Préconisations pour le calcul des facteurs d'écoulement

A titre d'exemple, on va présenter quelques résultats concernant le nombre de motifs de rugosité et le nombre de points de discrétisation par motif à inclure dans les échantillons utilisés pour l'approximation des coefficients d'écoulement, résultats extraits de (Fatu, Bonneau et Fatu 2012). Les surfaces rugueuses analysées sont générées numériquement et représentées sur la Figure 1.22.

Figure 1.22 : Surfaces rugueuses générées numériquement (Fatu, Bonneau et Fatu 2012)

Les quatre surfaces sont rectangulaires et continent 2048 points de discrétisation dans les deux directions x et z. En conséquence, le pas de discrétisation initial est de 0.98 µm, ce qui conduit à un minimum de 14 points par λ_0,5 (considéré ici comme une grandeur caractéristique de la longueur d'un motif de rugosité).

Le calcul des différents facteurs d’écoulement nécessite de très nombreuses résolutions sur le domaine défini par les échantillons de surface rugueuse retenus. Pour pouvoir obtenir des résultats dans un temps de calcul raisonnable le choix de la méthode multi-grille (avec discrétisation par différences finies) semble naturel. L'avantage de cette méthode est d’accélérer la convergence du processus numérique, en utilisant différentes résolutions de maillage (Venner et Lubrecht 2000). Tous les détails nécessaires à l'application de la méthode multi-grille dans le calcul des facteurs d'écoulement peuvent être trouvés dans le paragraphe 5.3.2.3 de (Bonneau, Fatu et Souchet 2011).

Des premiers calculs ont été réalisés afin de comprendre l'influence de la discrétisation spatiale sur les valeurs des facteurs d'écoulement. La Figure 1.23 montre l'influence de la discrétisation pour la surface 1 (L0.5 doit être lu comme λ_0,5). Les résultats obtenus pour la discrétisation initiale (2048 x 2048 points – ce qui correspond à ≈ 35 points/λ_0,5 ) sont comparés avec des résultats obtenus en considérant 1 sur 2 points (≈ 17.5 points/λ_0,5), 1 sur 3 points (≈ 8.75 points/λ_0,5) et 1 sur 4 points (≈ 4.4 points/λ_0,5 ). La Figure 1.23 a) et b) montrent que les facteurs d'écoulement en pression peuvent être obtenus avec une bonne précision même pour un nombre de points par longueur d'autocorrélation relativement faible. L'influence de la discrétisation du domaine est plus importante pour le facteur d'écoulement en cisaillement (Figure 1.23 c) ). La Figure 1.23 d)

montre une comparaison entre les facteurs d'écoulement en pression obtenus suivant x et z. On peut observer que, même si la surface a les propriétés statistiques d'une surface isotrope, les facteurs d'écoulement ne sont pas identiques, ce qui suggère une faible anisotropie. Par ailleurs, l'expérience des calculs effectués pendant ces dernières années montre que les surfaces rugueuses ne sont jamais parfaitement isotropes.

Figure 1.23 : Variation des facteurs d'écoulement en fonction du nombre de points par λ_0,5 pour une surface rugueuse "isotrope"

Pour la surface 2, les résultats obtenus avec la discrétisation initiale ont été comparés, comme pour le cas précédant, avec des résultats obtenus en considérant 1 sur 2, 1 sur 3 et 1 sur 4 points de discrétisation. Comme la surface 2 montre une rugosité longitudinale et le domaine d'étude est rectangulaire, nous avons toujours un nombre de point par λ_x0,5 supérieure au nombre de points par λ_z0,5. Les résultats montre que si φ_x semble très peu influencé par la diminution des points de discrétisation, φ_z conduit rapidement à des erreurs importantes : si la discrétisation initiale est prise comme référence, 1 sur 2 points de discrétisation (≈ 7.5 points/λ_z0,5) conduits à une erreur de 10% pour h/σ=2 et de 30% pour h/σ=1. De plus, comme dans le cas précédent, le calcul du facteur d'écoulement en cisaillement φ_s nécessite une discrétisation fine du domaine d'étude.

La même analysent est réalisée pour la surface 3. Cependant, comme la surface 3 a une direction principale différente de 0° ou 90°, avant le calcul des coefficients d'écoulement, il est nécessaire de calculer cette direction principale. La Figure 1.24 a) montre la variation du φ_x pour différentes orientations de la rugosité initiale, variant de 0° à 180°. Les résultats sont présentés pour des discrétisation différentes et pour h/σ=3. Sur

la Figure 1.24 b) la direction principale est approximée par une analyse spectrale. On peut facilement conclure que les deux techniques conduisent au même résultat.

Figure 1.24 : Calcul des directions préférentielles pour différents pas de discrétisation

Par comparaison avec la surface 2, les facteurs d'écoulement sont plus sensibles au pas de discrétisation. Il faut noter qu'avant chaque calcul des facteurs d'écoulement, il faut approximer la direction principale qui, comme on peut le voir sur la Figure 1.24 a), est aussi (légèrement) influencée par la discrétisation du domaine.

Figure 1.25 : Exemple de champs de pression obtenus pour la surface 2 (a, b) et pour la surface 4 (c, d) pour la discrétisation initiale (a, c) et en considérant 1 sur 3 points de discrétisation.

Pour la surface 4, les facteurs d'écoulements semblent être moins influencés par l'augmentation du pas de discrétisation même si, par exemple, la surface 2 a aussi une rugosité longitudinale et des longueurs d'autocorrélation presque identiques. La principale différence vient du facteur d'asymétrie (ou skewness) notée

Ssk ou Rsk : dans le cas de la surface 4, Ssk est négatif, ce qui indique une surface composée principalement d'un plateau et de vallées profondes et fines.

La Figure 1.25 montre une comparaison entre les champs pression obtenus dans le cas de glissement pur (calcul du φ_s) pour les surfaces 2 et 4 à h/σ = 1.5. Surtout dans le cas de la surface 2, localement, l'épaisseur du film devient très petite et conduit à des pics de pression très importants, ce qui peut influencer les valeurs des facteurs d'écoulement. On observe aussi, que l'augmentation du pas de discrétisation a, sur la pression, un effet filtrant. Ceci explique le fait qu'une surface à facteur d'asymétrie négatif est moins influencée par la discrétisation du domaine de calcul.

Une deuxième série de calcul a été effectuée afin de comprendre l'influence de la dimension du domaine de calcul sur l'évaluation des facteurs d'écoulement. Dans le cas de la surface 1 on note que les dimensions du domaine ont une influence plus importante sur φ_z que sur φ_x, ce qui prouve encore une fois que cette surface n'est pas parfaitement isotrope. On peut aussi observer que, dans le cas des surfaces 2 et 3 et pour obtenir la même précision, il faut inclure dans le domaine d'étude un nombre plus grand de longueurs d'autocorrélation en z qu'en x. Ceci indique que, pour diminuer le temps de calcul, un domaine d'étude rectangulaire serait plus intéressant. Comme auparavant, la surface 4 est la moins influencée par la réduction de la surface de calcul.

Suite à tous ces calculs, on ne peut pas donner des préconisations généralement valables concernant la discrétisation à utiliser ou le nombre de motifs de rugosité à inclure dans le domaine d'étude : une étude paramétrique est toujours nécessaire. Cependant, quelques tendances peuvent être données :

• le facteur d'écoulement en cisaillement est le plus sensible à la discrétisation et à la dimension du domaine d'étude,

• pour des surfaces à rugosité longitudinale, les facteurs d'écoulement calculés suivant x sont plus sensibles à la discrétisation et à la dimension du domaine d'étude que ceux calculés suivant z. Cette observation est aussi valable pour les surfaces à structure transversale, en intervertissant x et z,

• l'influence de la discrétisation et de la dimension du domaine d'étude devient significative pour h/σ < 2,

• pour des surfaces avec un facteur d'asymétrie négatif, les facteurs d'écoulement sont moins sensibles à la discrétisation et à la dimension du domaine d'étude,

• le calcul de la direction principale est peu sensible à la discrétisation et à la dimension du domaine d'étude. Cependant, afin d’éviter d’une part le manque d’effet dû à la rugosité si l’épaisseur est trop grande et d’autre part les perturbations introduites par les pics entrant en contact lorsque l’épaisseur devient faible, il est préférable de choisir une valeur du rapport h/σ≈ 2.

Comme montré dans le paragraphe précédent, si le domaine d'étude est rectangulaire, la technique d'homogénéisation est presque équivalente avec la méthode basée sur les facteurs d'écoulement, avec une différence au niveau des conditions limites utilisées pour le calcul du problème local. Une comparaison entre les deux méthodes est donnée dans le paragraphe 5.3.4 de (Bonneau, Fatu et Souchet 2011). Il est montré que les facteurs calculés par calcul direct et ceux calculés par homogénéisation sont en très bon accord (avec des

faibles différences pour h/σ < 1, générées par des difficultés de convergence du calcul dues à l'apparition de zones de contact entre les surfaces).