Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique

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Texte intégral

(1)

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique

Guillaume Damiand

Laboratoire d’InfoRmatique en Image et Syst `emes d’information LIRIS UMR 5205 CNRS

Universit ´e Claude Bernard, B ˆatiment Nautibus (710), 43, Boulevard du 11 Novembre 1918, 69622 Villeurbanne Cedex

http://liris.cnrs.fr

(2)

Motivations

Motivations

Cadre

Manipulation d’objets graphiques :

traitement d’images : ensembles de pixels ou voxels

mod ´elisation g ´eom ´etrique : objets surfaciques ou volumiques

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(3)

Motivations

Besoins

Subdvision en cellules

sommets, ar ˆetes, faces, volumes . . .

face : couleur, taille, forme ar ˆete : longueur, gradient

sommet : point 3D

face : couleur

volume : r ´esistance

(4)

Motivations

Besoins

Relations entre les cellules adjacence, incidence, imbrication

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(5)

Motivations

Principaux mod `eles

Mod ´elisation g ´eom ´etrique

triangles, tetra `edres, ... : mod `eles simpliciaux

[SPANIER66 ;MAY67 ;

+ : simples, nD, boules topologiques

AGOSTON76 ;LANG95]

- : nombre d’ ´el ´ements, besoin de trianguler

windged-edge, half-edge, DCEL, quad-edge...

[WEILER85 ;BAUMGART75 ;

+ : formes g ´en ´erales, op ´erations locales

GUIBASSTOLFI85 ;MANTYLA88]

- : 2D, quelques travaux 3D, cellules 6= boules

puis des mod `eles `a base de cartes...

(6)

Motivations

Principaux mod `eles

Mod ´elisation g ´eom ´etrique

triangles, tetra `edres, ... : mod `eles simpliciaux

[SPANIER66 ;MAY67 ;

+ : simples, nD, boules topologiques

AGOSTON76 ;LANG95]

- : nombre d’ ´el ´ements, besoin de trianguler

windged-edge, half-edge, DCEL, quad-edge...

[WEILER85 ;BAUMGART75 ;

+ : formes g ´en ´erales, op ´erations locales

GUIBASSTOLFI85 ;MANTYLA88]

- : 2D, quelques travaux 3D, cellules 6= boules puis des mod `eles `a base de cartes...

9 sommets, 9 ar ˆetes, 1 face 9 sommets, 15 ar ˆetes, 7 faces

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(7)

Motivations

Principaux mod `eles

Mod ´elisation g ´eom ´etrique

triangles, tetra `edres, ... : mod `eles simpliciaux

[SPANIER66 ;MAY67 ;

+ : simples, nD, boules topologiques

AGOSTON76 ;LANG95]

- : nombre d’ ´el ´ements, besoin de trianguler

windged-edge, half-edge, DCEL, quad-edge...

[WEILER85 ;BAUMGART75 ;

+ : formes g ´en ´erales, op ´erations locales

GUIBASSTOLFI85 ;MANTYLA88]

- : 2D, quelques travaux 3D, cellules 6= boules

puis des mod `eles `a base de cartes...

(8)

Motivations

Principaux mod `eles

Mod ´elisation g ´eom ´etrique

triangles, tetra `edres, ... : mod `eles simpliciaux

[SPANIER66 ;MAY67 ;

+ : simples, nD, boules topologiques

AGOSTON76 ;LANG95]

- : nombre d’ ´el ´ements, besoin de trianguler

windged-edge, half-edge, DCEL, quad-edge...

[WEILER85 ;BAUMGART75 ;

+ : formes g ´en ´erales, op ´erations locales

GUIBASSTOLFI85 ;MANTYLA88]

- : 2D, quelques travaux 3D, cellules 6= boules puis des mod `eles `a base de cartes...

incident vertex

opposite halfedge halfedge

incident facet previous halfedge

next halfedge

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(9)

Motivations

Principaux mod `eles

Traitement d’images

carr ´es, cubes, ... : mod `eles cubiques

[KOVALEVSKY89]

+ : simples, nD, boules topologiques

- : nombre d’ ´el ´ements, besoin de quadranguler

graphe d’adjacence des r ´egions (RAG), multi-RAG

[ROSENFELD74 ;

graphes duaux

WILLERSINNKROPATSCH94]

+ : bas ´es graphes, nD pour RAG

- : ne repr ´esente pas toutes les relations

puis des mod `eles `a base de cartes...

(10)

Motivations

Principaux mod `eles

Traitement d’images

carr ´es, cubes, ... : mod `eles cubiques

[KOVALEVSKY89]

+ : simples, nD, boules topologiques

- : nombre d’ ´el ´ements, besoin de quadranguler

graphe d’adjacence des r ´egions (RAG), multi-RAG

[ROSENFELD74 ;

graphes duaux

WILLERSINNKROPATSCH94]

+ : bas ´es graphes, nD pour RAG - : ne repr ´esente pas toutes les relations puis des mod `eles `a base de cartes...

R1

R

0

R2 R5

R6 R7

R8

R

4

R

3

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(11)

Motivations

Principaux mod `eles

Traitement d’images

carr ´es, cubes, ... : mod `eles cubiques

[KOVALEVSKY89]

+ : simples, nD, boules topologiques

- : nombre d’ ´el ´ements, besoin de quadranguler

graphe d’adjacence des r ´egions (RAG), multi-RAG

[ROSENFELD74 ;

graphes duaux

WILLERSINNKROPATSCH94]

+ : bas ´es graphes, nD pour RAG - : ne repr ´esente pas toutes les relations puis des mod `eles `a base de cartes...

R1

R

0

R2 R5

R6 R7

R8

R

4

R

3

(12)

Part I : Cartes Combinatoires et Invariants Topologiques

1

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees

2

Invariants Topologiques

3

Op ´erations de base

(13)

1. Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees

1

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Cartes combinatoires

Cartes g ´en ´eralis ´ees Cellules dans les cartes

2

Invariants Topologiques

3

Op ´erations de base

(14)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cartes combinatoires

Les cartes combinatoires

Introduites en 2D ⇒ graphes planaires

[EDMONDS60 ; TUTTE63 ;

JACQUES70 ; CORI73]

Etendues en ´ 3D

[ARQUESKOCH88 ; LIENHARDT88 ; SPEHNER91]

D ´efinies en nD

[LIENHARDT89]

R 1

R 5

R 3 R 2

R 0

Graphe planaire Carte combinatoire

σ (sommet) : permutation ; α (ar ˆete) : involution

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(15)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cartes combinatoires

Les cartes combinatoires

Introduites en 2D ⇒ graphes planaires

[EDMONDS60 ; TUTTE63 ;

JACQUES70 ; CORI73]

Etendues en ´ 3D

[ARQUESKOCH88 ; LIENHARDT88 ; SPEHNER91]

D ´efinies en nD

[LIENHARDT89]

V 1 V 2

−1

−2 2

1

4 −3

−4

6 −5

−6 3 5

σ

α

φ

(16)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cartes combinatoires

Les cartes combinatoires

Introduites en 2D ⇒ graphes planaires

[EDMONDS60 ; TUTTE63 ;

JACQUES70 ; CORI73]

Etendues en ´ 3D

[ARQUESKOCH88 ; LIENHARDT88 ; SPEHNER91]

D ´efinies en nD

[LIENHARDT89]

Int ´er ˆets :

Repr ´esente les subdivisions de l’espace D ´efinition simple en nD :

un seul ´el ´ement de base Repr ´esentation de la topologie :

relations d’adjacence Implantation efficace d’algorithmes

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(17)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cartes combinatoires

Notions pr ´ealables

permutation : bijection f de E → E

involution : bijection f de E → E, tel que f = f

−1

Φ = {f

1

, . . . , f

k

} des permutations sur E. hΦi est le groupe de

permutations engendr ´e par Φ (toutes les permutations qu’il est possible d’obtenir par composition des ´el ´ements de Φ et leurs contraires)

orbite : soit e ∈ E. hΦi(e) = {φ(e)|φ ∈ hΦi}

(18)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cartes combinatoires

Obtention intuitive d’une carte combinatoire

D ´ecompositions successives des cellules d’un objet Exemple en 2D :

Objet 2D Faces Ar ˆetes

⇒ Les brins

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(19)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cartes combinatoires

Obtention intuitive d’une carte combinatoire

Report des relations d’adjacence sur les brins

β

1

: brin → brin suivant de la m ˆeme

face

(20)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cartes combinatoires

Obtention intuitive d’une carte combinatoire

Report des relations d’adjacence sur les brins

β

1

: brin → brin suivant de la m ˆeme face

β

2

: brin → brin de l’autre face inci- dente `a la m ˆeme ar ˆete

β

1

: permutation sur l’ensemble des brins β

2

: involution sur l’ensemble des brins

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(21)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cartes combinatoires

Les cartes en dimension 3

Ensemble de 2-cartes : chacune repr ´esente un volume

(22)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cartes combinatoires

Les cartes en dimension 3

Ensemble de 2-cartes : chacune repr ´esente un volume

Ajout de β

3

: relie les volumes adjacents β

1

: permutation sur les brins β

2

et β

3

: involutions sur les brins

plus des contraintes de coh ´erences

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(23)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cartes combinatoires

D ´efinition alg ´ebrique des cartes combinatoires nD

Definition (carte combinatoire)

Soit n ≥ 0. Une n carte combinatoire (ou n-carte) est une alg `ebre C = (B, β

1

, . . . , β

n

) o `u :

1

B est un ensemble fini de brins ;

2

β

1

est une permutation sur B ;

3

∀i, 2 ≤ i ≤ n, β

i

est une involution sur B ;

4

∀i, 1 ≤ i ≤ n − 2, ∀j, i + 2 ≤ j ≤ n, β

i

◦ β

j

est une involution.

Remarque :

Ligne 4 : contraintes sur les relations

⇒ garantit la validit ´e des objets

Exemple, en 3D : β

1

◦ β

3

involution

(24)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cartes g ´en ´eralis ´ees

Les cartes g ´en ´eralis ´ees

Cartes g ´en ´eralis ´ees : une d ´ecomposition suppl ´ementaire

3G-cartes : α

0

, α

1

, α

2

, α

3

: involutions plus des contraintes de coh ´erences

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(25)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cartes g ´en ´eralis ´ees

Les cartes g ´en ´eralis ´ees

D ´efinition alg ´ebrique des cartes g ´en ´eralis ´ees nD Definition (carte g ´en ´eralis ´ee)

Soit n ≥ 0. Une n carte g ´en ´eralis ´ee (ou nG-carte) est une alg `ebre G = (B, α

0

, . . . , α

n

) o `u :

1

B est un ensemble fini de brins ;

2

∀i, 0 ≤ i ≤ n, α

i

est une involution sur B ;

3

∀i, 0 ≤ i ≤ n − 2, ∀j, i + 2 ≤ j ≤ n, α

i

◦ α

j

est une involution.

Avantages :

d ´efinition homog `ene pour toutes les dimensions

⇒ facilitent les d ´efinitions car plus de cas particulier

repr ´esentation d’objet avec ou sans bord, orientable/non-orientable

(26)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cartes g ´en ´eralis ´ees

Propri ´et ´es

Une G-carte G = (B, α

0

, . . . , α

n

) est : D ´efinition (connexe)

G est connexe si pour b ∈ B, hα

0

, . . . , α

n

i(b) = B.

D ´efinition (avec/sans bord)

G est sans bord si ∀b ∈ B, ∀i ∈ {0, . . . , n}, α

i

(b) 6= b.

G est dite `a bord sinon.

D ´efinition (G-carte orientable)

Si G est connexe et sans bord. G est orientable si la n-carte

HG = (B, α

01

, . . . , α

0n

) a exactement deux composantes connexes distinctes. G est non orientable sinon.

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(27)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cellules dans les cartes

Cellules dans les cartes

Exemple : 3-Cartes et Cellules

Cellules : repr ´esentation implicite : i-cellule = ensemble de brins

Utilise la notion d’orbite

(28)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cellules dans les cartes

Cellules dans les cartes

Repr ´esentation implicite : i-cellule = ensemble de brins Definition (i-cellule)

Soit C une n-carte, b un brin de cette carte, et i ∈ {0, . . . , n}. La i-cellule incidente `a b est :

Si i = 0 : < β

2

◦ β

0

, . . . , β

n

◦ β

0

> (b) ; Sinon : < β

1

, . . . , β

i−1

, β

i+1

, . . . , β

n

> (b).

Intuitivement : i-cellule incidente `a un brin = l’ensemble des brins atteignables par un parcours en utilisant tout les β sauf β

i

Attention : d ´efinition diff ´erente pour les sommets

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 16 / 95

(29)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cellules dans les cartes

Incidence et Adjacence

D ´efinition (Incidence)

Deux cellules c

1

et c

2

sont incidentes si elles sont de dimensions diff ´erentes, et c

1

∩ c

2

6= ∅.

D ´efinition (Adjacence)

Deux i-cellules c

1

et c

2

sont adjacentes s’il existe b

1

∈ c

1

et b

2

∈ c

2

tel que si i = 0 : d

1

= β

k

(d

2

) avec k ∈ {0, . . . , n} ;

si i > 0 : d

1

= β

i

(d

2

) ou d

2

= β

i

(d

1

).

(30)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cellules dans les cartes

Cellules dans les G-cartes

plus de diff ´erence entre les 0-cellules et les autres cellules Definition (i-cellule)

Soit G une nG-carte, b un brin de cette carte, et i ∈ {0, . . . , n}. La i-cellule incidente `a b est < α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b).

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(31)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cellules dans les cartes

Codage en pratique

class CDart2D {

private:

CDart * FBeta[3];

bool FMarks[8];

}

class CMap2D {

private:

std::list<CDart2D *> FListOfDarts;

}

(32)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Cellules dans les cartes

Plongement des cartes

Repr ´esentation d’un objet : topologie : carte combinatoire g ´eom ´etrie : plongement

i-cellule topologique ⇐⇒ objet g ´eom ´etrique de dimension i

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(33)

2. Invariants Topologiques

1

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees

2

Invariants Topologiques Bases de topologie Invariants topologiques Liens avec cartes

3

Op ´erations de base

(34)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Bases de topologie

Bases de topologie

Hom ´eomorphismes

X et Y sont hom ´eomorphes s’il ∃ f une bijection continue de X dans Y, tel que f

−1

est continue.

Intuitivement :

X peut se

d ´eformer continuement

en Y X et Y ont la

m ˆeme topologie

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 21 / 95

(35)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Bases de topologie

Bases de topologie

Vari ´et ´e

X est une vari ´et ´e si en chaque point de X, il existe un voisinage hom ´eomorphe

`a la boule unit ´e ou `a la demi-boule unit ´e.

Bord

Soit X une vari ´et ´e. Son bord est l’ensemble des points de X dont le voisinage est hom ´eomorphe `a la demi-boule unit ´e.

vari ´et ´e avec/sans bord.

Orientable

Une vari ´et ´e X est orientable s’il est possible de d ´efinir une direction

gauche

et

droite

globalement en tout point de la vari ´et ´e.

(36)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Invariants topologiques

Invariants topologiques

Invariant topologique

Une propri ´et ´e qui se conserve par hom ´eomorphisme

2 objets hom ´eomorphes ont les m ˆemes invariants topologiques Exemples d’invariants :

dimension, nombre de composantes connexes, orientabilit ´e, caract ´eristique d’Euler, nombres de Betti, groupes d’Homologies. . .

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 23 / 95

(37)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Invariants topologiques

Caract ´eristique d’Euler

Caract ´eristique d’Euler

Caract ´eristique d’Euler χ de C un complexe cellulaire 2D sans bord et connexe : χ(C) = k

0

(C) − k

1

(C) + k

2

(C)

avec k

i

(C) le nombre de cellules de dimension i de C.

Autrement dit : #sommets-#ar ˆetes+#faces

4 − 6 + 4 = 2 8 − 12 + 6 = 2 74 − 156 + 84 = 2

(38)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Invariants topologiques

Caract ´eristique d’Euler

Caract ´eristique d’Euler

Caract ´eristique d’Euler χ de C un complexe cellulaire 2D sans bord et connexe : χ(C) = k

0

(C) − k

1

(C) + k

2

(C)

avec k

i

(C) le nombre de cellules de dimension i de C.

Autrement dit : #sommets-#ar ˆetes+#faces

9 − 18 + 9 = 0 72 − 144 + 72 = 0 148 − 298 + 148 = −2

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 24 / 95

(39)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Invariants topologiques

Genre

Autre invariant topologique :

nombre maximum de courbes simples ferm ´ees non d ´econnectantes Lien genre ↔ caract ´eristique d’Euler

χ(C) = 2 − 2g(C) si C orientable χ(C) = 2 − g(C) si C non orientable Extension aux objets `a bord/non connexe

χ(C) = 2#cc(C) − 2g(C) − #b(C) si C orientable χ(C) = 2#cc(C) − g(C) − #b(C) si C non orientable

avec #b(C) le nombre de bords

et #cc(C) le nombre de composantes connexes.

(40)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Invariants topologiques

Caract ´eristique d’Euler-Poincar ´e

G ´en ´eralisation en nD de la caract ´eristique d’Euler Caract ´eristique d’Euler-Poincar ´e

Caract ´eristique d’Euler χ de C un complexe cellulaire nD sans bord : χ(C) = P

n

i=0

(−1)

i

× k

i

(C)

avec k

i

(C) le nombre de cellules de dimension i de C.

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 26 / 95

(41)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Invariants topologiques

Classification des surfaces

Th ´eor `eme de classification des surfaces

Toute surface ferm ´ee est hom ´eomorphe `a une des trois surfaces suivantes : S

2

, la sph `ere de dimension 2 ;

la somme connexe de g tores (ou tore `a g trous) ; la somme connexe de k plans projectifs.

Classification compl `ete des surfaces ferm ´ees par caract ´eristique d’Euler + orientabilit ´e

Extension directe aux surfaces `a bord/non connexe :

ajouter nombre de bords et nombre de composantes connexes.

(42)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Invariants topologiques

Pas de classification pour n > 2

2 objets non hom ´eomorphe avec m ˆemes caract ´eristiques : Euler, nb composantes connexes, nb bords

χ = 0, #cc = 1, #b = 3 χ = 0, #cc = 1, #b = 3

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 28 / 95

(43)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Invariants topologiques

Nombres de Betti

Nombres de Betti b

0

, . . . , b

n

(apr `es tous nul)

Chaque b

i

est le rang du i

`eme

groupe d’homologie.

Intuitivement : b

i

nombre de composantes connexes de i-surfaces

b

0

= 1

b

1

= 3

b

2

= 2

(44)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Invariants topologiques

Nombres de Betti

Lien avec caract ´eristique d’Euler-Poincar ´e

χ(C) = P

i=0

(−1)

i

× b

i

(C)

Attention `a la dimension :

2D : b

0

= 1 b

1

= 2 b

2

= 1 ⇒ χ(C) = 0. 3D : b

0

= 1 b

1

= 1 b

2

= 0 b

3

= 0 ⇒ χ(C) = 0.

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 30 / 95

(45)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Invariants topologiques

Nombres de Betti

Invariant

plus fort

que la caract ´eristique d’Euler-Poincar ´e

b

0

= 1, b

1

= 3, b

2

= 2 b

0

= 1, b

1

= 2, b

2

= 1

χ = b

0

− b

1

+ b

2

= 0

(46)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Liens avec cartes

Liens avec cartes

n-Carte : quasi vari ´et ´e nD avec ou sans bord orientable ; nG-Carte : quasi vari ´et ´e nD avec ou sans bord orientable ou non-orientable.

quasi vari ´et ´e nD

Des quasi vari ´et ´e (n − 1)D coll ´ees entre elles le long de (n − 1)-cellules.

En 2D, quasi-vari ´et ´e = vari ´et ´e ; Pas en dimension sup ´erieure ; PB : 6 ∃ d ´efinition combinatoire de vari ´et ´e.

p

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 32 / 95

(47)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Liens avec cartes

Liens avec cartes

Probl `eme

Les cellules ne sont pas forc ´ement hom ´eomorphe `a des boules Alors que c’est une condition des complexe cellulaires

⇒ pas possible d’utiliser directement les d ´efinitions pr ´ec ´edentes Exemples

R

1

k

0

= 1, k

1

= 2, k

2

= 1, k

3

= 1 1-2+1-1=-1 mais χ(C) = 0

R

2

k

0

= 4, k

1

= 2, k

2

= 2, k

3

= 1

4-2+2-1=3 mais χ(C) = 2

Heureusement il y a des solutions (cf. plus tard)

(48)

3. Op ´erations de base

1

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees

2

Invariants Topologiques

3

Op ´erations de base

Suppression

Contraction

(49)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Op ´erations de suppression

Suppressions

D ´efinies en dimension quelconque Contrainte : cellules localement de degr ´e 2

Suppression d’une i cellule ⇒ fusion des (i+1) cellules 2-Suppression

d

(50)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Op ´erations de suppression

Suppressions

D ´efinies en dimension quelconque Contrainte : cellules localement de degr ´e 2

Suppression d’une i cellule ⇒ fusion des (i+1) cellules 1-Suppression

d d

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 34 / 95

(51)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Op ´erations de suppression

Suppressions

D ´efinies en dimension quelconque Contrainte : cellules localement de degr ´e 2

Suppression d’une i cellule ⇒ fusion des (i+1) cellules 0-Suppression

d d

Autres op ´erations de base : contraction, insertion, ´eclatement

(52)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Suppression

Suppression en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {0, . . . , n − 1}

∀b

0

∈ C,

α

(i+1)

α

(i+2)

(b

0

) = α

(i+2)

α

(i+1)

(b

0

) (sauf pour i = n − 1)

B

S

= α

i

(C) \ C

∀b

0

∈ B

S

, α

0i

(b

0

) = (α

i

α

(i+1)

)

k

α

i

(b

0

) k le plus petit entier

2-G-carte initiale ; ar ˆetes `a supprimer

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 35 / 95

(53)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Suppression

Suppression en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {0, . . . , n − 1}

∀b

0

∈ C,

α

(i+1)

α

(i+2)

(b

0

) = α

(i+2)

α

(i+1)

(b

0

) (sauf pour i = n − 1)

B

S

= α

i

(C) \ C

∀b

0

∈ B

S

, α

0i

(b

0

) = (α

i

α

(i+1)

)

k

α

i

(b

0

) k le plus petit entier

B

S

= Cα

1

− C

(54)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Suppression

Suppression en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {0, . . . , n − 1}

∀b

0

∈ C,

α

(i+1)

α

(i+2)

(b

0

) = α

(i+2)

α

(i+1)

(b

0

) (sauf pour i = n − 1)

B

S

= α

i

(C) \ C

∀b

0

∈ B

S

, α

0i

(b

0

) = (α

i

α

(i+1)

)

k

α

i

(b

0

) k le plus petit entier

∀b

0

∈ B

S

, b

0

α

01

= b

0

1

α

2

)

k

α

1

k plus petit entier

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 35 / 95

(55)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Suppression

Suppression en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {0, . . . , n − 1}

∀b

0

∈ C,

α

(i+1)

α

(i+2)

(b

0

) = α

(i+2)

α

(i+1)

(b

0

) (sauf pour i = n − 1)

B

S

= α

i

(C) \ C

∀b

0

∈ B

S

, α

0i

(b

0

) = (α

i

α

(i+1)

)

k

α

i

(b

0

) k le plus petit entier

2-G-map finale

(56)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Contraction

Contraction : dual de la suppression

G = (B, α

0

, . . . , α

n

) ⇒ dual G

0

= (B, α

n

, . . . , α

0

)

2-G-carte initiale 2-G-carte duale

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 36 / 95

(57)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Contraction

Contraction en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {1, . . . , n}

∀b

0

∈ C,

α

(i−1)

α

(i−2)

(b

0

) = α

(i−2)

α

(i−1)

(b

0

) (sauf pour i = 1)

B

S

= α

i

(C) \ C

∀b

0

∈ B

S

, α

0i

(b

0

) = (α

i

α

(i−1)

)

k

α

i

(b

0

) k le plus petit entier

2-G-carte initiale ; ar ˆetes `a contracter

2-G-carte duale ; ar ˆetes `a

supprimer

(58)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Contraction

Contraction en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {1, . . . , n}

∀b

0

∈ C,

α

(i−1)

α

(i−2)

(b

0

) = α

(i−2)

α

(i−1)

(b

0

) (sauf pour i = 1)

B

S

= α

i

(C) \ C

∀b

0

∈ B

S

, α

0i

(b

0

) = (α

i

α

(i−1)

)

k

α

i

(b

0

) k le plus petit entier

B

S

= Cα

1

− C

B

S

= Cα

1

− C

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 37 / 95

(59)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Contraction

Contraction en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {1, . . . , n}

∀b

0

∈ C,

α

(i−1)

α

(i−2)

(b

0

) = α

(i−2)

α

(i−1)

(b

0

) (sauf pour i = 1)

B

S

= α

i

(C) \ C

∀b

0

∈ B

S

, α

0i

(b

0

) = (α

i

α

(i−1)

)

k

α

i

(b

0

) k le plus petit entier

∀b

0

∈ B

S

, b

0

α

01

= b

0

1

α

0

)

k

α

1

k plus petit entier

∀b

0

∈ B

S

, b

0

α

01

= b

0

1

α

2

)

k

α

1

k plus petit entier

(60)

Cartes combinatoires/g ´en ´eralis ´ees Invariants Topologiques Op ´erations de base

Contraction

Contraction en dimension n

C =< α

0

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

n

> (b)

Pr ´econditions : i ∈ {1, . . . , n}

∀b

0

∈ C,

α

(i−1)

α

(i−2)

(b

0

) = α

(i−2)

α

(i−1)

(b

0

) (sauf pour i = 1)

B

S

= α

i

(C) \ C

∀b

0

∈ B

S

, α

0i

(b

0

) = (α

i

α

(i−1)

)

k

α

i

(b

0

) k le plus petit entier

2-G-carte finale

2-G-carte finale

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 37 / 95

(61)

Part II : Applications

4

Segmentation d’Images

5

Simulation Physique

6

Autres Applications

(62)

4. Segmentation d’Images

4

Segmentation d’Images Quelques mod `eles Carte topologique

Algorithme incr ´emental d’extraction Segmentation bas ´ee Cartes Segmentation 2D

Segmentation 3D

Int ´egration de crit `eres topologiques R ´esultats

5

Simulation Physique

6

Autres Applications

(63)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

La segmentation

C’est regrouper les pixels en zones homog `enes

⇒ Besoin de caract ´eristiques sur ces zones Moyenne des couleurs des pixels

D ´etection de ruptures dans l’image (fronti `eres) Crit `eres sur la forme des r ´egions

...

Pour chaque crit `ere ⇒ besoin d’informations un mod `ele de repr ´esentation

des algorithmes

(64)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Un mod `ele de repr ´esentation : le RAG

Graphe d’Adjacence des R´egions [Rosenfeld74]

R

0

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

0

R

1

R

5

R

4

R

3

R

2

Image RAG

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 39 / 95

(65)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Un mod `ele de repr ´esentation : le RAG

Graphe d’Adjacence des R´egions [Rosenfeld74]

R

0

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

0

R

1

R

5

R

4

R

3

R

2

Image multi-RAG

(66)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion ?

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 40 / 95

(67)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion : oui

(68)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion ?

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 40 / 95

(69)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion : oui

(70)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion ?

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 40 / 95

(71)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion : oui

(72)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion ?

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 40 / 95

(73)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion : non

Complexit ´e ?

(74)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Fusion : non

Complexit ´e : O(n

2

)

Si test de tout les couples de r ´egions

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 40 / 95

(75)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Exemple d’algo. : segmentation bottom-up

Initialisation : chaque pixel est une r ´egion Tant que non fin

• pour chaque r ´egion r faire

• voir s’il faut fusionner r avec ses voisins

Voisins(R) ?

Question :

Comment r ´ecup ´erer les voisins d’une r ´egion R ?

R ´eponse :

Avec un RAG

(76)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Segmentation bottom-up et RAG

Initialisation :

1

pixel ⇒ sommet dans le graphe

2

Deux pixels voisins ⇒ ar ˆete dans le graphe

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 41 / 95

(77)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Segmentation bottom-up et RAG

Parcours :

Les voisins d’une r ´egion R ⇒ voisins dans le graphe

R

(78)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Segmentation bottom-up et RAG

Modification :

Fusionner deux r ´egions R

1

et R

2

⇒ contraction d’ar ˆete

R 1 R 2

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 41 / 95

(79)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Segmentation bottom-up et RAG

Modification :

Fusionner deux r ´egions R

1

et R

2

⇒ contraction d’ar ˆete

R 1

R 2

(80)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Segmentation bottom-up et RAG

Modification :

Fusionner deux r ´egions R

1

et R

2

⇒ contraction d’ar ˆete

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 41 / 95

(81)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Segmentation bottom-up et RAG

Modification :

Fusionner deux r ´egions R

1

et R

2

⇒ contraction d’ar ˆete

(82)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Les probl `emes du RAG

R

1

R

5

R

4

R

3

R

2

R

0

Probl `emes

pas de multi-adjacence

pas de repr ´esentation des sommets pas d’ordre des ar ˆetes

pas de notion d’imbrication

⇒ On n’a pas toutes les informations

Note : C’est encore pire en dimension sup ´erieure

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 42 / 95

(83)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Quelques mod `eles

Extensions du RAG

Plusieurs mod `eles r ´esolvent +/- partiellement ces probl `emes Graphe d’adjacence des r ´egions

Graphes duaux

Carte planaire et fronti `eres interpixel Graphe topologique des fronti `eres

[Rosenfeld74]

[Kropatsch95]

[Domenger92]

[Fiorio95]

Probl `eme : mod `eles difficilement extensibles en dimension sup ´erieure

D ´efinition d’un nouveau mod `ele : la carte topologique

(84)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Carte topologique

Les niveaux de simplification

Principe

construire la carte repr ´esentant tous les pixels de l’image simplifier progressivement cette carte

R

1

R

0

R

2

R

3

R

4

R

5

Image segment ´ee en r ´egions Niveau 0

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 44 / 95

(85)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Carte topologique

Niveau 1

Definition

Niveau 1 : Suppression des ar ˆetes entre deux pixels d’une m ˆeme r ´egion R

0

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

Niveau 0 Niveau 1

(86)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Carte topologique

Niveau 2

Definition

Niveau 2 : Suppression des sommets de degr ´e 2 R

0

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

0

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

Niveau 1 Niveau 2

Remarque : ces d ´efinitions ⇒ algorithme d’extraction lin ´eaire

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 46 / 95

(87)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Carte topologique

Probl `eme de d ´econnexion

La carte peut avoir plusieurs composantes connexes : R

0

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

⇒ Perte d’information : comment positionner les diff ´erentes composantes ?

Notion de contour ext ´erieur et int ´erieur

(88)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Carte topologique

Une solution : l’arbre d’imbrication

R

0

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

1

R

2

R

3

R

5

R

4

R

0

Pour conserver les informations topologiques : chaque brin connaˆıt sa r ´egion d’appartenance chaque r ´egion connaˆıt un brin du contour ext ´erieur Niveau 3 + arbre d’imbrication = carte topologique

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 48 / 95

(89)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Carte topologique

Carte topologique 2D

Carte topologique 2D = extension directe du multi-RAG

R 0

R 1

R 2

R 3

R 4

R 5

R

0

R

1

R

5

R

4

R

3

R

2

Carte topologique multi-RAG

(90)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Carte topologique

D ´efinition progressive : Niveau 0

Niveaux de simplification ⇒ extension directe en 3D Definition

Niveau 0 : Tous les voxels.

R

1

R

2

R

3

R

0

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 50 / 95

(91)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Carte topologique

Niveau 1

Definition

Niveau 1 : Suppression des faces entre 2 voxels d’une m ˆeme r ´egion

(92)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Carte topologique

Niveau 2

Definition

Niveau 2 : Suppression des ar ˆetes de degr ´e 2 et ar ˆetes pendantes

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 52 / 95

(93)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Carte topologique

Niveau 3

Definition

Niveau 3 : Suppression des sommets de degr ´e 2

(94)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Carte topologique

D ´econnexion de volume

Exemple de d ´econnexion

Solution

Ajout d’un arbre d’imbrication des r ´egions

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 54 / 95

(95)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Carte topologique

D ´econnexion de face

Exemple

Solution

Garder des ar ˆetes fictives

ar ˆete de degr ´e un dont la suppression ⇒ d ´econnexion

(96)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Carte topologique

D ´econnexion de face

Exemple

Solution

Garder des ar ˆetes fictives

ar ˆete de degr ´e un dont la suppression ⇒ d ´econnexion

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 55 / 95

(97)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Carte topologique

Carte topologique 3D

Carte topologique 3D : chaque face fronti `ere de mani `ere minimale

Ar ˆetes fictives : ar ˆetes de degr ´e 1

(98)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Algorithme d’extraction

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre `a la carte d ´ej `a existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

2

n

1

1

1

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 57 / 95

(99)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Algorithme d’extraction

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre `a la carte d ´ej `a existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

1

n

2

1

1

up

last

(100)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Algorithme d’extraction

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre `a la carte d ´ej `a existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

1

n

2

1 up

1 last

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 57 / 95

(101)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Algorithme d’extraction

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre `a la carte d ´ej `a existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

1

n

2

1

1

up

last

(102)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Algorithme d’extraction

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre `a la carte d ´ej `a existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

1

n

2

1

1

up last

Introduction aux Cartes Combinatoires : Applications en Traitement d’Images et Simulation Physique Guillaume Damiand 57 / 95

(103)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Algorithme d’extraction

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

1

cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre `a la carte d ´ej `a existante

3

chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

n

1

n

2

1

1 up

last

(104)

Segmentation d’Images Simulation Physique Autres Applications

Algorithme d’extraction

Algorithme incr ´emental d’extraction

Principe

Balayer l’image : parcours scanline Pour chaque pixel

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cr ´eer un carr ´e dans la carte

2

le coudre `a la carte d ´ej `a existante

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chercher `a supprimer les cellules ferm ´ees

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