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Changement de groupe TD Changement de groupe TD

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Changement de groupe TD Changement de groupe TD

• Lebossé Olivier  8h00 : M105

• Charbonnier Guillaume ?  8h00 : M105

• Missoup Nadege  9h30 : DD407

• Neila Frédéric  9h30 : DD407

(2)

Comparaison de deux groupes

Comparaison de deux groupes

(3)

Comparaison de moyennes Comparaison de moyennes

• On sait comparer la moyenne d’un groupe à la moyenne d’une population.

• Maintenant, on veut comparer deux groupes entre eux :

• Exemple :

– licence APA : XAPA = 12, nombre d’étudiant NAPA=25 – Licence MS : XMS = 11, nombre d’étudiant NMS=36 – Au niveau national : APA = 0,8 , MS = 1,1

A-t-on 12≠S11 ?

(4)

Première difficulté Première difficulté

 APA = moyenne nationale des APA

 MS = moyenne nationale des MS

Problème : on ne connaît pas les moyennes nationales

• On ne peut donc pas comparer

– XAPA à APA

– XMS à MS

(5)

Solution Solution

Solution : H0 : les moyennes sont les mêmes

• On suppose que les moyennes nationales sont les mêmes

APA = MS

• On connaît donc la différence des moyennes :

APAMS = 0

• Ensuite, on compare XAPA – XMS à APA – MS c’est-à-dire on compare XAPA – XMS à 0

(6)

Conclusion Conclusion

• On compare donc XAPA – XMS avec la distribution des différence des moyennes d’échantillonnage (DDEX)

Moyenne : DDEX = XAPA – XAPA = 0

Écart type :

• Puis on conclut avec la loi normale :

MS MS APA

DDEX APA

N

N

σ

   

DDEX MS APA

σ

DDEX X

Z X

DDEX MS APA

σ

X

Z X

(7)

Exemple Exemple

• On compare donc 12 – 11 avec la distribution des différence des moyennes d’échantillonnage (DDEX)

Moyenne : DDEX = APAMS = 0

Écart type :

• Puis on conclut avec la loi normale :

 P = 0,006%

On rejette H0

36 0,24 25 1,1²

σDDEX 0,8²

0,2411 4,11 Z12

(8)

T de Student

T de Student

(9)

Deuxième problème (petit air de déjà vu) Deuxième problème (petit air de déjà vu)

Généralement, on connaît ni APA ni MS

• On remplace APA par sAPA et MS par sMS

• Si NAPA et NMS sont grands (>30) : pas de problème, APA et

MS sont presque égaux à sAPA et à sMS

• Si N est petit (N<30 ) : sAPA et sMS sont des sous estimations de APA et MS

– Donc le Z obtenu serait trop grand (par rapport à celui qu’on obtiendrait si on connaissait APA et MS)

Dans ce cas, on remplace Z par le T de Student

(10)

Variances combinées Variances combinées

Problème : le T de Student s’utilise si les variances sont égales

APA

= 

MS

On triche : si elles sont « raisonnablement » proches

APA

 

MS

alors on les remplace par la variance commune, qui est la moyenne pondéré de (

s

APA

)² et (s

MS

1) (N

1)

(N (s (N 1) (s 1)

(N

APA MS

MS MS

APA Com APA

   

 

(11)

Bilan Bilan

1) (N

1)

(N(s (N 1) (s 1)

(N

APA MS

MS MS

APA Com APA

DDEX MS APAσ X TX

MS Com APA

DDEX Com

N

N

σ

que l’on résume en

MS Com APA

MS APA

N1 N1

σ

X T X

2 N

N (N 1) (s (s

1) σ (N

MS APA

MS MS

GAPA Com APA

(12)

DDL DDL

• Le DDL de deux groupes est la somme des DDL des groupes

– DDL Groupe 1 = (Taille du groupe 1) - 1 – DDL Groupe 2 = (Taille du groupe 2) - 1

Le DDL de deux groupes = (Taille du groupe 1) + (Taille du groupe 2) - 2

(13)

Exemple Exemple

• Groupe A :

– 10, 12, 13, 9, 12 – Moyenne : 11,2 – Écart type : 1,47

• Groupe B :

– 8, 10, 14, 9, 10 – Moyenne : 10,2 – Écart type : 2,04

78 , 84 2,04² 1

² 47 , 1

4

Com

T observé=0,89 DDL=5+5-2 P=19,72%

On ne rejette pas H0

89 , 0 51 15

78 , 1

2 , 10 2

,

11

T

(14)

Récapitulatif (petit air de déjà vu, bis) Récapitulatif (petit air de déjà vu, bis)

On connaît

APA et MS

On conclut grâce à la table de la loi normale

• On ne connaît pas

APA et MS

NXAPA et NXMS sont grands (N>30)

On conclut grâce à la table de la loi normale

• On ne connaît pas

APA et MS

NXAPA et NXMS sont grands (N<30)

On conclut grâce à la table du T de Student

MS MS APA

APA

MS APA

N

N X X Z

MS MS APA

APA

MS APA

N (

N

( X X

Z s s

MS Com APA

MS APA

N1 N1

σ

X T X

(15)

F de Fisher

F de Fisher

(16)

Égalité des variances Égalité des variances

• Une des conditions pour utiliser T est l’égalité des variances sAPA  sMS

• On va chercher à savoir si les variances sont significativement différentes ou non.

• Comment le détermine-t-on ? Grâce au F de Fisher.

(17)

F de Fisher : comme d’hab F de Fisher : comme d’hab

• H0 : les variances sont égales

• Données : les variances

• Test : F de Fisher

• Probabilité

• Conclusion

(18)

F observé F observé

• On divise la plus grande variance par la plus petite ou

MS2 APA2 Obs SS

F 2

APA MS2 Obs SS F

(19)

Probabilité sur table Probabilité sur table

• On lit F sur une table. La table est fonction des DDL des deux variances.

– Le DDL d’une variance est le nombre de personne du groupe moins 1

Dessous2 Dessus2 Obs SS

F

Risque 2,5%

1 2 3 4 5 6

1 647,80 799,50 864,20 899,60 921,80

2 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30

3 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88

4 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36

5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15

6

DDL de la variance du DESSUS

DDL de la variance du

DESSOUS

(20)

Probabilité Excel Probabilité Excel

• Loi.F(Fobs,DDL dessous,DDL dessus)

(21)

F théorique F théorique

• On lit F sur une table. La table est fonction du DDL de sAPA et du DDL de sMS

• Le DDL de sAPA est le nombre de personne du groupe moins 1

• Le DDL de sMS est le nombre de personne du groupe moins 1

(22)

Exemple Exemple

• Groupe A :

– 10, 12, 13, 9 – Moyenne : 11 – Variance : 2,5 – DDL=3

• Groupe B :

– 8, 10, 14, 9, 10 – Moyenne : 10,2 – Variance : 4,16 – DDL=4

2,5 1,7 FObs4,16

P=30,38%

On ne rejette pas H0

Les variances ne sont pas significativement différentes

(23)

Attention : pour le F, le seuil est 2,5%

Attention : pour le F, le seuil est 2,5%

• Formellement, si on teste l’égalité des variances s1 et s2 au risque 5%, on doit :

– vérifier que s1/s2 n’est pas trop grand (pas dans le top 2,5%) – vérifier que s1/s2 n’est pas trop petit (pas dans le down 2,5%)

• Or, on triche : au lieu de tester s1/s2,

– on teste s1/s2 si s1 est plus grand que s2 – on teste s2/s1 si s2 est plus grand que s1

• Donc, on économise le test avec les 2,5% les plus bas.

• Il faut simplement faire le test avec le top 2,5% pour être sur que les variances ne sont pas différentes au risque 5%

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