Étude de la pellicule d'air comprise entre une membrane circulaire et une électrode plane

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Submitted on 1 Jan 1955

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Étude de la pellicule d’air comprise entre une membrane circulaire et une électrode plane

C. Colin

To cite this version:

C. Colin. Étude de la pellicule d’air comprise entre une membrane circulaire et une électrode plane.

J. Phys. Radium, 1955, 16 (11), pp.863-867. �10.1051/jphysrad:019550016011086301�. �jpa-00235284�

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dispositif peut ^être transformé en échelle de 100 en utilisant un deuxième dékatron. Le couplage

des deux dékatrons doit être réalisé par l’inter- médiaire d’un circuit capable ^de transmettre au

deuxième le sens de l’opération (addition ^ou soustraction) ^du premier. ^On peut utiliser dans ce

but deux circuits d’aiguillage ^à bascules triode hexode analogues ^{à ceux} mentionnés ci-dessus (et attaqués de la même manière) qui déclenchent deux générateurs d’impulsions ^doubles appliquées

aux guides ^{G’1 et G’2 du} deuxième dékatron. Il est

plus économique d’employer ^une échelle de 3 du

type décrit par Churchill [2], constituée par des tubes à cathode froide; ^les électrodes de déélenche-

ment (trigger) des trois tubes (par exemple ^STC.

G,/371 K) ^sont attaquées par les impulsions ^{1 à} 8, 9, 10 du premier ^{dékatron et les} impulsions appa- raissant aux anodes des tubes recevant les impul-

sions 9 et 10 sont appliquées ^aux guides ^{Gi et G,.}

Le circuit de numération est commandé de la même manière que précédemment par les impulsions

issues du deuxième dékatron. La cadence de comp-

tage des circuits utilisant des tubes de ce genre ^est néanmoins limitée par l’intervalle de temps ^minimum qui doit exister entre deux impulsions ^et qui, pour le tube employé, ^est égal ^{à 4oo} lis.

Manuscrit reçu le ²¹ mai 1955.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] ^{BACON R. C.} et POLLARD J. R.

Electron. Engng., I950, 22, I73-I77.

[2] CHURCHILL J. L. W. - J. Brit. Inst. Radio Engrs, I952, 12, 497-504.

[3] Cold-Cathode Tubes, Etelco, Handbook, I954-I955.

[4] ^{DRUET Y.}

C. R. Acad. Sc., I952, 235, 494-496; ^Onde Électrique, I954, 34, ^n° 323, I30-I34.

ÉTUDE DE LA PELLICULE D’AIR COMPRISE ENTRE UNE MEMBRANE CIRCULAIRE ET UNE ÉLECTRODE PLANE (I)

Par C. COLIN,

Laboratoire de Physique-Enseignement.

Sommaire.

On isole l’action de la pellicule ^{d’air en} plaçant la membrane entre deux électrodes symé- triques; ^le système mécanique composé de la membrane et des deux électrodes fait partie ^d’un système électromécanique ^{d’étude se réduisant à un} quadripôle passif. On étudie la fonction de transfert en

fonction de la fréquence.

La méthode consiste à substituer à la pulsation ^{03C9 une} pulsation complexe ^{03C9* et se} décompose ^{en deux} parties :

a. Détermination de la fonction de transfert G(03C9*) : La structure de cette fonction traduit la symé- trie de la membrane et la répartition des forces extérieures; G(03C9*) est, quelle que soit 03C9, ^une fonction holomorphe ^{de 03C9*.}

b. Étude de la pulsation complexe ^03C9*.

Parties réelle et imaginaire ^{de 03C9*} sont des fonctions paramétriques ^de 03C9, dépendant essentiellement

d’impédances mécaniques traduisant l’existence de la pellicule d’air: élastance I/C03BB03C9, ^{inertance LA 03C9 et}

résistance RV. ^{Dans le cas courant où} RV/LA03C9 ~ ^I, (LA/CA)1/2 ^{~ RV cette étude se ramène à la} détermination d’un seul paramètre P

(R2V CA/03C1)1/2 ^{(03C1, densité} superficielle ^{de la} membrane). ^{P se} détermine aisé- ment par méthode impulsionnelle.

Il est alors possible de suivre les déformations des courbes représentatives ^de l’image ^{de 03C9* en fonction}

de la fréquence, lorsque ^le paramètre ^{P varie} continuement, ^de prévoir l’influence d’une modification du relief des électrodes.

LE JOURNAL ^DE PHYSIQUE ^ET LE RADIUM. TOME 16, ^NOVEMBRE 1955,

A. Description schématique ^{du montage uti-} lisé. Notations.

l. LE SYSTÈME (fig. A.I)

se compose d’une membrane métallique ^tendue,

fixe le long d’une circonférence et placée ^entre

deux électrodes planes, parallèles ^et symétriques

par rapport ^au plan ^{de la membrane.} Entre l’élec-

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019550016011086301

trode (2) ^{et le} potentiel électrique de référence ^se trouve insérée une impédance ^Z. Nous supposons que du point ^{de vue} électrique ^les points ^{A et B}

sont à un potentiel ^continu nul, ^le point ^{D à un} potentiel ^variable négligeable.

II. NOTATIONS : ^: a, rayon de la membrane;

p, densité superficielle ^{de la} membrane;

T, ^tension mécanique par unité de surface;

r, distance d’un point ^{M de la} membrane à l’axe de symétrie;

r x = -;

x = ai

z(r, 6, 1), déplacement vertical d’un point ^{M de la} membrane;

d, distance de la membrane ^au repos ^aux électrodes (1)

et (2);

z

Y=

Eo, potentiel électrique continu de la membrane;

E(t), potentiel électrique de l’électrode (1);

a(1), potentiel électrique ^de l’électrode (2), ^{dû à}

l’insertion de l’impédance ^Z;

Qo, charge électrique de l’une des faces de la ^mem- brane lorsque les électrodes (1) ^et (2) ^{sont au} poten-

tiel électrique ^{de référence;}

Co, ^la capacité correspondante;

Q2 ^et C,, ^les charge ^et capacité respectives ^{de la face}

de la membrane en regard ^de l’électrode (2).

à l’instant 1;

Nous poserons

q 2) (t) ^{étant une} quantité d’électricité variable en

fonction du temps ^et dont la variation est liée au

mouvement de la membrane; ^à Qo, correspond ^la

densité superficielle d’électricité _(Jo; à q 2) (l), u 21 (r, 0, 1).

Nous considérerons y(r, 0, t), E(t) ^E0 a(t) cr(2)(r, 0, t) ^{Eo cro}

comme des infiniment petits ^du premier ^ordre.

B. Équations traduisant l’équilibre ^méca- nique ^et électrique.

^I. ÉQUILIBRE ^MÉCANIQUE.

-

io L’énergie électrostatique ^d’un élément de surface r dr dO de la membrane se met sous la forme

on en déduit la force s’exerçant ^{sur l’élément r dr} dO,

Soit

20 La réaction du milieu dans lequel ^{vibre la}

membrane se traduit par l’existence d’une force F(f) que ^nous supposerons de la forme

où p désigne ^le symbole d _dt

On peut alors écrire l’équation traduisant l’équi-

libre mécanique de la membrane

Soit en remplaçant ^r par ^{ax et en} exprimant ^Az

en coordonnées cylindriques,

I I. ÉQUILIBRE ÉLECTRIQUE.

¹⁰ Notations.

Nous désignerons par àC2 ^et AQ2, ^les capacité ^et charge respectives de l’élément de surface r dr dO de la membrane vis-à-vis de l’électrode (2)

20 L’équation traduisant l’équilibre électrique ^s’écrit:

En tenant compte ^{des relations}

L’équation (B. 4) ^{se met sous la forme} équiva-

lente

L’expression I ;. o 0 ^{y(x, 0, t) x dx dO est la}

valeur moyenne du ^« déplacement vertical relatif »

d ^{d’un point M de la membrane, prise sur le domaine}

de rayon ^a.

865

Nous _poserons

Du _point de vue électrique ^{la membrane est donc} équivalente ^{à une force} électromotrice Eoh(t), d’impédance ^interne C, ^{débitant sur une} impé-

dance Z aux bornes de laquelle ^on recueille la te’nsion oc(t) (fig. B. 1).

Nous _poserons

C. Cas du régime permanent. - I. NOTATIONS.

-

Nous poserons

II. DÉTERMINATION APPROCHÉE DU COEFFICIENT

k(p).

Reprenons l’équation (B.2) ^{sous la forme}

dans le cas présent

Si l’on veut déterminer le coefficient k(p) ^on peut

supposer la membrane assujetie ^{à un mouvement}

bien défini et étudier les. variations de pression qui ^{en résultent dans la} pellicule ^d’air emprisonnée

entre la membrane et les électrodes.

.

Nous poserons

Soit en comparant ^{les relations (}

L’expression ZA(jW) correspond ^{à une} impédance mécanique qui ^{en toute} généralité ^se compose de : 1 ° une résistance, ^{due à ce} que le fluide ^est

visqueux.

2° une inertance correspondant ^à l’inertie de la

pellicule ^{d’air en mouvement;}

3° une élastance due à la compressibilité ^du gaz:

Considérons le schéma du dispositif mécanique

utilisé (fig. ^C. I ) ^et supposons : 10 le fluide parfait;

2° le mouvement de la pellicule ^d’air parallèle ^à

l’axe OZ et assez rapide pour qu’il n’y ait pas

d’échange ^{de chaleur.}

On montre alors _par un _calcul classique (1) que l’élasticité de l’air entraîne l’existence d’une pression

liée au déplacement ^d’un point ^{M de la membrane}

par la relation

Po désigne ^la pression moyenne du fluide, ^corres- pondant ^{à r} > ^{a et} _{y le} rapport ^{des chaleurs} spéci- fiques ^à pression et à volume constants.

Le coefficient 2 traduit la symétrie ^du montage.

Si l’on pose

Dans ce cas particulier, l’impédance ZA ^{se réduit}

à celle correspondant ^{à la} capacité CA ^{et on a le}

schéma simple équivalent (fig. C , 2) ^suivant.

Seulement nous avons supposé ^{le fluide} parfait

et le mouvement de l’air parallèle ^{à l’axe} OZ, ^ce qui

n’est pas le ^cas. Supposons ^{en effet le mouvement}

de la membrane symétrique dz* do

^{o . Si la mem-}

brane se rapproche ^{de l’une des} électrodes, ^la pellicule

d’air correspondante ^sera comprimée; ^{une différence}

de pression s’établira entre la pression régnant ^sur

l’axe OZ ^et celle correspondant ^{à r} > ^{a. Il se} pro- duira donc simultanément ^un mouvement latéral et un mouvement vertical. Le mouvement latéral

sera conditionné par des forces de viscosité et d’inertie.

On est alors conduit à adopter le schéma équivalent

suivant (fin. C. 3).

RV ^{est une} résistance dépendant de la viscosité et des données géométriques, indépendante ^a priori

(1) ^{H. F.} OLSON, ^Elements of acoustical Engineering.

de la pression moyenne Po. ^{LA est une inertance} proportionnelle ^à la densité moyenne du gaz.

On peut ^{se demander si} le calcul de Rv et L.,, de même que ^{celui de CA est} possible. ^{Nous ne le}

pensons pas. Il existe ^certes des calculs classiques (2)

concernant le mouvement latéral, ^{mais ces calculs} reposent ^{sur des} hypothèses arbitraires : d’une part, la membrane est assimilée à ^un piston plat équi- valent, ^d’autre part, ^le régime d’écoulement du gaz est supposé implicitement ^{laminaire et} permanent,

donc régi par les lois de Poiseuille. Dans le ^cas

présent, ^mouvement vibratoire périodique, ^{on ne} peut parler ^d’un régime ^« permanent ^» d’écoulement faisant abstraction de la durée d’établissement.

Vraisemblablement le fluide s’accumule ^sur la membrane et sur les électrodes sur lesquelles ^il y ^a formation d’une pellicule visqueuse ^{dont on ne sait}

pas calculer l’épaisseur.

Remarque.

^Nous’ supppserons ^en première approximation que ^de même que CA, LA ^et Rv ^sont indépendants des coordonnées d’espace. ^Cette hypo-

thèse peut ^sembler arbitraire, ^mais l’expérience

ne la contredit pas.

L’impédance Z (j ú)) ^{se met sous} la forme suivante :

on en déduit l’expression des coefficients k1(w)

et k2(w),

Si l’on pose

L’équation (B. 3), traduisant l’équilibre ^méca- nique ^{se met sous la forme}

(2) Irving ^B. CRANDALL, Theory of vibratung systems ^and Sound, p. 28 à 36.

avec la condition

On montre aisément que la seule solution compa- tible avec la déformation statique (w

o). ^est

Le calcul de a* se déduit alors de la relation (B. 7)

Soit

jr,,(y) étant la fonction de Bessel de première espèce ^{et d’ordre n.}

Posons

d’où

Le changement ^{de variable} (C.9) ^{revient à}

introduire ^une pulsation complexe w*, ^{dont les} parties ^{réelle et} imaginaire ^{sont des fonctions} paramétriques ^{de la} pulsation ^{ro. On} vérifie aisément que du point ^{de vue} équations ^aux dimensions ú)* est

homogène ^{à T-1, où T} figure ^le temps. ^{Son intro-}

duction est normale ^en effet : si l’on considère le

cas présent, ^{et si l’on ne} tient pas compte ^{de la réac-}

tion du milieu dans lequel ^{vibre la membrane, une}

seule fonction de la fréquence suffit à définir la

réponse ^{ce* du} système électromécanique, ^assimilé

à un quadripôle passif. ^{Dans le cas} contraire, ^il faut connaître deux fonctions de la fréquence, puis- qu’un déphasage ^{s’établit entre le} signal d’excitation E* et la réponse oc*. Si l’on veut encore caractériser oc* par ^une seule fonction, il faut que ^cette fonction soit une fonction de variable complexe, ^{soit de} fréquence complexe.

Étant donné la proportionnalité ^{de w* et de} cf,

les fonctions l c12(ç) _et ^I Jo(Ex)- Jo(E)

les onctIons W*2 _§j)() ^{et (!)*2} _:fo(ç) peuvent p

se mettre sous la forme G(w*). ^Les pôles ^{de cette}

fonction sont déterminés par la relation d’équa-

tions où

1,,io ^{étant le mième} zéro de la fonction de Bessel de

première espèce ^et d’ordre zéro. Ces équations ^n’ont

pas de racines réelles ^{en ù).} Donc pour m m o, G(w*),

est une fonction holomorphe ^{de la} pulsation complexe.

Il ^{y a} biunivocité entre la réponse ^{oc* et la} pul-

sation w*.

Remarque.

L’intégration ^de l’équation ^diffé-

rentielle (B. 3) peut être, remplacée ^{dans le cas où}

la pression extérieure excitatrice ne dépend pas ^{de 0} par la sommation d’une série.

Il est possible ^{en effet de} représenter la fonction

déplacement par ^une série double absolument ^et

uniformément convergente ^soit

avec la relation

à partir ^{de cette} expression ^{il est} possible de calculer

un certain nombre d’expressions (3).

I° La force vive :

90 L’énergie potentielle de déformation :

30 Les fonctions de forces (méthode ^des dépla-

cements virtuels) :

où

Nous aurons deux fonctions U, ^{U(e) et U(f)} suivant que

Remarque.

^{Dans le cas m}

^o,

(1) ^Lord RAYLEIGH, Theory of Sound, ^{vol. 1} (Membranes).

En appliquant la méthode de Lagrange ^{on obtient}

le système d’équations suivant : -

quel que soit m ù ^{i et où i = i ou 2.}

Les solutions y(i)(t) disparaissant ^en régime per- manent, ^on peut ^{se borner au cas où m}

^o.

Si l’on fait correspondre a"to(t) ^et hmo(t) ^au partiel

zm0 (t), les relations (B. 6) ^et (B. 7) ^se décomposent ^en

on est ainsi conduit aux expressions suivantes de a*

et z*,

On vérifie alors que les séries (1)1 ^et (E)2 ^{sont les} développements ^{en série de} Mittag-Loeffler ^{des fonc-}

tions méromorphes de (, G1(ç) ^et G2(c) ^{dont les} expressions ^sont

ce qui ^{est conforme aux résultats} déjà ^trouvés.

Manuscrit reçu le ^{5 mai} 1955.

BIBLIOGRAPHIE.

Lord RAYLEIGH. 2014 Theory ^of Sound, ^{vol. I.}

WATSON. 2014 Theory of Bessel ^Functions.

OLSON H. F.

Elements of acoustical Engineering.

CRANDALL I. B.

Theory ^of vibrating Systems ^{and sound.}

MATUDARA-HAYASAKA. 2014 Analysis ^of forced vibrations of circular Membrane, circular plate, ^{and hollow} sphere.

Nippon Electrical communication engineering, ^n° 11,

juin I938.