Classes logarithmiques des corps de nombres

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

EAN

-F

RANÇOIS

J

AULENT

Classes logarithmiques des corps de nombres

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

6, n

o

_{2 (1994),}

p. 301-325

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1994__6_2_301_0>

© Université Bordeaux 1, 1994, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

Classes

_{logarithmiques}

des

_corps

de

nombres

par

JEAN-FRANÇOIS

JAULENT

Le but de cet article est de poser les définitions de base et d’établir _{quelques propriétés} fondamentales de _{l’arithmétique} des classes _{logarithmiques dans les corps} de nombres.

La motivation _principale de l’introduction des valuations _{logarithmiques}

_$$vp

provient

de la théorie des _symboles et, plus précisément, du désir de relier concrètement le _noyau dans

_K2(K)

des symboles de Hilbert attachés aux _places non complexes d’un _corps

global K à un _groupe de classes effectif

_(i.e.

_{algorithmiquement} accessible aux méthodes

numériques).

La formule _explicite obtenue ailleurs* pour les

l-symboles

de Hilbert

con-struits sur les racines lr-ièmes de l’unité contenues dans K

_(pour

un

premier l

donné),

de la forme

$$(03B6,x/p)=

03B6vp(x)

conduit, en _effet, à _remplacer la valuation ordinaire _vp à valeurs dans Z par une

appli-cation

_vp

à valeurs dans

_Zl

dont la définition fait intervenir le _logarithme

_l-adique

de la valeur absolue de l’élément x. La notion de diviseur correpondante, que nous pro-posons d’appeler logarithmique, donne lieu à une _{arithmétique} voisine de celle idéaux

mais _{plus proche} par certains aspects de celles des diviseurs des corps de fonctions, puisque l’invariant-clef de la théorie est finalement le

_l-groupe

des classes de diviseurs

(logarithmiques)

de _{degré nul, qui} est fini sous les _conjectures

l-adiques

standard.

SOMMAIRE

1.- VALUATION _{LOGARITHMIQUE} SUR UN CORPS LOCAL.

2.- GROUPE DES CLASSES LOGARITHMIQUES D’UN CORPS DE NOMBRES.

3.- STRUCTURE DU GROUPE DES

UNITÉS

_{LOGARITHMIQUES.} 4.- FORMULE DES CLASSES LOGARITHMIQUES AMBIGES.

5.- GENRE LOGARITHMIQUE ET GROUPE DES CLASSES CENTRALES.

Manuscrit reçu le 25 Novembre 1993.

Index des

_principales

notations

Notations attachées à un _corps local

Kp :

= lim le

_~-complété

_profini

de

_~.

mp = le

î-groupe

des racines de l’unité dans

Kp.

vp : la valuation

(au

sens

ordinaire)

sur à valeurs dans

Up

= Ker vp le

sous-groupe unité de

la valuation

_{logarithmique}

sur à valeurs dans

= Ker

Up :

le

sous-groupe des normes

cyclotomiques

dans

Notations attachées à un _corps de nombres K :

PlK

_{= Pl~°,~}

u

_PlK

l’ensemble des

_places

_(finies

ou

infinies)

J K

=

fI;es

le

é-groupes

des idèles de K.

7ZK

0z K" : le _sous-groupe des idèles

_principaux.

JK

_{= fIl’}

groupe des normes

logarithmiques

dans

JK.

£K

=

~K

n le _groupe des unités

logarithmiques.

UK

=

rlp

Up :

le _groupe des idèles unités dans

_{JK .}

£K

=

~K

_n

uK :

le

t-groupe

des unités

globales.

le

_Ê-groupe

des diviseurs

_{logarithmiques.}

,7x

= le _noyau dans

JK

de la formule du

produit.

i le

£-groupe

des diviseurs

logarithmiques

de

degré

nul.

PÊK

le sous-groupe des diviseurs

logarithmiques

principaux.

CiK

= le

£-groupe

des classes

logarithmiques.

Quelques pro-i-extensions

abéliennes de K :

Kab :

maximale

Klc :

localement

_cyclotomique

maximale

Zl-extension

cyclotomique

1. Valuation

_{logarithmique}

sur un _corps local

Dans tout ce

_{qui suit, £}

désigne

un nombre

_{premier fixé,}

et

_Logi,,

le

loga-rithme

_{d’Iwasawa , qui}

est défini sur le _groupe des unités

_principales

du

_complété

_.~-adique

de Z par son

développement

en série entière

se

_{prolonge classiquement}

au _groupe

multiplicatif

7~~

des éléments

in-versibles de au _moyen de

l’équation

fonctionnelle

(qui

impose

évidemment la condition

_{Log( =}

0 pour

chaque

racine de

l’unité (

dans

_{7~~ ),}

et finalement au _groupe

Q~

tout entier avec la

conven-tion = 0. En

particulier,

si l’on convient d’écrire _x =

w(x)

_{x &#x3E;}

la factorisation

_canonique

d’un élément x de

_7~~

dans la

_{décomposition}

directe

-’-" JI- ---..

du _groupe

_{multiplicatif}

_7~~

comme

_produit

de son sous-module de torsion

il£

(d’ordre

2

ou £ - 1)

et du sous-groupe

principal 1 +2~Z~

on a

Log1w x

=

Loglw

x &#x3E;, pour tout x de

ZQ ;

l’image

du

logarithme

est le sous-module

2£ Ze

de

_Zé,

et son _noyau dans

7~~

est le _groupe des racines de l’unité

dans

_Qg.

DÉFINITION

l.l. Nous

_{appelons degré .~-adique}

d’un nombre

_premier

_p la

quantité :

Prenons maintenant un _corps local

_Kp,

de

_degré

fini

_{dp =}

_{[Kp : Qp]}

sur

Qp ;

notons _{vp la valuation}

_{associée ;}

et

_désignons

_{par 1 Ip}

la valeur absolue

t-adique principale

qui

est définie sur

K§

_par la formule

qui

envoie le _groupe

_{multiplicatif}

_K

dans un

Zi-module

du _groupe additif

:

Une vérification immédiate montre _que le choix de l’indice

_dp

au

dénominateur assure, pour

chaque

extension finie de corps

locaux,

la commutativité du

_diagramme

de sorte _que la

_quantité

est

_{indépendante}

du

corps local contenant x dans

_lequel

on la calcule. Nous noterons donc

_hp

l’application

de

_Qp

dans

_Q£

ainsi

_{obtenue, qui}

est donc définie sur le _groupe

multiplicatif

de la clôture

_algébrique

de

_Qp.

Pour

_interpréter

_{arithmétiquement}

_{l’application}

_hp,

introduisons le

com-pactifié -adique

.1 - . 1

-du _groupe

_{multiplicatif}

_K:,,

_que nous écrivons

_Up

en

désignant

_{par 1Tp}

l’image

dans d’une uniformisante de

_Kp

et en

_prenant

_pour sous _groupe

unité

_Up

soit le

_{~-sous-groupe}

de

_Sylow

_{pp du} groupe des racines de l’unité dans

_Kp

pour p

{

~,

soit le _groupe

_{1 + p}

des unités

_principales

de

_I~~

_pour

pif.

Dans

_{l’isomorphisme}

du corps de classes

local,

le groupe s’identifie

au _groupe de Galois de la

pro-~-extension

abélienne maximale

de

_Kip,

le _sous-groupe unité

_Up

au _groupe d’inertie Gal

_qui

fixe

donc la

Zi-extension

non ramifiée

_K;r

de

Kp,

et le noyau

de la valeur absolue

_Sadique

_principale

au _sous-groupe Gal

socié à la

_{Z£-extension}

_cyclotomique

de

_{Kp (cf.,}

_par

_{exemple ,}

_[Ja]).

En d’autres

_termes,

_K*

est le groupe des normes

_{cyclotomiques}

dans

K’,

et

l’application

hp

induit un

isomorphisme

de _groupes

topologiques

du

quo-tient Gal

_{(K% /Kp)}

sur un

_{Zg-sous-module}

libre de

_{Qi qu’il}

est

facile de

_{préciser :}

Et il vient dans tous les cas :

en vertu de la définition 1.1.

(ii)

Lorsque

K~

est de

_degré

_dp

sur

_Qp,

la théorie du _corps de classes nous donne le

_diagramme

commutatif :

Et il vient ainsi :

Autrement

_dit,

est le

_7Gp-module

_{[Kp :}

_Kp

L’ensemble de la discussion

_peut

ainsi se résumer comme suit :

PROPOSITION 1.2. Soient p un nombre

_premier,

~~

la

2-extension

cyclo-tomique

de

_Qp,

_puis

_Kp

une extension

quelconque

de

degré fini

d~

sur

_Qp,

et

11.

la valeur absolue

_{î-adique principale}

sur

K~ .

(i)

Pour tout x de

K~ ,

la

quantités

hp(x) =

-Log1w

Ixlpldp

Log1w

_{p est}

indépendante

de l’extension

_finie

de

_Qp

_{(contenant x)}

dans

_laquelle

on la

calcule.

(ii)

La restriction

_hp

de

_hp

au _groupe

multiplicatif

K

induit un

7Gp-morphisme

du

_compactifié

_l-adique

=

lfim

de

_K

dans le groupe

additif

Qi, qui

a _{pour noyau} le _groupe des normes

_{cyclotomiques}

dans

_1C

et _pour

_image

le

Zi-réseau

_{[Kp :}

_Kp

n

_QCI-17

On _{notera que} le

_remplacement

de la

Zi-extension

cyclotomique

_Q

de

Qp

par la

Z-extension

cyclotomique

ÔJ§

(i.e.

par la

composée

des

Zq-extensions

_{cyclotomiques}

de

_Qp

_pour tous les _q

_premiers)

ne modifie en

rien le

_7Ge-module

_{[Kp :}

_Kp

n

_puisque

le

_degré

relatif

_[Kp

n

_Qc

DÉFINITION 1.3. Les notations étant celles de la

_proposition,

nous disons

que :

(i) êp = [Kp :

Kp

fl est l’indice

_(absolu)

de

_ramification

logarith-mique

de

_{Kp ;}

(ii)

h =

[Kp

fl

ij~ :

_Qp]

est son

degré

d’inertie

logarithmique ;

(iii)

deg p

=

h

deg

_{p est} le

degré l-adique

de l’idéal p ;

(iv)

l’application

vp = -Logllpl

deg p

est la l-valuation

_{logarithmique}

attachée à ~.

Avec ces

_conventions,

les résultats

précédents

_peuvent

se reformuler comme suit :

THÉORÈME

1.4. Soit

_Kp

une extension

_finie

de

_Qp.

Alors :

(i)

La l-valuation

_{logarithrraique}

_vp

est un

_{Z,R.-épimorphisme}

du

compact-ifié l-adique

Je;

de

_Kt

sur le _groupe

_additif

_{7Ge, qui}

a _{pour noyau} le

sous-module

_1C~

des normes

cyclotomiques

dans

(ii)

Pour

_chaque

_premiers

_{q ~}

_p, les

_degrés

d’inertie au sens ordinaire

fp

et

_{logarithmiques}

h

_{(respectivement}

les indices de

_ramification

au sens

ordinaire _ep et

_{logarithmique}

_ep)

on la même

_q-partie.

En

particulier

ils

coïncident dès

_qu’on

a

[Kp : Qp].

(iii)

Pour p

t

l,

la l-valuation

_{logarithmique}

_vp

est

_{proportionnelle}

à la valuation _{ordinaire vp,} et on a

_{plus précisement :}

si

_{(respectivement}

_{désigne la}

Z-extension

non

_ramifié

(resPective-ment

_{cyclotomique)}

de

_Qp.

Preuve :

_(i)

n’est autre que l’assertion

(ii)

de la

proposition 1.2,

puisqu’on

a

Sp

=

ép hp.

(ii)

s’obtient en

_remarquant

_{que, pour}

q #

_p, la

Zq-extension

non ramifiée

de

_Qp

est aussi sa

_Zq-extension

_{cyclotomique.}

(iii)

provient

enfin de

_{l’expression explicite}

de la valeur absolue

_Z-adique

principale

dans le

_{cas p f l,}

comme annoncé :

Remarques.

(i)

La définition des indices

_èp

et

_fp

est

_{indépendante}

du nombre

_premier

l.

(ii)

Une extension

_Kp

de

_Qp

est

_{logarithmiquement}

non ramifiée sur

_Qp

(en

ce sens _que l’on a

ép =

1)

si et seulement si elle est contenue dans

la

Z-extension

_cyclotomique

_ij

_(de

même

_qu’elle

est non ramifiée au sens

p

ordinaire si et seulement si elle est contenue dans En

_particulier

toute extension

_{logarithmiquement}

non ramifiée de

Qp

est abélienne

_(et

même

_cyclique).

(iii)

Si

_L~

est une extension finie de

Kp,

on définit de

_façon

immédiate

l’indice de ramification relatif

_L~

n et le

_degré

d’inertie relatif au sens

logarithmique.

On

en tire comme dans le cas

classique

les formules de transition :

éqy =

qui

relient indices absolus et indices relatifs. 2.

_Groupe

des classes

_{logarithmiques}

d’un corps de nombres

DÉFINITION

2.1. Nous

_{appelons l-groupe}

des diviseurs

_{logarithmiq2ces}

d’un

corps de nombres K et nous notons le

Zg-rnodule

libre construit sur

les

_places

_finies

de K :

-Pour

_chaque

diviseur

_{logarithmiques}

D =

~’~

vp p, nous écrivons

degK

D =

Ep

vp

degp

son

_degré

dans K. Nous notons

_enfin

le sous-modules de

formé

des diviseurs

_{logarithmiques}

de

_degré

nul.

L’introduction du

_{sous-module ’DZ K}

est motivé

_{par le}

résultat suivant : PROPOSITION &#x26; DÉFINITION 2.2. Pour

_chaque

_place

_{finie p}

de

_K,

contin-uons à noter

vp

l’application dé, finie

sur le tensorisé

t-adique

RK

=

ZQ9zKx

du _groupe

_{multiplicatif}

KX induite par la l-valuation

lqqaritlimique

associée à p.

L’application

Zl-li’néaire

à valeurs dans

_D.K

envoie

??.,x

sur un sous-module

_PéK

du _groupe des diviseurs

loga’l-ithmiques

de

_degré

nul. 1Vous disions _que le

_quotie?tt

=

est le f- _groupe des classes

_{logarithmiques}

du _corps K.

Preuve : L’inclusion

_Pf¡(

C résulte immédiatement de la formule du

en effet

Le groupe s’identifie au

~-groupe

des classes de valeurs absolues

déjà

introduit dans

_[Ja]

_{indépendamment}

de toute définition des t-valuations

logarithmiques : désignons,

en

effet,

_par

le 1-adifié du groupe des idèles de K

(i.e.

le

produit

des

compactifiés

des groupes

multiplicatifs

de ses

_complétés

non

_complexes

restreint aux familles

où xp est dans

_Up

_{pour presque} tout

_p),

et notons

_{respectivement :}

le _sous-groupe des idèles

_unité,

le groupe des normes

cyclotomiques

locales dans

~K,

., le noyau dans

~~

de la formule du

produit.

La théorie

_~-adique

du corps de classes

(cf.

[Ja]

ch.

1.1)

interprète

alors le

_quotient

CK

=

JKIIZK

comme _groupe de

_galois

de la

pro-.~-extension

abélienne maximale

Kab

de

K,

et son _sous-groupe

(respectivement

JKIRK)

comme le

groupe de Galois

(respectivement

Gal(Kab 1 KC)

associé à la sous-extension localement

_{(respectivement globalement)}

_cyclotomique

de K. Or

_ici,

_{l’application}

_divK

induite sur

~K

_par les évaluations

logarith-miques

identifie

_chaque

facteur

_IK*

de

_{JK 1 Ji}

au

Zl-module

libre

7L

_p,

p

p

le

_quotient

au

-groupe

DÉ K

des diviseurs

_{logarithmiques}

de

_degré

nul,

et le

_.~-groupe

des classes de valeurs absolues

_nk

au

_.~-groupe

CfK

des classes

_{logarithmiques}

défini ci-dessus. En

_particulier

nous avons :

THÉORÈME

&#x26; CONJECTURE 2.3. Dans la

_{correspondance}

du _corps de

classes,

le

_l-groupe

des classes

_{logarithmiques}

du _corps K

_{s’identifie}

au _groupe de Galois

Gal(KlC 1 KC)

où KC est la

Zl-extension

cyclotomique

de K et

_{pro-£-extension}

abélienne localement

_cyclotomique

maximale de K. La

_conjecture

de Gross

généralisée

(pour

le _corps K et le nombre

--- _--tor

En

_{particulier, la}

dimension

_{8 K}

du libre

_{Cf K 1 Cf K}

mesure

le

_l-défaut

de cette

_conjecture

dans K.

Considérons maintenant une extension

L/K

de _corps de nombres. Il est

naturel de définir les

_morphismes

de transition entre

_{DÉ K}

et

_{DÉ L}

en

trans-portant

par les évaluations

logarithmiques

les

morphismes

de transition

entre

_JK

et

_JL

induits _par l’extension et la norme

_{arithmétique.}

Il vient

ainsi :

PROPOSITION 2.4. Etant donnée une extension

_L/K

de _corps de

nom-bres,

nous

_regardons

D£K

comme un sous-module de

DÉL

en écrivant _pour

chaque place

finie p

de K :

Inversement,

nous

définissons la

norme

_{logarithmiques}

_{NL / K}

en

_posant

_pour

toute

_{place 13}

au dessus de p :

Les

_applications

obtenues sont

_compatibles

avec celles induites entre les

sous-groupes

principaux PfL

et par l’extension et la norme au sens

ordinaire en ce sens

qu’on

a les

diagrammes commutatifs :

Remarques.

(i)

Le

_i-groupe

des diviseurs

_{logarithmiques}

_D~K

s’identifie formellement au tensorisé

£-adique

7~~

_Q9z

I dK

du _groupe des idéaux in-versibles de l’anneau des entiers de K.

_Cependant

l’inclusion

_D£K

C

_ViL,

idéaux

_{I dx}

C

_{I dL,}

_puisque

les indices de ramification

_qui

la définissent

sont

_pris

au sens

_{logarithmique.}

De

façon

semblable,

la norme

logarith-mique

n’est _pas induite _par la norme des idéaux.

(ii)

En formant le

produit

des

_{DÉ K}

pour tous les nombres

_{premiers £,}

on

définit le _groupe

des diviseurs

_{logarithmiques}

de K. Comme les indices locaux de ramifica-tion ou d’inertie

_pris

au sens

logarithmique

sont

_{indépendants}

du nombre

premier

les mêmes formules que

plus

haut

permettent

de définir les

mor-phismes

de transition entre

DK

et

DL,

pour

chaque

extension finie

L/K.

Preuve de la

_{proposition :}

Notons

_BLIK

_(resp.

_{°i°°°L/K)}

les

_morphismes

d’inclusion,

_{N L / K}

(resp.

IVLIK)

les

_morphismes

_normiques.

Nous avons

successivement,

pour XK E

7ZK

et xL E i

(ii)

De

_{façon semblable,}

_pour

₁₃

au dessus

de p,

il vient :

et

COROLLAIRE 2.5.

_L’image

dans du

_l-groupe

des diviseurs

logarithmiques

D.~K

est le

_Zi-module

_2~~.K

n

_Q]Zi,

où

ijc

_désigne

la

2-extension

_cyclotomique

de

_Q.

Preuve : Dans le

_diagramme

commutatif donné _par le corps de

classes,

où

QC

est la

Zi-sous-extension

de

Qc,

l’image

est

_égale

à

_2~7Gp,

comme le montre un calcul immédiat.

Il vient ainsi :

Disons enfin un mot sur l’action

galoisienne :

PROPOSITION 2.6.

_Lorsque

_L/K

est

_{galoisiennes,}

le _groupe de

galois

G =

Gal(L/K)

_opère

_sur le

Zl-module D£L

_{par :}

ainsi _que les identités entre

_opérateurs

sur

Preuve : C’est clair.

Remarques.

(i)

Par _passage au

quotient,

les

applications logarithmiques

de norme et d’extension entre

_~-groupes

de diviseurs

_{logarithmiques}

in-duisent des

_morphismes

de transition entre

_~-groupes

de classes

logarith-miques

qu’il

est commode de continuer à noter

_

(ii)

Il

_peut

être intéressant à l’occasion de considérer le

_quotient,

disons de par le sous-module construit sur les

_places

contenues dans

un sous-ensemble fini donné S’ de

Plx.

Dans ce _cas,

_{l’application}

naturelle

de

7

dans

Ds

sera notée

divK.

Son _conoyau

CiK

est le

_f-groupe

de S-classes

_{logarithmiques}

de K.

3. Structure du _groupe des unités

_{logarithmiques}

DÉFINITION 3.1. Pour tout ensemble

_{fini S}

de

_{places ultramétriques}

d’un corps de nombres

K,

nous notons et nous

appelons f-groupe

des

S-unités

_{logarithmiques}

du _corps

_{K, le}

_noyau dans

_Zi

_@z KX de

-8 20135’

l’homomorphisme divK

à valeurs dans le

_DK

des S-diviseurs

logarithmiques

de

_degré

_nul,

c’est-à-dire le sous-module _pur de

RK

défini

par :

--Lorsque

S est

_vide,

nous écrivons

£K

pour.E;,

et nous disons _que

Ek

est

le

_l-groupe

des unités

_{logarithmiques}

du _corps K.

La théorie

l-adique

du _corps de classes donne du groupe

£K

une

in-terprétation particulièrement simple :

PROPOSITION 3.2. les unités

_{logarithmiques}

d’un _corps de nombres sont exactement les normes

cyclotomiques.

Preuve :

_D’après

le théorème

_1.4,

les éléments de

£K

_sont, en

effet,

les

idèles

_principaux

_qui

sont localement

_partout

des normes

_{cyclotomiques :}

D’après

le

_principe

de Hasse

_appliqué

à l’ extension

_procyclique

ce

SCOLIE 3.3.

_(i)

_Lorsque

S contient l’ensemble des

_places

de K

au-dessus

_{de ~,}

le

_f-groupe

_~K

est exactement le

_{~K -}

Q9z

Ek

construit sur les S -unités au sens ordinaire du _corps K

(mais

ce résultat

est

_{généralement}

en

défaut

_pour S

quelconque

et,

en

_particulier,

_pour S

vide).

Lorsque

le _corps K ne

possède qu’une

seule

place

[ au-dessus de

.~,

l e

_~x

coïncid e avec celui

~K

= _Q9

EK

construit sur l es

de K :

Preuve : Le

_f-groupe

_Es

des ,S’-unités au sens ordinaire est défini _par la condition :

-Maintenant,

pour p

{

.~,

nous avons vu _{que vp} et

5p

s’annulent

simul-tanément

_(cf.

Th.1.4.

_(iii)).

Il en résulte _que

&#x26;k

coïncide avec

~x

dès _que

,S contient

_{Enfin, lorsque}

est un

singleton f 11,

la formule

du

_produit

nous assure _que

v-1 (e)

est nul dès _que vaut 0 _pour tous les

p * 1 ;

autrement dit _que

_Ex

coïncide alors avec

En s’aidant de la

_première

assertion du

_scolie,

il est facile de déterminer le

Íll-rang

du

_-groupe

_SK

des unités

_{logarithmiques}

à

_partir

de

_celui,

_connu, du

_1-groupe

des unités :

_Ecrivons,

_pour

_simplifier,

_EK

au lieu de

EK = ÉKS

lorsque

S est l’ensemble des

_places

de x au-dessus de

_l,

et notons

-i 2013$’

de même

_Ct’

_{xp pour}

_Cfk

_x

_{(respectivement}

_P

_xP

_{pour ClK)}

_x)

le

_quotient

_q du 1-groupe des classes au sens ordinaire

(respectivement logarithmique),

_par le

sous-groupe construit sur les

places

au-dessus de 1.

Remarquons

au _passage

que s’identifie à un _sous-groupe de

Clk,

en fait au _sous-groupe de

Clk

formé des classes

_{représentées}

par un diviseur de

degré nul,

et

_qu’en

particulier

il est fini. Cela

_étant,

en

_comparant

la suite exacte

_longue

(où

le

_{symbole 0153}

_signifie

que l’on se restreint aux diviseurs de

degré

nul)

à

celle

_classique

nous obtenons immédiatement l’identité entre _rangs essentiels

où le

_premier

terme _rg

_SK

est donné _par le théorème de

_Dirichlet,

et le dernier rg

CIK

par la

conjecture

de Gross. Ainsi :

PROPOSITION 3.4. Le rang essentiel du

l-groupe

des unités

logarithmiques

d’un _corps de nombres K est la somme

rK+cK+8K

des nombres de

places

réelles rK ou

_complexes

_{cK et} du

défaut

8K

de la

_conjecture

de Gross dans

K. Autrement

dit,

on a :

si _AK

_désigne

le

_f-groupe

des racines de l’unité dans K.

Le cas des S-unités

_{logarithmiques}

s’en déduit aisément : Pour tout

ensemble non vide S de

_places

finies de

_K,

la suite exacte

_{logarithmique :}

est évidemment à

_rapprocher

de la suite exacte

_{classique :}

Et, puisque

est fini sous la

_conjecture

de

Gross,

il vient ainsi :

COROLLAIRE 3.5. Sous la

_conjecture

de

_Gross,

_{pour tout} ensemble non vide

S de

_{places finies}

de

_K,

de cardinal SK 2::

1,

les _rangs essentiel des

_l-groupes

ES

et

_ES

des S’-unités au sens

logarithmique

et ordinaire

_coïncident,

et on

x

x 9

a donc :

Tirons

_{quelques conséquences galoisiennes}

des résultats

_{précédents :}

Puisque

les

_£-groupes

_&#x26;1

de S-unités

_{logarithmiques}

satisfont trivialement la théorie de Galois

_(en

ce sens _{que pour} toute extension

_galoisienne

_L/K

de _corps de

_nombres,

et tout ensemble fini S de

_{places finies,}

le _sous-groupe de

_lf

fixé par

Gal(LIK)

est exactement

la

connaissance du rang

en-veloppe

celle du caractère. Nous _pouvons donc énoncer _sans,

_plus

de

_calcul,

l’analogue logarithmique

du théorème de

_{représentation}

de Herbrand :

THÉORÈME

3.6. Soit

_L/K

une extensions

_galoisienne

de _corps de nombres

satisfaisant La

conjecture

de Gross

_(pour

le nombre

_premier

_Ê),

et G son

groupe de Galois. Alors :

(i)

Le caractère du

_Qi[G]-module

_{multiplicatif}

_QI

_êL

construit sur

caractères unités attachés aux _sous-groupes de

décomposition

des

places

archimédiennes de K :

(ii)

Pour tout ensemble non vide S de

places ultramétriques

de

K,

le

car-actère du

_Qi

_[G]

module

_Qi

if

construit sur les S-unités

_{logarithmiques}

est donné _par la

_{formule :}

COROLLAIRE 3.7. Dans une l-extension

cyclique

L/K

de _corps de

nom-bres, le quotient

de Herbrand attaché au des S-unités

logarith-miques

-- -

-est donné sous la

_conjecture

de Gross _par les identités où

dp(LI K) =

désigne

le

_degré

local en _{p de l’extension}

L/K :

_ ... __

Preuve : On

sait,

en

effet,

que le

_quotient

de Herbrand attaché à un module

galoisien

dans une extension

cyclique

ne

dépend

_que du caractère de la

représentation

associée. On notera,

enfin,

que dans la formule obtenue le

degré

local attaché à une

place archimédienne p

vaut 2

_lorsque

celle-ci,

réelle dans

_K,

se

_complexifie

dans

_L,

et 1 dans tous les autres cas.

4. Formule des classes

_{logarithmiques ambiges}

Comme pour les

~-groupes

de classes au sens

ordinaire,

le

_problème

de

la

_propagation

de la trivialité des

_{~-groupes logarithmiques}

C.~ ne se _pose

de

_façon

naturelle _que dans le cadre des .~-extensions : Pour

_chaque

exten-sion de _corps de

_nombres,

nous avons _vu, en

effet,

_que le

_morphisme

d’extension

_{°i°°°L / K}

et la norme

_{logarithmique}

_{NL / K}

sont liés _par l’identité

de sorte que

lorsque

le

degré

[L : K]

est inversible dans

Zi,

le

morphisme

d’extension identifie

_C~~

à un facteur direct du

f-groupe

(plus

précisement

à

_l’image

du

_projecteur

_{¿L/K 0}

Dans une 1-extension

L/K,

en

revanche,

l’application

n’est

plus

généralement

injective,

et il est alors

_possible

d’obtenir des informations

non triviales sur le

_f-groupe

à l’aide d’une identité de

_points

fixes

analogue

à la

_classique

formule des classes

_ambiges

de

_Chevalley.

Nous

avons ici :

LEMME 4.1. Soit

_L/K

une extension

_galoisienne

de _corps de

_nombres,

de groupe de Galois G. La

cohomologie

des diviseurs

logarithmiques

principaux

est liée à celle des unités

_{logarithmiques}

par les

isomorphismes :

En

_particulier,

_pour G

_cyclique,

notant. du _groupe des _normes, on obtient :

Preuve : Partons de la suite exacte courte

_qui

définit le

_~-groupe

des di-viseurs

_{logarithiques principaux :}

Ecrivons

_{Hl ( )}

_pour

Hl

_{(G, ) ;}

nous obtenons la suite exacte

_longue

de

cohomologie :

et le groupe =

Hl(G,RL)

_est

nul,

_{en vertu} du théorème 90 de

Hilbert ;

d’où le résultat annoncé.

LEMME 4.2.

_Supposons

_toujours

_LIK

_galoisienne

de _groupe G. Nous

avons alors :

(i)

~p

où p parcourt

les

_places

_finies

lo-garithmiquement ramifiées

dans l’extension

_L/K.

(ii)

Hl (G,

DEL)

= 0.

Remarque. D’après

le théorème 1.4

_(ii),

une extension

quelconque

L/K

de _corps de nombres ne se ramifie

_{logarithmiquement}

_qu’en

un nombre fini

(i)

celles,

étrangères

à

_qui

se ramifient modérément

(au

sens

ordinaire)

dans

_{L/K ;}

et

(ii)

celles,

divisant en

lesquelles

l’extension

L/K

n’est _pas

locale-ment

_{cyclotomique.}

Aux

_places

_{archimédiennes,}

il

_n’y

a

jamais

ramification : nous

parlons,

s’il _y a

lieu,

de

complexification.

Preuve :

_{L’égalité}

immédiate = _nous donne

(i)

par passage au

_quotient.

Quant

à

(ii),

ce n’est rien d’autre _que la version

logarithmique

du théorème 90 de Hilbert pour les idéaux.

LEMME 4.3. Soit Kc =

ZI-extension

cyclotomique

de K. Sous les

mêmes

_{hypothèses, il}

vient :

Preuve : Partons de la suite exacte courte

_qui

définit le sous-module des diviseurs de

_degré

nul dans L :

Prenant la

_cohomologie,

et

_comparant

la suite obtenue à celle

_analogue

dans

_K,

nous

_obtenons,

_compte

tenu de la condition

_ViL)

=

0,

la

suite exacte à

_quatre

termes :

qui

nous donne les

isomorphismes :

et

Cela

_étant,

nous avons

_d’après

le corollaire 2.5 :

d’où finalement :

comme

_{attendu ;}

et chacun des

_quotients

à droite est en fait un entier.

Compte

tenu de ce

résultat,

il est naturel de _{poser :}

DÉFINITION

&#x26; PROPOSITION 4.4. Nous disons

_qu’un

diviseur

logarith-mique

D E

_VlK

d’un _corps de nombres K est

_{Q-prirraitif lorsque degK}

c est une

_7Ge-base

du module libre

_degK

DBK.

Enfin,

nous disons

qu’une

f-extension

L/K

de _corps de nombres est

primitivement

ramifiée

(au

sens

logarithmique)

_lorsque

la sous-extension

L/L

nKc est totalement

_rarrLifiée

_(au

sens

logarithmique)

en au moins un

diviseur

_primitif,

ce

_qui

a lieu si et seulement si la condition

est

_{vérifiée. Lorsque}

c’est le _cas, l’indice est alors donné _par la

_{formule :}

p

Nous _pouvons dès lors énoncer le résultat

_principal

de cette section :

THÉORÈME

4.5. Formules des classes

_{logariticmiques drrabiges -}

Dans une

extension

_galoisienne

_L/K

de corps de

nombres,

le sous-groupe

CR. L

des

points

fixes

par G =

Gal(L/K)

du des classes

_{logarithmiques}

est donnée par la suite exacte de

Zi-modules

finis :

où

_CAPLIK

_désigne

le sous-groupe de

qui

capitule

dans

_{Cf L}

_{(i. e.}

le noyau du

morphisme

d’extension

¿L/K).

En

_particulier,

si L est une f-extension

_cyclique

_{primitivement}

ramifiée

d’un _corps

_K,

et

_qui

_vérifie

la

conjecture

de

_Gross,

l’ordre du _sous-groupe

---G

Preuve : Partant de la suite exacte courte

_qui

définit le

~-groupe

,

prenant les

_points

fixes _par

_G,

et

_comparant

la suite exacte

obtenue avec celle définissant nous obtenons le

diagramme

commu-tatif :

Et le lemme du

_serpent

nous donne alors la suite exacte attendue

_(compte

tenu de

_{4.1 (i)) :}

Maintenant,

lorsque

L/K

est une £-extension

cyclique

primitivement

ram-ifiée,

le _groupe est

_nul,

et l’assertion 4.1

_(ii)

nous

_permet

de

mettre la suite obtenue sous la forme :

En

_particulier,

sous la

_conjecture

de

Gross,

les _groupes C~ sont

_finis,

et il vient donc :

d’où le résultat

_annoncé,

en vertu du corollaire 3.7.

Remarques.

(i)

Lorsque

L est une .~-extension

cyclotomique

de K

(i.e.

lorsqu’on

a L C

_K),

la formule des classes

_{logarithmiques ambiges}

se réduit

G

-à l’égalité

_

(ii)

En l’absence

_{d’hypothèse}

sur la

_primitivité

de la ramification

de Plus

_{précisément,}

sous la

conjecture

de

Gross,

_pour toute -extension

_cyclique

L de

_K,

il vient ainsi :

et l’indice à droite est l’ordre du _conoyau de

l’appli-cation naturelle .

(iii)

Pour K fixé et

_IGI

_borné,

les divers facteurs intervenant dans

l’inéga-lité obtenue sont eux mêmes

bornés,

à

l’exception

de celui

_provenant

de la

ramification

_{logarithmique}

_qui

est arbitrairement

_grand

avec

le nombre de

_places

ramifiées. Il en résulte _par

_exemple

_que tout _corps

de nombres K

_possède

une infinité d’extensions

cycliques

de

degré î

_pour

lesquelles

l’ordre du ~ groupe des classes

logarithmiques

est arbitrairement

grand.

COROLLAIRE 4.6. Soit f-extension

_cycliques

d’un corps de nombres K

_qui

_{vérifie la}

_conjecture

de

_Gross,

et S un ensemble

fini

de

places

ul-tramétriques

dont l’une au moins est

_primitive

dans L. Alors le nombres S-classes

_{logarithmiques}

de L invariants par G =

Gal(LIK)

_est donné

par la formule :

Preuve : Comme dans le cas

classique,

il suffit de

reprendre

les calculs

précédents

en

remplaçant

classes _par S-classes et unités _par S-unités. Le

quotient

de Herbrand

_{correspondant}

est alors donné _par le corollaire

_{3.7 ;}

et

_{l’hypothèse}

de

_primitivité

_permet

de

_{représenter chaque}

classe de

_DÈS

par un diviseur

_{logarithmique}

de

_degré

nul. Il vient donc ici :

5. Genre

_{logarithmique}

et _groupe des classes centrales

Tout comme dans le cadre

_classiques

des classes

_d’idéaux,

et

indépen-damment des restrictions de

_{primitivité,}

la suite exacte des classes

lo-garithmiques ambiges

est rarement

_exploitable

en dehors du cas

_cyclique,

puisqu’elle

fait alors intervenir de

_façon

non triviale la

cohomologie

des

unités

_{logarithmiques laquelle}

_n’est,

en

général,

_pas connue. Aussi n’est-il

pas sans intérêt de chercher à obtenir un

_analogue

de la formule des _genres ou encore de celle des classes

centrales,

analogue

valable _pour toutes les extensions

_finies,

éventuellement non

galoisiennes.

Introduisons d’abord le _genre

_{logarithmique :}

DÉFINITION 5.1. Nous

_{appelons l-corps}

des _genres

_{logarithmiq2ces}

attaché à une extension

finie quelconque

L/K

de _corps de norrzbres la

plus grande

pro-£-extension

Llc

fl

LKab

du _corps L

_qui

est localement

_cyclotomique

sur

L et

_provient

_par

_composition

avec L d’une

_{pro-l-extension}

abélienne de

K.

Le _groupe de Galois

_{QlL/ K}

_{Cal (Llc}

n

LKab 1 LC)

_est,

_par

_définition,

le

l-groupe

des genres

logarithmiques

de l’extension

LIK.

La détermination du _genre

_{logarithmique}

d’une extension

_L/K

relève du _corps de classes

_l-adique.

Considérons le schéma de _{corps :}

Ecrivons N _pour

_NL~K

la norme

_{arithmétique}

attachée à l’extension

Comme

_expliqué

dans la section

_2,

la

_ZI-extension

_cyclotomique

Lc = LKc

de L est associée au

£-groupe

d’idèles

_JL,

et la

_{pro-~-extension}

abélienne maximale

_{Llc qui}

est localement

_cyclotomique

_correspond

elle au

£-sous-groupe

J~

RL .

Le formalisme du corps de classes assure alors _que sa

pro-1-extension abélienne de K est associée au saturé _pour la norme

arithmétique

RL))

du

_£-groupe

d’idèles

_qui

fixe L’.

De

_façon

_semblable,

comme

pro-.~-extension

abélienne de

K,

l’extension

cyclotomique

KC est associée à celle localement

_cyclotomique

Kl~

à Il vient donc :

si

_Nl¡CK

_désigne

le _sous-groupe de

_RK

formé des éléments

_qui

sont normes

locales

_partout

dans l’extension et

_si,

_pour

_{chaque place p}

de

_K,

on

convient d’écrire

_{respectivement}

le

_degré

et l’indice de ramification

logarithmique

de la .~-extension abélienne maximale de

Kp

contenue dans l’intersection

_Lqy

des

_complétés

de L aux

_places

au-dessus

_{de p.}

D’où

_{l’expression}

du _genre

_{logarithmique,}

en vertu de l’identité :

THÉORÈME 5.2. Dans une extension

_{finie quelconque}

_L/K

de _corps de

nombres,

le _genre

_{logarithmique}

est donné _par la

_{formule :}

Dans celle-ci

£K

_désigne

le

_£-groupe

des unités

_{logarithmiques}

de K

et

ÊK

n

_N1ÎK

_{le sous-groupe de}

êK

_formé

des éléments de

~K

_qui

sont

normes locales

_partout

dans l’extension

L/K.

Enfin,

_pour

_{chaque place}

p de

K,

les

_quantités

et

_désignent

_{respectivement}

le

degré

et l’indice de

_ramification

_{logarithrraique}

de la £-extension abélienne locale associée à

_LIK.

Remarques.

(i)

Contrairement à la formule des classes

_ambiges

_qui

ne

vaut que dans le cas

cyclique,

la formule des _genres ne

_requiert

aucune

hypothèse

sur la nature de l’extension

_LIK.

Elle ne _{suppose pas} non

plus

est en défaut dans

_K,

la formule obtenue montre _que est

_infini,

et

le _corps L ne la vérifie _pas non

plus.

(ii)

Pour K fixé

_(en

_particulier

dès que

ê£K

et

SK

sont

_donnés),

la formule obtenue ne fait intervenir _que les

_{propriétés galoisiennes}

([Lc : Kc])

ou

locales

(£K :

ÊK

_nNl/K))

de l’extension

_{considérée,}

et non ses

_{propriétés globales.}

COROLLAIRE 5.2. Dans une l-extension abéliennes

L/K

de _corps de

nom-bres,

le _genre

_{logarithmique}

est donné _par la

_{formule :}

Preuve :

_{L’hypothèse}

faite entraîne immédiatement les identités

Le corollaire 5.2 ci-dessus nous donne ainsi une condition nécessaire

de trivialité du

_1-groupe

des classes

_{logarithmiques}

dans une 1-extension

abélienne de _corps de

_{nombres, qui}

_généralise

exactement celle obtenue dans le cas

_cyclique

à l’aide de la formule des classes

_ambiges.

Pour obtenir en retour un critère

sufiisant,

il convient

cependant

de

_remplacer

le

_quotient

des genres par un invariant

plus fin,

le

1-groupe

des classes

logarithmiques

centrales,

que nous allons maintenant introduire :

DÉFINITION &#x26; THÉORÈME 5.3. Nous

_appelons

_£-groupe

des classes

loga-rithrraiques

centrales attaché à une f-extension

(galoisienne)

L/K

de _corps

de nombres le

_{p lus grand}

_{q uotient}

= du _groupe

CfL

_sur

lequel

G =

Gal (L/K)

_opère

trivialement.

(i)

La conditions 0 caractérise les f-extensions L de K

_qui

sont

logarithmiquement principale.

En d’autres

_termes,

on a :

(ii)

Le nombre de classes

_{logarithmiques}

centrales est

_donné,

avec les

où

_{(Ni/K :}

_NL/KRL)

_désigne

le nombre de noeuds attaché à l’extension

_L/K.

Remarques.

(i)

Le nombre de noeuds est un invariant

_purement

galoisien

de l’extension

_L/K.

Par

_exemple,

si G est

_abélien,

il est

_égal

à l’indice dans le carré extérieur G n G de G du _sous-groupe

_engendré

_par les

Dp

A

_Dp

_lorsque

_Dp

décrit les _groupes de

_{décomposition}

des

_places

de K. En

_particulier,

il vaut 1 dans le cas

cyclique.

(ii)

Lorsque

G est

_cyclique,

il vient ainsi :

ce

_qui

redonne bien

_{l’expression}

de

1

_déjà

calculée dans la section 4.

Preuve du théorèmes : L’assertion

_(i)

est

_purement

_{algébrique :}

si G est

un

~-groupe fini,

l’idéal

d’ augmentation

IG

de

l’algèbre ~-adique

est

topologiquement nilpotent,

de sorte _{que pour} tout noethérien

M,

nous avons

(en

notations

_{additives) :}

M = 0 ~ M =

IG M,

en vertu du lemme de

_Nakayama.

Tout le

_problème

est donc d’évaluer le nombres de classes centrales. Ecrivons le _pour cela comme

_produit

de deux entiers sous la forme :

Cela

_{étant ,}

en termes

_idéliques

le

_premier

facteur s’écrit encore :

et nous retrouvons à

_gauche

le nombres de _genres

_[L’,

n LKab :

_L’]

_déjà

calculé. Pour évaluer la

_quantité

restante à

_droite,

remarquons alors

qu’en

associant à la classe de l’idèle _ÏL celle de l’idèle

_principal

xK E

Y"’

défini à une unité

logarithmique près

_par la condition

nous construisons clairement un

_isomorphisme

de

Z£-modules

ce

_qui

nous

_donne,

en fin de

_compte,

l’identité

qui

fait intervenir le nombre de noeuds _KLIK =

(NLjx :

de

l’exten-sion,

et conduit finalement au résultat attendu

_compte

tenu de

_{l’expression}

du nombre de _genres donnée _par le théorème 5.2.

COROLLAIRE 5.4. Sous les

_hypothèses

du

_théorème,

le _corps L est

lo-garithmiquement principal

si et seulement si les deux conditions suivantes

sont réalisées :

Remarques.

(i)

La condition

_(ii)

du corollaire est

_légèrement

_plus

faible que la condition de

primitivité

Hl (0, VÊL)

= 1

déjà

rencontrée

_qui

s’écrit

elle:

DÉIG

IG elle :

= DPL .

(ii)

En dehors du cas

_cyclique,

où

_s’applique

le

_principe

de

_Hasse,

le

calcul de l’indice

_normique

_{(SK :}

_SK

n ne relève _pas des seules

méthodes

_locales,

mais fait intervenir effectivement

_{l’arithmétique globale}

de l’extension.

COROLLAIRE 5.5. Soit L une £-extension d’un corps de nombres K

loga-riticmiquement principal,

et G son _groupe de Galois. Si les trois conditions

suivantes sont réalisées :

(i)

L/K

est

_{logarithmiquernent rarraifiée}

en une

_place

au

_plus,

et la

ramification

est

_primitive

_(en

ce sens

qu’on

a

Hl (G, 5ÊL)

=

1) ;

(ii)

Les

_places

réelles de K ne se

complexifient

_pas dans

L ;

(iii)

Le _groupe des noeuds est trivial

_(par

_exemple

si G est

_{cyclique) ;}

alors L est

_{logarithmiquement principal.}

BIBLIOGRAPHIE

[FG]L.J.

Federer &#x26; B.H. Gross _(with an _{appendix by} W. _{Sinnot)" Regulators} and Iwasawa modules, Invent. Math. 62 _(1981), 443-457.

[Ja]

J.-F. _{Jaulent, L’arithmétique} des l-extensions, (Thèse d’Etat) Pub. Math. Fac. Sci.

Besançon Théor. Nombres 1984-85 &#x26; 1985-86, fasc. 1 _(1986), 1-349.

[Ta]

J. _Tate, Les _conjectures de Stark sur les fonctions L d’Artin en s = _{0, Prog. in}

Math. 47, (1984), Birkhäuser.

Jean-François Jaulent

Centre de Recherche en _{Mathématiques} de Bordeaux Université Bordeaux 1

351, cours de la Libération 33405 TALENCE Cedex