Modélisation par la méthode inverse

Pour pouvoir exprimer l’équation de Reynolds en terme d'épaisseur, forme utilisée par la théorie inverse, deux hypothèses supplémentaires sont généralement admises : 1) le joint est axisymétrique et 2) les effets transitoires sont ignorés (hypothèse valide si la course de la tige est suffisamment grande). On peut donc écrire⁴ :

^_^

_ 6
^
_ 3.5

L'épaisseur du film moyenne de ce genre de mécanisme est relativement faible (moins de 1 µm). On peut donc faire l'hypothèse que la déformation générée par un film fluide s'intercalant entre le joint et la tige est négligeable devant la déformation générée par le montage et par l'application de la pression hydraulique. En conséquence, la pression hydrodynamique doit être en moyenne presque égale à la pression de contact calculée par le calcul de structure. On peut donc résoudre l'équation 3.5 pour obtenir l'épaisseur du film : c'est ce qu'on appelle la théorie inverse (or Inverse Hydrodynamic Theory).

Une première intégration de l'équation 3.5 donne une équation du troisième degré en h : 


 6   3.6

3 l'épaisseur du film est obtenue ici par la méthode inverse.

où h0 représente l'épaisseur du film où le gradient de pression est nul. On peut constater que si l'épaisseur du

film est connue dans ce seul point du domaine, elle peut ensuite être calculée pour tout le domaine de calcul. En différenciant l'équation 3.5 on obtient :

3


^_
^
_ + 

^_
^
_ 6
^
_ 3.7

Pour un point A du domaine d'étude où

_^

_ = 0, l'équation 3.7 devient : 3ℎ^

__ = 6 ⇒ ℎ= ^ !

" #

_3.8

En écrivant l'équation 3.6 au point A, on déduit : ℎ_=^ ℎ_=^{ } _!

" #

_3.9

La résolution de l'équation de Reynolds unidimensionnelle obtenue suite à ces simplifications conduit à deux difficultés. Tout d'abord, nous devons calculer la valeur précise de l'épaisseur du film dans un point du contact où la dérivée de la pression admet un maximum local (la dérivée seconde est nulle). Ceci nécessite un calcul de structure très précis, sur un maillage très fin (voir le paragraphe précédent). La deuxième difficulté est la recherche du point A (point d'inflexion) et ensuite la résolution d'une équation du troisième degré, qui peut admettre par fois deux solutions positives.

Numériquement, la position du point d'inflexion est calculée en recherchant la valeur maximale du gradient de pression à l'entrée du contact (en fonction de la direction du glissement de la tige). Ensuite, la méthode de Newton⁵ est utilisée pour résoudre l'équation 3.6 et pour obtenir la variation de l'épaisseur dans le contact. Finalement, la validation du résultat est réalisée en résolvant l'équation 3.5 en p et en comparant le champ de pression obtenu avec le champ de pression de contact.

Même si sur presque toute la largeur de contact, le champ de pression hydrodynamique peut être considéré comme identique au champ de pression de contact, comme l’ont déjà souligné (Kanters et Verest 1999) et (Nikas, "Transient elastohydrodynamic lubrication of rectangular elastomeric seals for linear hydraulic actuators 2003), le champ de pression calculé directement à partir de la simulation par éléments finis de l’assemblage du joint ne donne pas une bonne approximation des phénomènes hydrodynamiques en entrée de contact. Or, c'est justement dans cette zone qu'on doit trouver le point d'inflexion A. Une correction du champ de pression statique et donc nécessaire.

5 l'équation 3.6 peut aussi être calculée analytiquement en utilisant l'approche de Cardan. En effet, lors de la mise au

point du modèle et lorsque le champ de pression statique est bien calculé, la solution donnée par la méthode de Newton est identique à la solution calculée analytiquement. Par ailleurs, nous avons constaté que presque la majorité des cas étudiés conduisent à une seule solution réelle.

Pour réaliser cette correction, nous avons couplé la méthode inverse à une résolution directe à l'entrée du contact. Nous faisons l'hypothèse que la forme du coin d'huile à l'entrée du contact (avant le point d'inflexion) est identique à celle donnée par le calcul de structures, à une constante près. Cette constante est égale à la valeur de l'épaisseur au point d'inflexion.

La Figure 3.6 montre l'algorithme numérique utilisé. Il faut préciser que le domaine d'étude n'est pas limité aux seuls points qui d'après le calcul de structures sont en contact mais, il est légèrement augmenté à l'entrée, d'une longueur arbitrairement choisie, appelée par Kanters "boosting zone". Comme on pourra le voir plus tard, le choix de la longueur de cette zone peut avoir une influence importante sur les prédictions en termes d'épaisseur de film, de fuite et de frottement.

Figure 3.6 : Algorithme numérique

Après le calcul de structure, la méthode inverse est appliquée au champ de pression statique afin de calculer le point d'inflexion et l'épaisseur en ce point. Ensuite, l'épaisseur calculée avant le point d'inflexion est ignorée et remplacée par la forme du coin d'huile obtenue suite au calcul de structures, décalé de hA (les points initialement situés dans la zone de contact ont une épaisseur égale à hA). L'équation de Reynolds est résolue

Initialisation: vitesse, pression hydraulique, viscosité,…

Calcul statique : prédiction du profil de pression statique

Calcul du point d'inflexion et de l'épaisseur du film

Correction hydrodynamique à l'entrée du contact

Calcul du l'épaisseur

Variation du l'épaisseur du film au point d'inflexion

significative

Insignifiante Calcul du coefficient de frottement

Variation du coefficient de frottement

significative

Insignifiante Calcul des paramètres globaux

sur cette région d'entrée. On impose la pression hydraulique comme condition aux limites pour le premier nœud du domaine de calcul et la pression de contact pour le nœud situé au niveau du point d'inflexion.

Cette correction hydrodynamique modifie la position du point d'inflexion et donc un nouveau champ d'épaisseur va être calculé. Le processus itératif est interrompu lorsque les variations d'épaisseur deviennent insignifiantes.

Le pas suivant est le calcul du coefficient de frottement moyen entre le joint et la tige. Injecté dans le calcul de structures, le frottement tangentiel modifie la distribution de la pression de contact ainsi que la largeur du domaine d'étude. Il faut donc à nouveau itérer, jusqu'à la stabilisation du coefficient de frottement. Même si 3 à 4 itérations sont généralement suffisantes pour obtenir une variation insignifiante des résultats, cette boucle est couteuse en temps de calcul et peut être négligée dans une première approximation. Une étude sur l'influence de la prise en compte ou non du frottement peut être retrouvée dans (Fatu et Hajjam 2011).

3.2.5 Validation numérique du modèle

La validation du modèle a été réalisée, dans un premier temps, par comparaison avec des résultats trouvés dans la littérature, et plus précisément avec l'étude d'un joint de type "O-ring" réalisée par (Stupkiewicz et Marciniszyn 2009). Dans leur étude, ils ont fait appel à un code de calcul de structure modifié afin de prendre en compte les effets hydrodynamiques à l'interface joint/tige. Ils utilisent donc une méthode directe.

La Figure 3.7 présente les distributions de la pression et de l’épaisseur du film en contact pour une configuration d’entrée et de sortie de tige, pour trois pressions d’alimentation de 0, 1 et 3 MPa, à une vitesse de translation de 100 mm/s.

Figure 3.7 : Distribution de la pression de contact (a,c) et d’épaisseur du film (b,d) pour la sortie (a,b) et entrée (c,d) à U=100mm/s

Les résultats obtenus avec la théorie inverse montrent une très bonne concordance avec les résultats obtenus par Stupkiewics et Marciniszyn. Dans la Figure 3.7 b) et la Figure 3.7 d) sont représentées aussi les épaisseurs des films obtenues sans correction hydrodynamique du champ de pression. On remarque un écart important entre les épaisseurs obtenues avec et sans correction hydrodynamique. Pour obtenir des résultats corrects par cette approche, il faut donc absolument corriger le champ de pression statique.

La Figure 3.8 a) montre les différences entre la distribution de la pression en entrée et en sortie de contact obtenue avec et sans correction. Comme déjà observé par (Kanters et Verest 1999), la correction hydrodynamique introduit une discontinuité du profil d'épaisseur. Cependant, la variation de la pression est continue.

Figure 3.8 : a) Zoom à l'entrée et à la sortie du contact b) Influence de la longueur d'entrée ("Boosting zone")

La Figure 3.8 b) montre les champs d'épaisseur obtenu avec différents longueurs de la "Boosting zone". On observe que plus cette zone est étendue, plus l'épaisseur est importante. A partir d'une certaine longueur, le champ d'épaisseur ne change plus. En effet, la longueur d'entrée peut être liée au degré de sous-alimentation du contact : si le joint est sous-alimenté, cette zone doit est très courte.

Dans la même Figure 3.8 a), on observe qu'une correction hydrodynamique peut être aussi réalisée en sortie de contact. Par exemple, dans le cas présenté, une pression négative peut être une indication de la rupture/cavitation du film lubrifiant. Cependant, les calculs on montré qu'une correction en sortie du contact n'a aucune influence sur les prédictions numériques et n'est donc pas nécessaire.