ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur

ASI 3

Méthodes numériques pour l’ingénieur

Interpolation

f(x)

-4 -3 -2 -1 0 1 2

Approximation de fonctions

• Soit une fonction f (inconnue explicitement)

– connue seulement en certains points x₀,x1…xn

– ou évaluable par un calcul coûteux.

• Principe :

– représenter f par une fonction simple, facile à évaluer

• Problème :

– il existe une infinité de solutions !

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 -4

-3 -2 -1 0 1 2

Approximation de fonctions

• Il faut se restreindre à une famille de fonctions

– polynômes, – exponentielles,

– fonctions trigonométriques…

Quelques méthodes d'approximation

• Interpolation polynomiale

– polynômes de degré au plus n

• polynômes de Lagrange

• différences finies de Newton

• Interpolation par splines

– polynômes par morceaux

• Interpolation d'Hermite

– informations sur les dérivées de la fonction à approcher

• ...voir le groupe de TT…

ab ab

f(x) P(x) f(x)+

f(x)- f(x) P(x) f(x)+

f(x)-

Théorème d’approximation de Weierstrass

   

 

x x

P x

f

b a x

P a b

f

,

) ( )

(

: que tel

, sur définit ,

) ( polynôme un

existe il

, 0

Alors,une fonction définie et continuesur l'intervalle , soit

















) (x f

) (x P



 ) (x f



 ) (x f

grand est

polynome du

ordre l'

plus , est petit, plus

Interpolation :

Interpolation polynomiale

• Le problème : les données, la solution recherchée

• mauvaise solution : résoudre le système linéaire

• la combinaison linéaire de polynômes est un polynôme

     

n i

x f x

P x

P

x f y

x x

f y

x x

f y

x

i i

i i

i i

i i

, 0 ),

( )

( que tel

) (

) ( ,

,..., )

( ,

,..., )

(

, _{0 0}

0











0

1

0

) (

) ( ...

) ( )

( ainsi

0

) ( et 1 )

( que tel

) (

) ( ...

) ( )

(

0 0 0

0





   

















i n n i

i i i

i

j i i

i

n n i

i

x P y x

P y x

P y x

P

i j x

P x

P

x P y x

P y x

P y x

P

e Vandermond de

matrice :

)

(

0

V y

Va x

a x

P ⁿ

i

i i  







Interpolation polynomiale : Lagrange

• Théorème

– Soient n+1 points distincts xi réels et n+1 réels yi, il existe un unique polynôme p  P_n tel que

p(x_i) = y_i pour i = 0 à n – Construction de p :

avec L_i polynôme de Lagrange – Propriétés de L_i

• L_i(x_i)=1

• L_i(x_j)=0 (j  i)



 ⁿ

0 i

i

iL ( x ) y

) x ( p

 

 



 

 ⁿ 

i j 0

j i j

j

i x x

x ) x

x ( L

L est un polynôme d’ordre n démonstration

0 1

0 1

1 0

1 0

1 0

0 1

1 0

1 0

1 0

0 1 1

0 1

0

1 0

x x

x y x

x x

x y x

x x

x y x

x x

x y x

y

x x

y x y

x x x x

y y y



 



 



 



 



 



 

• Exemple avec n=1

– on connaît 2 points (x0,y0) et (x1,y1)

– on cherche la droite y=ax+b (polynôme de degré 1) qui passe par les 2 points :

• y₀ = a x₀ + b a = (y₀ - y₁) / (x₀ - x₁)

• y1 = a x1 + b b = (x0 y1 - x1 y0) / (x0 - x1)

–

Lagrange : exemple n°1

L₀(x) L₁(x)

x₀ x₁ y₁

y₀

Lagrange : exemple n°2

• Exemple avec n=2

– on connaît 3 points (0,1), (2,5) et (4,17) – polynômes de Lagrange associés :

  

8

4 x

2 ) x

x (

L₀  



 

8 2 x

) x x (

L₂ 

 

4 x

) x x ( L₁



 

0 2 4

-

0 2 4 0 2 4

-1 0 1 2 3 4 5 0

5 10 15 20 25 30

Lagrange : exemple n°2

– calcul du polynôme d'interpolation

• p(x)=L0(x) + 5 L1(x) + 17 L2(x)

• en simplifiant, on trouve p(x)=x²+1

Lagrange : l’algorithme

Complexité du calcul : n² fait fait * ( ) ( )

)

* (

; ,

à jusqu' 1

pour

1 jusqu'à pour

l y y

y

j x i

x

j x l x

l

i j n

j n

i

i

i i

i







 



  Fonction y = lagrange(x,x_i,y_i)

-1 0 1 2 3 4 5 -10

0 10 20 30 40 50 60

Lagrange : exemple n°3

• Exemple avec n=2 (fonction à approcher y=e^x) – on connaît 3 points (0,1), (2,7.3891) et (4,54.5982)

– Polynôme d'interpolation

• p(x) =L₀(x) + 7.3891 L₁(x) + 54.5982 L₂(x)

Lagrange : exemple n°3

– Erreur d'interpolation e(x) = f(x) - p(x)

-1 0 1 2 3 4 5

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60

Lagrange : erreur d'interpolation

• Théorème :

– si f est n+1 dérivable sur [a,b],  x  [a,b], notons :

• I le plus petit intervalle fermé contenant x et les xi

 (x)=(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n)

– alors, il existe   I tel que – NB :  dépend de x

• Utilité = on contrôle l’erreur d’approximation donc . la qualité de l’approximation

   



  

x f e

) 1 n

(  

 ^

Lagrange : choix de n

• Supposons que l'on possède un nb élevé de points pour approcher f … faut-il tous les utiliser ?

– (calculs lourds)

• Méthode de Neville :

– on augmente progressivement n

– on calcule des L_i de manière récursive

– on arrête dès que l'erreur est inférieure à un seuil

(d’ou l’utilité du calcul de l’erreur)

La méthode de Neuville

• Définition

• Théorème

• Démonstration

• Application systématique

    



k

m m

m m

m m

m m

m

y x

y x

y x

k

x P

, ,...,

, ,

,

points les

sur calculé

Lagrange de

polynôme

) (

2 2

1 1

2 1, ,...,

  ^{ }

j i

n i

i i

n j

j j

x x

x P

x x x

P x x x

P 





  ^{ } ( ) ^{ } ( )

)

( ^{0,1,..., 1, 1,..., 0,1,..., 1, 1,...,}

) ( )

( et

) ( )

( );

( )

(x_i f x_i P x_j f x_j P x_k f x_k

P   

2 , 2 2

, 1 , 0 1

, 2 2

, 1 0

, 2 2

2

1 , 1 1

, 0 0

, 1 1

1

0 , 0 0

0

Q P

Q P

Q P

Q P

x

Q P

Q P

Q P

x

Q P

Q P

x

Q P

x



















 ^{i j i j i j i i}

P

Q _,  _{ ,  1,..., 1,}

L’algorithme de Neuville

Complexité du calcul : n²

   

fait fait ( , ) ( ) ( )

1 1

) ( 1

) (

à jusqu' 1

pour

1 jusqu'à pour

fait ( ,10)jusqu'à( ) pour

n n Q y

j i x i

x

) ,j

Q(i i

x x )

Q(i,j j

i x Q(i,j) x

i

j n

i

i y i

Qi n

i i

i i

i



















 

 

 

Fonction y = Neuville(x,x_i,y_i)

Interpolation polynomiale : Newton

• Polynômes de Newton :

– base = {1, (x-x₀), (x-x0)(x-x1), …, (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)}

– on peut ré-écrire p(x) :

p(x)=a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)(x-x₁)+…+ a_n(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1) – calcul des a_k : méthode des différences divisées

Newton : différences divisées

• Définition :

– Soit une fonction f dont on connaît les valeurs en des points distincts a, b, c, …

– On appelle différence divisée d’ordre 0, 1, 2,...,n les expressions définies par récurrence sur l’ordre k : – k=0 f [a] = f (a)

– k=1 f [a,b] = ( f [b] - f [a] ) / ( b - a )

– k=2 f [a,b,c] = ( f [a,c] - f [a,b] ) / ( c - b ) – … f [X,a,b] = ( f [X,b] - f [X,a] ) / ( b - a )

a  X , b  X , a  b

Newton : différences divisées

• Théorèmes :

– détermination des coefficients de p(x) dans la base de Newton :

f [x₀, x₁,…, x_k] = a_k avec k = 0 … n – erreur d'interpolation :

e(x) = f [x₀, x₁,…, x_n, x] (x)

Newton : différences divisées

a₀

a₁

a₂

a_n

• Calcul pratique des coefficients :

x₀ f [x₀]

x₁ f [x₁] f [x₀, x₁]

x₂ f [x₂] f [x₁, x₂] f [x₀, x₁, x₂]

… … … ...

… … … f [xn-3, xn-2, xn-1]

x_n f [x_n] f [x_n-1, x_n] f [x_n-2, x_n-1, x_n] … f [x₀, ..., x_n]

Newton : exemple

a₀

a₂

p(x)=1 + 2x + x(x-2) (et on retombe sur p(x) = 1 + x²)

a₁

• (ex. n°2) : n=2 (0,1), (2,5) et (4,17)

0 f [x₀]=1

2 f [x₁]=5 f [x₀, x₁]

=(1-5)/(0-2)=2

4 f [x₂]=17 f [x₁, x₂] f [x₀, x₁, x₂]

=(5-17)/(2-4)=6 = (2-6)/(0-4)=1

Newton : l’algorithme

Complexité du calcul : n² fait (i) 1 jusqu'( ,à)

pour

fait fait ( ) ( ) 1 1

1

à jusqu' 1

pour

1 jusqu'à pour

fait ( ,10)jusqu'à( ) pour

i n F

ai n

j i x i

x

) ,j

F(i )

F(i,j F(i,j)

i

j n

i

i y i

Fi n

i i

i













 

 

 

Fonction a = Newton(x_i,y_i)

-6 -4 -2 0 2 4 6

A bas les polynômes

• Ex : y=2(1+tanh(x)) - x/10 avec 9 points

– entre les points, le polynôme fait ce qu'il veut…

et plus son degré est élevé plus il est apte à osciller !

Interpolation par splines cubiques

• Principe :

– on approche la courbe par morceaux (localement)

– on prend des polynômes de degré faible (3) pour éviter les oscillations

Splines cubiques : définition

• Définition :

– On appelle spline cubique d’interpolation une fonction notée g, qui vérifie les propriétés suivantes :

• g  C²[a;b] (g est deux fois continûment dérivable),

• g coïncide sur chaque intervalle [x_i; x_i+1] avec un polynôme de degré inférieur ou égal à 3,

• g(xi) = yi pour i = 0 … n

• Remarque :

– Il faut des conditions supplémentaires pour définir la spline d’interpolation de façon unique

– Ex. de conditions supplémentaires :

• g"(a) = g"(b) = 0 spline naturelle.

Splines : illustration

P₁(x)=₁x³+₁x²+₁x+₁

=a₁ (x-x₁)³+b₁ (x-x₁)²+c₁ (x-x₁)+d₁

P₂(x)=a₂ (x-x₂) ³+b₂ (x-x₂)²+c₂ (x-x₂)+d₂

Splines cubiques : détermination

• Détermination de la spline d’interpolation

– g coïncide sur chaque intervalle [xi; xi+1] avec un polynôme de degré inférieur ou égal à 3

 g" est de degré 1 et est déterminé par 2 valeurs:

• m_i = g"(x_i) et m_i+1 = g"(x_i+1) (moment au noeud n°i)

– Notations :

• h_i = x_i+1 - x_i pour i = 0 … n-1

 i= [xi; xi+1]

• g_i(x) le polynôme de degré 3 qui coïncide avec g sur l’intervalle i

Splines cubiques : détermination

– g"_i(x) est linéaire :

  x  i

• on intègre (ai constante)

• on continue (b_i constante)

– g_i(x_i) = y_i – g_i(x_i+1) = y_i+1

 

i 1 i i

i 1 i i

i h

x m x

h x m x

x

g 

 

  _ ^

     





i 1 3 i i

i i 3 1

i

i a x x b

h 6

x m x

h 6

x m x

x

g    

 

 _ ^

     

i i

1 2 i i

i i 2 1

i

i a

h 2

x m x

h 2

x m x

x

g  

 

  _ ^

i i2

i i b

6 h

y  m 

i i

i i2

1 1 i

i a h b

6 h

y _  m ^  

1

2

Splines cubiques : détermination

– g'(x) est continue : – et

– on remplace les a_i dans :

– Rappel : on cherche les m_i (n+1 inconnues)

 on a seulement n-1 équations grâce à

 il faut rajouter 2 conditions, par exemple

m0 = mn =0 (spline naturelle)

 

 

i a g x

2 m h 2 a

m h x

g     ^  _  _









i

i m m

6 y h

h y

a  1 _   _ 

3

1 2

3

     



 



   







 _

 







 i i 1

1 i i

1 i i 1

i i i

1 i i

1 i 1

i y y

h y 1

h y 6 1 m

h m

h h

2 m

4 h

4

Splines cubiques : détermination

– Ex de résolution avec h_i = x_i+1 - x_i constant :

•

• forme matricielle : Tm=f

• T inversible (diagonale strictement dominante)

     



 



   







 _

 







 i i 1

1 i i

1 i i 1

i i i

1 i i

1 i 1

i y y

h y 1

h y 6 1 m

h m

h h

2 m

4 h





1 2 i i

1

i y 2y y f

h m 1

m 4

m _   _  _   _ 

































































 n 1

1

1 n

1

f f

m m

4 1

1 4

1 1 4

1

0 1

4











Splines cubiques : l’algorithme

Complexité du calcul : complexité du solveur

 

 

   

fait ( ) ( ) 6

6 ) 1

(

1

; 1

pour [0,\2 ,01]2 1 fait

6 )

1 (

2 )

1 ,

(

( , 1) ( , ) 2 2; 1 pour

1 1

1 1 1

1 1

i i

i i i

i i

i

i i i

i i i

i i

i i

h i m

y i

b

m h m

y h y

i a

n i m

m T f

m T :n- , :n- T

h y y

h y i y

f

h i

i

T i i h

T i i h h

Ti n















 





 



 

 







 

 

















Splines cubiques : exemple

• Ex : y=2(1+tanh(x)) - x/10 avec 9 points

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6 -4 -2 0 2 4 6

spline

polynôme de degré 8

Conclusion

• Interpolation polynomiale

– évaluer la fonction en un point : Polynôme de Lagrange ->

méthode de Neville

– compiler la fonction : Polynôme de Newton

• Interpolation polynomiale par morceau : splines

– spline cubique d’interpolation

– spline cubique d’approximation (on régularise) – b spline

– spline généralisée : splines gausiènnes (multidimensionelle)

• approximation - apprentissage