Pour partir sur de bonnes bases...

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Pour partir sur de bonnes bases...

Herv ´e Hocquard

Universit ´e de Bordeaux, France

28 ao ˆut 2019

(2)

D ´eroulement du semestre

1 10 s ´eances de cours magistraux (1h30)

www.labri.fr/perso/hocquard/Teaching.html

(3)

D ´eroulement du semestre

2 9 s ´eances de td (1h30)

3 Au moins 2 ´evaluations en td

4 Examen en d ´ecembre 2019

5 Tout le cours ici...

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D ´eroulement du semestre

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D ´eroulement du semestre

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D ´eroulement du semestre

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D ´eroulement du semestre

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D ´eroulement du semestre

(12)

Nest l’ensemble des entiers naturels. C’est l’ensemble des entiers positifs ou nuls.

DansNl’ ´equationx+1=0 n’a pas de solution.

Cette équation a une solution not ée -1 , cette solution est un él ément de l’ensembleZ.

Zest l’ensemble des entiers relatifs. C’est l’ensemble des entiers positifs, n ´egatifs ou nuls.

ZcontientN, c’est- `a-dire queNest contenu dansZ, ce que l’on noteN⊂Z.

(13)

Les ensembles de nombres : rappels...

DansZl’ ´equation 2x=1 n’a pas de solution.

Cette ´equation a une solution not ´ee 1

2 , cette solution est un ´el ´ement de l’ensembleQ.

Qest l’ensemble des nombres rationnels.

C’est l’ensemble de tous les nombres de la forme p q avec p∈Zetq∈Z^∗.QcontientZ. On a doncN⊂Z⊂Q.

(14)

DansQl’ ´equationx²=2 n’a pas de solutions.

Cette ´equation a deux solutions not ´ees√

2 et−√ 2 , ces solutions sont des ´el ´ements de l’ensembleR.

Rest l’ensemble des nombres r ´eels. C’est l’ensemble des abscisses de tous les points d’une droite.

RcontientQ. On a doncN⊂Z⊂Q⊂R.

(15)

Les ensembles de nombres : rappels...

DansRl’ ´equationx²=−1 n’a pas de solutions...

Cest l’ensemble des nombres complexes. . .`a suivre. . . CcontientR. On a doncN⊂Z⊂Q⊂R⊂C.

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(17)

Notion d’ensemble

D ´efinition

• Unensembleest une collection d’objets appel ´es

´el ´ements.

Ensemble des r ésultats possibles d’un lanc é de d é : {1,2,3,4,5,6}.

• F est unepartie(ou est inclus, ou est un sous-ensemble) deE si tous les él éments deF sont aussi des él éments de E. Cela se noteF ⊂E.

• On note /0l’ensemble vide: l’ensemble qui ne contient aucun ´el ´ement.

Dans la suite,E,AetBseront trois sous-ensembles d’un ensembleΩ.

(18)

•x

x ∈ A

(19)

Notions sur les ensembles : la non appartenance 6∈

A

•x

x 6∈ A

(20)

B

B ⊂ A

(21)

Notions sur les ensembles : la non inclusion 6⊂

B A

B 6⊂ A

(22)

L’ensemble de tous les él éments qui appartiennent àAouBou aux deux est appel éuniondeAetB, not éA∪B.

A A∪B B

A∪B=

x∈E|x∈A ou x∈B

(23)

Op ´erations sur les ensembles : l’intersection ^T

D ´efinition

L’ensemble de tous les él éments qui appartiennent à la fois àA et àB est appel éintersectiondeAetB, not éA∩B.

A A∩B B

A∩B=

x∈E|x∈A et x∈B

(24)

Op ´erations sur les ensembles : l’ensemble vide /0

A = {2, 4, 6}

B = {1, 3, 5}

(25)

Op ´erations sur les ensembles : l’ensemble vide /0

A = {2, 4, 6}

B = {1, 3, 5}

A ∩ B = /0

(26)

L’ensemble de tous les ´el ´ements deAqui n’appartiennent pas

àBest appel édiff érencedeAetB, not éA−BouA\B.

A A−B B

A−B=

x∈E|x∈A et x∈/B

(27)

Op ´erations sur les ensembles : le compl ´ementaire de A dans B : C

_B

(A)

A

B

C_B(A)

(28)

Quantificateur universel : ∀

∀x∈R,x²≥0

(29)

Quantificateur universel : ∀

∀x∈R,x²≥0

Pour tout r ´eelx (quelque soit),x²est positif ou nul.

(30)

Quantificateur existenciel : ∃

∃x∈Rtel quex²=4

(31)

Quantificateur existenciel : ∃

∃x∈Rtel quex²=4

Il existeau moinsun r ´eelx tel quex²=4 (par exemplex =2).

(32)

L’implication : ⇒

x≥2⇒x²≥4

(33)

L’implication : ⇒

x≥2⇒x²≥4 VRAI six≥2 alorsx²≥4

x≥2⇒x²≥1 VRAI six≥2 alorsx²≥1 x²≥4⇒x ≥2 FAUX car six ≤ −2 alorsx²≥4

(34)

L’implication : ⇒

x≥2⇒x²≥4 VRAI six≥2 alorsx²≥4 x≥2⇒x²≥1

(35)

L’implication : ⇒

x≥2⇒x²≥4 VRAI six≥2 alorsx²≥4 x≥2⇒x²≥1 VRAI six≥2 alorsx²≥1

x²≥4⇒x ≥2 FAUX car six ≤ −2 alorsx²≥4

(36)

L’implication : ⇒

x≥2⇒x²≥4 VRAI six≥2 alorsx²≥4 x≥2⇒x²≥1 VRAI six≥2 alorsx²≥1 x²≥4⇒x ≥2

(37)

L’implication : ⇒

x≥2⇒x²≥4 VRAI six≥2 alorsx²≥4 x≥2⇒x²≥1 VRAI six≥2 alorsx²≥1 x²≥4⇒x ≥2 FAUX car six ≤ −2 alorsx²≥4

(38)

L’ ´equivalence : ⇐⇒

x²=4 ⇐⇒ x =−2 oux=2

⇒ ⇐

condition n ´ecessaire condition suffisante

il faut il suffit

seulement si si

(39)

L’ ´equivalence : ⇐⇒

x²=4 ⇐⇒ x =−2 oux=2

x²=4 si et seulement six =−2 oux=2

(x²=4⇒x=−2 oux=2)et(x²=4⇐x=−2 oux=2)

⇒ ⇐

il faut il suffit

seulement si si

(40)

L’ ´equivalence : ⇐⇒

x²=4 ⇐⇒ x =−2 oux=2

(x²=4⇒x=−2 oux=2)et(x²=4⇐x=−2 oux=2)

(41)

L’ ´equivalence : ⇐⇒

x²=4 ⇐⇒ x =−2 oux=2

(x²=4⇒x=−2 oux=2)et(x²=4⇐x=−2 oux=2)

⇒ ⇐

il faut il suffit

seulement si si

(42)

Exercice

Montrer que la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel.

(43)

Raisonnement par contrapos ´ee

Exercice

Soitnun entier naturel.

Montrer que sin²est impair alorsnest impair.

(44)

Exercice Montrer que√

26∈Q.

(45)

Raisonnement : le contre-exemple

Exercice

Montrer que l’assertion suivante est fausse

”Tout entier positif est somme de trois carr ´es”.

(46)

Cas par cas R ´ecurrence ...

(47)

A ne pas dire ou ´ecrire `

ATTENTION

1 Ne pas confondre=et ⇐⇒.

2 On ne dit pas : ”On va calculer le∆” ou ”On fait le∆”. . .

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