :

Comment r écup érer les voisins d’une r égion R ?

R ´eponse :

Avec un RAG

(76)

Quelques mod `eles

Segmentation bottom-up et RAG

Initialisation :

1

pixel ⇒ sommet dans le graphe

2

Deux pixels voisins ⇒ ar ˆete dans le graphe

(77)

Quelques mod `eles

Segmentation bottom-up et RAG

Parcours :

Les voisins d’une r ´egion R ⇒ voisins dans le graphe

R

(78)

Quelques mod `eles

Segmentation bottom-up et RAG

Modification :

Fusionner deux r ´egions R

1

et R

2

⇒ contraction d’ar ˆete

R ₁ R ₂

(79)

Quelques mod `eles

Segmentation bottom-up et RAG

Modification :

Fusionner deux r ´egions R

1

et R

2

⇒ contraction d’ar ˆete

R ₁

R ₂

(80)

Quelques mod `eles

Segmentation bottom-up et RAG

Modification :

Fusionner deux r ´egions R

1

et R

2

⇒ contraction d’ar ˆete

(81)

Quelques mod `eles

Segmentation bottom-up et RAG

Modification :

Fusionner deux r ´egions R

1

et R

2

⇒ contraction d’ar ˆete

(82)

Quelques mod `eles

Les probl `emes du RAG

R

₁

R

₅

R

₄

R

₃

R

₂

R

₀

Probl `emes

pas de multi-adjacence

pas de repr ´esentation des sommets pas d’ordre des ar ˆetes

pas de notion d’imbrication

⇒ On n’a pas toutes les informations

Note : C’est encore pire en dimension sup ´erieure

(83)

Quelques mod `eles

Extensions du RAG

Plusieurs mod èles r ésolvent +/- partiellement ces probl èmes Graphe d’adjacence des r égions

Graphes duaux

Carte planaire et fronti `eres interpixel Graphe topologique des fronti `eres

[Rosenfeld74]

[Kropatsch95]

[Domenger92]

[Fiorio95]

Probl ème : mod èles difficilement extensibles en dimension sup érieure

D ´efinition d’un nouveau mod `ele : la carte topologique

(84)

Carte topologique

Les niveaux de simplification

Principe

construire la carte repr ´esentant tous les pixels de l’image simplifier progressivement cette carte

R

₁

R

0

R

2

R

₃

R

4

R

₅

Image segment ´ee en r ´egions Niveau 0

(85)

Carte topologique

Niveau 1

Definition

Niveau 1 : Suppression des ar êtes entre deux pixels d’une m ême r égion R

0

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

Niveau 0 Niveau 1

(86)

Carte topologique

Niveau 2

Definition

Niveau 2 : Suppression des sommets de degr ´e 2 R

0

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

0

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

Niveau 1 Niveau 2

Remarque : ces d ´efinitions ⇒ algorithme d’extraction lin ´eaire

(87)

Carte topologique

Probl `eme de d ´econnexion

La carte peut avoir plusieurs composantes connexes : R

0

R

₁

R

2

R

3

R

4

R

₅

⇒ Perte d’information : comment positionner les diff ´erentes composantes ?

Notion de contour ext ´erieur et int ´erieur

(88)

Carte topologique

Une solution : l’arbre d’imbrication

R

0

R

₁

R

₂

R

3

R

₄

R

₅

R

1

R

2

R

3

R

5

R

4

R

₀

Pour conserver les informations topologiques : chaque brin connaˆıt sa r égion d’appartenance chaque r égion connaˆıt un brin du contour ext érieur Niveau 3 + arbre d’imbrication = carte topologique

(89)

Carte topologique

Carte topologique 2D

Carte topologique 2D = extension directe du multi-RAG

R 0

R 1

R 2

R 3

R 4

R 5

R

₀

R

₁

R

₅

R

₄

R

₃

R

₂

Carte topologique multi-RAG

(90)

Carte topologique

D ´efinition progressive : Niveau 0

Niveaux de simplification ⇒ extension directe en 3D Definition

Niveau 0 : Tous les voxels.

R

1

R

2

R

3

R

₀

(91)

Carte topologique

Niveau 1

Definition

Niveau 1 : Suppression des faces entre 2 voxels d’une m ˆeme r ´egion

(92)

Carte topologique

Niveau 2

Definition

Niveau 2 : Suppression des ar êtes de degr é 2 et ar êtes pendantes

(93)

Carte topologique

Niveau 3

Definition

Niveau 3 : Suppression des sommets de degr ´e 2

(94)

Carte topologique

D ´econnexion de volume

Exemple de d ´econnexion

Solution

Ajout d’un arbre d’imbrication des r ´egions

(95)

Carte topologique

D ´econnexion de face

Exemple

Solution

Garder des ar ˆetes fictives

ar ête de degr é un dont la suppression ⇒ d éconnexion

(96)

Carte topologique

D ´econnexion de face

Exemple

Solution

Garder des ar ˆetes fictives

ar ête de degr é un dont la suppression ⇒ d éconnexion

(97)

Carte topologique

Carte topologique 3D

Carte topologique 3D : chaque face fronti `ere de mani `ere minimale

Ar êtes fictives : ar êtes de degr é 1

(98)

Algorithme d’extraction

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre à la carte d éj à existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

2

n

1

(99)

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre à la carte d éj à existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

₁

n

₂

1

1 up

last

(100)

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre à la carte d éj à existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

₁

n

₂

1 up

1 last

(101)

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre à la carte d éj à existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

₁

n

₂

1

1 up

last

(102)

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre à la carte d éj à existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

₁

n

₂

1

1 up last

(103)

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre à la carte d éj à existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

1

n

₂

1 1 up

last

(104)

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre à la carte d éj à existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

1

n

₂

1

1 last up

(105)

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre à la carte d éj à existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

1

n

₂

1

1 last

up

(106)

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre à la carte d éj à existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

1

n

₂

1

1 last up

(107)

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre à la carte d éj à existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

1

n

₂

1

1 last

up

(108)

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre à la carte d éj à existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

1

n

₂

1

1 up last

(109)

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre à la carte d éj à existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

₁

n

₂

1

1 up

last

(110)

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre à la carte d éj à existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

₁

n

₂

1

1 up last

(111)

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre à la carte d éj à existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

₁

n

₂

1

1 up

last

(112)

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre à la carte d éj à existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

₁

n

₂