Introduction à la modélisation !

– Chapitre 7 – !

Introduction à la modélisation !

Equation de continuité

=> Caractérise l’évolution d’une espèce X

Cette équation ne peut pas être résolue de manière exact => construction d’un modèle (représentation simplifiée d’un système complexe)

Changement de la concentration en fonction du temps!

transport!

(U = vecteur vent)! Production et destruction chimique (dépend des

concentrations dʼautres espèces réagissant avec X)!

emission! dépôt!

€

∂ [ ] X

∂ t = E

− ∇ • ( U [ ] X ) ^{+ P}

^{− L}

^{− D}

(Dʼaprès D.Jacob, Harvard)"

Définir le problème!

Construire le modèle; faire les approximations

nécessaires pour simplifier les équations et permettre leur résolution!

Evaluation du modèle à

partir des observations!

Appliquer le modèle: ! Faire des hypothèses, prévisions!

Améliorer le modèle, caractériser les erreurs!

Construction dʼun système dʼobservation pour tester le modèle!

Construction d’un modèle: démarche générale

Import F_in! Export F_out!

X!

E!

Emission! Dépôt!

D!

Production!

chimique!

P! L!

Destruction ! chimique!

“Boîte” atmosphérique;!

distribution spatiale de X dans la boîte nʼest pas résolue!

Les temps de vie sʼajoutent en parallèle!

Les constantes sʼajoutent en série:!

Conservation de la masse!

€

dm

dt =

∑

∑

Temps de vie atmosphérique!

€

τ = m

F_out +L+D Fraction perdue par export!

€

f = F_out F_out +L+D

€

1

τ = F_out m + L

m + D

m = 1

τ_export + 1

τ_chem + 1 τ_dep

€

k = 1

τ = k_export +k_chem +k_dep Modèle à une boîte (« box model »)

Solution à lʼéquilibre (dm/dt = 0)!

Condition initiale m(0)!

Temps characteristique!

τ = 1/k pour !

•  atteindre lʼéquilibre!

•  diminution exp des conditions initales !

Si S, k constantes pendant t >> τ, alos dm/dt  0 et m S/k: quasi steady state !

€

dm

dt = S − km ⇒ m( t) = m(0)e

+ S

k ( 1 − e

)

Exemple: espèce avec une source constante et un puits du 1^er ordre

m

! m

! F

!

F

!

Equation dʼéquilibre!

Si lʼéchange de masse est du 1er ordre entre les boîtes:!

 Système à deux équations différentielles (ou algébriques si le système est supposé à lʼéquilibre) !

(équation similaire pour dm₂/dt)!

€

dm

dt = E

+ P

− L

− D

− F

+ F

€

dm

dt = E

+ P

− L

− D

− k

m

+ k

m

Modèle à deux boîte => définit le gradient entre deux régions

Illustrates long time scale for interhemispheric exchange; can use 2-box model ! to place constraints on sources/sinks in each hemisphere!

Solve continuity equation for individual gridboxes!

•  Models can presently afford ! ~ 10⁶ gridboxes!

•  In global models, this implies a horizontal resolution of 100-500 km in horizontal and ~ 1 km in vertical!

•  Drawbacks: “numerical diffusion”, computational expense!

On utilise alors une approximation des différences finies de lʼéquation de continuité (cf. cours modélisation)!

Modèle Eulérien

=> Résolution de l’équilibre des masses avec un assemblage 3D de boîtes (mailles)

Panaches de feux au- dessus du Sud de la Californie,!

25 Oct. 2003!

Un modèle lagrangien peu alors fournir une bonne alternative!

La description précise de l’évolution d’un panache nécessite un nombre élevé de mailles

C_X(x_o, t_o)!

C_X(x, t)!

wind!

Au cours du transport!

…pas de terme de transport! (implicites dans la trajectoire)!

Application à lʼévolution de panaches isolés:!

C

! C

!

Dans le panache,!

€

dC

dt = E + P − L − D

€

dC

dt = E + P − L − D − k

( C

− C

)

Modèle Lagrangien: on suit la masse d’air au cours du transport

Inversion de temperature!

(définit la hauteur de mélange)!

Emission E!

Dans la colonne traversant la ville:!

C_X!

L!

0! x!

€

dC

dx = E

Uh − k U C

Modèle en colonne: transport à travers une agglomération

C(x, t

)!

Concentration field at time t defined by n puffs !

C(x, t

+Δ ^t )

Individual puff trajectories!

over time Δt!

AVANTAGES PAR RAPPORT AUX MODELES EULERIENS :!

•  Performance en termes de temps de calcul!

•  Pas de diffusion numérique!

DESAVANTAGES:!

•  Pas de mélange entre les panaches  pas de processus nonlinéaires!

•  La couverture spatiale par les panaches peut être innapropriée!

Modèles Lagrangiens actuellement utilisés suivent de nombreux panaches