Méthodes numériques pour l’ingénieur

ASI 3

Méthodes numériques pour l’ingénieur

Interpolation

f(x)

-4 -3 -2 -1 0 1 2

Approximation de fonctions

• Soit une fonction f (inconnue explicitement)

– connue seulement en certains points x₀,x₁…x_n – ou évaluable par un calcul coûteux.

• Principe :

– représenter f par une fonction simple, facile à évaluer

• Problème :

– il existe une infinité de solutions !

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 -4

-3 -2 -1 0 1 2

Approximation de fonctions

• Il faut se restreindre à une famille de fonctions

– polynômes, – exponentielles,

– fonctions trigonométriques…

Quelques méthodes d'approximation

• Interpolation polynomiale

– polynômes de degré au plus n

• polynômes de Lagrange

• différences finies de Newton

• Interpolation par splines

– polynômes par morceaux

• Interpolation d'Hermite

– informations sur les dérivées de la fonction à approcher

• ...voir le groupe de TT…

ab ab

f(x) P(x) f(x)+ε

f(x)-ε f(x) P(x) f(x)+ε

f(x)-ε

Théorème d’approximation de Weierstrass

[ ] [ ] [ ]

x x

P x

f

b a x

P

b a f

,

) ( )

(

: que tel

, sur définit

, ) ( polynôme un

existe il

, 0 Alors,

, intervalle l'

sur continue

et définie fonction

une soit

∈

∀

<

−

>

∀

ε ε

) (x f

) (x P

ε

− ) (x f

ε + ) (x f

grand est

polynome du

ordre l'

plus

petit, est

, plusε

Interpolation :

+ +

+ +

Interpolation polynomiale

• Le problème : les données, la solution recherchée

• mauvaise solution : résoudre le système linéaire

• la combinaison linéaire de polynômes est un polynôme

( ) ( ) ( )

n i

x f x

P x

P

x f y

x x

f y

x x

f y

x

i i

i i

i i

i i

, 0 ),

( )

( que tel

) (

) ( ,

,..., )

( ,

,..., )

(

, _{0 0}

0

=

=

=

=

=

0

1

0

) (

) ( ...

) ( )

( ainsi

0

) ( et 1 )

( que tel

) (

) ( ...

) ( )

(

0 0 0

0

↓

↓

↓ + + +

=

≠

=

=

+ +

+

=

i n n i

i i i

i

j i i

i

n n i

i

x P y x

P y x

P y x

P

i j x

P x

P

x P y x

P y x

P y x

P

e Vandermond de

matrice :

)

(

0

V y

Va x

a x

P

n i

i

i ⇒ =

=

∑

=

Interpolation polynomiale : Lagrange

• Théorème

– Soient n+1 points distincts x_i réels et n+1 réels y_i, il existe un unique polynôme p ∈ P_n tel que

p(x_i) = y_i pour i = 0 à n – Construction de p :

avec L_i polynôme de Lagrange – Propriétés de L_i

• L_i(x_i)=1

• L_i(x_j)=0 (j ≠ ⁱ⁾

∑

= ⁿ

0 i

i

iL ( x ) y

) x ( p

( )

( )

∏

≠= −

= ⁿ −

i j

0

j i j

j

i x x

x ) x

x ( L

L est un polynôme d’ordre n démonstration

0 1

0 1

1 0

1 0

1 0

0 1

1 0

1 0

1 0

0 1 1

0 1

0

1 0

x x

x y x

x x

x y x

x x

x y x

x x

x y x

y

x x

y x y

x x x x

y y y

− + −

−

= −

−

− −

−

= −

− + −

−

= −

• Exemple avec n=1

– on connaît 2 points (x₀,y₀) et (x₁,y₁)

– on cherche la droite y=ax+b (polynôme de degré 1) qui passe par les 2 points :

• y₀ = a x₀ + b a = (y₀ - y₁) / (x₀ - x₁)

• y₁ = a x₁ + b b = (x₀ y₁ - x₁ y₀) / (x₀ - x₁)

–

Lagrange : exemple n°1

L₀(x) L₁(x)

x₀ x₁ y₁

y₀

Lagrange : exemple n°2

• Exemple avec n=2

– on connaît 3 points (0,1), (2,5) et (4,17) – polynômes de Lagrange associés :

( )( )

8

4 x

2 ) x

x (

L₀ = − −

( )

8 2 x

) x x (

L₂ = −

( )

4 4 x

) x x ( L₁

−

= −

0 2 4

-

0 2 4 0 2 4

-1 0 1 2 3 4 5 0

5 10 15 20 25 30

Lagrange : exemple n°2

– calcul du polynôme d'interpolation

• p(x)=L₀(x) + 5 L₁(x) + 17 L₂(x)

• en simplifiant, on trouve p(x)=x²+1

Lagrange : l’algorithme

Complexité du calcul : n² fait

*

fait

) ( )

(

)

* (

; ,

à jusqu' 1

pour

à jusqu' 1

pour

l y y

y

j x i

x

j x l x

l

i j n j

n i

i

i i

i

+

←

−

← −

≠

= = Fonction y = lagrange(x,x_i,y_i)

-1 0 1 2 3 4 5 -10

0 10 20 30 40 50 60

Lagrange : exemple n°3

• Exemple avec n=2 (fonction à approcher y=e^x) – on connaît 3 points (0,1), (2,7.3891) et (4,54.5982)

– Polynôme d'interpolation

• p(x) =L₀(x) + 7.3891 L₁(x) + 54.5982 L₂(x)

Lagrange : exemple n°3

– Erreur d'interpolation e(x) = f(x) - p(x)

-1 0 1 2 3 4 5

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60

Lagrange : erreur d'interpolation

• Théorème :

– si f est n+1 dérivable sur [a,b], ∀ x ∈ [a,b], notons :

• I le plus petit intervalle fermé contenant x et les x_i

• φ^(x)=(x-x₀^)(x-x₁^)…(x-x_n⁾

– alors, il existe ξ ∈ I tel que – NB : ξ dépend de x

• Utilité = on contrôle l’erreur d’approximation donc . la qualité de l’approximation

( ) ( )

(

) ( )

x f e

) 1 n

( ξ φ

= ⁺+

Lagrange : choix de n

• Supposons que l'on possède un nb élevé de points pour approcher f … faut-il tous les utiliser ?

– (calculs lourds)

• Méthode de Neville :

– on augmente progressivement n

– on calcule des L_i de manière récursive

– on arrête dès que l'erreur est inférieure à un seuil

(d’ou l’utilité du calcul de l’erreur)

La méthode de Neuville

• Définition

• Théorème

• Démonstration

• Application systématique

( ) ( ) (

)

k

m m

m m

m m

m m

m

y x

y x

y x

k

x P

, ,...,

, ,

,

points les

sur calculé

Lagrange de

polynôme

) (

2 2

1 1

2 1, ,...,

( ) ^{( )}

j i

n i

i i

n j

j j

x x

x P

x x x

P x x x

P −

−

−

= − ^{− +} ( ) ^{− +} ( )

)

( ^{0,1,..., 1, 1,..., 0,1,..., 1, 1,...,}

) ( )

( et

) ( )

( );

( )

(x_i f x_i P x_j f x_j P x_k f x_k

P = = =

2 , 2 2

, 1 , 0 1

, 2 2

, 1 0

, 2 2

2

1 , 1 1

, 0 0

, 1 1

1

0 , 0 0

0

Q P

Q P

Q P

Q P

x

Q P

Q P

Q P

x

Q P

Q P

x

Q P

x

=

=

=

=

=

=

=

=

=

= ^{i j i j i j i i}

P

Q _, = _{− , − +1,..., −1,}

L’algorithme de Neuville

Complexité du calcul : n²

( ) ( )

fait

) , (

fait

) (

) (

1 1

) ( 1

) (

à jusqu' 1

pour

à jusqu' 1

pour fait

) ( )

0 , (

à jusqu' 1

pour

n n Q y

j i x i

x

) ,j

Q(i i

x x )

Q(i,j j

i x Q(i,j) x

i j

n i

i y i

Q

n i

i i

i i

i

←

−

−

−

−

−

−

−

−

← −

= =

= ←

Fonction y = Neuville(x,x_i,y_i)

Interpolation polynomiale : Newton

• Polynômes de Newton :

– base = {1, (x-x₀), (x-x₀)(x-x₁), …, (x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1)}

– on peut ré-écrire p(x) :

p(x)=a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)(x-x₁)+…+ a_n(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1) – calcul des a_k : méthode des différences divisées

Newton : différences divisées

• Définition :

– Soit une fonction f dont on connaît les valeurs en des points distincts a, b, c, …

– On appelle différence divisée d’ordre 0, 1, 2,...,n les expressions définies par récurrence sur l’ordre k : – k=0 f [a] = f (a)

– k=1 f [a,b] = ( f [b] - f [a] ) / ( b - a )

– k=2 f [a,b,c] = ( f [a,c] - f [a,b] ) / ( c - b ) – … f [X,a,b] = ( f [X,b] - f [X,a] ) / ( b - a )

a ∉ ^{X , b} ∉ ^{X , a} ≠ ^b

Newton : différences divisées

• Théorèmes :

– détermination des coefficients de p(x) dans la base de Newton :

f [x₀, x₁,…, x_k] = a_k avec k = 0 … n – erreur d'interpolation :

e(x) = f [x₀, x₁,…, x_n, x] φ^(x)

Newton : différences divisées

a₀

a₁

a₂

a_n

• Calcul pratique des coefficients :

x₀ f [x₀]

x₁ f [x₁] f [x₀, x₁]

x₂ f [x₂] f [x₁, x₂] f [x₀, x₁, x₂]

… … … ...

… … … f [x_n-3, x_n-2, x_n-1]

x_n f [x_n] f [x_n-1, x_n] f [x_n-2, x_n-1, x_n] … f [x₀, ..., x_n]

Newton : exemple

a₀

a₂

p(x)=1 + 2x + x(x-2) (et on retombe sur p(x) = 1 + x²)

a₁

• (ex. n°2) : n=2 (0,1), (2,5) et (4,17)

0 f [x₀]=1

2 f [x₁]=5 f [x₀, x₁]

=(1-5)/(0-2)=2

4 f [x₂]=17 f [x₁, x₂] f [x₀, x₁, x₂]

=(5-17)/(2-4)=6 = (2-6)/(0-4)=1

Newton : l’algorithme

Complexité du calcul : n² fait

) , ( (i)

à jusqu' 1

pour fait

fait

) (

) (

1 1

1

à jusqu' 1

pour

à jusqu' 1

pour fait

) ( )

0 , (

à jusqu' 1

pour

i n F a

n i

j i x i

x

) ,j

F(i )

F(i,j F(i,j)

i j

n i

i y i

F

n i

i i

i

=←

−

−

−

−

−

← −

= =

= ←

Fonction a = Newton(x_i,y_i)

-6 -4 -2 0 2 4 6 -6

-4 -2 0 2 4 6

A bas les polynômes

• Ex : y=2(1+tanh(x)) - x/10 avec 9 points

– entre les points, le polynôme fait ce qu'il veut…

et plus son degré est élevé plus il est apte à osciller !

Interpolation par splines cubiques

• Principe :

– on approche la courbe par morceaux (localement)

– on prend des polynômes de degré faible (3) pour éviter les oscillations

Splines cubiques : définition

• Définition :

– On appelle spline cubique d’interpolation une fonction notée g, qui vérifie les propriétés suivantes :

• g ∈ C²[a;b] (g est deux fois continûment dérivable),

• g coïncide sur chaque intervalle [x_i; x_i+1] avec un polynôme de degré inférieur ou égal à 3,

• g(x_i) = y_i pour i = 0 … n

• Remarque :

– Il faut des conditions supplémentaires pour définir la spline d’interpolation de façon unique

– Ex. de conditions supplémentaires :

• g"(a) = g"(b) = 0 spline naturelle.

Splines : illustration

P₁(x)=α₁^x3+β₁^x2+χ₁^x+δ₁

=a₁ (x-x₁)³+b₁ (x-x₁) ²+c₁ (x-x₁) +d₁

P₂(x)=a₂ (x-x₂) ³+b₂ (x-x₂) ²+c₂ (x-x₂) +d₂

Splines cubiques : détermination

• Détermination de la spline d’interpolation

– g coïncide sur chaque intervalle [x_i; x_i+1] avec un polynôme de degré inférieur ou égal à 3

g" est de degré 1 et est déterminé par 2 valeurs:

• m_i = g"(x_i) et m_i+1 = g"(x_i+1) (moment au noeud n°i)

– Notations :

• h_i= x_i+1 - x_i pour i = 0 … n-1

• δ_i^{= [x}_i^{; x}_i+1^]

• g_i(x) le polynôme de degré 3 qui coïncide avec g sur l’intervalle δ_i

Splines cubiques : détermination

– g"_i(x) est linéaire :

• ∀ x ∈ δ_i

• on intègre (a_i constante)

• on continue (b_i constante)

– g_i(x_i) = y_i

– g_i(x_i+1) = y_i+1

( )

i 1 i i i

i 1

i

i h

x m x

h x m x

x

g ′′ = ₊ − + ⁺ −

( ) ( ) ( )

(

)

i 3 1

i i i

3 i 1

i

i a x x b

h 6

x m x

h 6

x m x

x

g = ₊ − + ⁺ − + − +

( ) ( ) ( )

i i

2 1

i i i

2 i 1

i

i a

h 2

x m x

h 2

x m x

x

g′ = ₊ − − ⁺ − +

i 2

i i

i b

6 h

y = m +

i i i 2

i 1 i 1

i a h b

6 h

y ₊ = m ⁺ + +

1

2

Splines cubiques : détermination

– g'(x) est continue : – et

– on remplace les a_i dans :

– Rappel : on cherche les m_i (n+1 inconnues)

on a seulement n-1 équations grâce à il faut rajouter 2 conditions, par exemple

m₀ = m_n =0 (spline naturelle)

( )

( )

1 i i i

i i i

i a g x

2 m h 2 a

m h x

g′ = − + = ⁻ + ₋ = ′₋

( ) (

)

i i

1 i i

i m m

6 y h

h y

a = 1 ₊ − − ₊ −

3

1 2

3

( ) ( ) ( )



 − − −

= +

+

+ ₋

+ − +

−

−

− i i 1

1 i i

1 i i 1

i i i

1 i i

1 i 1

i y y

h y 1

h y 6 1 m

h m

h h

2 m

4 h

4

Splines cubiques : détermination

– Ex de résolution avec h_i = x_i+1 - x_i constant :

•

• forme matricielle : Tm=f

• T inversible (diagonale strictement dominante)

( ) ( ) ( )



 − − −

= +

+

+ ₋

+ − +

−

−

− i i 1

1 i i

1 i i 1

i i i

1 i i

1 i 1

i y y

h y 1

h y 6 1 m

h m

h h

2 m

4 h

(

)

1 2 i i

1

i y 2y y f

h m 1

m 4

m ₋ + + ₊ = ₋ − + ₊ =





















=









































−

− n 1

1

1 n

1

f f

m m

4 1

1 4

1 1 4

1

0 1

4

l l

p p

p

Splines cubiques : l’algorithme

Complexité du calcul : complexité du solveur

( )

( )

( ) ( )

fait ( ) ( ) 6

6 ) 1

(

1

; 1 pour

] 0 , , 0 [

\

1 2

1 2

fait

6 )

1 (

2 )

1 ,

(

) 1 ,

(

2 )

, (

1

; 2 pour

1 1

1 1 1

1 1

i i

i i

i i

i i

i i i

i i i

i i

i i

h i m

y i

b

m h m

y h y

i a

n i

m m

f T m

:n- ,

:n- T

T

h y y

h y i y

f

h i

i T

h i

i T

h h

i i T

n i

−

←

−

−

−

←

−

← =

←← 

 − − −

←

−

← + ←

−←− +

=

+ +

−

− +

−

−

Splines cubiques : exemple

• Ex : y=2(1+tanh(x)) - x/10 avec 9 points

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6 -4 -2 0 2 4 6

spline

polynôme de degré 8

Conclusion

• Interpolation polynomiale

– évaluer la fonction en un point : Polynôme de Lagrange ->

méthode de Neville

– compiler la fonction : Polynôme de Newton

• Interpolation polynomiale par morceau : splines

– spline cubique d’interpolation

– spline cubique d’approximation (on régularise) – b spline

– spline généralisée : splines gausiènnes (multidimensionelle)

• approximation - apprentissage