MP 2020-21
Kholles de Mathématiques — programme n ◦ 16
Semaine du lundi 1er au vendredi 5 février
Attention désormais tous les énoncés sont démontrés
Les résultats admis seront explicitement indiqués.
Chapitre 14 : endomorphismes symétriques
Dans tout le chapitre E est un espace vectoriel euclidien (en abrégé EVE),uun endomorphisme de E et B une base orthonormée (en abrégé BON) deE.
Attention, ce chapitre a beaucoup évolué depuis le changement de programme
Sont désormais hors-programme les notions suivantes :
adjoint d’un endomorphisme, forme quadratique, norme subordonnée (ou norme triple), endomorphisme (symétrique) positif ou défini positif, quadriques.
1. Automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales, rappels de Première Année 1.1 Automorphismes orthogonaux, rappels de Première Année
Définition : automorphisme orthogonal. NotationO(E).
Proposition : un automorphisme orthogonal est un automorphisme !
Proposition : caractérisation des automorphismes orthogonaux par la conservation de la norme.
Proposition : l’ensemble des automorphismes orthogonaux de E est un groupe pour la composition, appelé groupe orthogonal deE.
Remarque : ce n’est pas un espace vectoriel !
Proposition : caractérisation des automorphismes orthogonaux par l’image d’une base orthonormée.
Proposition : stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable par un automorphisme orthogonal.
1.2 Matrices orthogonales, rappels de Première Année Définition : matrice orthogonale. NotationsOn(R)etO(n).
Proposition : une matrice est orthogonale ssi ses lignes (resp. colonnes) forment une BON deRn. Proposition : un endomorphisme est orthogonal ssi sa matrice dans une BON est orthogonale.
Corollaire : pour les automorphismes, caractérisation de l’orthogonalité par la matrice dans une BON.
Proposition : l’ensemble des matrices orthogonales est un sous-groupe de GLn(R), appelé groupe orthogonal d’ordren.
Proposition : l’ensemble des matrices orthogonales de déterminant1 est un sous-groupe du groupe orthogonal, appelé groupe spécial orthogonal d’ordren.
1.3 Changement de BON, rappels de Première Année
Proposition : une baseB0 est orthonormée ssi la matrice de passage deBversB0 est orthogonale.
Méthode : si P est une matrice de passage d’une BON vers une autre BON, alorsP−1=tP. Corollaire : changement de base orthonormée pour la matrice d’un endomorphisme deE.
1.4 Déterminant (et spectre), rappels de Première Année
Proposition : le déterminant d’un automorphisme orthogonal est égal à ±1.
Définition : groupe spécial orthogonal SO(E) = O+(E) des automorphismes orthogonaux de déterminant 1; ensembleO−(E)des automorphismes orthogonaux de déterminant−1.
Proposition :SO(E)est un groupe (mais pasO−(E)!).
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/3 23 janvier 2021
MP 2020-21
Proposition : caractérisation des éléments deSO(E)par l’image d’une base orthonormée directe.
Proposition : toute réflexion est de déterminant−1.
Proposition : siuest orthogonale alors les seules valeurs propres réelles possibles sont +1et−1.
1.5 Générateurs du groupe orthogonal, rappels de Première Année Théorème :O(E)est engendré par les réflexions.
2. Automorphismes orthogonaux du plan, rappels de Première Année 2.1 Étude de O2(R), rappels de Première Année
Proposition : les matrices orthogonales 2×2 sont lesR(θ)et lesS(Θ).
2.2 Étude de SO2(R), rappels de Première Année Corollaire :SO2(R)est constitué desR(θ)et O2−(R)desS(θ).
Proposition :SO2(R)est un groupe abélien etθ7→R(θ) est un morphisme de groupes surjectif de(R,+)vers (SO2(R),×), de noyau2πZ.
2.3 Étude de SO(E), avec E EVE de dim 2, rappels de Première Année
Proposition : pour touterdansSO(E), il existe un uniqueθ∈[0,2π[tel que pour toute BONB,[r]B=R(θ).
Définition : rotation vectorielle.
Proposition : détermination pratique de l’angle d’une rotation vectorielle.
2.4 Réflexions vectorielles du plan, rappels de Première Année
Proposition : les automorphismes orthogonaux indirects du plan sont les réflexions vectorielles.
Proposition : la composition de deux réflexions est une rotation ; toute rotation se décompose en produit de deux réflexions vectorielles, dont l’une peut être choisie arbitrairement.
3. Automorphisme orthogonaux de l’espace 3.1 Étude de SO(E), oùE EVE de dim 3 Définition : rotation deE.
Proposition : décomposition de tout élément deSO(3)comme produit de deux réflexions ; matrice d’un élément deSO(3)dans une base adaptée.
Définition : axe et angle d’une rotation deE; retournement deE.
3.2 Angle d’une rotation de l’espace autour d’un axe orienté
Proposition : éléments d’une rotation de l’espace (détemination pratique de l’axe et de l’angle).
3.3 Méthode pratique d’étude d’un automorphisme orthogonal en dimension 3 3.3.1. Si det(M) = 1
Axe, angle. Cas particulier des retournements.
Exemple détaillé.
3.3.2. Si det(M) =−1
Proposition : siM ∈O−3(R)et si M ∈Sn(R), alorsM est la matrice d’une réflexion dans une BOND.
Exemple détaillé.
Lemme : composition du retournement d’axe∆et de la réflexion de plan ∆⊥.
Proposition : si M ∈ O−3(R) et si M n’est pas symétrique, alors M représente dans une BOND la composée commutative d’une rotation d’axe∆et de la réflexion de plan ∆⊥.
Exemple détaillé.
3.3 Réduction des éléments de O(E), E de dimension finie
Théorème : siu∈O(E)alors il existe une baseB deE, des entiersp, qet r, et des angles θ1, . . . ,θr tels que [u]B= diag (Ip,−Iq, R(θ1), . . . , R(θr))(diagonale par blocs) etn=p+q+ 2r.
4. Endomorphismes symétriques (ou auto-adjoints)
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/3 23 janvier 2021
MP 2020-21
4.1 Définition, premières propriétés et exemples
Définition : endomorphisme symétrique (ou auto-adjoint), notationS(E).
Théorème :u est symétrique ssi sa matrice dans n’importe quelle BON est symétrique ;S(E)est un sous-EV deL(E)de dimension n(n+ 1)
2 (n= dim(E)).
Proposition : image et noyau d’un endomorphisme symétrique.
Théorème : deux exemples fondamentaux, les projecteurs et symétries orthogonaux.
Proposition : stabilité de l’orthogonal d’un SEV stable par un endomorphisme symétrique.
Corollaire : décomposition d’un endomorphisme symétrique à l’aide de SEV supplémentaires stables.
4.2 Réduction des endomorphismes auto-adjoints Théorème spectral.
Semaine suivante : probabilités sur un univers au plus dénombrable.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 3/3 23 janvier 2021
