Etude numérique et expérimentale des paliers de moteur thermique et des joints d'étanchéité dynamique

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Submitted on 9 Jan 2015

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thermique et des joints d’étanchéité dynamique

Aurelian Fatu

To cite this version:

Aurelian Fatu. Etude numérique et expérimentale des paliers de moteur thermique et des joints d’étanchéité dynamique. Mécanique [physics.med-ph]. Université de Poitiers, 2013. �tel-01101772�

Etude numérique et expérimentale des paliers de

moteur thermique et des joints d'étanchéité

dynamique

Habilitation à Diriger des Recherches Université de Poitiers Aurelian FATU

Habilitation à diriger les recherches

Présentée par :

Aurelian FATU

************************

Université de Poitiers

Institut Pprime, Département Génie Mécanique et Systèmes Complexes

************************

Etude numérique et expérimentale des paliers de moteur thermique et des

joints d'étanchéité dynamique

************************

Soutenue prévue le 19 septembre 2013

************************

JURY

John A. Tichy Professeur, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy Rapporteur

Minel J. Braun Professeur, University of Akron Rapporteur

Benyebka Bou-Said Maître de Conférences HDR, INSA de Lyon Rapporteur

François Robbe-Valloire Professeur, SUPMECA Paris Examinateur

Traian Cicone Professeur, Université "Politehnica" de Bucarest Examinateur

Mihai ARGHIR Professeur, Université de Poitiers Examinateur

Dominique Bonneau Professeur, Université de Poitiers Examinateur

Avant-Propos

Ce manuscrit fait le résumé d'environ dix années de recherche que j'ai mené au sein de l'ancien Laboratoire de Mécanique des Solides, qui constitue aujourd'hui le département Génie Mécanique et Systèmes Complexes de l'Institut Pprime de l'Université de Poitiers.

Le travail que je présente est le résultat d'une collaboration fructueuse avec les membres de l'axe Tribolub, qui opèrent sur le site de l'Institut Universitaire de Technologie d'Angoulême et plus particulièrement avec Monsieur Dominique BONNEAU et Monsieur Mohamed HAJJAM, Professeurs de l'Université de Poitiers. Je tiens à leur remercier tout particulièrement pour la confiance qu'ils m'ont témoignée, leur grande disponibilité; leur conseils toujours utiles ainsi que le soutien relationnel et moral qu'ils m'ont apporté toute au long de ces années et en toute circonstance.

Je suis extrêmement sensible à l'honneur que me font Monsieur John A. TICHY, Professeur à Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, Monsieur Minel J. BRAUN, Professeur à l'Université d'Akron et Monsieur Benyebka BOU-SAID, Maître de Conférences à l'I.N.S.A. de Lyon, en acceptant d'être rapporteurs de mes activités de recherche. Je suis également très reconnaissant à tous les membres du jury qui ont accepté de donner de leurs temps afin d'examiner ce travail.

Je tiens à exprimer ma reconnaissance à Monsieur Traian CICONE qui, en 2001, m'a fait confiance en me permettant de réaliser mon projet de fin d'études à Poitiers. C'est grâce à lui et à Monsieur Bernard TOURNERIE, auquel je suis également très reconnaissant, que j'ai pris le gout de la recherche et le premier contact avec la lubrification.

Merci beaucoup à Djamila, Laurence et Estelle pour l'accueil, l'aide et la bonne humeur qu'ont su montrer pendant tous ces années. Pour les mêmes raisons, merci à tous les autres membres du laboratoire, trop nombreux pour tous les mentionner.

Un grand merci à Dominique HAJJAM, qui a eu la "tâche" fastidieuse de la relecture de ce document. Pour finir, je tiens à dédier ce recueil à ma famille, mais surtout à Ramona et Luca, qui sont ma raison d'avancer.

Introduction générale ... 1

Chapitre 1 : Bases de la lubrification hydrodynamique ... 3

1.1 Introduction ... 3

1.2 Propriétés des lubrifiants ... 4

1.2.1 La viscosité ...5

1.2.2 Variation de la viscosité avec la température ...6

1.2.3 Variation de la viscosité avec la pression ...7

1.2.4 Variation de la viscosité avec la pression et la température ...7

1.2.5 Comportement non-newtonien ...9

1.3 Equation des films minces visqueux ... 11

1.3.1 Hypothèses ...11

1.3.2 Equation de Reynolds généralisée ...11

1.3.3 Cas d'un fluide incompressible isovisqueux ...14

1.3.4 Cavitation : forme particulière de l'équation de Reynolds ...15

1.4 Discrétisation numérique de l'équation de Reynolds ... 17

1.4.1 Définition des problèmes à résoudre ...17

1.4.2 Formulation éléments finis ...18

1.5 Lubrification élastohydrodynamique ... 22

1.6 Lubrification mixte ... 24

1.6.1 Introduction ...24

1.6.2 Régimes de fonctionnement d'un contact lubrifié ...24

1.6.3 Les paramètres des surfaces rugueuses ...25

1.6.4 Norme NF EN ISO 4287, 4288 : "Ligne moyenne" ...26

1.6.6.1 Modèle de Patir et Cheng ...30

1.6.6.2 Modèle avec calcul direct des facteurs d'écoulement ...34

1.6.6.3 Modèle par homogénéisation ...37

1.6.6.4 Similitudes et différences entre le modèle par homogénéisation et les facteurs d'écoulement ...40

1.6.6.5 Préconisations pour le calcul des facteurs d'écoulement ...42

1.6.6.6 Effet de la déformée due à la pression de contact ...46

1.6.6.7 Influence des méthodes de calcul des facteurs d'écoulement sur les performances d'un palier ...48

1.6.7 Calcul de la pression de contact ...52

1.6.7.1 Concept de la surface somme ...52

1.6.7.2 Modèle de contact élastique de Greenwood et Williamson ...53

1.6.7.3 Modèle de contact élasto-plastique ...54

1.6.7.4 Modèle de contact élasto-plastique bicouche ...57

1.6.7.5 Utilisation des modèles de contact ...59

1.7 Glissement pariétal et texturation des surfaces ... 62

1.7.1 Introduction ...62

1.7.2 Forme particulière de l'équation de Reynolds dans le cas du glissement pariétal...62

1.7.3 Etude du l'effet du glissement pariétal et de la texturation des surfaces sur les performances hydrodynamiques d'un palier lisse ...64

1.7.4 Quelques conclusions et perspectives ...70

1.8 Lubrification ThermoHydroDynamique ... 71

1.8.1 Introduction ...71

1.8.2 Les équations à résoudre ...71

1.8.3 Modèle thermique global ...72

1.8.4 Modèle à température moyennée sur l'épaisseur du film (MTM) ...73

1.8.4.1 Evaluation du modèle pour un cas stationnaire rigide ...74

1.8.4.2 Evaluation du modèle pour un problème transitoire avec un profil d’épaisseur variable et un orifice d’alimentation situé sur le coussinet ...77

orifice d’alimentation situé sur l’arbre ...80

1.8.5 Modèle à profil de température parabolique sur l’épaisseur du film (MTP) ...80

1.8.5.1 Evaluation du modèle pour un cas stationnaire rigide ...82

1.8.5.2 Evaluation du modèle pour un problème transitoire avec un profil d’épaisseur variable et un orifice d’alimentation situé sur le coussinet ...84

1.8.5.3 Evaluation du modèle pour un problème transitoire avec un profil d’épaisseur stationnaire et un orifice d’alimentation situé sur l’arbre ...84

1.9 Conclusions ... 87

Chapitre 2 : Lubrification des paliers de moteur thermique ... 89

2.1 Introduction ... 89

2.2 Aspects généraux ... 91

2.3 La liaison vilebrequin-bielle ... 93

2.3.1 Généralités ...93

2.3.2 Alimentation en lubrifiant ...94

2.3.3 Exemples de calculs de paliers de tête de bielle ...96

2.3.3.1 Bielle pour moteur de Formule 1 ...96

2.3.3.2 Bielle pour moteur à essence ...98

2.3.3.3 Bielle pour moteur diesel ...98

2.3.3.4 Epaisseur et pression hydrodynamique du film ...99

2.3.3.5 Effets non-newtoniens et piezovisqueux ...100

2.3.4 Cas des moteurs en V ...103

2.3.5 Lubrification mixte ...108

2.3.5.1 Modélisation de l'usure ...109

2.3.5.2 Prédiction de la pression de contact et du produit PcV dans des paliers de tête de bielle ...112

2.3.5.3 Prédiction de l'usure dans des paliers de tête de bielle ...119

2.3.6 Modélisation thermoélastohydrodynamique...122

2.3.7 Influence des paramètres d'entrée et optimisation ...131

2.3.7.1 La méthode des plans d’expériences ...131

2.3.7.2 Exemple d'identification de l’influence des paramètres d’entrée...133

2.3.7.3 Optimisation multiobjectif ...135

2.3.7.4 Exemple d'optimisation d'un palier de tête de bielle ...136

2.3.7.5 Conclusions ...149

2.3.8 Modélisation expérimentale ...150

2.3.8.1 Présentation du banc d'essais ...150

2.3.8.2 Exemple d'étude ...153

2.3.8.3 Conclusions et perspectives ...159

2.4 La liaison bloc moteur-vilebrequin ... 161

2.4.1 Généralités ...161

2.4.2 Présentation du modèle ...162

2.4.3 Déformation élastique ...164

2.4.4 Expression de l’épaisseur du film lubrifiant pour chaque palier ...165

2.4.5 Equations du système ...166

2.4.6 Exemples de calculs ...167

2.4.7 Conclusion ...179

2.5 Conclusions ... 180

Chapitre 3 : Etanchéité dynamique ... 185

3.1 Introduction ... 181

3.2 Joints hydrauliques... 182

3.2.1 Aspects généraux ...182

3.2.2 Calcul de structure : loi de comportement ...183

3.2.3 Calcul de structure : assemblage du joint hydraulique ...186

3.2.6 Validation expérimentale du modèle ...191 3.2.7 Conclusions ...194

3.3 Joints à lèvres ... 195

3.3.1 Aspects généraux ...195 3.3.2 Calcul de structure ...196 3.3.3 Modélisation Elastohydrodynamique ...198 3.3.4 Etude expérimentale ...199 3.3.5 Quelques résultats ...200

3.4 Joints à hélice ... 203

3.4.1 Aspects généraux ...203 3.4.2 Caractérisation du joint ...204 3.4.3 Calcul de structure ...207 3.4.4 Modèle Elastohydrodynamique ...208 3.4.5 Validation du modèle...211 3.4.6 Perspectives ...211

3.5 Conclusions ... 212

Conclusions et perspectives ... 213

Bibliographie ... 218

Introduction

Mes activités de recherche ont débuté en septembre 2002 au sein de l'équipe Structures et Interfaces de l'ancien Laboratoire de Mécanique des Solides (LMS). Depuis le 1er janvier 2010, elles se poursuivent au département Génie Mécanique et Systèmes Complexes de l'Institut Pprime de Poitiers. Mes recherches représentent le résultat d'une collaboration fructueuse avec les membres de l'axe Tribolub, qui opèrent sur le site de l'IUT d'Angoulême.

Mon premier axe de recherche concerne l'analyse et la modélisation des paliers soumis à des chargements dynamiques, avec une application directe au comportement des paliers de moteur thermique. Le second aborde l'étude des joints d'étanchéité dynamique à structure très compliante.

Les paliers et les systèmes d'étanchéité sont présents dans la plupart des machines créées par l'homme. Même si leur conception parait simple au premier abord, comme la plupart des systèmes lubrifiés, leur fonctionnement fait interagir de nombreux phénomènes physiques. Afin de les étudier et de les modéliser, il est souvent nécessaire de faire appel à plusieurs disciplines telles que la mécanique des solides, la mécanique des fluides, la thermodynamique, la science des matériaux, les mathématiques appliquées, etc.

Ce document est donc une synthèse d'environ 10 années de recherche dans le domaine de la mécanique des surfaces lubrifiées. Il est aussi écrit dans le but de proposer un document qui, je l'espère, sera utile à mes futurs étudiants et collaborateurs.

hydrodynamique et il est composé de sept parties. Pour commencer, on s'intéresse aux propriétés des lubrifiants et à la description de l'équation des films minces visqueux (ou équation de Reynolds). Ce sont des éléments qui peuvent être retrouvés dans tout ouvrage sur la lubrification et, de ce fait, j'ai seulement rappelé les éléments de base, en faisant référence aux livres dédiés au sujet. Ensuite, j'ai présenté la discrétisation numérique de l'équation de Reynolds. Comme pour la majorité des modèles numériques développés la solution de l'équation de Reynolds est obtenue en utilisant la méthode des éléments finis, celle-ci est la seule présentée. Cependant, le lecteur intéressé peut faire appel au livre que nous avons récemment publié (Bonneau, Fatu et Souchet 2011), qui présente en détail deux autres méthodes numériques (différences et volumes finis) utilisées pour le traitement de l'équation des films minces. Les techniques utilisées pour la prise en compte de la déformation des surfaces due au champ de pression sont après brièvement décrites.

Les dernières parties du chapitre 1 sont consacrées, dans l'ordre, à la lubrification mixte, aux problèmes liés au glissement pariétal, à la texturation des surfaces et aux problèmes thermiques. Ce sont, cette fois, des éléments rarement abordés en détail dans les ouvrages spécialisés. En conséquence, j'ai fait le choix de détailler les modèles et de présenter quelques résultats de simulation qui nous ont permis de valider et/ou de montrer les limites des différentes méthodes adoptées.

Le deuxième chapitre présente mon premier axe de recherche : les activités de modélisation (expérimentale et numérique) des paliers soumis à des chargements dynamiques, avec une application directe au comportement des paliers de moteur thermique. Après des aspects généraux, j'ai présenté plus en détails mes principales contributions. Les résultats exposés dans ce chapitre concernent essentiellement les paliers de tête de bielle. Cependant, les modèles développés peuvent être utilisés directement pour n'importe quel autre type de palier soumis à un chargement dynamique ou statique.

Le troisième chapitre présente mon second axe de recherche : la modélisation numérique et expérimentale des joints d'étanchéité dynamique. Trois dispositifs d'étanchéités ont été étudiés : les joints hydrauliques, les joints à lèvres et les joints à hélice. La première difficulté à surmonter lors de l'analyse de ce type d'étanchéité réside dans la modélisation de l'assemblage du joint, précédé par la caractérisation, la plus pertinente, de la réponse élastique des matériaux de fabrication à fort comportement non-linéaire (élastomère ou PTFE).

La méthode que nous avons choisie d'utiliser pour l'analyse des joints hydraulique est la théorie inverse. La modélisation des joints rotatifs (joint à lèvre et joint à hélice) est réalisée par la théorie directe, basée sur une discrétisation de l'équation de Reynolds par éléments finis. Les modèles développés ont été validés par des comparaisons avec des résultats expérimentaux.

Chapitre 1 : Bases de la lubrification

hydrodynamique

1.1

Introduction

La conception, la fabrication et l'exploitation des paliers de moteur thermique et des joints d'étanchéité dynamique nécessitent une très bonne connaissance des équations qui régissent leur fonctionnement. La majorité de tous les paramètres nécessaires à l'étude de leur comportement peut être déduit à partir de l'analyse

ThermoElastoHydroDynamique (TEHD) du mouvement de fluide qui s'intercale entre deux surfaces très

proches l'une de l'autre. Si on note L une dimension caractéristique du contact lubrifié et h l'épaisseur du film lubrifiant, on peut montrer que :

≈ 10≪ 1 1.1

Cette particularité conduit à deux hypothèses simplificatrices importantes :

• les vitesses et les gradients de vitesse dans le film sont différents pour les deux directions normale/tangentielle ; en tenant compte de l'ordre de grandeur du rapport h/L, dans n'importe

quelle section P1P2 (Figure 1.1) le mouvement peut être considéré comme un mouvement entre

deux surfaces parallèles.

• la courbure des surfaces peut être négligée : on peut choisir les axes de coordonnées telles qu'au

Figure 1.1 : Système d'axes développé

Dans des applications pratiques, comme par exemple les moteurs à combustion interne, les paliers subissent des charges et/ou des vitesses importantes et variables. De plus, la pression dans le film peut atteindre des valeurs très élevées (d'ordre de 102 MPa) ce qui conduit à la déformation locale des parois et dans certains cas à la croissance de la viscosité d'huile (effet piezovisqueux). Dans ces cas le phénomène est connu sur le nom de lubrification ElastoHydroDynamique (EHD).

Les huiles utilisées aujourd'hui dans les moteurs thermiques contiennent des additifs en polymère qui sous certaines conditions peuvent modifier le comportement newtonien du lubrifiant en comportement non –

newtonien : la viscosité varie alors avec le taux de cisaillement dans le film.

Lorsque l'épaisseur locale du film devient de l'ordre de la rugosité des surfaces, la pression locale du film varie fortement sous l'effet des nombreux convergents et divergents que créent les défauts de surfaces. De plus, une partie des aspérités des surfaces peuvent entrer directement en contact avec une rupture locale du film lubrifiant. Dans ces cas on parle d'un régime de lubrification mixte.

L'évaluation du régime thermique ou plus précisément, du champ de températures dans le film lubrifiant, mais aussi dans les solides en contact, est essentielle pour le calcul lors de la conception des paliers fonctionnant sous conditions sévères. La viscosité montre une forte dépendance avec la température (effet

thermovisqueux), ce qui modifie les caractéristiques de fonctionnement du palier. De plus, les déformées

dues au champ thermique deviennent non négligeables en comparaison avec l'épaisseur du film dans le contact. En conclusion, si on tient compte aussi des phénomènes thermiques, on peut parler d'une lubrification

TEHD.

L'objectif de ce chapitre est de présenter la mise en équation et la formulation numérique de tous ces aspects, qui rendent possible le traitement d'un problème TEHD, fortement non linéaire.

1.2

Propriétés des lubrifiants

Toute étude dédiée aux problèmes de lubrification doit s'intéresser aux caractéristiques physiques des lubrifiants. Le but de ce chapitre n'est pas de donner une description exhaustive des lubrifiants mais juste de présenter les différents modèles rhéologiques utilisés dans les chapitres suivants. Pour obtenir plus d'informations, le lecteur peut consulter les travaux présentés dans les références suivantes : (Frêne, et al. 1990), (Bonneau, Fatu et Souchet 2011), (Ligier 1997) et (Hamrock B.J., Schmid et Jacobson 2004).

Dans un contact lubrifié, le lubrifiant a le rôle de réduire le frottement : un film lubrifiant maintenu entre les surfaces en mouvement empêche le contact et en conséquence l'usure des pièces. Un deuxième rôle du lubrifiant est d'évacuer efficacement la chaleur qui provient du frottement des pièces en contact. De plus, il doit pouvoir maintenir en suspension et éliminer les impuretés solides ou liquides formées au cours de fonctionnement.

Il est à noter que, même s'il y a d'innombrables variétés de lubrifiants, selon l'origine il existe deux principales bases qui sont soit une base d'origine minérale (obtenue à partir du pétrole brut), soit une base d'origine synthétique (obtenue artificiellement et qui possède de meilleures qualités du point de vue thermique, une meilleure stabilité à l'oxydation, de meilleures caractéristiques de volatilité, etc.). Souvent, afin d'obtenir les propriétés désirées, les bases synthétiques sont combinées avec des bases minérales.

Afin d'améliorer leurs performances, les lubrifiants utilisés aujourd'hui incorporent des additifs (jusqu'à 20% de la masse), qui possèdent la propriété de modifier (améliorer) leurs performances en terme de capacité à réduire le frottement, à résister à l'oxydation, à minimiser la formation des dépôts, à prévenir la corrosion et l'usure, etc.

1.2.1 La viscosité

Dans un contact lubrifié, la viscosité est une mesure de la friction qui existe à l'intérieur du fluide et détermine tous les paramètres hydrodynamiques (capacité de charge, pertes par frottement, débit, etc.). Pour comprendre le concept de "viscosité" il faut imaginer deux plaques parallèles séparées par un film fluide, où une plaque se déplace à vitesse uniforme V (Figure 1.2). Si le lubrifiant adhère aussi bien à la surface stationnaire qu’à la surface mobile, on peut l'imaginer comme plusieurs couches, chacune mise en mouvement par celle au-dessus à une vitesse qui est une fraction de la vitesse V, proportionnelle à la distance à la paroi mobile (hypothèse du fluide newtonien pour un écoulement laminaire).

Figure 1.2 : Cisaillement d'un fluide entre deux plaques parallèles (Bonneau, Fatu et Souchet 2011)

Si à une distance y de la surface fixe la vitesse de la particule de fluide est v alors la contrainte tangentielle ou la contrainte de cisaillement τxy est donnée, en formulation unidimensionnelle, par :

V Surface mobile Surface fixe lubrifiant Surface fixe Surface mobile v y V x y lubrifiant

 = _ 1.2

où µ est le coefficient de viscosité dynamique. Cette expression est aussi écrite sous la forme

 =  1.3

où  est le taux de vitesse de déformation ou taux de cisaillement. L'équation dimensionnelle de la viscosité est :

[µ] = M L-1 T-1 1.4

Dans le système normalisé (SI) l’unité est le Pascal seconde (1 Pa.s = 1 kg/m.s). En mécanique, on utilise aussi le concept de viscosité cinématique ν, qui est le rapport du coefficient de viscosité dynamique à la masse

volumique du fluide ρ :

 = / 1.5

L’unité de la viscosité cinématique dans le système d’unités CGS (cm, g, s) est le Stokes (St) mais souvent on utilise le centistokes (cSt). Dans le système SI l’unité s’exprime en m2/s (1 cSt = 1 mm2/s).

1.2.2 Variation de la viscosité avec la température

La majorité des lubrifiants montrent une variation exponentielle décroissante de la viscosité avec la température. Il existe dans la littérature plusieurs modèles analytiques pour la variation de la viscosité avec la température (Seeton 2006) parmi lesquelles nous retiendrons :

• la relation de Reynolds modifié avec une viscosité corrective µc :

= +  1.6

où µ est la viscosité dynamique à la température T, β le coefficient de thermoviscosité et (µ0 + µc) est la

viscosité à la température T0.

• l’équation de McCoull et Walther (Mc Coull et Walther 1921):

 !"# !" + $"% = $&− $ !"() 1.7

où ν est la viscosité cinématique en centistokes et TK la température absolue. c1, c2, et c3 représentent des

constantes qui dépendent du lubrifiant.

La relation 1.6 est une extension de l'approche proposée par Reynolds sur la forme = _. La viscosité corrective µc permet d'éviter des problèmes numériques dus à une décroissance trop importante de la

viscosité à haute température. Cependant, elle ne reste valable que localement, près des points d'identification des paramètres de cette expression. La loi de McCoull et Walther est une expression souvent utilisée car elle a été adoptée et recommandée par la société américaine de tests de matériaux (ASTM). De plus, une représentation de  !_"# !_" + $_"% en fonction de  !_"(₎ conduit à une relation linéaire de la

viscosité en fonction de la température. Cette représentation est à la base de la définition de l'indice de viscosité proposé par ASTM (Ligier 1997).

1.2.3 Variation de la viscosité avec la pression

Lorsque la pression s'accroit dans un fluide, on observe une augmentation de la viscosité, qui peut atteindre localement des valeurs très importantes. Cet effet, appelé "piezovisqueux", peut être modélisé par l'une des lois suivantes :

• la loi de Barus (Barus 1893):

= *++ 1.8

où α est le coefficient de piézoviscosité (en Pa-1) et µ0 est la viscosité dynamique à la pression p0 et à la

température T0.

• la loi puissance :

= 1 + ,-. 1.9

avec deux coefficients a (en Pa-1) et b qui dépendent des propriétés physico-chimiques du lubrifiant.

Ces relations sont très populaires du fait de leur simplicité mathématique. Cependant, elles ne sont valables que pour des plages de pression étroites et pour des pressions maximales inférieures à 100 MPa.

1.2.4 Variation de la viscosité avec la pression et la température

Les paramètres des relations 1.6 et 1.7 sont identifiés à partir des mesures expérimentales à pression constante (d'habitude à pression atmosphérique). De même, les paramètres des équations 1.8 et 1.9 sont obtenus à température constante. En réalité il y a une dépendance entre les paramètres thermovisqueux et piezovisqueux.

Afin d'obtenir une loi qui décrit la variation de la viscosité avec la pression et la température, Roelands propose une relation couplant les deux effets (Roelands 1966) :

 !" /+ 1.2 = 2"3+/&_"3456789:9;<°4/9>?@;A5_°4/"BC 1.10

où µcP est la viscosité dynamique en centipoises (1 cP = 10-2 dyn.s/cm2 = 10-3 Pa.s), p la pression en

(kg)force/cm2 ( = 98 100 Pa ), T°C est la température en °C ; G0, qui donne le grade de viscosité, et S0, sont des

constantes sans dimension qui dépendent du lubrifiant. Cette relation peut être réécrite sous la forme (Larsson, et al. 2000) :

(

)

( )

[ ]

(

)

( ) ln 1 135 0 ln ( ) 9,671 1 1 0 , CZ TC DZ p T p c p T T e µ µ µ +° +   + _− + + _ = 1.11 avec:

( )

( ) 0 0 4,2 1 135 0 10 S C G T T µ = − + + ° − _1.12

où la viscosité est en Pa.s, la température en °C et la pression en Pa. Cette loi donne la viscosité en fonction des quatre constantes G0, S0, CZ et DZ. Seulement quatre mesures expérimentales sont nécessaires pour l’obtention de ces constantes.

A la base du modèle de William, Landel et Ferry (modèle WLF ), Yasutomi, Bair et Winer proposent en 1984 une autre relation viscosité-pression-température, connue sur le nom du modèle WLF modifié (Yasutomi, Bair et Winer 1984) :

 !"D_EE₈F =G_G 9H8+IJ+ 53H8+IJ+

(K- = (K0 + L"ln 1 + L&- O- = 1 − P"ln 1 + P&-

1.13

où µg est la viscosité à la température de transition vitreuse Tg(0). La fonction Tg(p) traduit les variations de la

température de transition vitreuse avec la pression et la fonction F(p) rend compte des variations du coefficient d'expansion thermique avec la pression. A1, A2, B1, B2, C1, et C2 sont les 6 constantes à déterminer expérimentalement.

Figure 1.3 : Variation de la viscosité d'une huile 5W-30 en fonction de la température et de la pression

A titre d'exemple, la Figure 1.3 montre la variation de la viscosité d'une huile synthétique (5W-301) en fonction de la température et de la pression. On peut observer qu'à température constante, l'influence de la pression reste exponentielle. Cependant, l'influence de la pression sur la viscosité augmente avec la diminution de la température. On comprend donc facilement, qu'une loi exponentielle, comme celle proposé par Barus (équation 1.8), ne peut rester valable que localement, près des points d'identification des paramètres.

Les relations 1.11 et 1.13 sont complexes et on préfère souvent utiliser les lois de Reynolds modifié (équation 1.6) pour la thermoviscosité et les lois de Barus (équation 1.8) ou puissance (équation 1.9) pour la piézoviscosité. Dans la référence (Bonneau, Fatu et Souchet 2011) il est montré que la combinaison de ces lois peut conduire à une variation de la viscosité proche de celle donnée par Roelands (équation 1.11) à condition de placer le terme de viscosité corrective µc hors du produit des facteurs de thermoviscosité et de

piézoviscosité :

-, ( = *3+++  1.14

ou

-, ( = *#1 + ,- − -.% +  1.15 Cependant, si la pression dans le lubrifiant devient importante, les relations ci-dessus donnent des viscosités qui diffèrent notamment aux faibles températures.

1.2.5 Comportement non-newtonien

Même si la plupart des huiles sont considérées en première approximation comme ayant une variation linéaire de la contrainte de cisaillement en fonction du taux de cisaillement (équation 1.3), pour certaines huiles fortement additivées et qui fonctionnent sous des sollicitations sévères, le comportement n'est plus newtonien. On parle, dans ce cas, d’un comportement non-newtonien.

Pour représenter ces comportements, plusieurs modèles rhéologiques ont été développés. Le plus simple et peut être le plus utilisé est le modèle d’Oswald (nommé aussi la loi de puissance) qui peut être écrit sous la forme suivante: n K τ = γɺ 1.16 avec 2 2 u w y y γ = ∂  +∂  ∂ ∂    

ɺ _{. La consistance K et l’indice n sont des caractéristiques rhéologiques déterminées} expérimentalement. Pour un fluide newtonien, K = µ et n = 1. Selon la valeur de n, les fluides peuvent être classés en fluides rhéofluidifiants (pour n < 1) et en fluides rhéoépaississants (pour n > 1). Cette loi ne donne pas une bonne représentation de la variation de la viscosité pour des petites ou grandes valeurs du taux de cisaillement.

Une expression plus élaborées, utilisée surtout dans le cas des fluides rhéofluidifiants a été proposée par (Cross 1965) : 0 1 c µ µ µ µ _γ γ ∞ ∞ − = + + ɺ ɺ ou 0 1 c µ µ τ µ _γ γ γ ∞ ∞    ₋    = +  ₊      ɺ ɺ ɺ 1.17

où µ0 est la viscosité dynamique à taux de cisaillement nul et µ_∞ la viscosité dynamique pour un taux de cisaillement infini. γɺ_{c est le taux de cisaillement pour lequel la viscosité est la moyenne entre µ1 et µ2. Pour}

une représentation réaliste il faut que γɺ_{c varie avec la température. Une équation similaire a été proposée par}

(Gecim 1990) : 2 1 1 k k µ γ µ µ µ γ + = + ɺ ɺ ou 2 1 1 k k µ γ τ µ γ µ γ  ₊  =  +   ɺ ɺ ɺ 1.18

où k est un coefficient de stabilité qui augmente avec la température, µ1 et µ2 sont respectivement les viscosités dynamiques aux faibles et aux forts taux de cisaillement. La Figure 1.4 montre une comparaison entre le modèle d'Oswald et le modèle du Gecim pour une huile 10W40 additivée différemment. On peut observer que l'augmentation du coefficient k augmente la stabilité au cisaillement du fluide.

Figure 1.4 : Variation de la viscosité avec le taux de cisaillement pour une huile 10W40 additivée différemment (Gecim 1990)

huile A à 75 °C : µ1 = 0,0245 Pa.s ; µ2 = 0,0139 Pa.s ; k = 550 Pa ;K = 4,38 Pa.s ; n = - 0,18 ; huile B à 150 °C : µ1 = 0,0043 Pa.s ; µ2 = 0,024Pa.s ; k = 80000 Pa ;K = 34,98 Pa.s ; n = - 0,92.

0.4 0.8 1.2 1.6

Huile A - modèle Gecim Huile A - modèle Oswald Huile B - modèle Gecim Huile B - modèle Oswald

Taux de cisaillement (s-1₎ µ /µ1 102 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 ₁₀6 ₁₀7 ₁₀8 ₁₀9 Zone de fonctionnement des paliers de moteur automobile

1.3

Equation des films minces visqueux

On peut trouver, dans la littérature, différentes approches pour obtenir l'équation régissant le comportement des fluides au sein de films minces visqueux. L'approche qui semble la plus complète est celle proposée par (Frêne, et al. 1990). Un développement similaire à celui de ces auteurs est proposé par la suite. Toutefois, seuls les points clefs seront rappelés.

1.3.1 Hypothèses

Les hypothèses de départ sont :

• le milieu fluide est continu ;

• le fluide est considéré en première approximation comme ayant un comportement de type newtonien (équations 1.2 ou 1.3); le coefficient de proportionnalité – la viscosité µ – n’est pas nécessairement constant et peut varier avec la pression et/ou la température. Lorsque le fluide a un comportement non-Newtonien on supposera qu’il existe une relation de type scalaire entre sa viscosité et les invariants du tenseur des taux de cisaillement (voir le paragraphe 1.2.5),

• l’écoulement est laminaire ;

• les forces massiques extérieures et les forces d’inertie au sein du film lubrifiant sont négligeables ;

• il n’y a pas de glissement entre le fluide lubrifiant et les parois ; cette hypothèse n’est pas incontournable : le paragraphe 1.7 présente le cas où la contrainte de cisaillement du fluide en contact avec les parois est limitée par une valeur seuil ce qui implique un glissement pariétal;

• les rayons de courbure des parois sont grands devant l’épaisseur moyenne du film ;

• l’épaisseur du film est très faible par rapport aux autres dimensions du domaine occupé par le fluide lubrifiant, par exemple la largeur et le diamètre dans le cas d’un palier ;

• l'effet des forces externes (de nature électrique, électromagnétique, etc. ) est négligeable. 1.3.2 Equation de Reynolds généralisée

L’équation des films minces visqueux (ou équation de Reynolds) est déduite des équations de Navier-Stokes et de continuité. La forme particulière en film mince du domaine occupé par le fluide lubrifiant permet en effet d’obtenir une équation aux dérivées partielles portant sur la seule pression et d’éliminer les trois fonctions que sont les composantes du vecteur vitesse.

La Figure 1.5 représente le domaine en film mince occupé par le lubrifiant. Il est délimité par deux parois 1 et 2. La base de projection x, y, z est choisie telle que la direction y corresponde à la direction de l’épaisseur du film. Un point M1 de la paroi 1 a une coordonnée H1 suivant y et possède une vitesse de composantes U1,

V1 et W1 suivant les directions x, y et z. De même un point M2 de la paroi 2 a une coordonnée H2 suivant y et possède une vitesse de composantes U2, V2 et W2.

Figure 1.5 : Système d'axes et notations

Pour la suite des développements nous poserons :

1 ( , , , ) ( , , , ) n y n H I x y z t d x z t ξ _ξ µ ξ =

_∫

1.19 2 1 ( , , ) ( , , , ) n H n _H J x z t d x z t ξ _ξ µ ξ =

_∫

1.20

La pression et les composantes de la vitesse au sein du film sont fonction du point M et du temps et sont notées respectivement p(x, y, z, t), u(x, y, z, t), v(x, y, z, t) et w(x, y, z, t). Compte tenu des hypothèses simplificatrices énoncées au paragraphe 1.3.1, les équations de Navier se réduisent à la forme suivante :

0 p u x y y p y p w z y y µ µ _{∂ ∂  ∂ } =    ∂ ∂  ∂   _∂  =  ∂  _{∂ ∂  ∂ }  _{=  } ∂ ∂ ∂     1.21

Il est alors possible d’écrire les expressions des composantes suivant x et y de la vitesse au point M en fonction des composantes du gradient de pression et des intégrales I0, I1, J0 et J1 en ce point :

0 1 2 1 1 0 1 0 0 0 1 2 1 1 0 1 0 0 ( , , , ) ( , , , ) I J U U p u x y z t I I U x J J I J W W p w x y z t I I W z J J  _∂   ₋ = − + +    ∂       ₋ ∂  _{= − + +}    _∂    _1.22

L’équation de conservation de la masse au sein du fluide s’écrit :

( ) ( ) ( ) 0 u v w t x y z ρ ρ ρ ρ ∂ ₊∂ ₊∂ ₊∂ ₌ ∂ ∂ ∂ ∂ 1.23

En intégrant cette équation au travers de l’épaisseur du film et en utilisant les expressions 1.22 de u et w, on obtient l’équation de la mécanique des films minces visqueux généralisée :

[

]

2 1 2( 2 ) 1 2 2 1 1 H H p p G G U R F U F U U x x z z x ρ x ρ x ∂ ∂ ∂  ∂ ₊ ∂  ∂ ₌ ∂ _{− + − +}     ∂  ∂  ∂  ∂  ∂ ∂ ∂

[

]

2 1 2( 2 ) 1 2 2 1 1 H H W R F W F W W z ρ z ρ z ∂ ∂ ∂ + − + − + ∂ ∂ ∂ 2 2 1 2 1 2 2 1 1 R H H V V t ρ t ρ t ρ ρ ∂ ∂ ∂ + − + + − ∂ ∂ ∂ 1.24

Dans cette équation ρ1 et ρ2 représentent respectivement les valeurs de la masse volumique au niveau des

parois 1 et 2. Les fonctions R, F et G sont définies par :

1 ( , , , ) y ( , , , ) H R x y z t =

∫

ρ ξx z t dξ 1.25 2 1 0 1 ( , , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , , ) H H R x z t F x z t d J x z t x z t ξ _ξ µ ξ =

_∫

_1.26 2 1 1 ( , , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , , ) H H R x z t G x z t d J x z t F x z t x z t ξ _{ξ ξ} µ ξ =

_∫

− _1.27

R2 représente la valeur de R à la paroi 2.

Comme la courbure des surfaces peut être négligée, on peut choisir les axes de coordonnées telles qu'au moins deux soient inclues entièrement dans l'une des deux surfaces. Si on fait le choix d'inclure les axes x et z dans la surface 1, la composante V1 de la vitesse d’un point de cette surface sera alors nulle. La vitesse V2 suivant y d’un point de la paroi 2 peut donc être notée sans ambigüité V. De plus H1 = 0 et on peut noter

H2 = h. Comme les parois sont constituées de matériaux solides peu déformables, la variation de vitesse

parallèlement à celles-ci est négligeable devant les vitesses elles-mêmes. Ceci permet de considérer la paroi 2 comme référence pour les vitesses dans les directions x et z. Les composantes U2 et W2 de la vitesse d’un point de cette surface seront nulles et les composantes suivant x et z de la vitesse d’un point de la paroi 1 peuvent alors être notées simplement U et W. Très souvent on admet que la masse volumique ne varie pas selon l'épaisseur de film et que le fluide est incompressible. Dans ce cas R, F et G deviennent :

0 ( , , , ) y R x y z t =

∫

ρ ξ ρd = y 1 0 0 0 ( , , ) 1 ( , , ) ( , , ) ( , , , ) ( , , ) h _{J x z t} F x z t d J x z t x z t J x z t ρ ρξ _ξ µ ξ =

_∫

= 2 2 1 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , , ) ( , , ) h _{J x z t} G x z t d x z t J x z t ξ ρ ξ µ ξ   =  −    

∫

 1.28

(

J1/J0

)

(

J1/J0

)

p p G G U W V x x z z ρ x z  ∂ ∂  ∂  ∂  ∂  ∂  + =  + +      ∂  ∂  ∂  ∂  _ ∂ ∂ _ 1.29

Les contraintes de cisaillement dans le film s'écrivent :

1 0 0 1 0 0 xy zy J p U y x J J J p W y z J J τ τ  _∂   = − −    ∂       ∂  _{= − −}    _∂    _1.30

Les composantes u et w de la vitesse prennent la forme suivante :

0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 ( , , , ) 1 ( , , , ) 1 I J I p u x y z t I U x J J I J I p w x y z t I W z J J  _∂     = − + −      ∂           ∂  _{= − + −}      _∂      _1.31

1.3.3 Cas d'un fluide incompressible isovisqueux

Dans de nombreux cas les conditions de fonctionnement sont suffisamment modérées en vitesse et chargement pour pouvoir considérer un comportement isovisqueux du lubrifiant. Avec cette hypothèse les équations 1.29 à 1.31 prennent la forme suivante2 :

3 3 2 6 6 h p h p h U V x µ x z µ z x     ∂ ∂ ₊ ∂ ∂ ₌ ∂ ₊         ∂ _ ∂ _ ∂ _ ∂ _ ∂

ou, en remplaçant la vitesse d’écrasement V par la dérivée temporelle de h :

3 3 2 6 6 h p h p h h U x µ x z µ z x t     ∂ _ ∂ _+ ∂ _ ∂ _= ∂ ₊ ∂     ∂ _ ∂ _ ∂ _ ∂ _ ∂ ∂ 1.32

(

)

(

)

1 2 2 1 2 2 xy zy p µ y h U x h p y h z τ τ ∂  = − +  _∂  ∂  _{= −}  _∂  1.33

(

)

(

)

(

)

1 ( , , , ) 2 1 ( , , , ) 2 h y p u x y z t y y h U µ x h p w x y z t y y h µ z  _{∂ −} = − +  ∂   ∂  _{= −}  _∂  1.34

1.3.4 Cavitation : forme particulière de l'équation de Reynolds

Le terme cavitation est souvent utilisé dans la littérature sous un sens large non uniquement sous l'aspect de l'apparition des bulles de gaz au sein du fluide due à un changement de phase. Il traduit le fait que le fluide lubrifiant n'occupe pas la totalité de l'espace existant entre les parois.

La thématique du premier symposium Leeds-Lyon (1975) a été consacrée aux études des phénomènes de rupture de film et cavitation. Parmi les plus intéressants travaux il faut rappeler ceux de Dowson et Taylor (Dowson et Taylor 1975) qui ont présenté des photographies (Figure 1.6) de zones inactives très structurées obtenues pour un palier avec un arbre légèrement excentré en fonctionnement stationnaire. Des zones remplies de gaz – vraisemblablement le gaz extérieur au palier – sont séparées par des zones où le fluide occupe l’espace entre les deux surfaces. Le pas séparant ces bandes pleines est quasi constant. Plus d'informations sur la description du phénomène de cavitation, les structures possibles de zones inactives (remplies d'un mélange fluide/gaz), etc. peuvent être lus dans (Bonneau, Fatu et Souchet 2011).

Figure 1.6 : Exemples de zones inactives dans un film lubrifiants (Dowson et Taylor 1975)

Dans les zones inactives, on va dans un premier temps considérer que le fluide qui occupe l’espace disponible entre les parois est un mélange homogène de lubrifiant et de gaz et a une masse volumique ρm.

Comme dans ces zones les sollicitations en cisaillement restent faibles on peut supposer que le mélange garde une viscosité constante sur l’épaisseur du film. L’équation de conservation du débit massique au sein de zones inactives s’écrit : 2 0 r r U x t ∂ ₊ ∂ ₌ ∂ ∂ 1.35

où r est la variable de remplissage définie par : mh

r ρ

ρ

= 1.36

Afin de traiter simultanément cette équation et l’équation de Reynolds, on les regroupe en une seule en utilisant une variable universelle nommée D qui va représenter soit la pression p relative à une pression de référence pref (égale à la pression de cavitation ou de séparation selon le cas), soit un paramètre lié au

remplissage r (Bonneau et Hajjam 2001) :

(

1/ 0

)

(1 ) 2 J J D D h U D D G G U x x z z x t x t Φ_∂∂  ∂_∂ +_∂∂  ∂_∂ =ρ ∂ _∂ +∂_∂ + −Φ  ∂_∂ +∂_∂            1.37

où Φ est une fonction index telles que : 1 ref D p p Φ = −   =

 pour les zones actives

0 D r h Φ = −   =

 pour les zones inactives

1.38

Par la suite, on va nommer l'équation 1.37 l'équation de Reynolds modifiée.

Supposons dans une première approche que le domaine en palier développé est occupé dans sa partie centrale par une zone inactive Ω0 stationnaire où la pression est égale à la pression de cavitation pcav et que le

reste correspond à une zone active Ω où règne une pression supérieure à la pression de cavitation (Figure 1.7).

Pour une même ordonnée y on a un point de rupture à xr et un point de réformation situé à xf. Les conditions

aux limites que doit satisfaire l'équation 1.37 sont :

• sur les frontières extérieures : p = pext, donc D = pext, avec pext la pression ambiante, • sur les frontières x = 0 et x = 2πR : Dx=0 = Dx=2πR – continuité de la fonction D, • sur la frontière de la rupture : p= p_cav, 0

n p ) y , x ( ) y , x ( r r = ∂ ∂ − = (conditions de Reynolds).

De plus la conservation du débit massique doit être respectée : V( ) 0 U ) h r ( 2 ) h r ( r r x x = − − − + + Ω− .

• sur la frontière de réformation : p= p_cav et encore une fois la conservation du débit massique :

0 ) ( V U ) h r ( 2 ) h r ( dx dp U 6 h f f f x x x 3 = − − − + − − + + Ω µ

V(Ω-) et V(Ω+) sont respectivement les vitesses des frontières de rupture et de réformation du film lubrifiant.

Figure 1.7 : Domaine d'étude : Ω0 zone inactive et Ω zone active

p = pcav p = pcav p = pcav p = pcav Ω₀ Ω 0

Ω

Ω

Ω

-

Ω

+ p > pcav p > pcav Zone divergente xr xf

x

y

0

U

2πR L

1.4

Discrétisation numérique de l'équation de Reynolds

A l'exception de quelques cas simples, l'équation de Reynolds ne peut pas être résolue analytiquement. Son traitement numérique est très vite apparu incontournable. Dans un premier temps, la simplicité de mise en œuvre des méthodes aux différences finis a fait de celles-ci l'outil privilégié des tribologues. Cependant, dès le début des années soixante-dix, la méthode des éléments finis avait montré son efficacité et nous offrent à ce jour des outils performants, validés par de nombreux travaux théoriques et par des comparaisons avec des résultats expérimentaux. Plus récemment la méthode des volumes finis a vu son champ d’application s’étendre aux problèmes de lubrification.

Le chapitre trois de (Bonneau, Fatu et Souchet 2011) décrit de manière détaillée les développements qui conduisent à la discrétisation de l'équation de Reynolds par les trois méthodes citées ci-dessus. On va limiter ce paragraphe seulement à la présentation des points clefs de l'approche par éléments finis, méthode utilisée pour obtenir la plus-part des résultats présentés dans les chapitres 2 et 3.

1.4.1 Définition des problèmes à résoudre

Avant de décrire la méthode de discrétisation, on va définir deux problèmes à résoudre qui correspondent à la résolution des équations 1.29 et 1.37.

Problème 1 : recherche de la pression

On suppose que le film occupe totalement le domaine d'étude. Ne font pas partie de ce domaine les surfaces couvertes par les orifices ou rainures d’alimentation et les frontières du domaine dans lesquels la pression est supposée connue. La rupture du film n’est pas envisagée même si la pression devient inférieure à la pression de cavitation. L’équation à résoudre est l'équation 1.29, écrite sous la forme suivante :

( )

(

1 0

)

1 / 0 J J p p h E p G G U x x z z ρ x t  _∂  ∂  ∂  ∂  ∂  ∂ =_∂  _∂ +_∂  _∂ −  _∂ + _∂ =     _{ } 1.39

Problème 2 : recherche de la pression et du remplissage

On suppose que la zone de film complet occupe partiellement le domaine (voir Figure 1.7). L’équation à

résoudre est l'équation 1.37, écrite sous la forme suivante :

(

1 0

)

2 / ( ) (1 ) 0 2 J J D D h U D D E D G G U x x z z x t x t Φ∂  ∂  ∂ ∂  ρ ∂ ∂ Φ  ∂ ∂  = _∂  _∂ +_∂  _∂ −  _∂ +_∂ + −  _∂ + _∂ =           1.40

Les zones active et inactive sont séparées par des frontières amont et aval (Figure 1.7) au passage

desquelles les fonctions p et r doivent satisfaire les conditions aux limites décrites à la fin du paragraphe 1.3.4.

Comme pour d’autres problèmes de la physique, il s’agit d’un problème à frontière libre. La position de cette frontière est a priori inconnue, mais les équations et inéquations à satisfaire au niveau de cette frontière

permet de déterminer D sur le domaine d'étude pour une partition de celui-ci en zones actives identifiées par une valeur 1 de la fonction index Φ et en zones inactives pour lesquelles Φ vaut 0. Une fois le calcul de D effectué, il faut vérifier que les valeurs obtenues sont bien compatibles avec les inéquations contenues dans les conditions aux limites :

0 dans les zones actives 0 dans les zones inactives

D D ≥   <  1.41

A partir d’une partition initiale, l’algorithme de cavitation consiste, en s’appuyant sur un principe de complémentarité, à changer le statut d’un point pour lequel il y a violation de l’inéquation qui correspond à son statut antérieur et à réitérer le calcul de D sur la nouvelle partition ainsi définie. Le processus est prolongé jusqu’à l’obtention de la stabilité de la partition (Figure 1.8).

Figure 1.8 : Algorithme de cavitation

1.4.2 Formulation éléments finis

En raison de la similitude entre le problème 1 et le problème 2, les développements qui conduisent à la discrétisation par la méthode des éléments finis sont présentés pour l’équation 1.40. Cependant, pour plus de détails, le lecteur peut se rapporter à (Bonneau, Fatu et Souchet 2011).

Considérons la forme intégrale suivante :

(

)

* 2 1 0 ( , ) 0 / (1 ) 2 D D G G x x z z E D W W d J J h U D D U x t x t Ω Φ Ω ρ Φ  _∂  _∂  _∂  _∂   +  _∂  _∂  _∂  _∂           =   =  ∂ ∂  ∂ ∂  _{− + + − +}      _{ ∂ ∂  ∂ ∂ }  

∫

1.42

où W est une fonction de "pondération" définie sur Ω. Toute fonction p qui vérifie l’équation intégro-différentielle E D W₂*( , )=0, quelle que soit la fonction W, est solution de l’équation aux dérivées partielles 1.40 en tout point du domaine (méthode des résidus pondérés). La démonstration est évidente si l’on

considère la possibilité de l’existence d’un point du domaine pour lequel l’équation 1.40 n’est pas vérifiée. Il est alors facile de trouver une fonction W telle que E D W₂*( , )≠0.

Une intégration par parties de certains termes, puis l’addition d’intégrales complémentaires définies sur les frontières de transition entre les zones actives et inactives permettent, d’une part de réduire l'ordre de dérivabilité des fonctions (formulation faible) et d’autre part de rendre naturelles les conditions aux limites de rupture et de réformation du film (Bonneau, Fatu et Souchet 2011) nécessaires au traitement du problème :

[

]

1 0 2 ( / ) ( , ) (1 ) 2 (1 ) J J W D W D W D E D W G G U W d x x y y x x W h D d t Ω Ω Φ ρ Φ Ω ρ Φ Ω  _∂ _∂  _∂  _∂   _{∂ ∂}  = _ _∂ _{∂ }+ _∂  _∂ + _{ ∂} − − _∂ _       ∂ + + − ∂

∫

∫

1.43

Afin de ne pas faire apparaître les termes complémentaires de l’intégration par parties, les fonctions W sont choisies nulles sur la frontière ∂Ω. La solution du problème est obtenue en recherchant les fonctions D qui satisfont aux conditions aux limites sur les frontières extérieures ∂Ω du film et telles que E2(D,W) = 0.

Les études publiées ont établi dans le contexte de la lubrification la supériorité des éléments quadratiques à 8 nœuds (McIvor et Fenner 1985). Le domaine Ω est donc divisé en ne éléments finis isoparamétriques à huit

nœuds. Le caractère particulier de l’équation de Reynolds modifiée, lorsqu’elle s’applique aux zones inactives, rend nécessaire l’usage d’éléments linéaires à quatre nœuds pour sa discrétisation. En effet, sa résolution est obtenue en décentrant les fonctions d'interpolation, or il est connu que les fonctions d'interpolation linéaires sont facilement décentrables. Chaque élément à 8 nœuds est donc subdivisé en quatre éléments quadrangulaires à quatre nœuds. Selon qu’il s’agit du problème 1 ou 2, la discrétisation fera appel à l’un ou l’autre maillage, la valeur des paramètres au nœud central étant éventuellement obtenue par interpolation.

Les fonctions d’interpolation N choisies, linéaires ou quadratiques selon le cas, permettent d’interpoler à la fois les variables géométriques et les différents paramètres. La forme discrétisée de l’équation du problème 2 pour le nœud i s’écrit :

(

)

₍

₎

(

)

1 1 1 1 0 1 1 1 1 / 1 1 det 2 1 det 0 e e e nn npi ne jm jm im im m m j j k m j nn im im jm j j m m _{m j} nn npi ne m im m j m j j m k m j N N W W w G D x x z z J J W U W N D J x x w W h N D J t Φ ρ Φ ρ Φ = = = = = = =  _{∂ ∂ ∂ ∂ }  _{ + } ∂ ∂ ∂ ∂       _{∂ ∂}     + _ − − _ ∂ ∂      ∂ _{ } + _ + − _ = ∂ _{ }

∑∑

∑

∑

∑∑

∑

1.44

où m est l’un des npi points d'intégration (nommés points de Gauss pour les éléments quadranqulaires) sur cet élément et nne le nombre de nœuds par élément (8 ou 4). Wim est la fonction de pondération relative au nœud i

et Njm est la fonction d’interpolation relative au nœud j appartenant à l'élément; elles sont évaluées au point de

Gauss m. On remarquera que la fonction index Φ est évaluée aux nœuds en relation avec l’algorithme de cavitation (Figure 1.8). Lorsque la totalité des nœuds de l’élément est en zone active, l’élément est dit actif et dans ce cas les fonctions d’interpolation sont choisies comme fonctions de pondération. Dans le cas contraire, en raison du caractère hyperbolique de l’équation à résoudre, les fonctions de pondération sont des fonctions polynomiales décentrées vers l’amont relativement à la vitesse U de la surface inférieure. detJm est le

déterminant de la matrice jacobienne défini par :

det x x x z z x J z z ξ η ξ η ξ η ξ η ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ≡ = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1.45

Dans la relation 1.44 interviennent des termes dépendent de la dérivée temporelle aux nœuds des éléments de la fonction D lorsqu’elle représente le remplissage. Pour expliciter les composantes du système d’équations à résoudre nous supposerons que cette dérivée est approximée par différences finies au premier ordre3 :

j j t j t t D D D t t ∆ ∆ − ∂ − ∂ ≃ 1.46

où ∆t représente le pas de temps. La dérivée de l’épaisseur est obtenue à partir des valeurs de h_{m t} et m t t

h _−∆ , elles-mêmes obtenues, comme tous les autres paramètres, par interpolation à partir des valeurs nodales. La relation 1.44 devienne :

(

)

₍

₎

(

)

(

)

1 1 1 1 0 1 1 / 1 1 2 1 1 det 0 e e e nn npi ne j j i i m m j j m m m m k m j nn i im jm j j m _{m j} nn im m m j m j j j m j N N W W w G D x x z z J J W U W N D x x W h h N D D J t Φ ρ Φ ρ Φ ∆ = = = = =  _{∂ ∂ ∂ ∂ }  _{ + } ∂ ∂ ∂ ∂  _{ }   _{∂ ∂}    + _ − − _ ∂ ∂         + _ − + − − _ =  

∑∑

∑

∑

∑

_1.47

où les fonctions soulignées sont évaluées au pas de temps précédent.

La sommation de l’ensemble des équations 1.47 écrites sur chacun des éléments du domaine conduit à un système d’équations algébriques linéaires en D, qui s’écrit sous la forme matricielle suivante :

[ ]

A2

{ } { }

D = b2 1.48

Un terme de la matrice [A2] est défini par :

(

)

2 1 1 1 1 1 1 det 2 e e nn npi ne jm jm im im ij m m j k m j nn i im j m j m m _j N N W W A w G x x z z W U W N J x t Φ ρ Φ ∆ = = = =  _{∂ ∂ ∂ ∂ }  =  +  ∂ ∂ ∂ ∂      ∂   _ −  −  − ∂   _

∑∑

∑

∑

1.49

Une composante du vecteur {b2} est définie par :

(

)

( )

( )

2 1 0 1 1 1 1 / 1 1 det 2 e e nn npi ne m m j j i i i m m j im m m m m m k m j nn i jm j j im j j m m j h h N N J J W W b w G p W U x x z z x t W U N r h W D J x t ρ ∆ ρ Φ ∆ = = = =  _{∂ ∂ ∂ ∂   ∂ − }  =−  +  + _ + _ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂        ∂  _ −  − − −  ∂  _

∑∑ ∑

∑

1.50

où p représente la valeur nodale de la pression lorsqu’elle est imposée et non nulle au nœud j, _j Φ_j étant alors égal à 1 et r représente la valeur nodale du remplissage lorsqu’il est imposé et inférieur à l’épaisseur du _j