Pour partir sur de bonnes bases...

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Herv ´e Hocquard

Universit ´e de Bordeaux, France

16 septembre 2015

D ´eroulement du semestre

1 10 s ´eances de cours magistraux (2h)

www.labri.fr/perso/hocquard/Teaching.html

D ´eroulement du semestre

1 10 s ´eances de cours magistraux (2h)

2 10 s ´eances de td (1h30)

3 Au moins 2 ´evaluations en td

4 Examen en janvier 2016

5 Tout le cours ici...

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D ´eroulement du semestre

1 10 s ´eances de cours magistraux (2h)

2 10 s ´eances de td (1h30)

3 Au moins 2 ´evaluations en td

D ´eroulement du semestre

1 10 s ´eances de cours magistraux (2h)

2 10 s ´eances de td (1h30)

3 Au moins 2 ´evaluations en td

4 Examen en janvier 2016

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1 10 s ´eances de cours magistraux (2h)

2 10 s ´eances de td (1h30)

3 Au moins 2 ´evaluations en td

4 Examen en janvier 2016

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D ´eroulement du semestre

D ´eroulement du semestre

D ´eroulement du semestre

Nest l’ensemble des entiers naturels. C’est l’ensemble des entiers positifs ou nuls.

DansNl’ ´equationx+1=0 n’a pas de solution.

Cette ´equation a une solution not ´ee -1 , cette solution est un ´el ´ement de l’ensembleZ.

Zest l’ensemble des entiers relatifs. C’est l’ensemble des entiers positifs, n ´egatifs ou nuls.

ZcontientN, c’est- `a-dire queNest contenu dansZ, ce que l’on noteN⊂Z.

Les ensembles de nombres : rappels...

DansZl’ ´equation 2x=1 n’a pas de solution.

Cette ´equation a une solution not ´ee 1

2 , cette solution est un ´el ´ement de l’ensembleQ.

Qest l’ensemble des nombres rationnels.

C’est l’ensemble de tous les nombres de la forme p q avec p∈Zetq∈Z^∗.QcontientZ. On a doncN⊂Z⊂Q.

DansQl’ ´equationx²=2 n’a pas de solutions.

Cette ´equation a deux solutions not ´ees√

2 et−√ 2 , ces solutions sont des ´el ´ements de l’ensembleR.

Rest l’ensemble des nombres r ´eels. C’est l’ensemble des abscisses de tous les points d’une droite.

RcontientQ. On a doncN⊂Z⊂Q⊂R.

Les ensembles de nombres : rappels...

DansRl’ ´equationx²=−1 n’a pas de solutions...

Cest l’ensemble des nombres complexes.

CcontientR. On a doncN⊂Z⊂Q⊂R⊂C.

Notions sur les ensembles : l’appartenance ∈

Notions sur les ensembles : l’inclusion ⊂

Op ´erations sur les ensembles : l’union ^S

Op ´erations sur les ensembles : l’ensemble vide /0

A = {2, 4, 6}

B = {1, 3, 5}

A ∩ B = /0

A = {2, 4, 6}

B = {1, 3, 5}

A ∩ B = /0

Op ´erations sur les ensembles : la diff ´erence \

Quantificateur universel : ∀

∀x∈R,x²≥0

Pour tout r ´eelx (quelque soit),x²est positif ou nul.

∀x∈R,x²≥0

Pour tout r ´eelx (quelque soit),x²est positif ou nul.

Quantificateur existenciel : ∃

∃x∈Rtel quex²=4

Il existeau moinsun r ´eelx tel quex²=4 (par exemplex =2).

∃x∈Rtel quex²=4

Il existeau moinsun r ´eelx tel quex²=4 (par exemplex =2).

L’implication : ⇒

x≥2⇒x²≥4

VRAI six≥2 alorsx²≥4 x≥2⇒x²≥1 VRAI six≥2 alorsx²≥1 x²≥4⇒x ≥2 FAUX car six ≤ −2 alorsx²≥4

L’implication : ⇒

x≥2⇒x²≥4 VRAI six≥2 alorsx²≥4

L’implication : ⇒

x≥2⇒x²≥4 VRAI six≥2 alorsx²≥4 x≥2⇒x²≥1

VRAI six≥2 alorsx²≥1 x²≥4⇒x ≥2 FAUX car six ≤ −2 alorsx²≥4

L’implication : ⇒

x≥2⇒x²≥4 VRAI six≥2 alorsx²≥4 x≥2⇒x²≥1 VRAI six≥2 alorsx²≥1

L’implication : ⇒

x≥2⇒x²≥4 VRAI six≥2 alorsx²≥4 x≥2⇒x²≥1 VRAI six≥2 alorsx²≥1 x²≥4⇒x ≥2

FAUX car six ≤ −2 alorsx²≥4

x≥2⇒x²≥4 VRAI six≥2 alorsx²≥4 x≥2⇒x²≥1 VRAI six≥2 alorsx²≥1 x²≥4⇒x ≥2 FAUX car six ≤ −2 alorsx²≥4

L’ ´equivalence : ⇐⇒

x²=4 ⇐⇒ x =−2 oux=2

x²=4 si et seulement six =−2 oux=2

(x²=4⇒x=−2 oux=2)et(x²=4⇐x=−2 oux=2)

⇒ ⇐

condition n ´ecessaire condition suffisante

il faut il suffit

seulement si si

L’ ´equivalence : ⇐⇒

x²=4 ⇐⇒ x =−2 oux=2

x²=4 si et seulement six =−2 oux=2

condition n ´ecessaire condition suffisante

il faut il suffit

seulement si si

L’ ´equivalence : ⇐⇒

x²=4 ⇐⇒ x =−2 oux=2

x²=4 si et seulement six =−2 oux=2

(x²=4⇒x=−2 oux=2)et(x²=4⇐x=−2 oux=2)

⇒ ⇐

condition n ´ecessaire condition suffisante

il faut il suffit

seulement si si

x =4 ⇐⇒ x =−2 oux=2

x²=4 si et seulement six =−2 oux=2

(x²=4⇒x=−2 oux=2)et(x²=4⇐x=−2 oux=2)

⇒ ⇐

condition n ´ecessaire condition suffisante

il faut il suffit

seulement si si

Raisonnement direct

Exercice

Montrer que la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel.

Exercice

Soitnun entier naturel.

Montrer que sin²est impair alorsnest impair.

Raisonnement par l’absurde

Exercice Montrer que√

26∈Q.

Exercice

Montrer que l’assertion suivante est fausse

”Tout entier positif est somme de trois carr ´es”.

Raisonnement

Cas par cas R ´ecurrence ...