Stabilité et équilibres d'un système tournant non axi-symétrique

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Stabilité et équilibres d’un système tournant non axi-symétrique

Arnaud Lazarus, Didier Combescure, Quoc Son Nguyen

To cite this version:

Arnaud Lazarus, Didier Combescure, Quoc Son Nguyen. Stabilité et équilibres d’un système tournant

non axi-symétrique : Application aux rotors fissurés. 8e Colloque national en calcul des structures,

CSMA, May 2007, Giens, France. �hal-01493722�

5HYXH9ROXPH;±Qƒ[DQQpHSDJHVj;

WRXUQDQWQRQD[LV\PpWULTXH

$SSOLFDWLRQDX[URWRUVILVVXUpV

$UQDXG/D]DUXV²'LGLHU&RPEHVFXUH ²4XRF6RQ 1JX\HQ

CEA Saclay, DM2S/SEMT/DYN F-91191 Gif-Sur-Yvette,

arnaud.lazarus@cea.fr

** Laboratoire de Mécanique des Solides, Ecole Polytechnique F-91128 Palaiseau cedex

RÉSUMÉ

. Afin de prédire le comportement vibratoire d’un rotor fissuré, on formule les équations de mouvement qui, sous l’effet du défaut, sont des équations non autonomes de type Hill. Cet article donne les outils numériques pour résoudre ce type d’équation à travers un modèle à 2 ddls, un rotor horizontal fissuré reposant sur un palier de raideur anisotrope, en vue d’une généralisation aux éléments finis. On caractérise dans un premier temps l’effet de la fissure sur l’équation de mouvement de notre système. La théorie de Floquet nous permet d’affirmer que ce système non autonome possède des modes propres linéaires, complexes, à spectre de fréquences. On détermine alors, grâce au critère de Hsu, les instabilités paramétriques de ces modes. En raison des multiples fréquences caractérisant chaque mode, la réponse forcée du système sous poids propre est multi harmonique.

ABSTRACT

. The modelling of a cracked rotor leads to a non autonomous equation of motion which is called Hill’s equation. This paper gives the numerical tools in order to solve this equation. It shows their efficacy through a 2 dof model of an horizontal cracked rotor lying on support with anisotropic stiffness. First, the equation of motion is established. The Hill’s determinant is obtained with the help of Floquet theory. Since its convergence, one can calculate the linear complex Eigen modes and their frequencies spectrum. Thanks to Hsu’s criteria, the parametric instabilities of these modes are obtained. Due to the multiplicity of the frequencies contained in the Eigen modes, the forced response (under weight) is multi harmonic.

MOTS-CLÉS

: rotors fissurés, vibration, équations de Hill, instabilités paramétriques, réponse multi-harmonique.

KEYWORDS

: cracked rotor, vibration, Hill’s equations, parametric instabilities, multi- harmonic response.

5HYXH9ROXPH;±Qƒ[DQQpH

,QWURGXFWLRQ

8Q GHV GpIDXWV SRXYDQW rWUH UHQFRQWUp VXU OHV V\VWqPHV WRXUQDQWV HVW OH SKpQRPqQHGHILVVXUDWLRQGXURWRUQRWDPPHQWGDQVOHGRPDLQHGHO¶pQHUJLHWXUELQH KRUL]RQWDOHGHVJpQpUDWHXUVSDUH[HPSOH

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(Q V¶LQVSLUDQW GHV FDOFXOV GH V\VWqPHV WRXUQDQWV HQ FRRUGRQQpHV FRPSOH[HV

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(TXDWLRQGXPRXYHPHQW

/H URWRU KRUL]RQWDO ILVVXUp HVW PRGpOLVp GH IDoRQ VLPSOLILpH ILJXUH SDU EDUUHV ULJLGHV OLpHV HQ * SDU XQH OLDLVRQ QRQOLQpDLUH LQWURGXLWH GDQV $QGULHX[ HW DO /H URWRU SRVVqGH XQ DPRUWLVVHPHQW LQWHUQH F

HW WRXUQH j YLWHVVH FRQVWDQWH ȍ DXWRXU GH O¶D[H = O¶D[H ; HVW YHUWLFDO /H SDOLHU HVW DQLVRWURSH GH UDLGHXUN

HWN

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F

)LJXUHRotor fissuré sur palier anisotrope et allure de la fonction raideur

6RXVSRLGVSURSUH)

PJO¶pTXDWLRQGXPRXYHPHQWGH*V¶pFULW

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

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HVWVDSHUWHGHULJLGLWp2QSRVHOHVSDUDPqWUHVDGLPHQVLRQQHOVVXLYDQWV

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'pWHUPLQDQWGH+LOO

(Q SRVDQW OD FRRUGRQQpH FRPSOH[H ^z ( ) ( ) ( ) ^{t = x t + iy t} HW HQ DSSOLTXDQW OD WKpRULH GH )ORTXHW RQ SHXW pFULUH OH PRXYHPHQW OLEUH QRQ DPRUWL GX V\VWqPH pTXDWLRQ>@KRPRJqQHDYHFF VRXVODIRUPH

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LQILQL &H GpWHUPLQDQW GH +LOO FRQYHUJH 3RLQFDUp HW VD FRQYHUJHQFH

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5HYXH9ROXPH;±Qƒ[DQQpH

QpFHVVDLUHjO¶REWHQWLRQGHODUpSRQVH]WVHUDIDLEOH(QHIIHWOHVWHUPHVGLDJRQDX[

FRPSRUWHQWGHVFRHIILFLHQWVHQȍ

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0RGHVSURSUHVjVSHFWUHGHIUpTXHQFHV

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İ

3RXU QRWUH V\VWqPH j GGOV FHV PRGHV VRQW UHJURXSpV HQ IDPLOOHV LQGpSHQGDQWHV FRQYHUJHQWHV OHV PRGHV VHORQ ; HW OHV PRGHV VHORQ < ILJXUH 3OXV OD YLWHVVH GH URWDWLRQHVWIDLEOHHWSOXVOHXUFRQWHQXIUpTXHQWLHOHVWLPSRUWDQW

&RPPH GDQV O¶DQDO\VH PRGDOH FODVVLTXH OD VROXWLRQ GH O¶pTXDWLRQ GH PRXYHPHQW

>@SHXWV¶H[SULPHUVXUODEDVHGHFHVPRGHVSURSUHV

)LJXUHVisualisation des 2 modes propres pour ȍ

= 0.35 (j

= 8)

3RXUFHUWDLQHVSODJHVGHURWDWLRQRQREVHUYHXQHFRQIXVLRQGHVIUpTXHQFHVGHV PRGHV OH V\VWqPH HVW DORUV G\QDPLTXHPHQW LQVWDEOH SDUWLH LPDJLQDLUH GH Ȧ QpJDWLYHILJXUHE

)LJXUHEvolution des valeurs propres du système en fonction de la vitesse de rotation

'LDJUDPPHGHVWDELOLWp

2QSHXWORFDOLVHUOHVUpJLRQVG¶LQVWDELOLWpGXHVjODILVVXUHGHVPRGHVSURSUHVj VSHFWUHGHIUpTXHQFHVJUkFHDXFULWqUHGH+VX+VXTXLUpJLWOHVLQVWDELOLWpV SDUDPpWULTXHV GHV V\VWqPHV j SOXVLHXUV GGOV 2Q WUDFH VXU OD ILJXUH OD SDUWLH LPDJLQDLUH GH OD YDOHXU SURSUH HQ IRQFWLRQ GHV SDUDPqWUHV İ

ȍ F¶HVW OH GLDJUDPPH GH VWDELOLWp /HV LQVWDELOLWpV SDUDPpWULTXHV DPRUWLVVHPHQW QpJDWLI HQ ]RQHVVRPEUHVVXUODILJXUHDSSDUDLVVHQWSRXUGHVPXOWLSOHVHWVRXVPXOWLSOHVGHV SXOVDWLRQVSURSUHVGXV\VWqPHVDLQȦ

VHORQ;HWȦ

VHORQ<

)LJXUHDiagramme de stabilité du système pour İ

= 0.5 et j

= 2

/¶DPRUWLVVHPHQWIL[HVWDELOLVHOHV\VWqPHHWFHTXHOTXHVRLWȍ 3DUFRQWUHORUVTXH ȍ

!O¶DPRUWLVVHPHQWWRXUQDQWSHXWGpVWDELOLVHUOHV\VWqPH*HQWD/¶HIIHW GpVWDELOLVDWHXU GH O¶DPRUWLVVHPHQW WRXUQDQW SHXW rWUH UpGXLW SDU XQH DQLVRWURSLH GH UDLGHXUVXUOHVWDWRU&HFLSHXWrWUHOHFDVGHVDUEUHVKRUL]RQWDX[GHWXUELQHGRQWOHV SDOLHUVVRQWJpQpUDOHPHQWDQLVRWURSHVHQUDLVRQGXSRLGVSURSUH6XUODILJXUHER

O¶DPRUWLVVHPHQWHVWXQLTXHPHQWWRXUQDQWO¶LQVWDELOLWpDSSDUDvWSRXUȍ §3RXU GHVUDLGHXUVGHSDOLHULVRWURSHVO¶LQVWDELOLWpGXHjF

DSSDUDvWUDLWSRXUȍ

5pJLPHSHUPDQHQW

/RUVTXH O¶DUEUH HVW VRXPLV j VRQ SRLGV SURSUH OHV PRGHV SURSUHV j VSHFWUH GH IUpTXHQFHV SHXYHQW rWUH H[FLWpV 2Q REVHUYH DORUV GHV UpVRQDQFHV VHFRQGDLUHV DX[

VRXVPXOWLSOHVGHVSXOVDWLRQVSURSUHVȦ

HWȦ

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GHV V\VWqPHV QRQ DXWRQRPHV ILJXUH D (Q UpJLPH VRXVFULWLTXH O¶LQIOXHQFH GHV

5HYXH9ROXPH;±Qƒ[DQQpH

KDUPRQLTXHVpOHYpVHVWLPSRUWDQWHLOIDXWDORUVXQRUGUHGHWURQFDWXUHFRQVpTXHQW SRXUREWHQLUODUpSRQVHH[DFWHILJXUHRȍ (QUpJLPHVXUFULWLTXHFDV GX UpJLPH QRPLQDO SDU UDSSRUW DX[ SUHPLHUV PRGHVGHV DUEUHV GHWXUELQH VHXOOH SUHPLHUKDUPRQLTXHHVWQpFHVVDLUH+DQ

)LJXUHRégime permanent sous poids propre et orbite de G ( ȍ

= 0.35 et c

 0)

&RQFOXVLRQV

&HW DUWLFOH D SUpVHQWp O¶pWXGH QXPpULTXH GHV pTXDWLRQV GX PRXYHPHQW QRQ DXWRQRPHVG¶XQURWRUILVVXUpKRUL]RQWDOVXUSDOLHUjUDLGHXUDQLVRWURSH/DSURFKDLQH pWDSHVHUDG¶DGDSWHUOHVPpWKRGHVXWLOLVpHVDX[FDOFXOVpOpPHQWVILQLVDILQGHSRXYRLU WUDLWHUjO¶DYHQLUO¶LQIOXHQFHGHVGpIDXWVVXUOHFRPSRUWHPHQWYLEUDWRLUHGHV\VWqPHV WRXUQDQWVUpHOVDX[JpRPpWULHVFRPSOH[HV

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(O $UHP 6 9LEUDWLRQV QRQOLQpDLUHV GHV VWUXFWXUHV ILVVXUpHV 7KqVH GH GRFWRUDW (FROH 1DWLRQDOHGHV3RQWVHW&KDXVVpHV

*HQWD *Dynamics of rotating systems6SULQJHU

+DQ'- 0RGDODQDO\VLVRISHULRGLFDOO\WLPHYDU\LQJURWRUV\VWHPVXVLQJ)ORTXHWWKHRU\DQG PRGXODWHG FRRUGLQDWH WUDQVIRUPDWLRQ DSSOLFDWLRQ WR FUDFN GHWHFWLRQV DQG PRGDO EDODQFLQJ3K'WKHVLV.RUHD$GYDQFHG,QVWLWXWHRI6FLHQFHDQG7HFKQRORJ\

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