Tuyaux sonores. — Correction due a l'embouchure

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Submitted on 1 Jan 1906

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Tuyaux sonores. - Correction due a l’embouchure

Marcel Brillouin

To cite this version:

Marcel Brillouin. Tuyaux sonores. - Correction due a l’embouchure. J. Phys. Theor. Appl., 1906, 5 (1), pp.569-576. �10.1051/jphystap:019060050056900�. �jpa-00241139�

569

TUYAUX SONORES. 2014 CORRECTION DUE A L’EMBOUCHURE ;

Par M. MARCEL BRILLOLIN.

1. ^- Lorsqu’un tuyau cylindrique, ^ouvert librement à l’air par toute sa section droite. omet un son qui ^se propage dans l’atmo-

sphère, ^on sait que ^cette extrémité ouverte n’est pas exactement lltl

ventre pour les n1011venlents de l’air intérieurs ^au tuyau. B’t1liIlIl1"in"".

si le diamètre ou le côté du carré est petit par rapport ^{à la} longueur

d’onde, ^{les sons} propres du tuyau ^sont les mêmes que si ^sa longueur

était augmentée ^{de 0,78 R environ, ou 0, ~~~ ~ si le} tuyau ^{est carré}

de cût~ j ,’l. ^{Près de} l’embouchure, ^{c’est une} fente latérale assez

étroite, qui ^établit ordinairement la communication avec l’atmo-

sphère. ^Cela change considérablement les conditions de continuité des vitesses, ^{comme nous} allons le voir.

FI’" 1.

Le tuyau (fig. 1) ^est fermé pour ^{,l’ = o} par ^un fond Immobile

0.~, sauf’ la fente 0 (x ⁼ o, y = o) qui livre passage ^au jet.

La paroi ^{~~ = b} (AB’(, ~ ^est pleine ; ^{la face r~ = o est libre clt’ r~ ~}

’

à x = h pour le passage du jet ^{de 0 en B, et} pleine ^{au (1(~l;t ~1~~ 13}

~x ~ h).

Pour écrie les équations ^du prutuéme, ^nous di~tillg’U()Il’" 1«ii>; !r

tuyau ^{ces deux} régions :

(1) > Dj, , , , , >, ^{, ,} ~Î~lltW !l l’ vrmm t’..’ r~nlm·rt~ lPS ilZ~i)é/!t/’i’t /~ ^{pl ’} !~ %PIl~I~

l.1’. ^{deI’ ~ .}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019060050056900

t 0 Au delà de B ~~~~ > ii ;. ^{la forme du} potentiel ^des vitesses ; ^{en .’1 :}

est imposée par la double condition pour

2° Entre 0 et B (o ~ ~~~ 1" il faut prendre

pour que l’on ait ^au fond

à la paroi

et à l’ouverture

en adoptant immédiatement l’hypothèse ^la plus simple, que ^la

pression à l’ouverture est maintenue uniforme et constante par ^l’atmo-

sphère extérieure. On ^a d’ailleurs :

Les conditions de continuité de la pression ^{et de la} vitesse sont, pour ^.- h,

et

Le rapport des (’ue1ïil’lt’llt..., A et B est déterminé par l’extrémité

éloignée ^du tuyau (~c; ⁼ l j, ^{ouverte ou fermée} par exemple) ; ^leur

valeur absolue, indéterminée, ^définit l’intensité de la vibration

correspondante.

L’état vibratoire qui, près ^de l’ouverture, correspond à ^{un lltat}

571

.détcrn1Î 110 dans le reste du tuyau ^{est t} ci(’-fiiii par ^ces équations ^de continuité, ^{dont les} coefficients se calculent en reg-ardant le ?~ membre

comme donné, ^o L .1J L h :

Il

Il. ^- Puisque ^le rapport ^{de IXK à} BK ^est détermine par l’extrémité

éloignée ^du tuiyau "’x ^- 1), ^{écrivons :}

~K ^{est une} fonction du rann K.

Il reste à déterminer les ~B}, les D ^et le nombre n de vibrations que ^le tuyau peut ^rendre.

Les équations ( 1 ) s’écrivent :

Éliminant _{AK, :}

Éliminant les DK ^{entre les} équations qui correspondent ^à

h’ ^-- _o, K’ ⁼ 1, etc., ^on obtient pour définir les périodes propres )i du tuyau ^le déterminant à ^un nombre infini de lignes ^{et de colonnes,} qui ^a pour ^terme de colonne K, ^{et de} ligne ^{1~’ :}

avec

Pour les tuyaux ^{fermés à} l’extrt’n1i té éloignée, ^{tmis les l sont} égaux à 1 ; pour ^les tuyaux ^ouverts, 1.K0K ^est égfll ^{à xK!} -+- ~.

Je n’entreprendrai pas de discuter ^cette équation ^{dans le cas} général ^{où le} rapport ^{de h à l est} quelconque. ^Mais, lorsque ^le

rapport de h à t est très petit, ^et lorsqu’on ^{ne cherche que les} plus petites ^{racines n, on pourra} simplifier la recherche.

III. ^- Pour trouver les racines de l’équation, procédons ^par approximations successives. La continuité du mouvement dans tout le tuyau ^{est mieux} représentée ^au moyen de deux termes, ^dans

chaque potentiel, qu’au moyen d’un seul, par trois que par deux, ^etc.

On est ainsi conduit à prendre ^comme équation ^de première approximation :

avec

Chacune de ces équations approchées ^{a une infinité de racines.}

Pour la rigueur mathématique, ^{il faudrait démontrer} que les racines de même rang de ^{toutes ces} équations ^{sont de moins en nloins}

différentes et tendent vers une limite déterminée; ^{mais nous nous}

contenterons de beaucoup ^{moins de} pr~’~’o~.

Remarquions ^que l’équation (2) correspond ^à l’approximation ^em- ployée ^par Rayleigh pour ^le calcul de l’ouverture libre : nous

l’obtenons en supposant ^{le mouvement sans} variation de densité

près ^de l’orifice, ^{et en} écrivant l’égalité ^{de la} pression moyenne ^et de la vitesse mo eiiiie de part ^{et d’autre de la section ,J’ =} Il; ^c’est la même chose que d’écrire l’égalité ^{du débit total et} du travail total de la pression. ^La différence, ^c’est que ^{nous ne tenons} compte que du travail nécessaire au mouvement du gaz ^entre la section x = h et la fente, ^{sans nous} occuper du travail nécessaire à ^{son rnouvement}

ait dehors du tn~ an.

1 V.. ^- Le cas qui ^{nous intéresse est} celui ou le tuyau ^{est étroit} par rapport ^{à sa} longueur, ^{et rend un de ses sons les} plus graves.

t),~1~~ ^~v’ _t~a~, ,u-’ c~u

~,i j

,2

1 )iii , ^,. _oas, ~2 (vu ^{r est} beaucoup plus petit que n2 etonpeut

1 ) d Il "" " " ca..; , ^{JI "2 0 U}

’2 ^est beaucoup plu s petit qti ^e ,.,) ^{et 0 n petit} prendre ^{daii, la} premier’’ ’] nation

et s’arrêter au premier ^{lt’l’lne. si b est} inférieur à quelques ^cenlièo1cS

573 de la longueur ^{d’onde ~,. La} première équation ^se ~~~~c~uit alors à :

Posons :

l’équation ^{devient :}

1 b b ^n’est pas ^très petit. ^la tangente hyperbolique ^{’ de}

j.

-*20132013?

grand ^et positif. ^Les premières valeurs-de v sont donc _peu différentes ’ ^°

e ’2"

2013) 2013!

De là résulte, ^{si h est} petit ^par rapport ^à °0’ que, pour ^{tous ces}

premiers ^{sons graves,} BO ^est beaucoup plns grand que A, ; la pres- sion est très peu variable près ^de l’origine ; il Y ^{a un ventre} à petite

distance de l’origine.

V. ^- Tuyaux fef~yri~:s. ~

1 fil désigne ^la longueur ^d’onde.

Les sons propres ^{sont encore} les harmoniques impairs ^{du son fon-} damental, ^comme dans la théorie ¡"l"llll’Jdair,>, ’(¡Ii..; la Infiçii>iir

d’onde du son fondan1cntal n’est 1),t, ^{il ,} >11. 1,j,.ii1 1> la 1,,iiyii>ir

de l’ouw~rturc 7~ et (lue la profondeur ^du lllB":111 :

1 il) ^-ente la longueur ^à ajouter ^au tuyau pour

obtenir la longueui ^{fictive a} laquelle s’applique ^la règle classique,

Un rapport convenable de h à b permet de l’annuler :

C’est ^{une relation} plus compliquée que pour les tuyaux ^{fermés :} mais, ^en première approximation, ^{les sons} propres ^{sont encore} les

harmoniques ^{du son} fondamental, ^{et la} correction de longueur ^est

la même que pour ^le tuyau ^fermé.

On tire en effet de l’équation :

VI. ^- Dans les tuyaux d’orgue, ^le

rapport h

pour des ^raisons de bon fonctionnement de l’embouchure ; pour ^ces,

petites ^{valeurs, on a :}

et, ^comme il s’agit ^{d’un terme de} correction, on peut ^{écrire :}

d*oit les corrections de longueur qui ^{suivent :}

575 C’est bien dans ces limites que ^{~e trouve} comprise la correction

adoptée par Cavaillé-Coll: 21, pour ren.;.;en1ble de; (l~,(ix >,tr2mités du tuyau ouvert; ^{et on} sait que, pour 1 extrémité ^{tuut à} fait libre,

cette correction est à pen près ^{0,’~b ; ce} qui ^{laisse 1,6b} pour 1’t-xtré- mité voisine de l’embouchure.

L’accroissement considérable de la correction de longueur pour les petites valeurs de li n’a rien qui ^{doive étonner ; car} le rt)le du fond du tuyau qui occupe ^toute la section droite devient plus impor-

tant que celui d’une ^ouverture de hauteur li minime; ^les propriétés

se rapprochent ^{de celles du} tuyau ^ferme.

Ce qui ^{est à retenir,} c’est la très grande intluence de petites ^varia-

tions de h ; ^{d’où la} nécessité, pour les facteurs d’orgue, d’adopter

un gabarit de construction invariable pour avoir des résultats régu-

liers sans retouches.

VII.- Pour de très petites valeurs de h, l’équation (3) ^{se réduit à :}

et le second membre n’est pas très grand. ^Soit par exemple :

il vient :

dont les racines successives sont :

et ensuite sensiblement :

Les sons graves ^sont alors très dill’ér>iit de la série harmonique,

et dès le ie ou le ~;e rang l’embouchure de iliite se comporte ^comme

une extrémité fermée. Cela nous indique ^les limites nécessaires pour que l’embouchure ^se comporte >omini> une fBtr’ unté ouvert’’ en

tenant compte des corrections du numéro V :

Les trois ou quatre premiers ^sons propres du tuyau ^{sont alors}

harmoniques ^{et conformes à} la tlléorie élémentaire corrigée par

une addition convenable à la longueur ^du tuyau. ^{Les deux ou trois}

sons propres qui ^{suivent sont tout à fait} dissonants. Quant ^aux

autres, ^{dans la mesure ou} l’équation ^de première approximation (2) (no III) peut ^{suflire, ils} paraissent ^{reformer une} s>rie llarmonique, ^mais

dans laquelle l’embouchure jouerait ^{le rôle d’un noeud,} l’intluence de la profondeur b l’emportant ^{alors sur} celle de l’ouverture h.

Toutefois, il serait nécessaire d’examiner si l’équation de seconde

approximation laisse subsister cette conclusion. De toute façon

il semble douteux que les sons propres de rang 5 ^{à 10 rentrent}

dans la série élémentaire.

Nous nous contenterons de cet aperçu, qui ^{fixe des} limites infé- rieures au rapport ^{de la} profondeur ^{à la} longueur ^{d’onde, et de la}

hauteur de fente à la profondeur, conformes à la pratique ^{des fac-}

teurs d’orgue, ^{et en} précisent ^{la raison} théorique.

GALVANOMÈTRE A CADRE MOBILE POUR COURANTS ALTERNATIFS;

Par M. HENRI ABRAHAM (1).

On peut ^{mesurer des courants} alternatifs de l’ordre du centième de micro-ampère ^{avec un} galvanomètre ^{à cadre} mobile dont le champ magnétique ^{est créé par un} électro-aimant excité par ^{un courant} alternatif f de même fréquence. ^{Pour les mesures très} délicates, il peut

être bon d’actionner cet électro-aimant au moyen d’un petit ^trans-

formateur auxiliaire bien isolé.

I m ~~-~v~~t~o~~ ^cle l’cc~~ycr~~ce~l. ^- L’appareil ^a été réalisé avec la colla- is! atioti do ~1. J. Carpentier, ^{et nous avons aussi} entrepris ^{la cons-}

truit ton d un modèle moins ~n~iHc destiné à diverses mesures

inllll...,tl’it.ll(1s,

Ln ~ly~~~mtimr, ¹ ~’nérale ^est celle d’un galvanomètre ^d’Arsonval

ordiii~iii-,2. 1,’>le.li -; 1 i ln a n t. (’ n forme de couronne Il (1 riz () Il t a 1 ( " pst à

puies saillants IIltt1’If’~11’·. Fldl’P ces deux j>’>1>s ^{"CO trouve} j>1;1>é> ^le

noyau de fer cylindrique, t’~’ ; il P Il lt ’ 1 11 rcnindc. Les différentes I~ur~tit~·

de l’appareïl ^{sont isolée5 à l’elmnite.}

(’) Corninuniraticn faite à l ^{¡ ~} t- française ^de Physique : ^{séance du} 18 mai 1 U1>.