Polynômes et paraboles.
I Polynômes.
II Le carré incomplet.
III Etude de la fonction carrée : f(x)=ax
2.
« J’avais eu l’intention de jeter la pièce dans le fleuve. La trajectoire de la monnaie d’argent tombant dans le fleuve eût illustré mon récit d’une image frappante, mais le sort en avait décidé autrement… » J.-L. Borgès (L’autre)
La majeure partie des phénomènes naturels les plus simples se ramènent à des équations du premier et du second degré. Ainsi, il est normal que les droites et les paraboles soient les courbes les plus connues des mathématiques.
Exemple : Dans la nature, tout ce qui est soumis à la gravitation, donc tout ce qui nous entoure et pas que les paraboles visibles (exemple de la pierre jetée, du jet d’eau), les dunes de sable. Les paraboles ont de telles propriétés que l’homme s’en sert régulièrement, sur les toits, les phares de 2cv, les voutes (attention, pas d’ogive qui sont des hyperboles)….
I Polynômes.
La notion de polynôme est due à Omar Khayyam dont nous parlerons plus en détail à la fin de ce chapitre.
Définition : Un monôme est une expression de la forme axn où a est un réel appelé coefficient et n est un entier naturel appelé degré
.On note que si n=0, on obtient les constantes qui sont donc des monômes particuliers.
Définition : Un polynôme est une somme de monômes.
Notation : On écrit souvent P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=
0 n
i i i
a x
∑
=un polynôme n’est pas une équation, mais une fonction.
Par exemple, x5+5x3-2x2+ 2x- π ( 2 et π sont des nombres et non des inconnues !), de même –x2+5x-8x+5+x2 (celui-ci n’est pas réduit). En revanche, 4x+6
2x2+5x-3 et 1
x + 2x ne sont pas des polynômes mais des fractions rationnelles.
Il y a plusieurs façons de représenter un polynôme, la plus courante étant la forme réduite (il n’existe pas deux monômes contenant la même puissance de x) et ordonnée (les puissances de x sont écrites dans l’ordre décroissant, parfois croissant).
Définition : Le coefficient dominant d’un polynôme est le coefficient du monôme de plus au degré.
Définition : On appelle parfois trinôme du deuxième degré un polynôme de la forme ax2+bx+c.
L’équation générale d’une parabole (modulo un repère correct) est P(x)=ax2+bx+c, avec a, b et c trois réels (a étant non-nul). Il s’agit donc d’un polynôme du second degré dont l’étude va occuper la fin de ce chapitre. Voyons d’abord un peu la théorie générale des polynômes…
Définition : Le degré d’un polynôme est l’exposant n de la plus grande puissance de x qui intervient dans le polynôme une fois réduit.
Ainsi,
deg(x5+5x3-2x2+ 2x- π)=5 ; deg(–x2+5x-8x+5+x2)=deg(-3x+5)=1 et deg(3)=0.
et deg(0)= -∞ (par convention, voir plus loin)
Il faut faire attention avec le degré qui n’est pas une fonction sympathique… En effet,
deg(P+Q) n’est pas en général deg(P)+deg(Q)… au fait pourquoi ? L’affaire est en revanche plus simple quand on multiplie deux polynômes puisque deg(P.Q)=deg(P)+deg(Q).
et du coup, pour que la formule marche, par convention, deg(0)= -∞. A retenir :
deg( . )P Q =deg( ) deg( )P + Q , deg(P Q+ )≤max(deg( ), deg( ))P Q
et deg(0)= −∞
Si on regarde le polynôme P x( ) 10= x5−7x3−3x2+2x−2, on cherche les valeurs pour lesquelles il s’annule… P(1)=0.
Définition : On dit que α est racine (ou zéro) de P si P(α)=0.
Étonnamment, les polynômes sur ℝ ont des propriétés similaires à celles des entiers (relation d’ordre en moins). Ainsi, il existe une division euclidienne qui est bien pratique lorsque l’on veut factoriser mais au niveau seconde, on ne peut que faire une identification afin de déterminer les coefficients..
Définition : On parle de racine multiple quand on peut factoriser un polynôme par (x-α)n avec n entier naturel plus grand que 1
Exemple : Pour (x−1) (22 x+1), on voit que -1/2 est racine simple et 1 est racine double.
Sorite (2.A) : Les assertions suivantes sont équivalentes : i) α est racine de P.
ii) P(α)=0.
iii) (x-α) divise P(x).
Propriété (2.B) : Deux polynômes réduits et ordonnés sont égaux si et seulement si leurs monômes de même degré sont égaux.
Cette propriété justifie le procédé d’indentification.
Corollaire (2.C) : Si P=0 alors tous ses coefficients sont nuls.
II Le carré incomplet.
- Cherchons les solutions de x2+2x+2=0.
- Idem avec x2+2x-3=0.
- Puis avec x2+3x-4=0 - et enfin 2x2+4x+1=0
L’idée du carré incomplet est due à Al-Kwarismi (800-847). Voici comment il procédait avec x2+3x=4:
L’aire de cette figure est x2+3x.
Mais c’est aussi
2 2
3 3
2 4
4 4
x
+ × − ×
d’où
2 2 2 2
3 3 3 3
2 4 4 4 4
4 4 2 4
x x
+ × − × = ⇒ + = + ×
D’où
3 2 25 3 5 5 3
2 4 2 2 2 2 1
x x x
+ = ⇒ + = ⇒ = − =
Cherchant une distance, il trouve la valeur positive.
Ainsi, un trinôme peut s’écrire sous différentes formes : - Forme réduite.
- Forme canonique.
- Forme factorisée (quand elle existe). P(x)=a(x-x1)(x-x2)
Mettre sous forme canonique et factorisée le polynôme suivant : x2-4x+3. puis x2+4.
III Etude de la fonction carrée : f(x)=ax
2.
Dans cette partie, f est une fonction de la forme f(x)=ax2 avec a≠0.
Etude 1. Df =ℝ.
2. Pas de périodicité, par contre, f est paire.
En effet, f(-x)=a(-x)2=ax2=f(x).
3. Si a>0 alors f est strictement croissante sur [0 ;+∞[ et strictement décroissante sur ]-∞ ;0].
4. Si a>0
Si a<0 alors f est strictement décroissante sur [0 ;+∞[ et strictement croissante sur ]-∞ ;0].
Si a<0 +∞
+∞
x f(x)
- ∞ +∞
0
0
+∞
+∞
x f(x)
- ∞
- ∞
0 0
- ∞ + ∞
Tracer sur un même repère les courbes fn(x)=nx pour n=0,5 ;1 ;2 ;3 ;4 (zoomer sur [0 ;2]) Définition : La courbe représentative d’une fonction de
la forme ax2+bx+c avec a, b et c trois réels fixés (a non-nul), s’appelle une parabole.
Remarque : La parabole est sans doute la courbe représentative la plus connue si on excepte la droite. Elle fait partie de la famille des coniques au même titre que le cercle, l’ellipse et l’hyperbole que nous verrons plus loin. Elle s’obtient comme section d’un cône par un plan non- perpendiculaire à la base mais parallèle à un des flans du cône.
C’est la courbe que l’on rencontre dans la nature quand on jette un objet soumis à l’attraction terrestre.
Ellipse :
Faire la manipulation de la lampe torche….
Solutions de l’équation : P(x)=ax2+bx+c=0
Pas de solutions réelles
Une solution double:
αααα
Deux solutions distinctes :
x1 et x2 Factorisation de P(x) pas de factorisation P(x)=a(x-αααα)2 P(x)=a(x-x1)(x-x2)
a>0
Position relative de la parabole et signe de P(x)
a<0
Les bons réflexes du mathématicien solitaire dans un duel à mort avec une équation du deuxième degré :
1. Déterminer s’il s’agit d’une identité remarquable.
2. Voir s’il y a des racines évidentes.
3. Tant pis, s’il est de degré 2, forme canonique..
.
x P(x)
αααα + 0 +
x P(x)
αααα 0
- -
x
P(x) +
x
P(x) -
x P(x)
x2
x1
0 0 + - -
x P(x)
x2
x1
0 0
+ - +
Les tableaux de fils. Dans les années 70, les gens faisaient des tableaux de fils en tendant des fils de laine le long de clous. (un peu has been…) Je vous propose de les réaliser par pliure afin d’obtenir de belles paraboles :
Application : si vous découpez un rectangle de papier, marquez un point (F) à l'intérieur, et formez un certain nombre de pliures en amenant un point d'un côté sur le point F, les pliures seront enveloppées par une parabole.
Les courbes que l’on obtient dans les tableaux de fils à montants rectilignes sont donc des arcs de parabole, et non des arcs de cercles comme on pourrait le penser hâtivement.
