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Étude de la pellicule d'air comprise entre une membrane circulaire et une électrode plane. (II)

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Academic year: 2021

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(1)

HAL Id: jpa-00235285

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00235285

Submitted on 1 Jan 1955

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Étude de la pellicule d’air comprise entre une membrane circulaire et une électrode plane. (II)

C. Colin

To cite this version:

C. Colin. Étude de la pellicule d’air comprise entre une membrane circulaire et une électrode plane.

(II). J. Phys. Radium, 1955, 16 (11), pp.868-873. �10.1051/jphysrad:019550016011086800�. �jpa-

00235285�

(2)

ÉTUDE DE LA PELLICULE D’AIR COMPRISE ENTRE UNE MEMBRANE CIRCULAIRE ET UNE ÉLECTRODE PLANE (II)

Par C. COLIN,

Laboratoire de Physique-Enseignement.

JOURNAL PHYSIQUE 16, 1955,

D. Étude théorique de la fonction de transfert

G(w*) = r w’*1 -,O (E) . _ La fonction G (w*) se présente

sous la forme d’un produit de deux fonctions sélec-

tives dépendant de w*.

1. ÉTUDE DE LA FONCTION W*2 (w).

-

Cette fonction

se met sous la forme

1

avec

Si l’on suppose

les expressions (C. 7) et (C. 8) se simplifient pour donner

nous poserons

10 Fondion

on vérifie les résultats suivants :

La fonction À* s’annule pour deux valeurs de w soient w1 et ú)3, définies par les relations

Soient

expression s’annulant pour les valeurs de w.

La pulsation W2 correspond à un minimum de la

fonction À *.

2° Foncfion K (w).

-

Cette fonction est constam-

ment négative et passe par un minimum négatif correspondant à la pulsation

30 Calcul des différentes valeurs prises par les

fonctions k*(ü» et K(w) pour les pulsations w = wj,

o)

=

w4, ú)

-

W2, W

J

w3.

-

Nous supposerons que

On vérifie facilement les résultats suivants :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019550016011086800

(3)

869

dans le cas actuel d’électrodes uniformément

planes.

Il est possible d’estimer l’ordre de grandeur du paramètre RCA--E :

est le rapport de deux carrés de pulsation.

Posons

Exemple :

Groupons dans ce cas les résultats en un tableau

récapitulatif (tableau D .13).

.

TABLEAU D.13.

Dans le cas où P2 > I ce tableau se simplifie pour donner :

TABLEAU D.14.

Remarques.

Il suffit en effet d’écrire

40 Courbes décrites par l’image du carré de la

pulsation complexe lorsque w croit de zéro à l’infini.

-

a. Condition pour que la courbe présente un point

double :

Si l’on désigne par W5 et W6 les pulsations corres-

pondant au point double, on doit avoir les relations

suivantes :

(4)

on obtient alors les résultats suivants : P 2 : pas de point double;

P

=

2 : un point de rebroussement;

P > 2 : un point double correspondant à

b. Condition pour que 1K(w3) K(w1), ce qui , revient à écrire

.

on trouve ainsi la condition :

c. En combinant ces divers résultats on peut

suivre la déformation continue des courbes lorsque

le paramètre P varie : on distingue cinq cas impor-

tants :

Remarque.

-

Il est possible de choisir comme

unité CI p . CAP

II. ÉTUDE DE LA FONCTION G(b*) DANS DEUX

CAS LIMITES.

-

I ° Cas des basses f réquences : tg y « i,

Posons

on sait que

Appliquons cette formule de multiplication des arguments à J2(c) et J0(§),

en posant

En négligeant les termes en an(n > 4) est en écri-

vant Jn(t), on obtient les résultats suivants :

(5)

871

Ces expressions se simplifient si t = cmn, cas

dans lequel

L’étude des cas t

=

)n,o, 1

=

cm1,t

=

cm2 permettent

de dresser le tableau D. 25.

Remarque.

2013

)§,, r- 5,78, donc ; :

Si m = I :

Si

.

m > I :

TABLEAU D. 25.

E. Détermination du paramètre P.

-

I. Si

la résistance Rv est indépendante de la pression moyenne’ Po et si CA est inversement proportion-

nelle à Po, nous aurons la relation

P2 sera donc d’autant plus grand que Posera faible

si Po est assez faible on se trouvera dans le cas

les courbes représentatives de Ct)*2 présentent un point

double et l’on devra constater expérimentalement

la présence d’un maximum de la tension j ce* 1, correspondant à la pulsation ü) - w3, d’autant plus accentué que Po sera faible .De plus en se réfé-

rant au tableau D.14 on constate que l’on devra avoir les relations suivantes :

C’est bien ce que l’on constate expérimentalement (fig. E.I, E. 2 et E. 3). Les conditions d’expérience

dans les trois cas sont :

La courbe (E. .I) a été tracée pour une pression correspondant à Po - I cm de Hg. La fréquence correspondant au maximum est f0

=

9 372 p/s.

En conclusion on peut admettre la relation (E. .I)

Nous calculerons donc la valeur du paramètre P

à une pression Po réduite et nous extrapolerons

pour déterminer sa valeur à pression normale.

II. I° Etant donnée l’allure de la courbe repré-

sentative des variations de la tension [ ce* en fonc-

tion de la fréquence (fig. E. 3). Il est évident que si l’on soumet la membrane à une impulsion isolée,

la tension oc(t) sera ’une tension sinusoïdale amortie,

la pseudo-période T demeurant voisine de T; corres-

pondant à w3. La tension oc(t) sera donc de la forme

Nous nous proposons de déterminer le coefficient k

(6)

par deux procédés différents :

a. Détermination expérimentale.

-

On substitue à la tension E(t) = E*eil," une tension E(t) composée d’impulsions rectangulaires de durée r et dont la.

fréquence de récurrence est f . Si

Nous sommes ramenés au cas d’une impulsion isolée, nous avons choisi

Pour mettre en évidence la tension oc(t), on utilise le montage représenté par la figure E.4.

E. T. désigne un étage transformateur d’impédance per- mettant de rendre le coefficient (8) [formule (B. 7)] indé- pendant de la fréquence;

O.S.C. désigne un oscillographe cathodique à deux voies d’entrée;

G.I, désigne un générateur d’impulsions rectangulaires à

sorties symétriques.

La fréquence de balayage de l’oscillographe

est f r ou un sous multiple de f r. On obtient ainsi les oscillogrammes correspondant aux figures E.5

et E.6.

Un calcul classique effectué à partir de la figure E . 6 permet de déterminer k. On trouve ainsi

b. Calcul théorique.

--

Il est également possible

de calculer théoriquement le coefficient k, considéré

comme une fonction de Rv et de C,; il suffit de con-

naître la réponse x(/) à la fonction de Dirac d(t);

on utilise la méthode opérationnelle de Laplace.

Soient : A (p)

=

L [oc(t)], la transformée de a(t), I celle ’

de d(t); ces transformées sont liées par la relation

Z*(p) étant la fonction opérationnelle de transfert;

la détermination de Z*(p) est évidente. Dans le cas

où E(t)

=

E* ejwt on a en effet la relation

on en déduit

et par suite

Si l’on désigne par p(l)mo les racines de l’équation

L’expression de oc (t) se met sous la forme

soit

Le problème consiste donc à résoudre l’équa-

tion (E.6), cette équation peut se mettre sous la

(7)

873 forme

Soit après division par le facteur commun 1-Rv CAP

’et réduction des deux membres de l’équation au

même dénominateur :

Cette équation admet une racine réelle négative

et deux racines complexes conjuguées. La résolution

rigoureuse de cette équation est possible, mais on peut plus simplement obtenir une solution approxi-

mative satisfaisante. Posons

L’équation (E. 8) devient

on vérifie que la solution réelle est de la forme

Soit comme P2 > i :

Il en résulte que les solutions complexes satisfont l’équation

Soit en négligent

dont les racines sont

Soient en tenant compte de (E. 9) et (E. 10) :

La rapidité de la convergence de , la série (E. 7) permet pratiquement de se borner au premier terme.

Dans ce cas CA P10 I et

III. CALCUL DU PARAMÈTRE P2 :

La valeur de RVCA se déduit du rapprochement

des formules (E.5) et (E.14); celle de l’expression CI AP

peut se déterminer de deux manières différentes :

a. Par mesure directe (fig. E. 3) :

d’où

b. Théoriquement :

on trouve ainsi

Connaissant la valeur du paramètre P2 corres- pondant à la valeur Po = I cm de mercure; on déduit

sa valeur à la pression normale, soit

Manuscrit reçu le 5 mai 1955.

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