D
AMIEN
R
OY
Une formule d’interpolation en deux variables
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome
13, n
o1 (2001),
p. 315-323
<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2001__13_1_315_0>
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Une formule
d’interpolation
endeux
variables
par DAMIEN ROY
RÉSUMÉ. On démontre une formule
d’interpolation
pour unefonc-tion
F(z,
w)
de deux variablescomplexes
qui tient compte desvaleurs de cette fonction ainsi que de ses dérivées
partielles
par rapport à w en des points d’un sous-groupe deC2
de rang 2. Onexplique
préalablement
comment, dans lesgrandes lignes,
une telle formule permet de ramener la conjecture de Schanuel
à un énoncé dont la forme est celle d’un critère
d’indépendance
algébrique.
ABSTRACT. We prove an
interpolation
formula for a functionF(z, w)
of twocomplex
variables which takes into account thevalues of this function as well as those of its
partial
derivativeswith respect to w on a
subgroup
of C2 of rank 2. We also outlinehow such a formula reduces Schanuel’s conjecture to a statement
of the form of a criterion of
algebraic independence.
1. Introduction
Une formule
d’interpolation
vise à contrôler la croissance d’une fonctionholomorphe
sur un ouvert de Cn en termes des valeurs de cette fonctionou de certaines de ses dérivées en les
points
d’un sous-ensemble fini ,S’ decet ouvert. Un critère du à M. Waldschmidt et J.-C.
Moreau,
dont onrap-pelle
1’6nonc6 auparagraphe
3 ci-dessous pour n =2,
réduit leproblème
au cas despolynômes.
Enconsequence,
onpossède
des formules satisfaisanteslorsque
S’ est unproduit
cartesien ouqu’il
vérifie certaineshypotheses
debonne
répartition (pour
le second cas, voir le théorème 7.4.13 de[5]
déduit du théorème A de[2]
et laproposition
2.6 de[3]
déduite du théorème 2.1 de[3]).
Cetype
de résultat est utile en théorie des nombrestranscen-dants,
mais il reste desproblèmes
ouverts,
autour de laconjecture
7.1.10 de M. Waldschmidt dans[5],
qui pourraient
jouer
un roleimportant.
Dans le cadre de
1’expose,
nous avonspresente
une nouvelle formuled’interpolation qui s’accorde,
dans1’esprit,
à laconjecture
de M. Wald-schmidt mentionn6e ci-dessus. On trouvera son 6nonc6 auparagraphe
Manuscrit recu le ler novembre 1999.
dont la forme est celle d’un critère
d’indépendance algébrique.
Cettecon-jecture
de Schanuelprédit
que, si ~1, ... , Yi sont des nombrescomplexes
linéairementindépendants
surQ,
alors le corps(~ (~1, ... ,
Yi,eyl , ... ,
eYt)
est de
degré
de transcendance au moins £ surQ
(voir
les noteshistoriques
du
chapitre
III de[1]).
Elle demeure essentiellement ouverte. Nous avonsmontré
qu’elle
estéquivalente
à l’énoncésuivant,
où Ddésigne
la dérivation+
Xl
dansConjecture.
un entier strictementpositif,
~1, ... , Yi desnom-bres
complexes
linéairementindépendants
surGZ,
a,, .... a£ des nombrescomplexes
non nuls. Deplus,
soient so, si,to, tl,
u des nombres réelsstrictement
positifs
vérifiant, , , - ,
z
Supposons
que, pour tout entierN >
1 assezgrand, il
existe unpolynôme
non nulPN
e dedegré partiel
enXj
majoré
parNtj
pourj
=0,1,
à coefficients entiers en valeur absoluemajorés
pareN,
qui
vérifiepour tout choix d’entiers
k,
ml, ... , 0 N’O etmax(mi ,
... , Ç NS1.Alors,
le corpsQ(Yl,...,
cxl, ... , est dedegré
de transcendance au moins .~ surC~.
La preuve de
l’équivalence
entre les deuxconjectures
est établie en détails dans(4) .
Nous enrappelons
lesgrandes lignes
ci-dessous.Auparavant,
men-tionnons que, pour tout couple
(to, ti)
à l’intérieur dutriangle
de sommets(1/2,1/2), ( 1, o )
et( 2,1 ) ,
il existe des nombres réels so, si et uqui
vérifientles conditions
(1).
Enparticulier,
pour tout choix de nombres réels s et uavec 1 s u
5/4,
ces conditions sontremplies
avec so -2s, =
s etto =
2ti
= 1. Donc laconjecture
ci-dessus n’est pas un énoncé vide.Pour montrer
qu’elle implique
celle deSchanuel,
on choisit des nombresyl, ... , ye E C linéairement
indépendants
surQ,
et on pose aj = eyjpour
j
=1, ... ,
.~. On choisit aussi des nombres réelsso, si,
to,
ti et uqui
vérifient(1).
Une constructiongénérale
de fonction auxiliaire de M. Waldschmidt(théorème
3.1 de[6])
fournitalors,
pour chaque entier N suffisammentgrand,
unpolynôme
non nulPN
EZ (Xo,
qui
remplit
leshypothèses
de laconjecture. Donc,
si celle-ci estvraie,
le corpsQ (~1, ... ,
eYi , ... , eye )
hypothèses
de laconjecture
sontvérifiées,
on trouve queaje-yi
est uneracine de l’unité
pour j
=1, ... ,
.~et,
ensupposant
vraie laconjecture
deSchanuel,
on en déduit que le corpsC~ ( yl , ... ,
Yi, cx 1, ... ,ai)
est dedegré
de transcendance au moins f surQ.
Pour établir que, sous les
hypothèses
de laconjecture,
les nombressont des racines de
l’unité,
onemploie
une formuled’interpolation
qu’on
applique
aux fonctionsFN (z, w) =
Plusprécisément, pour
unindice j
fixé,
on pose y =yj et cx = On choisit À E C tel
que
e~
=a, et on observe que
pour tout choix d’entiers
k,
m, n >
0. La formuled’interpolation
enques-tion utilise la
petitesse
de ces nombrespour
N’O etm, n
NS1 pour contrôler la croissance deFN.
Si lerapport
(y - À)/(21ri)
estirrationnel,
on
obtient,
pour une infinité d’entiersN,
Cela fournit la contradiction souhaitée car, en
supposant
N >e’~,
on endéduit
ce
qui,
en vertu desinégalités
deCauchy,
estimpossible
pour unpolynôme
non nul à coefficients entiers.
Pour les
calculs,
on effectue enpratique
unchangement
de variablesqui
permet
deremplacer
la dérivation8/8z
+010w
par La formuled’interpolation
énoncée auparagraphe
suivant estadaptée
à cette situation. Elle est aussiplus
précise
que laproposition
1 de[4].
Le reste de cet articlesera consacré à sa démonstration.
2. Une formule
d’interpolation
On fixe unpoint (a, b) E
C2
et un entier N > 1 tels queOn considère le sous-ensemble E de
C2
de cardinalité L :=N2 donné
paret on le munit d’un ordre total en
posant
Pour tout entier k =
0, ... , L,
ondésigne par
E(k)
le sous-ensemble de E constitué de ses L - kpremiers
éléments.Ainsi,
on a enparticulier
E(0)
= E etet on note
7-LR
leC-espace
vectoriel des fonctions continues F :B(0,
R)
Cqui
sontholomorphes
à l’intérieur deB(0,
R).
On munit cet espace de lanorme du supremum
Le but de cet article est de démontrer le résultat suivant :
Théorème. Soit ro =
max{2
+ + soient r et R des nombresréels avec R > r > ro, et soit F:
B(0, R) -
C un élément de1tR.
Alors,
on a
La différence essentielle entre ce résultat et la
proposition
1 de[4]
vient du fait que lamajoration
deIFlr
ci-dessus tientcompte
seulement des dérivéespartielles
(âkF/âwk)(p)
avec p EE(k),
tandis que laproposition
1 de[4]
fait intervenir toutes les dérivéespartielles
de cetype
avec 0 k L et p EE,
c’est-à-dire un ensemble de valeurs de cardinalitéprès
du double.Cette amélioration
pourrait
être utile dans lapratique
en conduisant à desrésultats
quantitatifs plus
précis.
On verra, par les remarquesqui
terminent leparagraphe
suivant,
qu’elle
estsous-jacente
à un lemme de zérosoptimal.
3. Critère de Waldschmidt-Moreau
Dans
[3],
J.-C. Moreau propose une méthodegénérale pour
obtenir deslemmes
d’approximation.
Celle-ci formalise unargument
de M.Wald-schmidt, implicite
dans les preuves des théorèmes 7.3.4 et 7.4.13 de[5].
Enpoussant
un peuplus
loin la démarche deMoreau,
on obtient le critèresuivant pour les fonctions de deux variables
complexes :
Proposition. Soient,
et ro des nombres réels strictementpositifs,
L un entier strictementpositif
et S un ensemble de fonctionnelles linéaires denorme 1 sur
Alors,
les conditions suivantes sontéquivalentes :
(ii)
pour toutepaire
de nombres réels r et R avec R > r > ro, et toutefonction F e on a
Preuve. Le fait que
(ii)
implique
(i)
est immédiat. Si P EC [z, w]
est unpolynôme
dedegré
L,
on luiapplique l’inégalité
de(ii)
avec r =ro. En
passant
à la limite pour des valeurs de Rqui
tendent versl’infini,
on obtientl’inégalité
de(i).
Réciproquement,
pour montrer que(i)
implique
(ii),
onreprend
la preuve de laproposition
1.6 de[3].
Tout d’abord on écrit F = P + G où P est unpolynôme
dedegré
L et G un élément de1tR qui
admet un zéro d’ordre> L à
l’origine.
On combine ensuite lesinégalités
suivantes.D’abord,
on a+
IGlr
et le lemme 1.5 de[3]
livre(r /ro)L-1IPlro
(par
leprincipe
du maximumappliqué
aupolynôme homogène
Wlt)
EC~t,
z,w~).
On combine cette dernièreinégalité
avec celle de(i)
et on utiliseOn utilise aussi le fait que G admet un zéro d’ordre > L à
l’origine pour
majorer
IGlro
par(ro/R)LIGIR’
etIGI,
par Enfin onmajore
par
IFIR
+IPIR
et on utilise la formule de Plancherel pourmajorer
par
LIFIR,
d’oùeLIFIR.
0
Soit ro comme dans l’énoncé du théorème. En
reprenant
les notationsdu
paragraphe
précédent,
on associe àchaque
entier k avec 0 k L et àchaque point
p EE(k)
une fonctionnelle linéaire sur1tro
enposant
quel que
soit F E Comme E est contenu dansB (0, ro - N),
lesinégalités
deCauchy
donnent Donc ces fonctionnelleslinéaires sont de norme au
plus
1. Soit S leur ensemble. Pour démontrerle
théorème,
il suffit donc de vérifier que, pour toutpolynôme P
EC ~z, w]
de
degré
L,
on aRemarque
1. Si S est un ensemble fini de fonctionnelles linéaires surC ~z, w~,
ondésigne
par leplus petit
entier pourlequel
il existe unpolynôme
non nul P EC [z, w~
dedegré Ê
dontl’image
souschaque
élémentde S est nulle.
Alors, pour
ro > 0donné,
il existe uneconstante -y
> 0 telle que pour toutpolynôme
P dedegré
w (S) .
DansRemarque
2. Si ... , est un ensemble de Lpoints
deC2
dont lespremières
coordonnées sont L nombresdistincts,
alors il existe unpolynôme
non nul P eC [z, wJ
dedegré
Lqui
vérifie = 0 pourchaque
couple
d’entiers(j, k)
avec j >
1, k >
0et j
+ kL,
et il n’en existe pas dedegré plus
petit.
En
effet,
comme la dimension du sous-espace deC (z, w~
constitué despolynômes
dedegré
L estsupérieure
au nombre decouples
d’entiers( j, k)
existe unpolynôme
non nul Pde
degré
auplus
Lqui
satisfait les conditionsrequises.
Il reste à montrerqu’un
telpolynôme
est dedegré
L. Pourcela,
onprocède par
récurrence sur L. Si L =1,
la conditionP(ui )
= 0implique que P
n’estpas
constant,
donc il est de
degré
1.Supposons
L > 2. Lepolynôme
Q
=8P/8w
vérifie= 0 pour tout
couple
d’entiers(j, k)
avec j >
1, ~ >
0 etj
-E- ~ L -1. S’il estnul,
alors P nedépend
que de z. Dans ce cas, commeP s’annule en chacun des
points
ul, ... , uL et que ceux-ci ont despremières
coordonnéesdistinctes,
sondegré
doit forcément être au moinsL,
doncégal
à L.
Enfin,
siQ
n’est pasnul,
onpeut
supposer, parrécurrence,
que sondegré
est au moins L - 1. Parsuite,
P est dedegré
L. 4. Un lemme combinatoireOn
désigne
par x :C2 -~
C et y :C2 --~
C les fonctions coordonnéesqui,
à unpoint
(z,
w)
EC2,
associentrespectivement z
et w. Dans les notations duparagraphe
2,
pour toutpoint
p e E et tout entier avec 0 I~L,
on pose
avec la convention que le
produit
vide estégal
à 1. En vertu deshypothèses,
un telproduit
n’est pas nulpuisque
~(p) 2013.r(q)~ >
2-N
pour toutepaire
depoints
distincts pet q
de E. Onexploite
ici cette conditiondiophantienne
pour établir l’estimation suivante :Lemme.
Soit p
e E et k’ des entiers avec0 1~
1~’
L.Alors,
on ai - 1 t’, ~ -i-1
i-Preuve. Posons I =
E(k)
B E(k’)
et supposons dans unpremier
temps
que
les
points
de I soient de la forme(m
+ na,nb)
avec n constant. Alors lesk’ - k
nombresx(p) - x(q)
avec q E I diffèrent l’un de l’autre par un entier.désigne
la fonctionpartie
réelle. Onpeut
réordonner les autres élémentsq de I de telle sorte que les
quantités
x(q))1
[
soient minoréesrespectivement
par1~2, 1, 3~2, ... , (k~ - k -
1)/2.
Siqo ~
p, celaimplique
Si qo =
p, cette
majoration
demeure valablepuisque,
dans ce cas, le terme1 x (p) -
x (qo)
1
n’apparaît
pas dans lequotient a(p,
k’) /a (p,
k).
En
général,
on apour toute suite croissante d’entiers
ko
...ks
avecko
= 1~ etks
= k’.On choisit
~o, ... , ks
de telle sorte que l’ensembleh -
vérifie
l’hypothèse
précédente
pour j
=0, ... ,
s -1,
et queh
contienne N élémentslorsque j #
0,
s -1. Si s =1,
la conclusion découle de l’observationprécédente.
Sinon,
on a s > 2 et on trouve5. Preuve du théorème
Soit P E
C (z, w]
unpolynôme
dedegré
L. Il reste à démontrerl’inégalité
(2)
(voir
la discussionqui
suit la démonstration du critère deWaldschmidt-Moreau).
Pour w E Cfixé,
la formuled’interpolation
deLagrange
donneEn
développant
chacun des termesP(x(p), w)
en série deTaylor
autour duPour p E
E(k),
le termecorrespondant
de la sommepeut
s’exprimer
enfonction de Pour
p rt. E(k),
onreprend
les calculs ci-dessus avecP
remplacé
par et Eremplacé
parE(k).
On obtient ainsiet par suite
puisque
Ix(p) - x(P’)) >
2-~’
pour toutpoint p’
de E distinct de p. En itérant ceprocédé
et en combinant lesinégalités
obtenues,
on déduit queIFlro
estmajoré
par la somme desproduits
où s
désigne
un entier strictementpositif, ki, ... ,
ks
des entiers avec 01~1 - ~ ~ I~s
L et p1, ... , ps des éléments de E tels quep~ ~
etpj+l e
E(kj)
pour j
=1, ... ,
s -1,
et ps E
Fixons un tel
produit.
Alors,
on a pi > ... > ps etk,
...ks. Donc,
si ceproduit
n’est pasnul,
on doit aussi1
> . - . >[
et par suite s N + 1(si
b =0,
celaimplique
mêmes
2).
Alors,
en posantko
= 0 et en utilisant le faitque
a(ps,
L) =
1,
onDonc,
leproduit
enquestion
estmajoré
parmultiplié
par Comme ps EE(ks),
ce dernierfacteur est
majoré par
SUPpES
IV(P)1.
Donc,
pour p1, ... ,ps fixés etkas fixé,
la somme de cesproduits
estmajorée
parComme E
possède
2L
sous-ensembles et quekas
est restreint à l’intervalle0 l~s
L,
on en déduitBibliographie
[1] S. LANG, Introduction to transcendental numbers. Addison-Wesley, 1966.
[2] D. MASSER, Polynomial interpolation in several complex variables. J. Approx. Theory 24
(1978), 18-34.
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Springer, Berlin-New York, 1980.
[4] D. ROY, An arithmetic criterion for the values of the exponential function. Acta Arith. (à
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[5] M. WALDSCHMIDT, Nombres transcendants et groupes algébriques. Soc. Math. France,
Astérisque 69-70 (1979), avec deux appendices par D. Bertrand et J.-P. Serre.
[6] M. WALDSCHMIDT, Transcendance et exponentielles en plusieurs variables. Invent. Math. 63 (1981), 97-127.
Damien ROY
Département de Mathématiques et de Statistiques Université d’Ottawa 585 King Edward Ottawa Ontario, K1N 6N5 Canada E-mail : droyouottawa. ca